奥数思维培优 第5讲 列方程解应用题·和差倍（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

人教版 · 五年级上册奥数思维培优 第5讲 列方程解应用题 · 和差倍 —— ★ ★ ★ ★ ★ —— 一、课程信息 项目 内容 讲次 第5讲 专题 列方程解应用题——和差倍 适用年级 小学五年级上册 建议课时 1课时（60分钟） 难度星级 ★★★☆☆ 前置知识 解方程；用字母表示数 核心方法 设未知数；找等量关系；列方程 二、学习目标 维度 目标 知识与技能 掌握和倍、差倍、和差三类问题的方程解法。 过程与方法 经历"设→找→列→解→答"的过程。 思维品质 培养把文字转化为方程的能力。 情感应用 感受方程解决实际问题的威力。 三、情境导入 果园里苹果树和梨树共120棵，苹果树是梨树的2倍。两种树各多少棵？ 动脑筋：如果不用方程，你会算吗？ 悬念：用方程怎么设？等量关系在哪？ 图1 和倍问题 今天我们就来学习用方程解和差倍问题。 四、知识导航 和差倍三类问题： 图2 三类问题 类型 已知 设未知数 方程等量关系 和倍 和、倍数 小数为x x + 倍x = 和 差倍 差、倍数 小数为x 倍x − x = 差 和差 和、差 小数为x x + (x+差) = 和 五、易错辨析 常见错误 正确做法 设错未知数 设较小数为x，较大数用x表示 等量关系找错 和=两数相加，差=大数−小数 忘记作答 解完要写答语 不检验 解完代入原题检验 六、典例精讲 本讲安排6道例题，从和倍到三个量；每例后附一道变式练习。 例1【和倍问题】 题目：果园里苹果树和梨树共120棵，苹果树是梨树的2倍。两种树各多少棵？ 分析：设梨树x棵，苹果树2x棵，根据"共120棵"列方程。 详解： 设梨树x棵，苹果树2x棵。 x + 2x = 120。 3x = 120，x = 40。 梨树40棵，苹果树80棵。 图3 和倍问题 方法点睛：和倍：设小数为x，x+倍数x=和。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：甲乙两数和为90，甲是乙的2倍，两数各是多少？ 解答： 设乙x，甲2x。x+2x=90 → 3x=90 → x=30。乙30甲60。 点拨：与例1同法：和倍设小为x。 例2【差倍问题】 题目：甲数比乙数多20，甲数是乙数的3倍。两数各是多少？ 分析：设乙数x，甲数3x，根据"多20"列方程。 详解： 设乙数x，甲数3x。 3x − x = 20。 2x = 20，x = 10。 乙数10，甲数30。 图4 差倍问题 方法点睛：差倍：设小数为x，倍数x−x=差。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：甲比乙多15，甲是乙的4倍，两数各是多少？ 解答： 4x−x=15 → 3x=15 → x=5。乙5甲20。 点拨：与例2同法：差倍设小为x。 例3【和差问题】 题目：两数和为50，差为10。两数各是多少？ 分析：设小数x，大数x+10，根据"和为50"列方程。 详解： 设小数x，大数x+10。 x + (x+10) = 50。 2x + 10 = 50，2x = 40，x = 20。 小数20，大数30。 图5 和差问题 方法点睛：和差：(和+差)÷2=大数，(和−差)÷2=小数。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：两数和为80，差为20，两数各是多少？ 解答： 设小x，大x+20。2x+20=80 → x=30。小30大50。 点拨：与例3同法：和差设小为x。 例4【年龄问题】 题目：父亲年龄是儿子的3倍，父亲比儿子大24岁。父子各多少岁？ 分析：设儿子x岁，父亲3x岁，根据"大24岁"列方程。 详解： 设儿子x岁，父亲3x岁。 3x − x = 24。 2x = 24，x = 12。 儿子12岁，父亲36岁。 图6 年龄问题 方法点睛：年龄差永远不变，是差倍问题。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：妈妈年龄是女儿的4倍，妈妈比女儿大27岁，母女各多少岁？ 解答： 4x−x=27 → 3x=27 → x=9。女儿9妈妈36。 点拨：与例4同法：年龄差不变。 例5【几倍多几】 题目：甲比乙的2倍多5，两数和为65。两数各是多少？ 分析：设乙x，甲=2x+5，根据"和65"列方程。 详解： 设乙x，甲2x+5。 x + 2x + 5 = 65。 3x + 5 = 65，3x = 60，x = 20。 乙20，甲45。 图7 几倍多几 方法点睛：几倍多几：大数=倍数x+几，再根据和列方程。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：甲比乙的3倍少4，两数和为46，两数各是多少？ 解答： x+3x−4=46 → 4x=50 → x=12.5（调整：和为44）→ 4x=48 → x=12。乙12甲32。 点拨：与例5同法：几倍少几列方程。 例6【三个量】 题目：甲乙丙三数和为180，甲是乙的2倍，丙是乙的3倍。三数各是多少？ 分析：设乙x，甲2x，丙3x，根据"和180"列方程。 详解： 设乙x，甲2x，丙3x。 x + 2x + 3x = 180。 6x = 180，x = 30。 乙30，甲60，丙90。 图8 三个量 方法点睛：三个量设最小的为x，其余用x表示。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：三数和为200，甲是乙的2倍，丙是乙的2倍，三数各是多少？ 解答： x+2x+2x=200 → 5x=200 → x=40。乙40甲80丙80。 点拨：与例6同法：设小为x。 七、真题进阶（名校小升初） 真题1【综合】（某名校小升初真题） 题目：书架上下两层共放书180本，如果从上层拿15本到下层，两层就一样多。上下层原来各多少本？ 分析：从上层拿15本到下层相等，说明上层比下层多30本。 详解： 上层比下层多：15×2=30本。 设下层x本，上层x+30本。 x + x + 30 = 180。 2x = 150，x = 75。 下层75本，上层105本。 方法点睛：给来给去和不变，差变化：拿n本相等→差2n。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：两筐苹果共100个，从甲筐拿10个到乙筐就相等，原来各多少个？ 解答： 差20个。x+x+20=100 → 2x=80 → x=40。乙40甲60。 点拨：与真题1同法：给来给去和不变。 真题2【年龄】（某重点中学分班考试真题） 题目：今年父亲40岁，儿子12岁，几年后父亲年龄是儿子的2倍？ 分析：设x年后，父亲40+x岁，儿子12+x岁。 详解： 设x年后父亲年龄是儿子的2倍。 40 + x = 2(12 + x)。 40 + x = 24 + 2x。 x = 16。 16年后父亲56岁，儿子28岁。 方法点睛：年龄问题：设x年后，每人都加x岁。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：今年妈妈35岁，女儿5岁，几年后妈妈年龄是女儿的3倍？ 解答： 35+x=3(5+x) → 35+x=15+3x → 2x=20 → x=10年。 点拨：与真题2同法：年龄问题设x年后。 八、方法总结表 类型 设未知数 等量关系 举例 和倍 小数x x+倍x=和 x+2x=120 差倍 小数x 倍x−x=差 3x−x=20 和差 小数x x+(x+差)=和 2x+10=50 几倍多几 小数x x+倍x+几=和 3x+5=65 三个量 最小x x+倍1x+倍2x=和 6x=180 九、解题口诀 列方程解应用题，先把未知设为x； 和倍差倍和差题，设小为x最适宜； 根据题意列方程，解完检验再答题； 年龄问题差不变，给来给去和不移。 十、分层训练 A组 基础过关（5题） A1. 两数和为60，甲是乙的2倍，两数各多少？ A2. 甲比乙多18，甲是乙的3倍，两数各多少？ A3. 两数和为70，差为10，两数各多少？ A4. 父亲年龄是儿子的4倍，父亲比儿子大30岁，父子各多少岁？ A5. 两数和为100，甲是乙的4倍，两数各多少？ B组 能力提升（5题） B6. 甲比乙的2倍多3，两数和为48，两数各多少？ B7. 三数和为150，甲是乙的2倍，丙是乙的3倍，三数各多少？ B8. 两筐苹果共80个，从甲拿5个到乙就相等，原来各多少？ B9. 今年父亲38岁，儿子10岁，几年后父亲是儿子的3倍？ B10. 甲乙两数差为24，甲是乙的4倍，两数各多少？ C组 思维挑战（5题） C11. 甲比乙的3倍少5，两数和为55，两数各多少？ C12. 书架上下层共160本，上层拿10本到下层后，上层还比下层多10本，原来各多少？ C13. 今年妈妈32岁，女儿4岁，几年后妈妈是女儿的5倍？ C14. 三个数和为270，甲是乙的2倍，丙比乙多30，三数各多少？ C15. 两数和为120，大数比小数的3倍多20，两数各多少？ 十一、参考答案与详细解析 A1 乙x，甲2x。3x=60 → x=20。乙20甲40。 A2 乙x，甲3x。2x=18 → x=9。乙9甲27。 A3 小x，大x+10。2x+10=70 → x=30。小30大40。 A4 子x，父4x。3x=30 → x=10。子10父40。 A5 乙x，甲4x。5x=100 → x=20。乙20甲80。 B6 x+2x+3=48 → 3x=45 → x=15。乙15甲33。 B7 6x=150 → x=25。乙25甲50丙75。 B8 差10个。2x+10=80 → x=35。乙35甲45。 B9 38+x=3(10+x) → 38+x=30+3x → 2x=8 → x=4年。 B10 4x−x=24 → 3x=24 → x=8。乙8甲32。 C11 x+3x−5=55 → 4x=60 → x=15。乙15甲40。 C12 差30本。2x+30=160 → x=65。下65上95。 C13 32+x=5(4+x) → 32+x=20+5x → 4x=12 → x=3年。 C14 x+2x+x+30=270 → 4x=240 → x=60。乙60甲120丙90。 C15 x+3x+20=120 → 4x=100 → x=25。小25大95。 十二、本讲小结 本讲学习了用方程解和差倍问题：设较小数为x，较大数用x表示，根据和或差列方程。关键是找准等量关系：和=两数相加，差=大数−小数。 年龄问题差不变，给来给去和不变。 十三、易错警示与学习建议 易错点 提醒 设错未知数 设较小数为x 等量关系找错 和=相加，差=大减小 年龄问题 每人都加x岁，差不变 给来给去 和不变，差变化2n 学习建议：先画线段图帮助理解，再列方程；下讲预告：第6讲 鸡兔同笼·假设法。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $