第5讲 循环小数与周期问题 专题讲义-人教版数学五年级上册奥数培优

第5讲 循环小数与周期问题 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 循环小数基础概念 （1）小数的分类 有限小数：小数部分的位数是有限的，如、。 无限小数：小数部分的位数是无限的；分为两类： 循环小数：小数部分有数字依次不断重复出现，是小学阶段的核心研究对象； 无限不循环小数：小数部分没有重复规律，小学阶段仅作了解。 （2）循环小数定义 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 例：、都是循环小数。 （3）循环节 循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。 例：的循环节是；的循环节是。 （4）循环小数的分类 纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的循环小数。 例：、，循环节从十分位开始。 混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的循环小数。 例：、，小数部分有几位不循环，之后才开始循环。 （5）简便记法 写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 例：写作；写作。 2. 核心本质：循环小数的周期性 循环节不断重复出现，本质就是数学中的周期现象： 周期长度：循环节的数字个数，就是一个周期的长度。 例：循环节的周期长度是；循环节的周期长度是。 核心对应：循环节的第 1 个数字对应周期的第 1 位，第 2 个对应第 2 位…… 循环结束后从头开始。 3. 两大核心题型与方法 题型一：求小数部分第位上的数字 纯循环小数解题步骤： ① 找出循环节，确定周期长度； ② 用 “总位数 ÷ 周期长度”，算出商和余数； ③ 余数是几，就是循环节的第几个数字；没有余数，就是循环节的最后一个数字。 混循环小数解题步骤： ① 先减去不循环部分的位数，得到循环部分的总位数； ② 用 “循环部分位数 ÷ 周期长度”，算余数； ③ 根据余数对应循环节的数字。 题型二：求小数部分前位的数字之和 解题步骤： ① 区分纯循环 / 混循环，确定完整周期的个数和余下的位数； ② 计算一个循环节的数字和； ③ 总和 = 完整周期数 × 一个周期的数字和 + 余下数字的和。 4. 拓展：除法中的循环规律 两个整数相除，如果除不尽，商一定是循环小数。常见经典循环： ，周期长度 1 ，周期长度 2 ，周期长度 6 解题关键：先计算出商，找到循环节，再按周期方法求解。 5. 解题通用步骤 ① 判断循环类型，找到循环节，确定周期长度； ② 若是混循环，先减去不循环的位数； ③ 计算总位数包含多少个完整周期、余几位； ④ 根据问题求对应数字或数字总和； ⑤ 代入原题检验结果是否合理。 例题讲解 【典型例题 1】纯循环小数求第位数字 循环小数，它的小数部分第 20 位数字是多少？ 【跟踪训练 1】 循环小数，它的小数部分第 18 位数字是多少？ 【典型例题 2】纯循环小数求前位数字和 循环小数，它的小数部分前 30 位的数字之和是多少？ 【跟踪训练 2】 循环小数，它的小数部分前 25 位的数字之和是多少？ 【典型例题 3】混循环小数的周期问题 循环小数，它的小数部分第 25 位数字是多少？ 【跟踪训练 3】 循环小数，它的小数部分第 30 位数字是多少？ 【典型例题 4】除法中的循环与周期 计算的商，回答下面问题： （1）小数点后面第 50 位数字是多少？ （2）这 50 位数字的和是多少？ 【跟踪训练 4】 计算的商，小数点后第 40 位数字是多少？前 40 位数字的和是多少？ 巩固练习 1．的商的最高位是( )位，用循环小数表示是( )，小数点后第199位上的数字是( )。 2．8÷11的商用循环小数简记为( )，其商的小数部分第20位上的数字是( )。 3．6÷7＝0.857142857142…的商的小数点后面前：100个数字的和是( )。 4．…，小数点后第56位的数字是( )。 5．循环小数的小数部分第10位数字是( )。 6．3.636363…的简写是( )，循环节是( )，小数点后第297位上的数字是( )。 7．3.5÷11的商用循环小数的简便形式表示是( )，保留两位小数约是( )，商的小数部分第100位数字是( )。 8．循环小数，简记为( )，小数点后第2014个数字是( )。 9．循环小数7.898989…用简便形式记作( )，它的小数部分第99位上的数字是( )，精确到百分位约是( )。 10．0.9237237…的循环节是( )，0.9237237…还可以写作( )，小数点后第80位上的数字是( )。 11．一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。例如：5.606060…的循环节是“60”。循环小数0.142857142857…的循环节由( )个数字组成；它的小数点后第26位数字是( )。 12．20÷3.7的商是一个( )小数，用简便形式表示为( )，这个小数的小数点后面的第100位上的数字是( )，保留两位小数是( )。 真题训练 13．1.3×0.48的积是( )位小数；5.3181818…小数点右边第23位数字是( )。 14．在循环小数中，若从小数点后第m位到第n位所有数字的和为2017，当m取最小值时，n＝_____。 15．循环小数50.405405…小数部分第56位上的数字是( )。 16．循环小数，移动循环点，使得新的循环小数的第100位数字是3，则新的循环小数是( )． 17．9÷7，商的小数点后面第99位上的数字是几？这99位数字的和是多少？ 18．16÷37＝0.432432…的商中小数部分第100位上的数字是几？小数部分前100位的数字之和是多少？ 19．1÷7的商用循环小数表示是什么？小数部分第50位上的数字是多少？小数部分前2025位各个数位上的数字之和是多少？ 20．把化成小数后，小数点后面第2019位数字是几？小数部分前2019个数字之和是多少？ 21．8÷11的商的小数部分第100位上的数字是几？前100位数字和是几？ 22．1÷14的商的小数点后面第1001个数字是几？这1001个数字的总和是多少？ 23．循环小数中，小数点后第300位上的数字是几？这300个数字的和是多少？ 24．在循环小数0.ABCABC⋯中，小数部分前90位上的数字和是180，这个循环小数的循环节最大是多少？最小是多少？（、、为3个不同的自然数） 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 循环小数与周期问题 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 循环小数基础概念 （1）小数的分类 有限小数：小数部分的位数是有限的，如、。 无限小数：小数部分的位数是无限的；分为两类： 循环小数：小数部分有数字依次不断重复出现，是小学阶段的核心研究对象； 无限不循环小数：小数部分没有重复规律，小学阶段仅作了解。 （2）循环小数定义 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 例：、都是循环小数。 （3）循环节 循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。 例：的循环节是；的循环节是。 （4）循环小数的分类 纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的循环小数。 例：、，循环节从十分位开始。 混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的循环小数。 例：、，小数部分有几位不循环，之后才开始循环。 （5）简便记法 写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 例：写作；写作。 2. 核心本质：循环小数的周期性 循环节不断重复出现，本质就是数学中的周期现象： 周期长度：循环节的数字个数，就是一个周期的长度。 例：循环节的周期长度是；循环节的周期长度是。 核心对应：循环节的第 1 个数字对应周期的第 1 位，第 2 个对应第 2 位…… 循环结束后从头开始。 3. 两大核心题型与方法 题型一：求小数部分第位上的数字 纯循环小数解题步骤： ① 找出循环节，确定周期长度； ② 用 “总位数 ÷ 周期长度”，算出商和余数； ③ 余数是几，就是循环节的第几个数字；没有余数，就是循环节的最后一个数字。 混循环小数解题步骤： ① 先减去不循环部分的位数，得到循环部分的总位数； ② 用 “循环部分位数 ÷ 周期长度”，算余数； ③ 根据余数对应循环节的数字。 题型二：求小数部分前位的数字之和 解题步骤： ① 区分纯循环 / 混循环，确定完整周期的个数和余下的位数； ② 计算一个循环节的数字和； ③ 总和 = 完整周期数 × 一个周期的数字和 + 余下数字的和。 4. 拓展：除法中的循环规律 两个整数相除，如果除不尽，商一定是循环小数。常见经典循环： ，周期长度 1 ，周期长度 2 ，周期长度 6 解题关键：先计算出商，找到循环节，再按周期方法求解。 5. 解题通用步骤 ① 判断循环类型，找到循环节，确定周期长度； ② 若是混循环，先减去不循环的位数； ③ 计算总位数包含多少个完整周期、余几位； ④ 根据问题求对应数字或数字总和； ⑤ 代入原题检验结果是否合理。 例题讲解 【典型例题 1】纯循环小数求第位数字 循环小数，它的小数部分第 20 位数字是多少？ 【分析】这是纯循环小数，循环节是，周期长度为 3。用总位数 20 除以周期长度 3，根据余数判断对应数字。 【详解】 循环节：，周期长度 （组）……（个） 余数是 2，对应循环节的第 2 个数字，也就是。 【答案】 【跟踪训练 1】 循环小数，它的小数部分第 18 位数字是多少？ 【分析】纯循环小数，循环节是，周期长度 4。用 18 除以 4，看余数对应循环节的第几位。 【详解】 循环节：，周期长度 （组）……（个） 余数是 2，对应循环节第 2 个数字。 【答案】 【典型例题 2】纯循环小数求前位数字和 循环小数，它的小数部分前 30 位的数字之和是多少？ 【分析】纯循环小数，循环节，周期长度 4。先算 30 位里有几个完整周期、余几位，再用 “周期数 × 每个周期的数字和 + 余下数字的和” 计算总和。 【详解】 循环节：，周期长度 一个周期的数字和： （组）……（个） 完整周期总和： 余下 2 位数字：、，和为 前 30 位数字总和： 【答案】 【跟踪训练 2】 循环小数，它的小数部分前 25 位的数字之和是多少？ 【分析】循环节，周期长度 5。25 位正好包含 5 个完整周期，没有余数，直接用 5 乘一个周期的和。 【详解】 循环节：，周期长度 一个周期的数字和： （组），没有余数 前 25 位数字总和： 【答案】 【典型例题 3】混循环小数的周期问题 循环小数，它的小数部分第 25 位数字是多少？ 【分析】这是混循环小数，小数部分前两位 “1、2” 不循环，从第 3 位开始循环，循环节是，周期长度 2。先减去不循环的 2 位，再用循环部分的位数算周期。 【详解】 不循环部分位数：位 循环部分总位数：（位） 循环节：，周期长度 （组）……（个） 余数是 1，对应循环节第 1 个数字。 【答案】 【跟踪训练 3】 循环小数，它的小数部分第 30 位数字是多少？ 【分析】混循环小数，前 3 位 “5、6、7” 不循环，从第 4 位开始循环，循环节，周期长度 2。先减 3 位，再算周期。 【详解】 不循环部分位数：位 循环部分总位数：（位） 循环节：，周期长度 （组）……（个） 余数是 1，对应循环节第 1 个数字。 【答案】 【典型例题 4】除法中的循环与周期 计算的商，回答下面问题： （1）小数点后面第 50 位数字是多少？ （2）这 50 位数字的和是多少？ 【分析】先计算出的商，找到循环节，确定周期长度，再分别计算第 50 位数字和前 50 位数字和。 【详解】 循环节：，周期长度 一个周期的数字和： （1）第 50 位数字： （组）……（个） 余数是 2，对应循环节第 2 个数字。 （2）前 50 位数字和： 8 个完整周期的和： 余下 2 位数字和： 总和： 【答案】（1）；（2） 【跟踪训练 4】 计算的商，小数点后第 40 位数字是多少？前 40 位数字的和是多少？ 【分析】先算的商，找到循环节，周期长度 2，再计算第 40 位和数字和。 【详解】 循环节：，周期长度 一个周期的数字和： 第 40 位数字： （组），没有余数，对应循环节最后一个数字。 前 40 位数字和： 【答案】第 40 位是；数字和是 巩固练习 1．的商的最高位是( )位，用循环小数表示是( )，小数点后第199位上的数字是( )。 【答案】 个 3 【分析】除数是小数的除法计算方法：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算，算出商即可确定商的最高位。 计算出7÷1.1的商，观察商的小数部分重复出现的数字，确定循环节，在循环节上点小圆点即可。 确定循环节的长度，用199除以循环节长度，如果余数为0，那么对应循环节最后一位，余数是几则对应循环节中第几位的数字。 【详解】7÷1.1＝6.3636…＝，商的最高位是个位，用循环小数表示是； 的循环节是2个数字，按“3、6”的顺序重复。 199÷2＝99⋯⋯1 199位里完整循环了99组“36”，还多出来1个数字，这个余下的数字就是循环节的第1个数字3，所以小数点后第199位上的数字是3。 2．8÷11的商用循环小数简记为( )，其商的小数部分第20位上的数字是( )。 【答案】 2 【分析】循环小数的简便写法是找出循环节，在循环节的头尾点上循环点； 8÷11＝0.7272……，商的循环节为72； 把每个循环节看作一个周期，一个周期里有2个数字，用20除以2，如果商没有余数，则第20位上的数字为“72”的最后一个数字，如果余数为1，则第20位上的数字为“72”的第一个数字；据此解答即可。 【详解】8÷11＝0.7272……，用循环小数简记为； 20÷2＝10（组），则商的小数部分第20位上的数字为2。 3．6÷7＝0.857142857142…的商的小数点后面前：100个数字的和是( )。 【答案】 453 【分析】根据6÷7的商，找出循环节，再用总位数除以循环节的长度，得到循环的次数和剩余的位数，然后根据循环节的数字和及剩余位数的数字和计算出总和。 【详解】0.857142857142…的循环节为857142，共6个数字； 100÷6＝16（组）……4（个） （8＋5＋7＋1＋4＋2）×16＋（8＋5＋7＋1） ＝27×16＋21 ＝432＋21 ＝453 所以，6÷7＝0.857142857142…的商的小数点后面前：100个数字的和是453。 4．…，小数点后第56位的数字是( )。 【答案】3 【分析】先找出循环小数的循环节，确定它有几个数字；再用56除以循环节的位数，根据余数判断小数点后第56位对应的数字。 【详解】循环节是432，一共3个数字。 56÷3＝18……2 余数是2，对应循环节里第2个数字3。 所以小数点后第56位数字是3。 5．循环小数的小数部分第10位数字是( )。 【答案】3 【分析】由题意可知，循环小数循环节327，是3个数字一循环。 求小数部分第10位数字，用10除以3，没有余数就是循环节最后一个数字，有余数，余数是几就是循环节的第几个数字； 【详解】由分析可知，（组）……1（个），余数是1，对应循环节第1位“3”。 所以循环小数的小数部分第10位数字是3。 6．3.636363…的简写是( )，循环节是( )，小数点后第297位上的数字是( )。 【答案】 63 6 【分析】一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节；写循环小数时，可以只写一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点，若循环节只有一个数字，就在该数字上面点一个圆点；据此填写①、②； 该小数从小数点后第一位开始循环，循环节中有两个数字，用297除以2，根据余数判断第297位为循环节的哪一个数字。若没有余数，则该位置上的数字为3，若余数为1，则该位置上的数字为6，据此解答。 【详解】3.636363…依次不断重复出现的数字是63，所以循环节是63，简写为； 297÷2＝148……1，余数为1，对应循环节第一个数字6。 3.636363…的简写是，循环节是63，小数点后第297位上的数字是6。 7．3.5÷11的商用循环小数的简便形式表示是( )，保留两位小数约是( )，商的小数部分第100位数字是( )。 【答案】 0.32 1 【分析】①找出商的小数部分依次重复出现的数即循环节，在循环节的首位和末位点上小黑点即可； ②保留两位小数，看小数点后的第三位，再根据“四舍五入”法取近似数； ③先用100减去不循环的小数位数，再除以循环节的数字个数，根据余数确定第100位数字是几（余数是几对应循环节第几位数）。 【详解】3.5÷11＝0.31818……，所以3.5÷11的商用循环小数的简便形式表示是； 的第三位小数是8，8＞5，所以； 所以商的小数部分第100位数字是1。 8．循环小数，简记为( )，小数点后第2014个数字是( )。 【答案】 1 【分析】用简便形式写循环小数时，只在循环小数的第一个循环节的首位和末位的数字上面各记一个圆点。这个循环小数的小数部分第一个数字5不循环，后面每4个数字一循环，循环节是1346，计算小数点后第2014个数字，先减去一个不循环的数字，再除以4，看余数是几，结果就是循环节的第几个数字。 【详解】循环小数简记为：； 2014－1＝2013，2013÷4＝5031，小数点后第2014个数字是1。 9．循环小数7.898989…用简便形式记作( )，它的小数部分第99位上的数字是( )，精确到百分位约是( )。 【答案】 8 7.90 【分析】循环小数就简便方法就是加循环节，根据题目可以看循环数字是89，在首和尾的数字上加上循环点。 每两个数字一循环，所以用99除以2，算出有这样的几组，余下几个，就从十分位开始看到第几个即可。精确到百分位就看千分位上的数，四舍五入即可。 【详解】99÷2＝49（组）……1（个） 所以，循环小数7.898989…用简便形式记作，它的小数部分第99位上的数字是8，千分位上是8，需要向前进1。精确到百分位约是7.90。 10．0.9237237…的循环节是( )，0.9237237…还可以写作( )，小数点后第80位上的数字是( )。 【答案】 237 2 【分析】一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节；写循环小数时，可以只写一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点，若循环节只有一个数字，就在该数字上面点一个圆点；该小数从小数点后第二位开始循环，循环节中有三个数字，用（80－1）再除以3，根据余数为判断第80位为循环节的哪一个数字。 【详解】80－1＝79 79÷3＝26……1，余数为1，对应循环节第一个数字2。 所以，0.9237237…的循环节是237，0.9237237…还可以写作，小数点后第80位上的数字是2。 11．一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。例如：5.606060…的循环节是“60”。循环小数0.142857142857…的循环节由( )个数字组成；它的小数点后第26位数字是( )。 【答案】 6 4 【分析】循环小数0.142857142857…的循环节是“142857”，通过计数可知循环节由6个数字组成。要求小数点后第26位数字，根据循环节重复出现的规律，用26除以循环节的长度6，得到商和余数，余数表示该数字在循环节中的位置，余数为2时对应循环节的第2个数字。 【详解】26÷6＝4……2，余数为2，所以第26位数字是循环节中的第2位数字，即4。 循环小数0.142857142857…的循环节由6个数字组成；它的小数点后第26位数字是4。 12．20÷3.7的商是一个( )小数，用简便形式表示为( )，这个小数的小数点后面的第100位上的数字是( )，保留两位小数是( )。 【答案】 循环 4 5.41 【分析】第①空：先计算20÷3.7＝5.405405…，根据商的形式可以判断它是一个无限循环小数； 第②空：循环小数的简便记法，首先找出循环节，循环节是循环小数的小数部分依次不断出现的数字，然后在循环节的第一位和末位数字上点上一个小圆点； 第③空：用100除以循环节的位数，余数是几，就从循环节的第一位数出即可； 第④空：保留两位小数，即精确到百分位，看小数点后面第三位（千分位），然后运用“四舍五入”法解答即可。 【详解】20÷3.7＝5.405405… 第①空：20÷3.7的商是一个循环小数； 第②空：循环节是405，所以5.405405…用简便形式表示为； 第③空：100÷3＝33（组）……1（个），所以余1对应循环节上的第1个数字是4； 第④空：5.405405…保留两位小数是5.41。 【点睛】识别循环小数的循环节，利用除法余数判断指定位置的数字，并掌握 “四舍五入” 保留小数位数的方法。 真题训练 13．1.3×0.48的积是( )位小数；5.3181818…小数点右边第23位数字是( )。 【答案】 三 8 【分析】（1）小数乘法法则，按照整数乘法的法则算出积；再看乘数中一共有几位小数，就从得数的右边起数出几位，点上小数点，得数的小数部分末尾有0，一般把0去掉；据此计算1.3×0.48，再判断积的小数位数即可； （2） 一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数就是循环小数，循环出现的数字就是循环节，5.3181818…从小数点后第二位开始依次是18循环，据此用23－1，再除以2如果得到的余数是是1，则第23位的数字是1，没有余数，则第23位的数字是8。 【详解】1.3×0.48＝0.624 （23－1）÷2 ＝22÷2 ＝11 1.3×0.48的积是三位小数；5.3181818…小数点右边第23位数字是8。 14．在循环小数中，若从小数点后第m位到第n位所有数字的和为2017，当m取最小值时，n＝_____。 【答案】808 【分析】先计算一个循环节中所有数字的和是（2＋0＋1＋7）得10，所以从小数点后第m位到第n位所有数字的和为2017，其中共有2017除以10，得201组余7，即共有201个循环节，然后剩余数字和是7，只能是7一个数字，即周期的第一个数为7，因此，m最小是4，此时n是4＋4×201即可得出答案。 【详解】2＋0＋1＋7＝10 2017÷10＝201……7 则m最小是4 n＝4＋201×4＝808 所以n的值为808。 15．循环小数50.405405…小数部分第56位上的数字是( )。 【答案】0 【分析】观察可知，循环小数50.405405…的循环节是405，把一个循环节看作一个周期，用56除以循环节中的数字个数，求出商为整数时候的余数，商表示56里面有多少个周期，余数是几，就按从左往右的顺序数出循环节的第几位数字，据此解答。 【详解】50.405405…的循环节是405，一共有3个数字。 因为循环节的第2位数字是0，所以循环小数50.405405…的小数部分第56位上的数字是0。 16．循环小数，移动循环点，使得新的循环小数的第100位数字是3，则新的循环小数是( )． 【答案】 【分析】后一个小圆点还是加在1上，前一个小圆点的情况：第一种：假设前一个小圆点加在“6”的上面，这时循环周期是6，用（100－1）除以6计算出结果，余数是几，就是“654321”中的第几位；第二种：假设前一个小圆点加在“5”的上面，这时循环周期是5，用（100－2）除以5计算出结果，余数是几，就是“65321”中的第几位；据此解答。 【详解】根据分析：第一种：假设前一个小圆点加在“6”的上面，这时循环周期是6， （100－1）÷6 ＝99÷6 ＝16……3 这时第100位数字是4； 第二种：假设前一个小圆点加在“5”的上面，这时循环周期是5， （100－2）÷5 ＝98÷5 ＝19……3 这时第100位数字是3，所以新的循环小数是。 17．9÷7，商的小数点后面第99位上的数字是几？这99位数字的和是多少？ 【答案】 5；447 【分析】先计算9÷7的商，确定其为循环小数并找到循环节的长度，再通过带余除法确定99位中包含的完整循环节数量和余下的位数，进而求出第99位数字与99位数字的和。 【详解】，循环节为285714，共6位数字。 （组）（个），余数为3，对应循环节的第3位数字，即第99位上的数字是5。 一个循环节的数字和：， 99位数字的和： 答：商的小数点后面第99位上的数字是5，这99位数字的和是447。 18．16÷37＝0.432432…的商中小数部分第100位上的数字是几？小数部分前100位的数字之和是多少？ 【答案】小数部分第100位上的数字是4，小数部分前100位的数字之和是301 【分析】0.432432…的循环节是432，是3个数字为1组。，100里有33组余1，小数部分第1个数字是4，所以小数部分第100位上的数字是4。每组循环节的和是，所以小数部分前100位的数字之和等于每组循环节的和乘以组数，据此解答。 【详解】由分析可得： 答：小数部分第100位上的数字是4，小数部分前100位的数字之和是301。 【点睛】找出商中小数部分的循环节是由几个数字组成，是解题的关键。 19．1÷7的商用循环小数表示是什么？小数部分第50位上的数字是多少？小数部分前2025位各个数位上的数字之和是多少？ 【答案】；4；9106 【分析】，循环部分是142857，6个数字为一组。 因为，所以小数部分第50位上的数字是4。要求小数部分前2025位各个数位上数字的和，就是要看前2025位上有多少组循环节，余下的数字是哪几个。 【详解】1÷7的商用循环小数表示是。     答：商用循环小数表示是，小数部分第50位上的数字是4，小数部分前2025位各个数位上的数字之和是9106。 20．把化成小数后，小数点后面第2019位数字是几？小数部分前2019个数字之和是多少？ 【答案】4；9084 【分析】直接用分子除以分母，计算出商，把分数转化为小数；计算可知，化成小数后是循环小数，循环节中一共有6个数字，求出2019除以6的商，余数是几就从循环节的首位开始往后数出几位；2019除以6的商是336，余数是3，说明小数部分前2019个数字中有336组循环节和循环节的前3个数字，求出336组循环节的和最后加上循环节的前3个数字，据此解答。 【详解】＝5÷7＝ 的循环节中有6个数字。 2019÷6＝336（组）……3（个） 的循环节中第3个数字是4。 （7＋1＋4＋2＋8＋5）×336＋（7＋1＋4） ＝27×336＋12 ＝9072＋12 ＝9084 答：小数点后面第2019位数字是4，小数部分前2019个数字之和是9084。 21．8÷11的商的小数部分第100位上的数字是几？前100位数字和是几？ 【答案】2；450 【分析】计算可知，8÷11的商是一个循环小数，循环节有7和2一共2个数字，把一个循环节看作一组，用100除以循环节中的数字个数，结果刚好是一个整数，那么第100位上的数字就是循环节中的最后一个数，前100位数字中刚好有50组完整的循环节，每组循环节中的数字和是7＋2＝9，最后乘50求出前100位数字和，据此解答。 【详解】8÷11＝ 循环节有2个数字。 100÷2＝50 所以，商的小数部分第100位上的数字是2。 （7＋2）×50 ＝9×50 ＝450 答：8÷11的商的小数部分第100位上的数字是2，前100位数字和是450。 22．1÷14的商的小数点后面第1001个数字是几？这1001个数字的总和是多少？ 【答案】2；4496 【分析】根据除数是整数的小数除法的计算方法进行计算，用循环小数表示出结果，循环节就是一个周期，确定周期后，用总量除以周期，如果正好是整数个周期，结果为周期的最后一个；如果比整数个周期多n个，也就是余数是n，那么结果为下一个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续计算。 求出一个周期内所有数字的和，再算出1001个数字包含多少个周期，一个周期内所有数字的和×周期数＋余下的数字，就是这1001个数字的总和。 【详解】1÷14＝ （1001－1）÷6 ＝1000÷6 ＝166（组）……4（个） （7＋1＋4＋2＋8＋5）×166＋（7＋1＋4＋2） ＝27×166＋14 ＝4482＋14 ＝4496 答：小数点后面第1001个数字是2，这1001个数字的总和是4496。 【点睛】关键是掌握循环小数的记数方法，掌握周期问题的解题方法，解答周期问题的关键是找出周期。 23．循环小数中，小数点后第300位上的数字是几？这300个数字的和是多少？ 【答案】3；501 【分析】计算小数点后第300位上的数字即计算中数字1后面第（300－2）位上的数字，计算（300－2）里面有多少个完整的循环节，余数是几就从循环节的首位往后数几位数字；计算每组循环节的数字之和，再加上循环节前面的2个数字和余下数字的和，据此解答。 【详解】的循环节是302，每个循环节一共有3个数字 （300－2）÷3 ＝298÷3 ＝99……1 余数是1，循环节的第一个数字是3，所以小数点后第300位上的数字是3。 2＋1＋99×（3＋0＋2）＋3 ＝2＋1＋99×5＋3 ＝2＋1＋495＋3 ＝3＋495＋3 ＝498＋3 ＝501 答：小数点后第300位上的数字是3，这300个数字的和是501。 【点睛】把循环节转化为简单的周期问题，掌握周期问题的解题方法是解答题目的关键。 24．在循环小数0.ABCABC⋯中，小数部分前90位上的数字和是180，这个循环小数的循环节最大是多少？最小是多少？（、、为3个不同的自然数） 【答案】510；015 【分析】循环节的数位是三位，那么前90位有多少组这样的循环节，就用90÷3求得；再用前90位数字和180除以30，得出一组的和是6，A、B、C又是3个不同的自然数，那么会有：6＝5＋1＋0、6＝4＋2＋0、6＝3＋2＋1，6＝0＋1＋5，所以这个循环小数的循环节最大是510，最小是015。 【详解】循环节的个数：90÷3＝30（个） 循环节上数字的和：180÷30＝6 把6写成三个不同自然数和的形式有： 6＝5＋1＋0 6＝4＋2＋0 6＝3＋2＋1 6＝0＋1＋5 组成最大的三位数是0.510，最小的是0.015。 答：这个循环小数的循环节最大是510，最小是015。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $