周周练09 第3章圆综合训练（数学新教材苏科版九年级上册）

**基本信息** 聚焦圆的综合应用，通过点与圆位置关系（选择1）、地球经纬度情境（填空12）、切线证明与动态最值（解答19、26），构建基础巩固到创新应用的梯度，体现几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|圆的位置关系、内接四边形性质|基础概念辨析，强化抽象能力| |填空题|10/20|圆周角、正多边形、实际情境应用|结合地球经纬度等情境，发展几何直观| |解答题|8/64|切线证明、阴影面积计算、动态最值问题|综合切线性质与函数思想，提升推理能力与创新意识|

2026-2027学年九年级上学期数学周周测09 第三章圆综合训练 时间：45分钟 分值：70分 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外，OP的长可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题． 【解答】解：∵O的半径为4，点P在⊙O外， ∴OP＞4， 故选：D． 【点评】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围． 2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝130°，则∠C的度数为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 【分析】根据圆的内接四边形的性质求解即可． 【解答】解：∵∠A＝130°，四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣130°＝50°． 故选：D． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 3．已知⊙O的半径r为3cm，圆心O到直线l的距离d为4cm，直线l与⊙O的公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对 【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和⊙O相离，然后根据相离的定义对各选项进行判断． 【解答】解：∵⊙O的半径r为3cm，圆心O到直线l的距离d为4cm， 即圆心O到直线l的距离大于圆的半径， ∴直线l和⊙O相离， ∴直线l与⊙O没有公共点． 故选：A． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则当直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r． 4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB＝AD，BE是直径，若∠A＝70°，则∠ABE的度数为（　　） A．55° B．40° C．38° D．35° 【分析】连接BD、ED，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠ABD，根据圆周角定理得到∠BDE＝90°，∠E＝∠A＝70°，根据直角三角形的性质求出∠EBD，计算即可． 【解答】解：如图，连接BD、ED， ∵AB＝AD，∠A＝70°， ∴∠ABD＝∠ADB（180°﹣70°）＝55°， ∵BE是⊙O的直径， ∴∠BDE＝90°， 由圆周角定理得：∠E＝∠A＝70°， ∴∠EBD＝90°﹣70°＝20°， ∴∠ABE＝55°﹣20°＝35°， 故选：D． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、掌握圆周角定理是解题的关键． 5．如图，⊙O经过正方形ABCD的两个顶点A，B，且与边CD相切，切点为E．记正方形ABCD的周长为a，⊙O的周长为b，则a与b的大小关系是（　　） A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定 【分析】连接OE、OA，EO的延长线交AB于F点，如图，先利用切线的性质得到OE⊥CD，则EF⊥AB，根据垂径定理得到AF＝BF，易得四边形BCEF为矩形，所以EF＝BC，设⊙O的半径为r，正方形ABCD的边长为2x，则AF＝x，OA＝r，OF＝2x﹣r，在Rt△OAF中利用勾股定理得到（2x﹣r）2+x2＝r2，所以xr，然后计算出ar，b＝2πr，从而得到a＞b． 【解答】解：连接OE、OA，EO的延长线交AB于F点，如图， ∵⊙O与边CD相切于E点， ∴OE⊥CD， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB∥CD，∠B＝∠C＝90°， ∴EF⊥AB， ∴AF＝BF， ∵∠B＝∠C＝∠BFE＝∠CEF＝90°， ∴四边形BCEF为矩形， ∴EF＝BC， 设⊙O的半径为r，正方形ABCD的边长为2x，则AF＝x，OA＝r，OF＝EF﹣OE＝BC﹣OE＝2x﹣r， 在Rt△OAF中，（2x﹣r）2+x2＝r2， 解得xr， ∵a＝8xr，b＝2πr， ∴a＞b． 故选：A． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了正方形的性质． 6．物理实验课上，分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小丽发现重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变．已知滑轮的半径为6cm，当滑轮上点A转过的度数为30°时，重物上升了（　　） A． B．πcm C．3πcm D．6πcm 【分析】利用弧长公式进行计算即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为滑轮的半径为6cm， 所以滑轮上点A转过的度数为30°时，所对应的弧长为：π（cm）， 即重物上升了π cm． 故选：B． 【点评】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键． 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 7．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝25°，则∠BDC的度数为　65　 °． 【分析】由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，而∠ABC＝25°，则∠CAB＝90°﹣∠ABC＝65°，然后由所对应的圆周角相等即可得到答案． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝25°， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝65°， 又∵所对应的圆周角相等， ∴∠CAB＝∠BDC＝65°． 故答案为：65． 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 8．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，求∠ABD的度数　72°　 ． 【分析】连接AO、DO，根据正五边形的性质求出∠AOD，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半列式计算即可得解． 【解答】解：如图，连接AO、DO， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴， ∴． 故答案为：72°． 【点评】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，熟记定理并作辅助线构造出弧AD所对的圆心角是解题的关键． 9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝35°，则∠A的度数等于　55°　 ． 【分析】利用⊙O是△ABC的外接圆，可得BO＝CO，再根据等腰三角形底角相等和三角形的内角和为180°，可求得∠BOC的大小，最后再利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可解答． 【解答】解：如图：⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝35°，连接BO，则BO＝CO， ∴∠OCB＝∠OBC＝35°， ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣35°﹣35°＝110°， 根据圆周角定理可知，． 故答案为：55°． 【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键． 10．如图是地球的示意图，其中AB和CD分别表示赤道和南回归线，∠DOB＝23.5°，常州市某处E位于北纬31.5°（即∠EOB＝31.5°）．冬至日正午时，太阳光线FD所在直线经过地心O，此时E处的太阳高度角∠GEH（即平行于FD的光线GE与⊙O的切线EH所夹的锐角）的大小为　35　 °． 【分析】先根据平行线的性质可得∠EOF+∠GEO＝180°，求出∠GEO＝125°，再结合EH是⊙O的切线，即∠OEH＝90°．即可得出∠GEH＝∠OEG﹣∠OEH＝35°． 【解答】解：∵∠DOB＝23.5°，∠EOB＝31.5°， ∴∠EOF＝∠DOB+∠EOB＝23.5°+31.5°＝55°， ∵FD∥EG， ∴∠EOF+∠GEO＝180°， ∴∠GEO＝180°﹣55°＝125°， 又∵EH是⊙O的切线， ∴∠OEH＝90°， ∴∠GEH＝∠OEG﹣∠OEH＝125°﹣90°＝35°， 故答案为：35． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质、切线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键． 11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠ADC＝110°，则∠BEC的度数为　20°　 ． 【分析】连接OC，根据圆内接四边形的性质求出∠CBO＝70°，根据OB＝OC，可得∠BCO＝∠CBO＝70°，然后根据三角形的内角和定理求出∠BOC＝40°，最后根据圆周角定理即可求解． 【解答】解：如图，连接OC， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝110°， ∴∠CBO＝180°﹣∠ADC＝180°﹣110°＝70°， ∵OB＝OC， ∴∠BCO＝∠CBO＝70°， ∴∠BOC＝180°﹣∠BCO﹣∠CBO＝40°， ∵， ∴， 故答案为：20°． 【点评】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质． 12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAC＝∠CAD＝45°，⊙O的半径是，连接DB，则弦BC长为　2　 ． 【分析】由圆周角定理得∠BDC＝∠BAC＝45°，∠CBD＝∠CAD＝45°，则∠BDC＝∠CBD，∠DCB＝90°，所以DC＝BC，DB是⊙O的直径，由⊙O的半径是，得DB＝2，由DBBC＝2，求得BC＝2，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵∠BAC＝∠CAD＝45°， ∴∠BDC＝∠BAC＝45°，∠CBD＝∠CAD＝45°， ∴∠BDC＝∠CBD，∠DCB＝180°﹣∠BDC﹣∠CBD＝90°， ∴DC＝BC，DB是⊙O的直径， ∵⊙O的半径是， ∴DB＝2， ∴DBBC＝2， ∴BC＝2， 故答案为：2． 【点评】此题重点考查圆周角定理、90°的圆周角所对的弦是直径、勾股定理等知识，推导出∠DCB＝90°，DC＝BC是解题的关键． 13．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为　20°　 ． 【分析】连接OC，由点I是△ABC的内心可得AI平分∠BAC，根据角平分线的定义可得∠BAC＝2∠CAI＝70°，根据圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC＝140°，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【解答】解：如图，连接OC， ∵点I是△ABC的内心， ∴AI平分∠BAC， ∵∠CAI＝35°， ∴∠BAC＝2∠CAI＝2×35°＝70°， ∵点O是△ABC外接圆的圆心， ∴∠BOC＝2∠BAC＝2×70°＝140°， ∵OB＝OC， ∴． 故答案为：20°． 【点评】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 14．如图，在等边△ABC中，AB＝2，D是边AB的中点，以点C为圆心，CD的长为半径作圆，交边AC于点E，交边BC于点F，则图中阴影部分的面积为　　 （结果保留根号和π）． 【分析】连接CD，根据阴影面积等于S△ABC﹣S扇形ECF求解即可． 【解答】解：连接CD， ∵在等边△ABC中，AB＝2，D是边AB的中点， ∴AB＝BC＝CA＝2，，CD⊥AB，∠ACB＝60°， ∴∴， 阴影部分的面积为： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的性质，关键是相关知识的熟练掌握． 三．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分） 15．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，CE⊥AB，垂足为E． （1）求证：CA平分∠DCE． （2）若∠DCA＝25°，AB＝6，求的长． 【分析】（1）连接OC，如图，先根据切线的性质得到∠OCD＝90°，即∠OCA+∠DCA＝90°，由于∠ECA+∠OAC＝90°，∠OCA＝∠OAC，则∠DCA＝∠ECA， 从而得到CA平分∠DCE； （2）先由（1）的结论得到∠DCA＝∠ECA＝25°，再利用互余计算出∠OCE＝40°，所以∠COE＝50°，然后根据弧长求解． 【解答】（1）证明：连接OC，如图， ∵CD为⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD＝90°， 即∠OCA+∠DCA＝90°， ∵CE⊥AB， ∴∠AEC＝90°， ∴∠ECA+∠OAC＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠DCA＝∠ECA， ∴CA平分∠DCE； （2）解：∵∠DCA＝∠ECA＝25°， ∴∠OCE＝90°﹣25°﹣25°＝40°， ∴∠COE＝90°﹣40°＝50°， ∴的长度π． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和弧长公式． 16．（10分）如图，BC是⊙O的直径，且BC＝4，D为上一动点（不与点B、C重合）过点C作⊙O的切线交BD延长线于点A，E为AC中点，连接DE． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若∠A＝30°，求阴影部分的面积． 【分析】（1）由等边对等角得到∠OCD＝∠ODC，由直径所对的圆周角是直角推出∠ADC＝90°，则由直角三角形的性质和等边对等角推出∠EDC＝∠ECD，根据切线的性质得到∠OCD+∠ECD＝90°，则∠ODE＝∠ODC+∠EDC＝90°，据此可证明结论； （2）可证明OE是△ABC的中位线，推出∠OEC＝∠A＝30°，则OE＝2OC＝BC＝4，进而求出，可证明∠COD＝120°根据S阴影＝S四边形DOCE﹣S扇形COD求解即可． 【解答】（1）证明：如图，BC是⊙O的直径，连接OD，CD，则OC＝OD， ∴∠BDC＝90°，∠OCD＝∠ODC； ∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝90°， ∵E为AC中点， ∴ED＝EC， ∴∠EDC＝∠ECD； ∵AC是⊙O的切线， ∴∠ACB＝90°， ∴∠OCD+∠ECD＝90°， ∴∠ODE＝∠ODC+∠EDC＝90°， ∴OD⊥DE， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：如图2，点O和点E分别是BC，AC的中点，连接OC，OD，OE， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE∥AB， ∴∠OEC＝∠A＝30°， ∴OE＝2OC＝BC＝4， 在直角三角形COE中，由勾股定理得：CE， 在直角三角形DOE中，由勾股定理得：DE2， ∴S四边形DOCE＝S△OCE+S△ODE2×22×24； ∵∠B＝90°﹣∠A＝60°， ∴∠COD＝2∠B＝120°， ∴S扇形COD， ∴S阴影＝S四边形DOCE﹣S扇形COD． 【点评】本题主要考查了切线的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测09 第三章圆综合训练 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外，OP的长可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝130°，则∠C的度数为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 3．已知⊙O的半径r为3cm，圆心O到直线l的距离d为4cm，直线l与⊙O的公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对 4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB＝AD，BE是直径，若∠A＝70°，则∠ABE的度数为（　　） A．55° B．40° C．38° D．35° 5．如图，⊙O经过正方形ABCD的两个顶点A，B，且与边CD相切，切点为E．记正方形ABCD的周长为a，⊙O的周长为b，则a与b的大小关系是（　　） A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定 6．物理实验课上，分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小丽发现重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变．已知滑轮的半径为6cm，当滑轮上点A转过的度数为30°时，重物上升了（　　） A． B．πcm C．3πcm D．6πcm 7．如图，从一张圆形纸片上剪出一个小圆形和一个扇形分别作为圆锥的底面和侧面，其中小圆的直径是大圆的半径．下列剪法恰好能配成一个圆锥的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，AB为⊙O直径，C为圆上一点，I为△ABC 内心，AI交⊙O于D，OI⊥AD 于I，若CD＝4，则AC为（　　） A． B． C． D．5 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝25°，则∠BDC的度数为　 　 °． 10．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，求∠ABD的度数　 　 ． 11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝35°，则∠A的度数等于　 　 ． 12．如图是地球的示意图，其中AB和CD分别表示赤道和南回归线，∠DOB＝23.5°，常州市某处E位于北纬31.5°（即∠EOB＝31.5°）．冬至日正午时，太阳光线FD所在直线经过地心O，此时E处的太阳高度角∠GEH（即平行于FD的光线GE与⊙O的切线EH所夹的锐角）的大小为　 　 °． 13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠ADC＝110°，则∠BEC的度数为　 　 ． 14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAC＝∠CAD＝45°，⊙O的半径是，连接DB，则弦BC长为　 　 ． 15．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为　 　 ． 16．如图，在等边△ABC中，AB＝2，D是边AB的中点，以点C为圆心，CD的长为半径作圆，交边AC于点E，交边BC于点F，则图中阴影部分的面积为　 　 （结果保留根号和π）． 17．如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E．若BC＝12，∠A＝60°，则的长为　 　 ． 18．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，BC是⊙O的直径．若 PA＝BC＝2，则AC的长为　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，CE⊥AB，垂足为E． （1）求证：CA平分∠DCE． （2）若∠DCA＝25°，AB＝6，求的长． 20．（8分）如图，BC是⊙O的直径，且BC＝4，D为上一动点（不与点B、C重合）过点C作⊙O的切线交BD延长线于点A，E为AC中点，连接DE． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若∠A＝30°，求阴影部分的面积． 21．（8分）如图，在▱ABCD中，过A，B，C三点的⊙O交AD于点E． （1）求证：CE＝CD； （2）若点E为中点，AB＝4，BC＝6，求⊙O的半径． 22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB． （1）求证：DC为⊙O的切线． （2）连接BC，若∠DAC＝30°，，求⊙O的半径． 23．（8分）按要求在▱ABCD中作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在图1中，仅用无刻度直尺和圆规，作菱形BEDF，点E和F分别在边CD和AB上； （2）在图2中，点P和Q分别在边AD和CD上，仅用无刻度直尺，作▱PQMN，点M和N分别在边BC和AB上． 24．（8分）如图，AB为⊙O直径，点C为⊙O上一点，AC平分∠HAB，AH⊥CH，垂足为H，AH交⊙O于点D． （1）求证：直线HC是⊙O的切线； （2）若HC＝8，DH＝4，求⊙O的直径． 25．（8分）四边形ABCD如图所示． （1）尺规作图：分别在AB，CD，AD边上作点E，F，G，使四边形AEFG是菱形；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若∠BAD＝60°，∠ADC＝90°，，则菱形AEFG的面积为　 　 ． 26．（8分）已知，如图：⊙O的半径，弦AB＝14，点C在AB，上CD⊥AB交⊙O于点D． （1）若BC＝4，求线段CD的长； （2）若点C在弦AB上运动，则AC+CD的最大值　 　 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测09 第三章圆综合训练 时间：45分钟 分值：70分 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外，OP的长可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝130°，则∠C的度数为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 3．已知⊙O的半径r为3cm，圆心O到直线l的距离d为4cm，直线l与⊙O的公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对 4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB＝AD，BE是直径，若∠A＝70°，则∠ABE的度数为（　　） A．55° B．40° C．38° D．35° 5．如图，⊙O经过正方形ABCD的两个顶点A，B，且与边CD相切，切点为E．记正方形ABCD的周长为a，⊙O的周长为b，则a与b的大小关系是（　　） A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定 6．物理实验课上，分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小丽发现重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变．已知滑轮的半径为6cm，当滑轮上点A转过的度数为30°时，重物上升了（　　） A． B．πcm C．3πcm D．6πcm 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 7．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝25°，则∠BDC的度数为　 　 °． 8．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，求∠ABD的度数　 　 ． 9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝35°，则∠A的度数等于　 　 ． 10．如图是地球的示意图，其中AB和CD分别表示赤道和南回归线，∠DOB＝23.5°，常州市某处E位于北纬31.5°（即∠EOB＝31.5°）．冬至日正午时，太阳光线FD所在直线经过地心O，此时E处的太阳高度角∠GEH（即平行于FD的光线GE与⊙O的切线EH所夹的锐角）的大小为　 　 °． 11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠ADC＝110°，则∠BEC的度数为　 　 ． 12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAC＝∠CAD＝45°，⊙O的半径是，连接DB，则弦BC长为　 　 ． 13．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为　 　 ． 14．如图，在等边△ABC中，AB＝2，D是边AB的中点，以点C为圆心，CD的长为半径作圆，交边AC于点E，交边BC于点F，则图中阴影部分的面积为　 　 （结果保留根号和π）． 三．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分） 15．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，CE⊥AB，垂足为E． （1）求证：CA平分∠DCE． （2）若∠DCA＝25°，AB＝6，求的长． 16．（10分）如图，BC是⊙O的直径，且BC＝4，D为上一动点（不与点B、C重合）过点C作⊙O的切线交BD延长线于点A，E为AC中点，连接DE． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若∠A＝30°，求阴影部分的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测09 第三章圆综合训练 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外，OP的长可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题． 【解答】解：∵O的半径为4，点P在⊙O外， ∴OP＞4， 故选：D． 【点评】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围． 2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝130°，则∠C的度数为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 【分析】根据圆的内接四边形的性质求解即可． 【解答】解：∵∠A＝130°，四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣130°＝50°． 故选：D． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 3．已知⊙O的半径r为3cm，圆心O到直线l的距离d为4cm，直线l与⊙O的公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对 【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和⊙O相离，然后根据相离的定义对各选项进行判断． 【解答】解：∵⊙O的半径r为3cm，圆心O到直线l的距离d为4cm， 即圆心O到直线l的距离大于圆的半径， ∴直线l和⊙O相离， ∴直线l与⊙O没有公共点． 故选：A． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则当直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r． 4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB＝AD，BE是直径，若∠A＝70°，则∠ABE的度数为（　　） A．55° B．40° C．38° D．35° 【分析】连接BD、ED，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠ABD，根据圆周角定理得到∠BDE＝90°，∠E＝∠A＝70°，根据直角三角形的性质求出∠EBD，计算即可． 【解答】解：如图，连接BD、ED， ∵AB＝AD，∠A＝70°， ∴∠ABD＝∠ADB（180°﹣70°）＝55°， ∵BE是⊙O的直径， ∴∠BDE＝90°， 由圆周角定理得：∠E＝∠A＝70°， ∴∠EBD＝90°﹣70°＝20°， ∴∠ABE＝55°﹣20°＝35°， 故选：D． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、掌握圆周角定理是解题的关键． 5．如图，⊙O经过正方形ABCD的两个顶点A，B，且与边CD相切，切点为E．记正方形ABCD的周长为a，⊙O的周长为b，则a与b的大小关系是（　　） A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定 【分析】连接OE、OA，EO的延长线交AB于F点，如图，先利用切线的性质得到OE⊥CD，则EF⊥AB，根据垂径定理得到AF＝BF，易得四边形BCEF为矩形，所以EF＝BC，设⊙O的半径为r，正方形ABCD的边长为2x，则AF＝x，OA＝r，OF＝2x﹣r，在Rt△OAF中利用勾股定理得到（2x﹣r）2+x2＝r2，所以xr，然后计算出ar，b＝2πr，从而得到a＞b． 【解答】解：连接OE、OA，EO的延长线交AB于F点，如图， ∵⊙O与边CD相切于E点， ∴OE⊥CD， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB∥CD，∠B＝∠C＝90°， ∴EF⊥AB， ∴AF＝BF， ∵∠B＝∠C＝∠BFE＝∠CEF＝90°， ∴四边形BCEF为矩形， ∴EF＝BC， 设⊙O的半径为r，正方形ABCD的边长为2x，则AF＝x，OA＝r，OF＝EF﹣OE＝BC﹣OE＝2x﹣r， 在Rt△OAF中，（2x﹣r）2+x2＝r2， 解得xr， ∵a＝8xr，b＝2πr， ∴a＞b． 故选：A． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了正方形的性质． 6．物理实验课上，分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小丽发现重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变．已知滑轮的半径为6cm，当滑轮上点A转过的度数为30°时，重物上升了（　　） A． B．πcm C．3πcm D．6πcm 【分析】利用弧长公式进行计算即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为滑轮的半径为6cm， 所以滑轮上点A转过的度数为30°时，所对应的弧长为：π（cm）， 即重物上升了π cm． 故选：B． 【点评】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键． 7．如图，从一张圆形纸片上剪出一个小圆形和一个扇形分别作为圆锥的底面和侧面，其中小圆的直径是大圆的半径．下列剪法恰好能配成一个圆锥的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据圆锥的底面圆的周长等于扇形弧长，只要图形中两者相等即可配成一个圆锥体，求出圆心角即可． 【解答】解：设大圆的半径为R，则小圆的半径都为R， 根据圆锥的底面圆的周长等于扇形弧长，只要图形中两者相等即可配成一个圆锥体， ∴圆锥的底面圆的周长等于2πR＝πR， 扇形弧长为：πR， ∴n＝180°， ∴扇形圆心角等于180°， 故只有D选项符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了圆锥的计算，得出圆锥的底面圆的周长等于扇形弧长是解决问题的关键． 8．如图，AB为⊙O直径，C为圆上一点，I为△ABC 内心，AI交⊙O于D，OI⊥AD 于I，若CD＝4，则AC为（　　） A． B． C． D．5 【分析】连接BD、CD、BI，由已知可得BD＝CD＝4，进而可证ID＝BD＝4，勾股定理计算AB，连接OD交BC于点E，则OD⊥BC，设DE＝x，利用OB2﹣OE2＝BD2﹣DE2求x，再利用勾股定理求AC即可． 【解答】解：连接BD、CD、BI， ∵I为△ABC 内心， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI， ∴， ∴BD＝CD＝4， ∵∠DBI＝∠DBC+∠CBI＝∠DAC+∠CBI＝∠DAB+∠ABI＝∠BID， ∴ID＝BD＝4， ∵OI⊥AD， ∴AD＝2ID＝8， ∴AB， 连接OD交BC于点E，则OD⊥BC， 设DE＝x，则OEAB﹣x＝2x， ∵OB2﹣OE2＝BD2﹣DE2， ∴（2）2﹣（2x）2＝42﹣x2， 解得：x， ∴BE， ∴BC＝2BE， ∵AB为⊙O直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AC， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，三垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质，等知识点的应用，正确作出辅助线后求出AD＝2BD是解此题的关键，有一定的难度． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝25°，则∠BDC的度数为　65　 °． 【分析】由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，而∠ABC＝25°，则∠CAB＝90°﹣∠ABC＝65°，然后由所对应的圆周角相等即可得到答案． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝25°， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝65°， 又∵所对应的圆周角相等， ∴∠CAB＝∠BDC＝65°． 故答案为：65． 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 10．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，求∠ABD的度数　72°　 ． 【分析】连接AO、DO，根据正五边形的性质求出∠AOD，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半列式计算即可得解． 【解答】解：如图，连接AO、DO， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴， ∴． 故答案为：72°． 【点评】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，熟记定理并作辅助线构造出弧AD所对的圆心角是解题的关键． 11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝35°，则∠A的度数等于　55°　 ． 【分析】利用⊙O是△ABC的外接圆，可得BO＝CO，再根据等腰三角形底角相等和三角形的内角和为180°，可求得∠BOC的大小，最后再利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可解答． 【解答】解：如图：⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝35°，连接BO，则BO＝CO， ∴∠OCB＝∠OBC＝35°， ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣35°﹣35°＝110°， 根据圆周角定理可知，． 故答案为：55°． 【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键． 12．如图是地球的示意图，其中AB和CD分别表示赤道和南回归线，∠DOB＝23.5°，常州市某处E位于北纬31.5°（即∠EOB＝31.5°）．冬至日正午时，太阳光线FD所在直线经过地心O，此时E处的太阳高度角∠GEH（即平行于FD的光线GE与⊙O的切线EH所夹的锐角）的大小为　35　 °． 【分析】先根据平行线的性质可得∠EOF+∠GEO＝180°，求出∠GEO＝125°，再结合EH是⊙O的切线，即∠OEH＝90°．即可得出∠GEH＝∠OEG﹣∠OEH＝35°． 【解答】解：∵∠DOB＝23.5°，∠EOB＝31.5°， ∴∠EOF＝∠DOB+∠EOB＝23.5°+31.5°＝55°， ∵FD∥EG， ∴∠EOF+∠GEO＝180°， ∴∠GEO＝180°﹣55°＝125°， 又∵EH是⊙O的切线， ∴∠OEH＝90°， ∴∠GEH＝∠OEG﹣∠OEH＝125°﹣90°＝35°， 故答案为：35． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质、切线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键． 13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠ADC＝110°，则∠BEC的度数为　20°　 ． 【分析】连接OC，根据圆内接四边形的性质求出∠CBO＝70°，根据OB＝OC，可得∠BCO＝∠CBO＝70°，然后根据三角形的内角和定理求出∠BOC＝40°，最后根据圆周角定理即可求解． 【解答】解：如图，连接OC， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝110°， ∴∠CBO＝180°﹣∠ADC＝180°﹣110°＝70°， ∵OB＝OC， ∴∠BCO＝∠CBO＝70°， ∴∠BOC＝180°﹣∠BCO﹣∠CBO＝40°， ∵， ∴， 故答案为：20°． 【点评】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质． 14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAC＝∠CAD＝45°，⊙O的半径是，连接DB，则弦BC长为　2　 ． 【分析】由圆周角定理得∠BDC＝∠BAC＝45°，∠CBD＝∠CAD＝45°，则∠BDC＝∠CBD，∠DCB＝90°，所以DC＝BC，DB是⊙O的直径，由⊙O的半径是，得DB＝2，由DBBC＝2，求得BC＝2，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵∠BAC＝∠CAD＝45°， ∴∠BDC＝∠BAC＝45°，∠CBD＝∠CAD＝45°， ∴∠BDC＝∠CBD，∠DCB＝180°﹣∠BDC﹣∠CBD＝90°， ∴DC＝BC，DB是⊙O的直径， ∵⊙O的半径是， ∴DB＝2， ∴DBBC＝2， ∴BC＝2， 故答案为：2． 【点评】此题重点考查圆周角定理、90°的圆周角所对的弦是直径、勾股定理等知识，推导出∠DCB＝90°，DC＝BC是解题的关键． 15．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为　20°　 ． 【分析】连接OC，由点I是△ABC的内心可得AI平分∠BAC，根据角平分线的定义可得∠BAC＝2∠CAI＝70°，根据圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC＝140°，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【解答】解：如图，连接OC， ∵点I是△ABC的内心， ∴AI平分∠BAC， ∵∠CAI＝35°， ∴∠BAC＝2∠CAI＝2×35°＝70°， ∵点O是△ABC外接圆的圆心， ∴∠BOC＝2∠BAC＝2×70°＝140°， ∵OB＝OC， ∴． 故答案为：20°． 【点评】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 16．如图，在等边△ABC中，AB＝2，D是边AB的中点，以点C为圆心，CD的长为半径作圆，交边AC于点E，交边BC于点F，则图中阴影部分的面积为　　 （结果保留根号和π）． 【分析】连接CD，根据阴影面积等于S△ABC﹣S扇形ECF求解即可． 【解答】解：连接CD， ∵在等边△ABC中，AB＝2，D是边AB的中点， ∴AB＝BC＝CA＝2，，CD⊥AB，∠ACB＝60°， ∴∴， 阴影部分的面积为： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的性质，关键是相关知识的熟练掌握． 17．如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E．若BC＝12，∠A＝60°，则的长为　2π　 ． 【分析】令半圆的圆心为O，连接BE，OD，OE，结合∠A的度数得出∠ABE的度数，进一步得出∠DOE的度数，最后结合弧长的公式即可解决问题． 【解答】解：令半圆的圆心为O，连接BE，OD，OE， ∵BC是半圆的直径， ∴∠BEC＝90°． 又∵∠A＝60°， ∴∠ABE＝30°， ∴∠DOE＝2∠ABE＝60°． ∵BC＝12， ∴半圆O的半径为6， ∴． 故答案为：2π． 【点评】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键． 18．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，BC是⊙O的直径．若 PA＝BC＝2，则AC的长为　　 ． 【分析】连接PO、AB交于点E，连接OA，由PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，得PA＝PB，∠APO＝∠BPO，PA⊥OA，所以PO垂直平分AB，∠PAO＝90°，则∠PEA＝90°，EA＝EBAB，由BC是⊙O的直径，得∠BAC＝90°，可证明∠PAE＝∠C，而PA＝BC，可根据“AAS”证明△PEA≌△BAC，得EA＝AC，则AB＝2EA＝2AC，由BCAC＝2，求得AC，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接PO、AB交于点E，连接OA， ∵PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B， ∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO，PA⊥OA， ∴PO垂直平分AB，∠PAO＝90°， ∴∠PEA＝90°，EA＝EBAB， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∴∠PEA＝∠BAC， ∵OA＝OC， ∴∠C＝∠OAC， ∵∠PAE+∠OAE＝90°，∠OAC+∠OAE＝90°， ∴∠PAE＝∠OAC， ∴∠PAE＝∠C， 在△PEA和△BAC中， ， ∴△PEA≌△BAC（AAS）， ∴EA＝AC， ∴AB＝2EA＝2AC， ∵BCAC＝2， ∴AC， 故答案为：． 【点评】此题重点考查切线的性质、切线长定理、等腰三角形的“三线合一”、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，CE⊥AB，垂足为E． （1）求证：CA平分∠DCE． （2）若∠DCA＝25°，AB＝6，求的长． 【分析】（1）连接OC，如图，先根据切线的性质得到∠OCD＝90°，即∠OCA+∠DCA＝90°，由于∠ECA+∠OAC＝90°，∠OCA＝∠OAC，则∠DCA＝∠ECA， 从而得到CA平分∠DCE； （2）先由（1）的结论得到∠DCA＝∠ECA＝25°，再利用互余计算出∠OCE＝40°，所以∠COE＝50°，然后根据弧长求解． 【解答】（1）证明：连接OC，如图， ∵CD为⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD＝90°， 即∠OCA+∠DCA＝90°， ∵CE⊥AB， ∴∠AEC＝90°， ∴∠ECA+∠OAC＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠DCA＝∠ECA， ∴CA平分∠DCE； （2）解：∵∠DCA＝∠ECA＝25°， ∴∠OCE＝90°﹣25°﹣25°＝40°， ∴∠COE＝90°﹣40°＝50°， ∴的长度π． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和弧长公式． 20．（8分）如图，BC是⊙O的直径，且BC＝4，D为上一动点（不与点B、C重合）过点C作⊙O的切线交BD延长线于点A，E为AC中点，连接DE． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若∠A＝30°，求阴影部分的面积． 【分析】（1）由等边对等角得到∠OCD＝∠ODC，由直径所对的圆周角是直角推出∠ADC＝90°，则由直角三角形的性质和等边对等角推出∠EDC＝∠ECD，根据切线的性质得到∠OCD+∠ECD＝90°，则∠ODE＝∠ODC+∠EDC＝90°，据此可证明结论； （2）可证明OE是△ABC的中位线，推出∠OEC＝∠A＝30°，则OE＝2OC＝BC＝4，进而求出，可证明∠COD＝120°根据S阴影＝S四边形DOCE﹣S扇形COD求解即可． 【解答】（1）证明：如图，BC是⊙O的直径，连接OD，CD，则OC＝OD， ∴∠BDC＝90°，∠OCD＝∠ODC； ∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝90°， ∵E为AC中点， ∴ED＝EC， ∴∠EDC＝∠ECD； ∵AC是⊙O的切线， ∴∠ACB＝90°， ∴∠OCD+∠ECD＝90°， ∴∠ODE＝∠ODC+∠EDC＝90°， ∴OD⊥DE， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：如图2，点O和点E分别是BC，AC的中点，连接OC，OD，OE， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE∥AB， ∴∠OEC＝∠A＝30°， ∴OE＝2OC＝BC＝4， 在直角三角形COE中，由勾股定理得：CE， 在直角三角形DOE中，由勾股定理得：DE2， ∴S四边形DOCE＝S△OCE+S△ODE2×22×24； ∵∠B＝90°﹣∠A＝60°， ∴∠COD＝2∠B＝120°， ∴S扇形COD， ∴S阴影＝S四边形DOCE﹣S扇形COD． 【点评】本题主要考查了切线的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 21．（8分）如图，在▱ABCD中，过A，B，C三点的⊙O交AD于点E． （1）求证：CE＝CD； （2）若点E为中点，AB＝4，BC＝6，求⊙O的半径． 【分析】（1）由平行四边形性质得∠D＝∠B，再由圆内接四边形的性质得∠CED＝∠B，由此得∠D＝∠CED，据此可得CE＝CD； （2）解：过点C作CH⊥AD于点H，过点O作OM⊥BC于点M，MO的延长线交AD于点N，连接OA，OB，则ON⊥AD，由（1）的结论得CE＝CD＝4；根据点E为中点得AE＝CE＝4，则DE＝2，由此得DH＝EH＝1，在Rt△CHD中，由勾股定理得CH，则MN＝CH，设OM＝a，则ON＝MN﹣OM，根据垂径定理得BMBC＝3，ANAE＝2，在Rt△OMB中，由勾股定理得OB2＝32+a2，在Rt△ONA中，由勾股定理得OA2，由此得32+a2，进而解出a得OB． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＝∠B， ∵过A，B，C三点的⊙O交AD于点E， ∴四边形ABCE是⊙O的内接四边形， ∴∠CED＝∠B， ∴∠D＝∠CED， ∴CE＝CD； （2）解：过点C作CH⊥AD于点H，过点O作OM⊥BC于点M，MO的延长线交AD于点N，连接OA，OB，如图所示： ∴∠CHD＝∠OMB＝90°，OA＝OB， ∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝4，BC＝6， ∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，AD∥BC， ∵OM⊥BC， ∴ON⊥AD， ∴∠ONA＝90°， 由（1）的结论得：CE＝CD＝4； ∵点E为中点， ∴， ∴AE＝CE＝4， ∴DE＝AD﹣AE＝2， 在△CDE中，CE＝CD，CH⊥AD于点H， ∴DH＝EHDE＝1， 在△CHD中，∠CHD＝90°， 由勾股定理得：CH， 根据平行线间的距离处处相等得：MN＝CH， 设OM＝a，则ON＝MN﹣OM， ∵OM⊥BC于点M，ON⊥AD于点N， ∴根据垂径定理得：BMBC＝3，ANAE＝2， 在△OMB中，∠OMB＝90°， 由勾股定理得：OB2＝BM2+OM2＝32+a2， 在△ONA中，∠ONA＝90°， 由勾股定理得：OA2＝AN2+ON2＝22+（√15﹣a）2， ∴32+a2， 解得：a， ∴OB， 即⊙O的半径为． 【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，理解圆内接四边形的性质，垂径定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB． （1）求证：DC为⊙O的切线． （2）连接BC，若∠DAC＝30°，，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接OC，由AC平分∠DAB，得∠BAD＝2∠BAC，由圆周角定理得∠BOC＝2∠BAC，所以∠BOC＝∠BAD，则OC∥AD，因为AD⊥CD，所以∠OCD＝180°﹣∠ADC＝90°，即可证明DC为⊙O的切线． （2）作OL⊥AD于点L，可证明四边形OLDC是矩形，则OL＝DC，由∠DAC＝30°，求得∠BAD＝2∠DAC＝60°，则∠AOL＝30°，所以ALOA，由OLOA，求得OA＝2，所以⊙O的半径长是2． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵AC平分∠DAB， ∴∠BAD＝2∠BAC， ∵∠BOC＝2∠BAC， ∴∠BOC＝∠BAD， ∴OC∥AD， ∵AD⊥CD于点D， ∴∠ADC＝90°， ∴∠OCD＝180°﹣∠ADC＝90°， ∵OC是⊙O的半径，且DC⊥OC， ∴DC为⊙O的切线． （2）解：作OL⊥AD于点L，则∠ALO＝90°， ∵∠OLD＝∠LDC＝∠OCD＝90°， ∴四边形OLDC是矩形， ∴OL＝DC， ∵AC平分∠DAB，∠DAC＝30°， ∴∠BAD＝2∠DAC＝60°， ∴∠AOL＝90°﹣∠BAD＝30°， ∴ALOA， ∵OLOA， ∴OA＝2， ∴⊙O的半径长是2． 【点评】此题重点考查圆周角定理、平行线的判定性质、切线的判定、矩形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 23．（8分）按要求在▱ABCD中作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在图1中，仅用无刻度直尺和圆规，作菱形BEDF，点E和F分别在边CD和AB上； （2）在图2中，点P和Q分别在边AD和CD上，仅用无刻度直尺，作▱PQMN，点M和N分别在边BC和AB上． 【分析】（1）连接BD，作BD的垂直平分线，交CD于点E，交AB于点F，连接BE，DF，则四边形BEDF为菱形． （2）连接AC，BD，AC与BD相交于点O，连接PO并延长交BC于点M，连接QO并延长交AB于点N，连接PQ，QM，MN，NP，则四边形PQMN为平行四边形． 【解答】解：（1）连接BD，作BD的垂直平分线，交CD于点E，交AB于点F，连接BE，DF，如图， ∵EF是BD的垂直平分线， ∴BO＝DO，DF＝BF，DE＝BE，∠DOE＝∠BOF＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDB， ∴△DOE≌△BOF（ASA）， ∴DE＝BF， ∴DF＝BF＝BE＝DE， ∴四边形BEDF是菱形． （2）如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠PDO＝∠MBO，∠CQO＝∠ANO， ∵∠DOP＝∠BOM，∠COQ＝∠AON， ∴△DOP≌△BOM（ASA），△COQ≌△AON（AAS）， ∴OP＝OM，OQ＝ON， ∴四边形PQMN是平行四边形． 【点评】本题考查作图—复杂作图，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 24．（8分）如图，AB为⊙O直径，点C为⊙O上一点，AC平分∠HAB，AH⊥CH，垂足为H，AH交⊙O于点D． （1）求证：直线HC是⊙O的切线； （2）若HC＝8，DH＝4，求⊙O的直径． 【分析】（1）利用角平分线的定义、等边对等角等可得出∠DAC＝∠ACO，利用平行线的性质判定可得出AH∥OC，利用平行线的性质可得出OC⊥CH，然后利用切线的判定即可得证； （2）作OI⊥AH于点I，由垂径定理得AI＝DI，再证明四边形OCHI是矩形，得IH＝OC＝OA，OI＝HC＝8，则AI＝DI＝IH﹣DH＝OA﹣4，由勾股定理得（OA﹣4）2+82＝OA2，求得OA＝10，即可求⊙O的直径． 【解答】（1）证明：如图，连接OC， ∵AC平分∠HAB， ∴∠DAC＝∠CAO， ∵AO＝CO， ∴∠OAC＝∠ACO， ∴∠DAC＝∠ACO， ∴AD∥OC， ∴AH∥OC， ∵AH⊥CH， ∴OC⊥CH， ∵OC是⊙O的半径； ∴直线HC是⊙O的切线； （2）解：如图，作OI⊥AH于点I， ∴AI＝DI， ∵∠OCH＝∠CHI＝∠OIH＝90°， ∴四边形OCHI是矩形， ∵HC＝8，DH＝4， ∴IH＝OC＝OA，OI＝HC＝8， ∴AI＝DI＝IH﹣DH＝OA﹣4， ∵∠OIA＝90°， ∴（OA﹣4）2+82＝OA2， ∴OA＝10， ∴AB＝2OA＝20， ∴⊙O的直径长为20． 【点评】本题考查了切线的判定，矩形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质等，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 25．（8分）四边形ABCD如图所示． （1）尺规作图：分别在AB，CD，AD边上作点E，F，G，使四边形AEFG是菱形；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若∠BAD＝60°，∠ADC＝90°，，则菱形AEFG的面积为　24　 ． 【分析】（1）作∠BAD的角平分线AF，再作线段AF的垂直平分线，分别交AB于E、AD于G、CD于F，顺次连接A、E、F、G，由垂直平分线性质得四边相等，故四边形AEFG为所求菱形； （2）在菱形AEFG中，AF平分∠BAD＝60°，故∠FAD＝30°，再利用勾股定理求出FD和GD，进而即可得AG，则可求出菱形的面积． 【解答】解：（1）作∠BAD的角平分线AF，再作线段AF的垂直平分线，分别交AB于E、AD于G、CD于F，顺次连接A、E、F、G，如图所示： （2）∵∠BAD＝60°，四边形AEFG是菱形， ∴，AE∥FG，AE＝AG＝EF＝GF， ∴∠FGD＝∠BAD＝60°， ∵∠ADC＝90°， ∴∠GFD＝90°﹣∠FGD＝30°， ∴FG＝2DG， ∵∠FAD＝30°，∠D＝90°， ∴AF＝2DF， 在Rt△ADF中，设FD＝x，则AF＝2x， ∴AD2+FD2＝AF2， 可得， 解得x＝6（负值舍去）， ∴FD＝6， 设GD＝a，则AG＝FG＝2a， ∴AG+GD＝AD， 可得， 解得， ∴， ∴． 故答案为：24． 【点评】本题考查作图—复杂作图，菱形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 26．（8分）已知，如图：⊙O的半径，弦AB＝14，点C在AB，上CD⊥AB交⊙O于点D． （1）若BC＝4，求线段CD的长； （2）若点C在弦AB上运动，则AC+CD的最大值　18　 ． 【分析】（1）过点O作OE⊥AB于点E，作OF⊥CD于点F，连接OA，OD，用垂径定理得到AE＝BE＝7，算出CE长，在Rt△AOE中利用勾股定理求出OE，由三个直角判定四边形OECF为矩形，得到OF、CF长度，再在Rt△ODF利用勾股定理求出DF，最后由CD＝DF+CF求得CD； （2）沿用（1）的辅助线与矩形结论，设CE＝a，DF＝b，将AC+CD整理为8+（a+b），由勾股定理得到a2+b2＝50，利用完全平方公式（a﹣b）2≥0推出a+b的最大值，即可得出AC+CD的最大值． 【解答】解：（1）过点O作OE⊥AB于点E，作OF⊥CD于点F，连接OA，OD， ∵OE⊥AB， ∴， ∴CE＝BE﹣BC＝7﹣4＝3， ∵⊙O的半径， ∴OA＝5， 在Rt△AOE中，， ∵OF⊥CD，CD⊥AB，OE⊥AB， ∴∠OEC＝∠OFC＝∠ECF＝90°， ∴四边形OECF是矩形， ∴OF＝CE＝3，CF＝OE＝1， 在Rt△OFD中，， ∴； （2）过点O作OE⊥AB于点E，作OF⊥CD于点F，连接OA，OD， 同（1）得AE＝7，CF＝1，四边形OECF是矩形， 设CE＝a，DF＝b，则OF＝CE＝a， ∴AC+CD＝AE+CE+CF+DF＝7+a+1+b＝8+（a+b）， 故求AC+CD的最大值，只需求a+b的最大值， 在Rt△OFD中，OF2+DF2＝OD2， 即， ∵（a﹣b）2≥0，即a2﹣2ab+b2≥0， ∴50﹣2ab≥0，即2ab≤50， ∴50+2ab≤100， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝50+2ab≤100，即a+b≤10， ∴当且仅当a＝b时，a+b取得最大值，最大值为10， ∴AC+CD的最大值为8+（a+b）＝8+10＝18， 故答案为：18． 【点评】本题考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $