专题05 待定系数法求二次函数的解析式- 2026‑2027学年人教版九年级数学上册

专题05 待定系数法求二次函数的解析式 1、 选择题 1．已知抛物线过，则抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入已知点到解析式，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式． 【详解】解：将代入，得， 整理得， 解得， ∴抛物线解析式为． 2．已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知抛物线与轴交于两点，设交点式代入第三点求解更简便． 【详解】解：∵抛物线过点，， ∴设抛物线解析式为， 将代入解析式，得， 解得， ∴． 3．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据顶点坐标，利用待定系数法求解． 【详解】解：由顶点坐标可设二次函数表达式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴该二次函数的表达式是． 4．若二次函数的图象开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，利用待定系数法即可解决问题． 【详解】解： 因为抛物线的顶点坐标为， 则令二次函数的解析式为， 将点代入函数解析式得， ， 解得， 所以二次函数的解析式为， 故选：A． 5．如图，若二次函数的图象经过点，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上的点，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征．将坐标代入二次函数表达式即可求出a的值，再由二次函数图象开口向上即可得出结果． 【详解】解：把代入函数解析式， 得： 解得， 由图象得：开口向上， ， 故． 故选：A． 6．二次函数的图象如图所示，则的值为（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，由函数图象可知，二次函数的图象经过点，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，二次函数的图象经过点， ∴， 解得， 故选：B． 7．如图，根据坐标系中所绘制的图象及相关数据可知该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，交点式：是常数，，解题的关键是数形结合． 求出，设其解析式为交点式得到，代入求解即可判断． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向上，且与轴的交点为， 根据图象夹角为， ∴， ∵对称轴为， ∴， ∴设抛物线的解析式为， 将代入可得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 故选：C． 8．已知二次函数的图象经过点，，且对称轴为直线，则该二次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数对称轴的性质，已知条件列方程组求解系数即可得到结果． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴由对称轴公式可得 ，即， 将点，代入函数解析式可得， 解得 ， ∴该二次函数的解析式为． 故选：A． 9．已知二次函数的部分对应值如下表：关于它的图象，下列判断正确的是（    ） x … －1 0 1 2 3 … y … 0 4 6 6 4 … A．开口向上 B．与y轴交于负半轴 C．与x轴的一个交点是 D．在直线的左侧，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图像及性质． 根据表格数据，利用待定系数法求二次函数解析式，再根据二次函数图像及性质分析各选项． 【详解】∵ 由表可知，点、、在函数图象上， 设二次函数解析式为 ， 将代入得 ， 将代入得 ，即 ， 将代入得 ，即 ， 联立方程： ， 解得 ，， ∴ 解析式为 ， 验证点：，符合； 点：，符合． 分析选项： A.∵ ，∴ 开口向下，故选项错误； B.∵ 当 时 ，∴ 与 轴交于正半轴，故选项错误； C.当 时，，∴ 与 轴交于点，故选项正确； D.∵ 对称轴 ，且开口向下，∴ 在 时 随 增大而增大，故选项错误． 故选 C． 10．画二次函数的图象时，列表如下： … 1 2 3 4 … … 0 1 0 … 关于此函数有下列说法：①当时，；②当时，该函数有最大值；③函数图象开口朝上；④在函数图象上有两点，则，其中正确的是（   ） A．②③ B．①④ C．①② D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质．熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 根据表格中的点、、求出二次函数解析式，再逐一判断各说法的正误． 【详解】∵二次函数经过点、、， ∴代入得方程组： 解得， ∴函数解析式为． ①当时，，故①正确； ②∵，且， ∴函数开口向下，当 时有最大值，故②正确； ③∵ ，∴函数图象开口朝下，故③错误； ④解方程 得，即或； 解方程 得 或，即或； 当时，，故④错误． 综上，正确的是①②． 故选C． 2、 填空题 11．已知二次函数满足条件：①函数图象开口向下；②函数图象与y轴交于点．写出一个满足上述所有条件的二次函数解析式______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查根据要求构造二次函数函数，根据二次函数的图象和性质，按要求进行构造即可． 【详解】解：设函数解析式为 ∵函数图象开口向下； ∴， ∵函数图象与y轴交于点， ∴； 故当时，可满足题意， ∴符合题意的解析式可以为； 故答案为：（答案不唯一） 12．已知二次函数的图像经过点和．则这个二次函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求解二次函数解析式，将点和代入得到三元一次方程组，再解方程组求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点和． ∴将点和代入， 则，解得 ∴二次函数解析式为 故答案为：． 13．若函数的图像过点，将该函数图像向右平移，当它再次经过点P时，所得的图像对应的函数表达式为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数图像的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法．先根据点P在原始函数上求出c的值，得到点P坐标；再设函数向右平移h个单位，新函数为，代入点P坐标求解h，排除的情况，得到，从而得出平移后的函数表达式． 【详解】解：由点在函数上，代入得：，故， 设函数图像向右平移h个单位后，函数表达式为， 因其经过点，代入得， 化简得： 解得或，即或 其中对应原始函数，不符合“再次经过”的条件，故取， 因此平移后的函数表达式为． 故答案为：． 14．二次函数的图象过点，，且与y轴交于点，则该二次函数的表达式为________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，熟记待定系数法是解题的关键． 将点、、的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法建立关于、、的方程组，解方程组即可求得解析式． 【详解】解：∵二次函数的图象过点，，且与y轴交于点， ∴可得 解得 ∴该二次函数的表达式为， 故答案为：． 15．一条抛物线与二次函数的图象形状相同，对称轴平行于y轴，并且顶点坐标为，则此抛物线的函数表达式为________________． 【答案】或 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解；一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 由于已知抛物线顶点坐标，则可设顶点式，再利用抛物线解析式与函数的图象形状相同得到，然后写出所求抛物线解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴可设抛物线解析式为， ∵抛物线解析式与函数的图象形状相同， ∴， ∴此抛物线的函数表达式为． 故答案为：． 16．二次函数（a，b，c是常数，且）的自变量x和函数值y的部分对应值如下表所示： x 0 … y 5 4 5 … （1）根据以上信息可知，______． （2）此二次函数的解析式为_______________． 【答案】 5 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）根据表格中对应值可知抛物线与轴的交点，即可求解； （2）根据表格中对应值可知对称轴的值，即可得到顶点，然后利用待定系数法求出二次函数解析式即可． 【详解】【小题1】解：由表可知，当时，． 故答案为：5． 【小题2】解：二次函数的图象过和， 对称轴为直线， 顶点为 故设二次函数的解析式为． 将代入，得， ， 二次函数的解析式为，即． 故答案为：． 3、 解答题 17．当时，抛物线有最小值为，且抛物线与轴交于点．求这条抛物线的解析式． 【答案】 【分析】由已知条件可设出顶点式，再把已知点的坐标代入，求出待定系数，进而求得解析式． 【详解】解：抛物线在时最小值为， 设抛物线的顶点式为 抛物线过点， 解得， ∴这条抛物线的解析式为，即． 18．已知二次函数的图像经过点，求该二次函数的解析式，并判断该函数图像的开口方向． 【答案】解析式；开口向下 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，解题的关键是求出函数解析式． 先由待定系数法求出函数解析式，再由a判断开口方向． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴该函数图像的开口向下． 19．已知抛物线的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)经过怎样的平移可得到二次函数． 【答案】(1) (2)将二次函数向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到二次函数 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）将一般式化为顶点式，根据平移规则进行判断即可. 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得， 该二次函数的解析式为． （2）解：， 的顶点坐标是 的顶点坐标是， 将点向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到 将二次函数向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到二次函数． 20．如图，抛物线与直线交于点A和点B，直线与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)求点A的坐标，并结合函数图象直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)点A的坐标为，或 【分析】本题考查二次函数与不等式、用待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式，数形结合是解题的关键． （1）将点代入求得，再求得，再利用待定系数法求解即可； （2）联立方程组求得，再根据图象求出关于x的不等式的解集即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴， 当时，， 解得， ∴点， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：∵直线与抛物线的交点在第三象限， ∴解方程，得（不符合题意，舍去）或， 把代入得：， ∴点A的坐标为， 观察图象，得不等式的解集为或． 21．如图，已知二次函数的图象经过两点． (1)求这个二次函数的解析式并写出它的对称轴； (2)把该抛物线平移，使它的顶点与B点重合，直接写出平移后抛物线的解析式． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得，得到平移后的抛物线的顶点坐标为，据此求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， 所以抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：令，则， ∴， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， ∴平移后的抛物线解析式为． 22．如图，已知二次函数的图象过点，． (1)求此二次函数的解析式； (2)若二次函数图象与x轴的另一个交点为B，在抛物线上存在一点P，使的面积为10，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与面积等知识． （1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，把，代入二次函数中，求出b、c的值，即可得到函数解析式是． （2）求出A、B两点坐标，得到的长，再设，根据的面积为10可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标： 【详解】（1）解：∵二次函数过点，， ∴， 解得． ∴二次函数的解析式为． （2）解：∵当时，， 解得：，． ∴，． ∴． 设， ∵的面积为10， ∴， 解得：． 当时，， 解得：或2． ∴或． 当时，，方程无解． ∴或． 23．已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若此函数图象上有一点到轴的距离不大于2，求的最大值与最小值之差； (3)已知点在该二次函数的图像上且位于轴的两侧，若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的最大值与最小值之差为9． (3)或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，求出函数解析式是解题的关键． （1）由题意先设顶点式，再代入，即可求解； （2）由题意得，由于开口向上，那么当时，有最小值1；由于横坐标为的点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离1，则当时，取得最大值，即可求解； （3）①若点在轴的左侧，点在轴的右侧，则，由于恒成立，所以，再分别解不等式和不等式组；②若点在轴的右侧，点在轴的左侧，则，由于恒成立，则，再分别解不等式和不等式组即可． 【详解】（1）解：因为对称轴为直线， 所以设， 因为图象经过点， 所以， 解得， 所以二次函数的表达式为； （2）解：因为点到轴的距离不大于2，所以， 因为该函数二次项系数为1大于0， 所以当时，有最小值1； 因为横坐标为的点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离1， 所以当时，取得最大值为， 因为， 所以的最大值与最小值之差为9； （3）解：二次函数图象的对称轴为直线， ①若点在轴的左侧，点在轴的右侧， 所以，解得：， 因为恒成立，所以，解得， 所以． ②若点在轴的右侧，点在轴的左侧， 所以，解得：， 因为恒成立，所以，解得， 所以， 综上所述，的取值范围是或． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出答案即可； （2）把抛物线化为顶点式，根据平移规律进行解答即可； （3）求出直线的解析式为，设，则，则线段的长度，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ∴， 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解： ∴将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后的解析式为； （3）当时，， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得到， ， 解得 ∴直线的解析式为， 设，则， 则线段的长度， ∵ ∴当时，线段的长度的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 待定系数法求二次函数的解析式 1、 选择题 1．已知抛物线过，则抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 2．已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 3．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 4．若二次函数的图象开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（　　） A． B． C． D． 5．如图，若二次函数的图象经过点，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 6．二次函数的图象如图所示，则的值为（    ） A．6 B． C．3 D． 7．如图，根据坐标系中所绘制的图象及相关数据可知该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 8．已知二次函数的图象经过点，，且对称轴为直线，则该二次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 9．已知二次函数的部分对应值如下表：关于它的图象，下列判断正确的是（    ） x … －1 0 1 2 3 … y … 0 4 6 6 4 … A．开口向上 B．与y轴交于负半轴 C．与x轴的一个交点是 D．在直线的左侧，y随x的增大而减小 10．画二次函数的图象时，列表如下： … 1 2 3 4 … … 0 1 0 … 关于此函数有下列说法：①当时，；②当时，该函数有最大值；③函数图象开口朝上；④在函数图象上有两点，则，其中正确的是（   ） A． ②③ B．①④ C．①② D．②④ 2、 填空题 11．已知二次函数满足条件：①函数图象开口向下；②函数图象与y轴交于点．写出一个满足上述所有条件的二次函数解析式______． 12．已知二次函数的图像经过点和．则这个二次函数的解析式为 ． 13．若函数的图像过点，将该函数图像向右平移，当它再次经过点P时，所得的图像对应的函数表达式为__________． 14．二次函数的图象过点，，且与y轴交于点，则该二次函数的表达式为________________． 15．一条抛物线与二次函数的图象形状相同，对称轴平行于y轴，并且顶点坐标为，则此抛物线的函数表达式为________________． 16．二次函数（a，b，c是常数，且）的自变量x和函数值y的部分对应值如下表所示： x 0 … y 5 4 5 … （1）根据以上信息可知，______． （2）此二次函数的解析式为_______________． 3、 解答题 17．当时，抛物线有最小值为，且抛物线与轴交于点．求这条抛物线的解析式． 18．已知二次函数的图像经过点，求该二次函数的解析式，并判断该函数图像的开口方向． 19．已知抛物线的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)经过怎样的平移可得到二次函数． 20．如图，抛物线与直线交于点A和点B，直线与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)求点A的坐标，并结合函数图象直接写出关于x的不等式的解集． 21．如图，已知二次函数的图象经过两点． (1)求这个二次函数的解析式并写出它的对称轴； (2)把该抛物线平移，使它的顶点与B点重合，直接写出平移后抛物线的解析式． 22．如图，已知二次函数的图象过点，． (1)求此二次函数的解析式； (2)若二次函数图象与x轴的另一个交点为B，在抛物线上存在一点P，使的面积为10，求点P的坐标． 23．已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若此函数图象上有一点到轴的距离不大于2，求的最大值与最小值之差； (3)已知点在该二次函数的图像上且位于轴的两侧，若恒成立，求的取值范围． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $