3.6正多边形与圆（讲义，知识梳理+7大题型）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦“正多边形与圆”核心知识点，先明确正多边形概念及与圆的关系（外接圆、内切圆、同心圆），再梳理中心、半径、边心距等相关术语，构建从基础概念到作图、边长计算、面积求解等七类题型的学习支架。 资料融入“割圆术”“玉璧纹样”等文化素材，通过题型分类与易错点提示培养推理能力，典例与变式巩固结合，助力学生用数学眼光观察现实、用数学思维解决问题，课中辅助教师系统教学，课后帮助学生查漏补缺。

第三章 圆 3.6 正多边形与圆 知识点一 正多边形与圆 1. 正多边形的概念：各边相等、各角相等的多边形，叫做正多边形。 2. 正多边形与圆的关系： ①任何正多边形都有一个外接圆； ②任何正多边形都有一个内切圆； ③正多边形的外接圆和内切圆是同心圆。 3. 相关概念： ①中心：正多边形外接圆（内切圆）的圆心； ②半径 ：外接圆半径（中心到顶点的距离）； ③边心距 ：内切圆半径（中心到边的距离）； ④中心角：相邻两个顶点与中心连线所成的角； ⑤正 边形中心角：。 即学即练 1．（2026·河南周口·二模）我国古代《九章算术》记载“割圆术”思想，若一个正六边形的外接圆半径为2，则该正六边形的边长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】利用正六边形中心角的特点，结合等边三角形的判定，即可得到边长与外接圆半径的关系． 【详解】解：如图所示， ∴ 正六边形的中心角为 ，， ∴是等边三角形， ∴ 正六边形的边长等于外接圆半径， ∵ 外接圆半径为， ∴ 正六边形的边长为． 2．（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）如图，正五边形内接于为上一点（点与点不重合），求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形与圆，先理解题意，得，运用圆周角定理得，即可作答． 【详解】解：连接 正五边形内接于， ， ． 题型01 圆内接正多边形作图题 / （1）等分圆心角：360°÷边数，依次截取圆弧等分圆周；正四边形作互相垂直直径，正六边形以半径截圆等分； （2）易错：作图遗漏圆弧痕迹；角度等分不均；混淆圆内接、外切正多边形作图步骤。 典｜例｜精｜析 1．（2026·陕西西安·二模）如图，已知，请用尺规作图法，求作的一个内接正方形（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】如图，四边形即为所求， 【分析】本题考查了圆的性质，正方形的判定，以及用尺规作图的方法作线段的垂直平分线，正确作图是解题的关键．先作一条直径，再作该直径的垂直平分线，将直径以及垂直平分线与圆的四个交点顺次连接即可． 【详解】略 变｜式｜巩｜固 1．（2026·江苏徐州·一模）按照要求进行尺规作图（保留作图痕迹，不写作图过程） (1)在图①中作正方形，且顶点都在圆上． (2)在图②中将圆的面积6等分． 【答案】(1) 如图，正方形即为所求； (2) 如图所示： 【分析】（1）在圆上任意找一点A，作弦，，分别作，的垂直平分线，则两条垂直平分线的交点即为圆心O，作直径，过点O作的垂直平分线，与交于B、D两点，顺次连接A、B、C、D，则四边形即为所求作的正方形． （2）根据解析（1）的方法，先找出圆心O，然后在上任意找一点A，以点A为圆心为半径画弧，交于点B，然后以点B为圆心为半径画弧，交于点C，依次找出点D、E、F，连接、、、、、，即可将圆的面积6等分． 【详解】（1）略 （2）略 2．（25-26九年级上·吉林长春·期末）作图并填空： (1)在下图中，利用尺规作图，作出已知的内接正六边形；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑） (2)若已知的半径为2，则这个内接正六边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用正六边形边长等于圆的半径的性质，通过等分圆周完成作图； （2）将正六边形分解成六个等边三角形计算总面积即可求解． 【详解】（1）解：如图，正六边形即为所求： 作法：在圆上任取一点作为起点，以这点为圆心，圆的半径为半径画弧交圆于一点， 重复上述操作依次得到另外的四个点，顺次连接各点形成正六边形； （2）如图，连接，过点作于点， ，， 为边长为的等边三角形， ， ， ， 内接正六边形的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查尺规作图及正六边形面积的计算，将复杂的正多边形面积计算转化为简单的等边三角形面积求和，体现了割补法在几何面积计算中的应用． 题型02 求正多边形边长与边数 / （1）连接半径构造等腰三角形，作边心距拆分直角三角形；利用圆心角公式：中心角求边数； （2）易错：中心角公式记反；拆分直角三角形边角对应错误；已知边长反求边数计算失误。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·广东韶关·期末）如图，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，利用中心角和边的关系求解是解题的关键；根据中心角是，得到等边三角形即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B ． 2．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，求出中心角的度数是解题的关键．连接，，由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得解． 【详解】解：如图，连接，， ， ， 是的内接正边形的一边，   ． 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·云南红河·一模）五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子中的微粒像足球一样团结在一起．一个烯分子由12个正五边形、20个正六边形组成（如图①所示）．如图②，在正六边形中，连接，若，则正六边形的边长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了正六边形的性质；解题的关键是掌握正六边形对顶点连线（长对角线）的长度等于边长的2倍．由正六边形的对称性知对顶点连线经过中心，长度为2倍边长，由直接求得边长为9． 【详解】解：设正六边形的边长为， 正六边形的六个顶点均匀分布在圆周上，中心角为， 正六边形的对顶点连线（长对角线）经过中心，长度为边长的2倍， 为正六边形的一组对顶点， ， ， ， ． 2．（2026·山东济宁·一模）如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴ ∵弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的边数为， 即该正多边形为正六边形 3．（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，点为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】如图：连接，根据题意求得，根据周角为，即可求得正多边形的边数． 【详解】解：如图：连接， ∵点为正多边形的中心，， ∴， ∴， ∴这个正多边形的边数为9，即选项B符合题意． 题型03 正多边形边心距计算 / （1）依托半径、半边长、边心距构成Rt△，勾股定理求解；边心距为内切圆半径，垂直平分正多边形边长 （2）易错：混淆边心距、外接圆半径；直角三角形直角边斜边代换出错。 典｜例｜精｜析 1．（2026·陕西西安·模拟预测）一个正多边形的一个外角与它的一个内角度数之比为，若该正多边形的外接圆半径为2，则这个正多边形的边心距为________． 【答案】 【分析】设该正多边形的一个外角为，则它的一个内角为，根据正多边形相邻内角与外角的数量关系，再利用多边形外角和定理求出正多边形的边数为，然后画出图形，结合外接圆半径，利用等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理即可计算边心距． 【详解】解：设该正多边形的一个外角为，则它的一个内角为， 由邻补角的定义可得：， 解得， 因为任意多边形的外角和为，所以该正多边形的边数为：， ∴该多边形为正六边形， 如图，连接，，过作于点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴这个正多边形的边心距为． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，边长为2的正六边形的中心为，则该正六边形的边心距为______． 【答案】 【分析】如图：连接，过O作于H，易得是等边三角形，然后根据等边三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接，过O作于H， ∵点O是正六边形的中心，且正六边形的边长为2， ∴,, ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即该正六边形的边心距为． 2．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边心距的长为______． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆和含的直角三角形的性质，掌握正六边形的性质是正确解答的关键． 根据正六边形的性质以及含的直角三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：正六边形是的内接正六边形， ． ，， ． 在中，，， ，， 即正六边形的边心距是． 故答案为：． 题型04 正多边形半径计算 / （1）外接圆半径=顶点到圆心线段；已知边长/边心距，代入直角三角形勾股公式直接计算。 （2）易错：把内切圆边心距当作外接圆半径；公式计算漏平方、开方失误。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·北京·期末）如图，正六边形内接于，若的面积为，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是正多边形与圆的综合、等边三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握正多边形与圆的关系．作交于点，由正六边形内接于推得是等边三角形，结合三线合一定理、勾股定理即可求出的半径． 【详解】解：作交于点， 正六边形内接于， ，， 是等边三角形， ∴， ， ， 中，， 则， 解得． 故选：． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·北京平谷·二模）如图，面积为8的正方形内接于，则的半径为__________． 【答案】2 【分析】因为已知正方形面积，所以可先通过正方形面积公式求出正方形的边长．因为正方形内接于圆，所以正方形的对角线是圆的直径，结合勾股定理可求出正方形的对角线长度．因为圆的半径是直径的一半，所以用求得的对角线长度除以2即可得到圆的半径． 【详解】解：连接，设正方形边长为， ∵正方形面积为， ∴． ∵正方形内接于， ∴正方形的对角线为的直径． 设半径为r， ． 根据勾股定理，： ∴， 代入， 得， 化简得． ∵半径为正数， ∴． 2．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）要用圆形铁片截出一个边长为的正方形铁片，选用的圆形铁片的半径至少是________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质．正方形的外接圆圆心是其对角线的交点，正方形的两对角线互相垂直、平分．本题的实质是求出正方形外接圆的半径，其半径就是正方形对角线的一半，据此即可求解． 【详解】解：如图，四边形是正方形，是正方形的外接圆，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， 故， 即， ∴选用的圆形铁片的半径至少是． 故答案为：． 题型05 正多边形周长与面积计算 / （1）周长：边长×边数； （2）面积：单个等腰三角形面积×边数，通用公式。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）正六边形内接于，若的半径是2，则正六边形的周长是（   ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题考查正多边形外接圆、正多边形的性质，熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形是解题的关键．连接、，根据题意证得是等边三角形，即可解答． 【详解】解：连接、 多边形是正六边形， ，的半径是2 是等边三角形， 正六边形的周长是 故选B． 2．（2025·湖南娄底·模拟预测）中国太极图中，黑色和白色均衡对称、稳定和谐地组成了一幅美丽的图画． 如图，太极图内切于正六边形中，则图中黑色部分的面积与正六边形的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形和圆，内切圆的性质和面积，等边三角形的面积以及勾股定理求边长，正确地计算能力是解决问题的关键．设圆的圆心为O，连接、，过点O作于点M，证明为等边三角形，设，根据勾股定理得出，求出，则黑色部分的面积为，求出，即可得出答案． 【详解】解：设圆的圆心为O，连接、，过点O作于点M，如图所示： ∵六边形为正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴黑色部分的面积为， ∵， ∴图中黑色部分的面积与正六边形的面积之比是： ， 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是3，则图中阴影部分的面积是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正方形的内切圆半径求出正方形边长，再根据勾股定理以及外接圆半径和正方形对角线的关联，求出外接圆半径，最后根据求出图中阴影部分的面积． 【详解】解：∵正方形的内切圆半径是3， ∴正方形边长为6， 根据勾股定理，正方形对角线长度为： ， ∴正方形的外接圆半径为：， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了正方形内切圆与外接圆的性质、勾股定理、圆环面积的计算方法，理清正方形边长与其内切圆半径、外接圆半径之间的数量关系是解题的关键． 2．（2025·山东枣庄·二模）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计的面积S，设的半径为1，则的值为（    ）（） A．0.14 B．0.2 C．0.5 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形和圆，正确求出正十二边形的面积是解题的关键，根据圆的面积公式得到的面积，求得圆的内接正十二边形的面积，即可得出结论． 【详解】解： 的半径为1， 的面积， 圆的内接正十二边形的中心角为， 过点A作，如图所示： ， 圆的内接正十二边形的面积， ， 故选：A． 3．（2025·青海西宁·三模）如图，若的半径为2，若用的内接正六边形的周长来估计的周长，则的周长与其内接正六边形的周长的差为______．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查的是正多边形和圆，正确求出正六边形的中心角是解题的关键． 连接，根据等边三角形的性质求出，再根据的周长公式、正六边形的周长公式计算． 【详解】解：如图，连接， 则， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴内接正六边形的周长为：， ∴的周长与其内接正六边形的周长的差为：， 故答案为：． 题型06 正多边形角度计算 / 中心角；内角；外角恒为。 典｜例｜精｜析 1．（2026·四川成都·二模）如图，正五边形内接于，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正五边形的性质求出圆心角的度数，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，如下图： ∵五边形是正五边形， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·江苏连云港·二模）如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再利用圆周角定理即可求出的大小 【详解】解：连接、，如图所示： 六边形是正六边形， ， 点是上的任意一点，是所对的圆周角， ． 2．（2026·陕西汉中·一模）苯（分子式为）环状结构的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（图1）．如图2，已知点O为正六边形的中心，则其中心角的度数为_____________． 【答案】 【分析】根据正多边形各边所对中心角相等且等于除以边数即可解答． 【详解】解：∵点O为正六边形的中心， ∴六边形各边所对中心角相等， ∴其中心角的度数为． 3．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图是中国硬币史上唯一采用九边设计的流通币，若把该九边形看作是正九边形，则每条边所对外接圆的圆心角度数是____________°． 【答案】 【分析】根据正n边形的中心角等于计算即可． 本题考查了正多边形的中心角计算，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得每条边所对外接圆的圆心角度数是， 故答案为：40． 题型07 正多边形与圆综合应用 / （1）锁定核心直角三角形（半径、边心距、半边长）；结合圆半径、切线、圆心角考点联动求解； （2）易错：综合题不会构造基础直角三角形；内接、外切正多边形条件混用；忽略题干圆半径定值。 典｜例｜精｜析 1．（2026·甘肃定西·三模）根据背景素材，探索解决问题． 画一个已知边长的正六边形 背景素材 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述． 已知条件 线段 操作步骤 ①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆； ③以的长为半径，在上顺次截取； ④顺次连接，，，，，得到正六边形． C________D 问题解决 (1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法） (2)在正六边形中，_______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据操作步骤作出，再根据弧、弦、圆心角的关系，分别作出，即得出，最后顺次连接即可； （2）根据正多边形内角和公式求内角即可． 【详解】（1）解：如图，正六边形即为所作； （2）解：正六边形的内角． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正六边形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． （1）连接，先根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，进行求解即可； （2）连接，，，求出圆心角的度数，再根据度数关系求边数即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， 正六边形内接于， ． ； （2）解：如图2，连接，，， 正六边形内接于， ． 点为的中点， ， ． 2．（2026·甘肃白银·一模）【文化阅读】甘肃境内遗存众多古塔（如图1为宁县湘乐砖塔），其塔刹基座或内部藻井常装饰有精美的正六边形几何纹样，这些纹样均绘制在一个完美的圆形基面上．在文物修复现场，工匠往往只能找到带有部分纹样痕迹的圆弧形残片，应用“定圆心，画六方”的技法来复原正六边形几何纹样，展现了古人“以理定形”的营造智慧． 【知识溯源】“定圆心、画六方”技法在我们的教科书中也有呈现： ①定圆心：在圆弧上任取两条弦，作两条弦的垂直平分线，相交于点O，即为该圆的圆心O； ②画六方：因圆内接正六边形的边长等于外接圆的半径R，所以在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，可将圆六等分，进而作出圆内接正六边形． 【知识迁移】某修复工作现场收集到的一块圆弧形残片（示意图如图2，弧线部分为原圆形基面的边缘），请你利用无刻度直尺和圆规，在图2中依据这块圆弧形残片完成其对应正六边形纹样的复原设计图．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】在圆弧上任意取两条不平行的弦，分别用无刻度直尺和圆规作这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是该圆的圆心O，同时确定圆的半径R；以O为圆心、R为半径，用圆规补出完整的圆；在圆上任取一点A，以R为半径，用圆规在圆上依次截取，得到B、C、D、E、F六个等分点，顺次连接这六个点，就得到圆内接正六边形． 【详解】解：如图，正六边形纹样的复原设计图即为所求． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆 3.6 正多边形与圆 知识点一 正多边形与圆 1. 正多边形的概念：各边相等、各角相等的多边形，叫做正多边形。 2. 正多边形与圆的关系： ①任何正多边形都有一个外接圆； ②任何正多边形都有一个内切圆； ③正多边形的外接圆和内切圆是同心圆。 3. 相关概念： ①中心：正多边形外接圆（内切圆）的圆心； ②半径 ：外接圆半径（中心到顶点的距离）； ③边心距 ：内切圆半径（中心到边的距离）； ④中心角：相邻两个顶点与中心连线所成的角； ⑤正 边形中心角：。 即学即练 1．（2026·河南周口·二模）我国古代《九章算术》记载“割圆术”思想，若一个正六边形的外接圆半径为2，则该正六边形的边长为（   ） A．1 B．2 C． D． 2．（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）如图，正五边形内接于为上一点（点与点不重合），求的度数． 题型01 圆内接正多边形作图题 / （1）等分圆心角：360°÷边数，依次截取圆弧等分圆周；正四边形作互相垂直直径，正六边形以半径截圆等分； （2）易错：作图遗漏圆弧痕迹；角度等分不均；混淆圆内接、外切正多边形作图步骤。 典｜例｜精｜析 1．（2026·陕西西安·二模）如图，已知，请用尺规作图法，求作的一个内接正方形（保留作图痕迹，不写作法）． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·江苏徐州·一模）按照要求进行尺规作图（保留作图痕迹，不写作图过程） (1)在图①中作正方形，且顶点都在圆上． (2)在图②中将圆的面积6等分． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期末）作图并填空： (1)在下图中，利用尺规作图，作出已知的内接正六边形；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑） (2)若已知的半径为2，则这个内接正六边形的面积为______． 题型02 求正多边形边长与边数 / （1）连接半径构造等腰三角形，作边心距拆分直角三角形；利用圆心角公式：中心角求边数； （2）易错：中心角公式记反；拆分直角三角形边角对应错误；已知边长反求边数计算失误。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·广东韶关·期末）如图，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边长是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·云南红河·一模）五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子中的微粒像足球一样团结在一起．一个烯分子由12个正五边形、20个正六边形组成（如图①所示）．如图②，在正六边形中，连接，若，则正六边形的边长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 2．（2026·山东济宁·一模）如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 3．（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，点为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 题型03 正多边形边心距计算 / （1）依托半径、半边长、边心距构成Rt△，勾股定理求解；边心距为内切圆半径，垂直平分正多边形边长 （2）易错：混淆边心距、外接圆半径；直角三角形直角边斜边代换出错。 典｜例｜精｜析 1．（2026·陕西西安·模拟预测）一个正多边形的一个外角与它的一个内角度数之比为，若该正多边形的外接圆半径为2，则这个正多边形的边心距为________． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，边长为2的正六边形的中心为，则该正六边形的边心距为______． 2．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边心距的长为______． 题型04 正多边形半径计算 / （1）外接圆半径=顶点到圆心线段；已知边长/边心距，代入直角三角形勾股公式直接计算。 （2）易错：把内切圆边心距当作外接圆半径；公式计算漏平方、开方失误。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·北京·期末）如图，正六边形内接于，若的面积为，则的半径为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·北京平谷·二模）如图，面积为8的正方形内接于，则的半径为__________． 2．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）要用圆形铁片截出一个边长为的正方形铁片，选用的圆形铁片的半径至少是________． 题型05 正多边形周长与面积计算 / （1）周长：边长×边数； （2）面积：单个等腰三角形面积×边数，通用公式。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）正六边形内接于，若的半径是2，则正六边形的周长是（   ） A．14 B．12 C．10 D．8 2．（2025·湖南娄底·模拟预测）中国太极图中，黑色和白色均衡对称、稳定和谐地组成了一幅美丽的图画． 如图，太极图内切于正六边形中，则图中黑色部分的面积与正六边形的面积之比是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是3，则图中阴影部分的面积是（ ）． A． B． C． D． 2．（2025·山东枣庄·二模）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计的面积S，设的半径为1，则的值为（    ）（） A．0.14 B．0.2 C．0.5 D．1 3．（2025·青海西宁·三模）如图，若的半径为2，若用的内接正六边形的周长来估计的周长，则的周长与其内接正六边形的周长的差为______．（结果保留） 题型06 正多边形角度计算 / 中心角；内角；外角恒为。 典｜例｜精｜析 1．（2026·四川成都·二模）如图，正五边形内接于，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·江苏连云港·二模）如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西汉中·一模）苯（分子式为）环状结构的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（图1）．如图2，已知点O为正六边形的中心，则其中心角的度数为_____________． 3．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图是中国硬币史上唯一采用九边设计的流通币，若把该九边形看作是正九边形，则每条边所对外接圆的圆心角度数是____________°． 题型07 正多边形与圆综合应用 / （1）锁定核心直角三角形（半径、边心距、半边长）；结合圆半径、切线、圆心角考点联动求解； （2）易错：综合题不会构造基础直角三角形；内接、外切正多边形条件混用；忽略题干圆半径定值。 典｜例｜精｜析 1．（2026·甘肃定西·三模）根据背景素材，探索解决问题． 画一个已知边长的正六边形 背景素材 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述． 已知条件 线段 操作步骤 ①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆； ③以的长为半径，在上顺次截取； ④顺次连接，，，，，得到正六边形． C________D 问题解决 (1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法） (2)在正六边形中，_______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 2．（2026·甘肃白银·一模）【文化阅读】甘肃境内遗存众多古塔（如图1为宁县湘乐砖塔），其塔刹基座或内部藻井常装饰有精美的正六边形几何纹样，这些纹样均绘制在一个完美的圆形基面上．在文物修复现场，工匠往往只能找到带有部分纹样痕迹的圆弧形残片，应用“定圆心，画六方”的技法来复原正六边形几何纹样，展现了古人“以理定形”的营造智慧． 【知识溯源】“定圆心、画六方”技法在我们的教科书中也有呈现： ①定圆心：在圆弧上任取两条弦，作两条弦的垂直平分线，相交于点O，即为该圆的圆心O； ②画六方：因圆内接正六边形的边长等于外接圆的半径R，所以在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，可将圆六等分，进而作出圆内接正六边形． 【知识迁移】某修复工作现场收集到的一块圆弧形残片（示意图如图2，弧线部分为原圆形基面的边缘），请你利用无刻度直尺和圆规，在图2中依据这块圆弧形残片完成其对应正六边形纹样的复原设计图．（保留作图痕迹，不写作法） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $