第1章 三角形 单元自测培优卷- 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 浙教版八年级三角形单元自测培优卷，45分钟100分，涵盖选择（8题24分）、填空（6题18分）、解答（7题58分），融合中考真题与生活情境，适配单元复习，提升几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|三角形三边关系、全等判定、折叠性质|中考真题改编（如三角板放置问题），考查空间观念| |填空题|6/18|中线周长差、命题真假、角平分线与高综合|结合社区公园规划，体现应用意识| |解答题|7/58|全等证明、尺规作图、艺术装置几何问题|分层设计，从基础证明到创新应用（如公园索道长度探究），发展推理能力与创新意识|

第1章 三角形单元自测培优卷 考试时间：45分钟　　满分：100分 适用：浙教版八年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）一个三角形的两边长分别为和，若第三条边的长为，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 3．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）如图，，添加下列条件后仍不能判定的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）如图，把长方形纸片纸沿对角线折叠，设重叠部分为，那么，有下列说法：①是等腰三角形 ②折叠后和一定相等 ③折叠后得到的图形是轴对称图形 ④和一定是全等三角形，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，把一块直角三角板放置在直线、之间，点B、C分别落在直线、上，若，则（） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 7．（2026·山东烟台·中考真题）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，，过点作于点，以为斜边作直角，，点为上一点，，连接交于点．下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（24-25七年级下·广东湛江·期末）如图所示，在中，为边上的中线，若，，则的周长比的周长多__________． 10．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）命题“同旁内角互补”的题设是______，结论是______，这是一个______命题（填“真”或“假”）． 11．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）已知的三边长为3，，6，的周长为16，若，则的值为________________． 12．（25-26七年级下·四川达州·期中）如图，在中，是边上的高，平分交于点E，，，则_______． 13．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，是的角平分线，于点，是的中线，动点在边上，连接．若，的面积是3，则的最小值为______________． 14．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，某社区公园的平面示意图为一个三角形区域，A为公园主入口．已知米，，为方便居民活动，计划在的平分线上设置一个便民服务站D（D在边上）；在和边上分别选取安装点E、F，要求；沿、铺设两条智能照明步道，已知步道建设成本为每米400元，为节省经费，这两条步道总建设费用的最小值为_______元． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.（8分）（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，已知，点分别在上，且．求证：． 16.（8分）（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，于点D． （1）尺规作图：作的平分线，分别交、于点（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 17.（8分）（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求度数． 18.（8分）（25-26七年级下·北京·期末）如图，点，分别在的，边上，，依次为延长线上两点，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数，并直接写出当_____时，． 19.（8分）（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，，；有如下条件：①；②． （1）从①②中选一个作为已知条件，求证：； （2）若，，求点到点的距离． 20.（8分）（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）某乡村规划山地休闲游园，如图，地块形如三角形的山地，中间有湖泊，三边划分功能区：边为绿地，长为4千米，边为临溪护栏，长为2千米，边为山间土路．在土路的中点处修建观景驿站，同时修建索道，连接地块顶点与驿站． （1）直接写出山间土路边长的取值范围_________； （2）在中，延长到点，使，连接，与全等吗？请说明理由； （3）在（2）的条件下，求索道长度的取值范围． 21.（10分）（25-26八年级上·海南·期中）在艺术工作室里，设计师用两个等腰三角形和创作几何艺术装置．其中，，，交于点．请你解决以下关于这个艺术装置的几何问题 （1）直角风格的装置 如图，当时，求证：，； （2）六十度风格的装置 如图，当时，求的度数； （3）猜想：任意顶角的装置 当时，的度数为________（直接用含的式子表示） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 三角形单元自测培优卷 考试时间：45分钟　　满分：100分 适用：浙教版八年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）一个三角形的两边长分别为和，若第三条边的长为，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，即可得到正确答案． 解： 三角形的两边长分别为和，第三边长为， ， ， 选项中只有在该范围内，满足条件 2．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 【答案】A 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用和三角形中线的定义可判断C选项的正确；利用平分和角平分线的定义即可判断出B选项的正确；由三角形的高线的定义，可判断D选项的正确；利用角平分线的定义只能得到，但没有办法得到，可判断出A选项错误． 解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故C正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意； ∵平分， ∴． 但没有办法得到，故A错误，符合题意． 故选：A． 3．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）如图，，添加下列条件后仍不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理求解即可．解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：，，，，；和无法判定三角形全等． 解：∵， A、若添加条件，利用可以判定，故不符合题意； B、若添加条件，不能判定，故符合题意； C、若添加条件，利用可以判定，故不符合题意； D、若添加条件，利用可以判定，故不符合题意； 故选：B． 4．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）如图，把长方形纸片纸沿对角线折叠，设重叠部分为，那么，有下列说法：①是等腰三角形 ②折叠后和一定相等 ③折叠后得到的图形是轴对称图形 ④和一定是全等三角形，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据长方形的性质得到，，再由对顶角相等可得，推出，根据等腰三角形的性质即可得到结论，依此可得正确，无法判断和是否相等，此题考查了图形的翻折变换，解题的关键是正确理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． 解：∵四边形是长方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故正确； 折叠后得到的图形是轴对称图形，故正确； 无法判断和相等，故错误； 则有正确， 故选：． 5．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，把一块直角三角板放置在直线、之间，点B、C分别落在直线、上，若，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质以及直角三角形两锐角互余的性质，建立角度之间的等量关系进行求解． 解：∵， ∴， 由图可知，， ∴， ∵为直角三角板，， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知，证明，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可． 解：由作图可知，，设交于点，则：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴的周长为； 故选B 7．（2026·山东烟台·中考真题）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可． 解：第一个图为尺规作角平分线的方法，为的平分线； 第二个图，由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线； 第三个图，由作图可知， ∴，， ∴ ∴， ∴为的平分线； 第四个图，由作图可知：，， ∴为的平分线； 故选D． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，，过点作于点，以为斜边作直角，，点为上一点，，连接交于点．下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了三线合一定理，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，由三线合一定理可得，再由已知条件可判断①；延长至点使得连接，可证明垂直平分，得到，则可证明，得到，，据此可判断②④；根据现有条件无法证明，据此可判断③． 解： ∴， ∵， ∴，故①正确； 如图所示，延长至点使得连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，故②正确； ∵， ∴，故④正确； 根据现有条件，无法证明，故③错误； 故选：B． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（24-25七年级下·广东湛江·期末）如图所示，在中，为边上的中线，若，，则的周长比的周长多__________． 【答案】2 【分析】根据三角形的周长的计算方法得到的周长和的周长的差就是与的差． 解：∵是中边上的中线， ∴， ∴ ． 10．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）命题“同旁内角互补”的题设是______，结论是______，这是一个______命题（填“真”或“假”）． 【答案】 两个角是同旁内角 这两个角互补 假 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式，有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 解：命题中，已知的事项是“两个角是同旁内角”， 由已知事项推出的事项是“这两个角互补”，所以“两个角是同旁内角”是命题的题设部分，“这两个角互补”是命题的结论部分，这是一个假命题， 故答案为：两个角是同旁内角，这两个角互补，假． 11．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）已知的三边长为3，，6，的周长为16，若，则的值为________________． 【答案】6 【分析】根据全等三角形的性质可得和的周长相等，再根据三角形的周长公式建立方程，解方程即可得． 解：∵，且的周长为16， ∴的周长为16， ∵的三边长为3，，6， ∴， 解得：， 当时，三角形三边长为3，7，6， ∵，满足任意两边之和大于第三边， ∴符合题意． 12．（25-26七年级下·四川达州·期中）如图，在中，是边上的高，平分交于点E，，，则_______． 【答案】20 【分析】由角平分线的定义可得，由三角形内角和定理求出，从而即可得出结果． 解：∵平分交于点E， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴． 13．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，是的角平分线，于点，是的中线，动点在边上，连接．若，的面积是3，则的最小值为______________． 【答案】2 【分析】因为是的中线，所以和面积相等，可先求出的面积．已知的面积和的长度，结合，用三角形面积公式可求出的长度．因为是角平分线，根据角平分线的性质，点D到和的距离相等，可得D到的距离等于．因为G在上，根据垂线段最短，的最小值即为D到的距离． 解：∵是的中线，， ∴． ∵ ，，， ∴ ， 解得． ∵ 是的角平分线， ∴点到的距离等于． 又∵点在上， ∴的最小值就是点到的距离， 即． 14．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，某社区公园的平面示意图为一个三角形区域，A为公园主入口．已知米，，为方便居民活动，计划在的平分线上设置一个便民服务站D（D在边上）；在和边上分别选取安装点E、F，要求；沿、铺设两条智能照明步道，已知步道建设成本为每米400元，为节省经费，这两条步道总建设费用的最小值为_______元． 【答案】240000 【分析】线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接、，则，，由角平分线的定义证得，进而证得，得，可得当点A、F、三点共线时，的值最小，最小值为，再根据等边三角形的判定与性质求解即可． 解：线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接、，则，， ∵，， ∴，， ， ∵平分， ， ， 又， ∴， ， ， ∴当点A、F、三点共线时，的值最小，最小值为， ∵，， 是等边三角形， ， ∵步道建设成本为每米400元， ∴这两条步道总建设费用的最小值为元， 故答案为：240000． 【点拨】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形的三边关系，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.（8分）（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，已知，点分别在上，且．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】根据三角形的内角和求出，再由“同旁内角互补，两直线平行”进行求解即可． 解：略 16.（8分）（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，于点D． （1）尺规作图：作的平分线，分别交、于点（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据角平分线的作法画出图形即可； （2）由三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，再根据三角形内角和定理和对顶角的性质解答即可． 解：（1）略 （2）解：∵，， ， 平分， ， ， ， ∴． 17.（8分）（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求度数． 【答案】（1）证明：∵，即， 在与中， ， ∴， ∴； （2） 【分析】（1）证明，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，，再由三角形内角和定理可得的度数，即可求解． 解：（1）略 （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴． 18.（8分）（25-26七年级下·北京·期末）如图，点，分别在的，边上，，依次为延长线上两点，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数，并直接写出当_____时，． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）， 【分析】（1）先结合，得，又因为，，即可证明； （2）运用全等三角形的性质得，再结合对顶角相等，三角形内角和性质得，根据，故，最后运用三角形外角性质列式计算，即可作答． 解：（1）略 （2）解：由（1）得， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∴（三角形外角性质） 19.（8分）（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，，；有如下条件：①；②． （1）从①②中选一个作为已知条件，求证：； （2）若，，求点到点的距离． 【答案】（1）选择①， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； 选择②， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）8 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，等边三角形的判定和性质． （1）选择①，根据可证明；选择②，根据可证明； （2）根据平行线的性质得，再由，得是等边三角形，即可得的长． 解：（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即点到点的距离为8． 20.（8分）（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）某乡村规划山地休闲游园，如图，地块形如三角形的山地，中间有湖泊，三边划分功能区：边为绿地，长为4千米，边为临溪护栏，长为2千米，边为山间土路．在土路的中点处修建观景驿站，同时修建索道，连接地块顶点与驿站． （1）直接写出山间土路边长的取值范围_________； （2）在中，延长到点，使，连接，与全等吗？请说明理由； （3）在（2）的条件下，求索道长度的取值范围． 【答案】（1）；（2），理由如下： ∵点是的中点， ∴， 在与中， ， ； （3） 【分析】（1）根据三角形三边关系确定第三边范围即可； （2）利用证明三角形全等即可； （3）先求出，在中，根据得出结论即可； （1）解：∵在中，， ∴，即； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 21.（10分）（25-26八年级上·海南·期中）在艺术工作室里，设计师用两个等腰三角形和创作几何艺术装置．其中，，，交于点．请你解决以下关于这个艺术装置的几何问题 （1）直角风格的装置 如图，当时，求证：，； （2）六十度风格的装置 如图，当时，求的度数； （3）猜想：任意顶角的装置 当时，的度数为________（直接用含的式子表示） 【答案】（1）证明：设、交于点， ， ，即． 在与中， ， ， ，． ， ． ， ， ， ； （2） （3） 【分析】（1）由，可得，证明，得到，，结合，即可得出结论； （2）由，可得，证明，得到，结合，即可解答； （3）根据（2）中的方法进行解答即可． 解：（1）略 （2）解：设、交于点， ， ，即． 在与中， ， ． ，，， ； （3）解：， ，即． 在与中， ， ． ，，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $