3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（讲义）2026-2027学年苏科版 九年级数学上册

3.5 点与圆、直线与圆的位置关系 目录 Part1考点突破 考点1：点与圆、直线与圆的位置关系 考点2：切线的判定与性质 考点3：切线长定理与三角形的内切圆 Part2 题型探究 题型1：点与圆的位置关系 题型2：直线与圆的位置关系 题型3：切线的判定 题型4：切线的性质 题型5：切线长定理 题型6：三角形的内切圆 题型7：圆的综合应用 Part3 分层通关 【考点1：点与圆、直线与圆的位置关系】 1、点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则：点P在圆外⟺d>r；点P在圆上⟺d=r；点P在圆内⟺d<r。判定点与圆的位置关系，关键是比较d与r的大小。 2、直线与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：直线l与⊙O相交⟺d<r（有两个公共点）；直线l与⊙O相切⟺d=r（有一个公共点）；直线l与⊙O相离⟺d>r（没有公共点）。 3、根据位置关系求取值范围 已知直线与圆的位置关系，可建立d与r的不等式（组），从而求出半径或距离的取值范围。注意相切是相交与相离的分界。 【考点2：切线的判定与性质】 1、切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。证明切线的两种常用方法：①已知直线过圆上某点，连接圆心与该点，证明垂直（"连半径，证垂直"）；②未知公共点，过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于半径（"作垂直，证半径"）。 2、切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径。推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。见到切线，常连接圆心与切点，构造直角三角形。 3、切线的概念辨析 注意区分"与圆有公共点"和"与圆相切"：与圆有两个公共点的直线是割线，不是切线。切线必须满足"唯一公共点"或"d=r"或"经过半径外端且垂直于半径"三个等价条件之一。 【考点3：切线长定理与三角形的内切圆】 1、切线长及切线长定理 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长。切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 2、三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点。内心到三角形三边的距离相等，都等于内切圆半径r。 3、内切圆半径与面积的关系 设△ABC的周长为l，内切圆半径为r，则△ABC的面积S=1/2·l·r。对于直角三角形，内切圆半径r=(a+b−c)/2（a、b为直角边，c为斜边）。圆外切四边形的两组对边之和相等。 【题型1：点与圆的位置关系】 【例1】如图，在直角中，为斜边上的中线，以点D为圆心，以为直径作，则点C与的位置关系为（     ） A．点C在圆外 B．点C在圆内 C．点C在圆上 D．不能确定 【答案】C 【分析】已知的半径，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可求解． 【详解】解：为直径作， ∴的半径 ∵在直角中，为斜边上的中线， ∴ ∴点C在圆上． 【变式1】已知的半径为．若点P到圆心O的距离为，则（   ） A．点P在上 B．点P在内 C．点P在外 D．无法判断 【答案】C 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小，即可判断点的位置． 【详解】解：设的半径为，点到圆心的距离为， ∵由题意得，， ∴ ，即 ， 根据点与圆的位置关系判定规则：当时，点在圆外， ∴点在外． 【变式2】已知矩形，，，以点为圆心，为半径作，则点在_________（填“外”“内”或“上”）． 【答案】内 【详解】解：如图：矩形，，，以点为圆心，为半径作， ∴点D到圆心A的距离，的半径， ∴， ∴点在内． 【变式3】如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先利用勾股定理可得，再根据“点在内且点在外”可得，由此即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， ， 点在内且点在外， ，即， 观察四个选项可知，只有选项C符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键． 【题型2：直线与圆的位置关系】 【例2】已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 【答案】D 【分析】根据垂线段最短得到圆心到直线的距离范围，再结合直线与圆位置关系的判定即可得出结论 【详解】解：设的半径为，圆心到直线的距离为， 由题意得，为上一点，， ∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴，即， ∵直线与圆相离的判定条件为， ∴不可能大于， ∴直线不可能与相离． 【变式1】直线a上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线a与⊙O的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】D 【详解】∵直线a上一点到圆心O的距离等于半径， ∴圆心O到直线a的距离小于或等于半径， ∴直线a与⊙O的位置关系是相切或相交. 故选D． 【变式2】已知点坐标为，如果半径为的与轴无公共点，与轴有公共点，那么的取值范围是_________． 【答案】 【详解】解：圆心到x轴的距离为， 由于圆与x轴无公共点， 故圆心到x轴的距离大于半径，即； 圆心到y轴的距离为1，由于圆与y轴有公共点， 故圆心到y轴的距离小于或等于半径，即； 因此，r的取值范围是． 【变式3】如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了圆与直线的位置关系．要掌握直线与圆的三种位置关系中各自的特点，并根据特殊的位置关系求出相对应的半径的长度是解题的关键．已知点O到直线l的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线l的距离为2．过点O作直线l的垂线，垂足为A．当圆与直线l的位置关系满足： 以O为圆心的圆与直线l相交，且在直线l两侧到直线l距离为2的点中，只有两个在圆上．从距离角度看，圆的半径r要满足：，即，得出答案． 【详解】解：已知点O到直线l的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线l的距离为2． 过点O作直线l的垂线，垂足为A． 当圆与直线l的位置关系满足： 以O为圆心的圆与直线l相交，且在直线l两侧到直线l距离为2的点中，只有两个在圆上． 从距离角度看，圆的半径r要满足：，即． 故选：D 【题型3：切线的判定】 【例3】下列四个命题中正确的是(   ) ①与圆有公共点的直线是该圆的切线; ②垂直于圆的半径的直线是该圆的切线; ③到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线; ④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线. A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】C 【详解】①中，与圆有两个公共点的直线，是圆的割线，故错误； ②中，应经过此半径的外端，故错误； ③中，根据切线的判定方法，正确； ④中，根据切线的判定方法，正确． 故选C. 点睛：要正确理解切线的定义：和圆有唯一公共点的直线是圆的切线．掌握切线的判定：①经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线，是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线． 【变式1】当点P在⊙O上时, 经过点P能作________条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O_________(填”上”或”外”或”内”) 【答案】 一 外 【分析】根据切线的定义求解即可. 【详解】如图， 当点P在⊙O上时, 经过点P能作一条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O外. 故答案为一；外. 【点睛】本题考查了切线的定义，经过半径的外端，且与半径垂直的直线是圆的切线，熟练掌握切线的定义是解答本题的关键. 【变式2】如图，为的直径，，当________时，直线与相切． 【答案】1 【分析】直线与相切时，，根据勾股定理即可求出． 【详解】解：当时，直线与相切， ∴（cm）， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定和性质是解题关键． 【变式3】如图，为的直径，点，为上的两个点，延长至，使，连接交于点． 求证：是的切线； 证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． 【题型4：切线的性质】 【例4】如图，在中，，是上的一点，以为直径的与相切于点，连接、，若，，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，切线的性质．先连接，证明，，再进一步解答即可． 【详解】解：如图，连接， 切圆于， 于， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：B． 【变式1】如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A，与y轴交点分别为B、C，圆心M的坐标是（4，5），则弦BC的长度为___． 【答案】6 【分析】连接BM、AM，作MH⊥BC于H，由垂径定理得到BC=2HB，根据切线的性质及M点的坐标得到OH，OB，在Rt△MBH中，由勾股定理可求出BH，即可得到BC的长度． 【详解】解：如图，连接BM、AM，作MH⊥BC于H， 则BH=CH， ∴BC=2HB， ∵与x轴相切于点A， ∴MA⊥OA， ∵圆心M的坐标是(4，5)， ∴MA=5，MH=4， ∴MB=MA=5， 在Rt△MBH中，由勾股定理得：， ∴BC=2×3=6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查切线的性质、坐标与图形性质、垂径定理、勾股定理的知识．解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形． 【变式3】如图，是的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点．作，垂足为点，已知平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； (2)． 【分析】（1）连接，根据题意求得，，从而求出，，结合切线的判定即可求解； （2）设的半径，则，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，是的直径， ， 设的半径，则， ，， 由勾股定理得， 解得：，（舍）， 的半径为． 【题型5：切线长定理】 【例5】如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 【答案】24 【详解】解：和是的两条切线， ， 同理可得：，， 的周长 ． 【变式1】如图，，是的切线，切点为，，点，在圆上，若，则（    ） A．55° B．65° C．70° D．78° 【答案】C 【分析】连接，则，而，求得，由切线长定理得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴． ∵， ． ，是⊙O的切线， ， ， ． 故选：C． 【变式2】如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______． 【答案】48 【详解】解：如图，令与边的切点分别为E，F，G，H， ∵四边形是的外切四边形， ∴， ∴ ∴， ∴四边形的周长为 ． 【变式3】如图，是的直径，和是它的两条切线，切于点，交于点，交于点，求证：． 【答案】 证明：连接交于，连接，如图， 和为的切线， ， ， 垂直平分， 是的直径， ， ， ． 【分析】本题考查了切线长定理，圆周角定理，垂直平分线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．连接、，如图，先根据切线长定理得到，再判断垂直平分，接着根据圆周角定理得到，然后根据平行线的判定方法得到结论． 【题型6：三角形的内切圆】 【例6】如图，已知⊙是的内切圆，且，，则的度数为_____． 【答案】110°． 【分析】根据三角形的内心的概念得到∠OBC＝∠ABC＝30°，∠OCB＝∠ACB＝40°，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴∠OBC＝∠ABC＝30°，∠OCB＝∠ACB＝40°， ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝110°， 故答案为110°． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，掌握三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点是解题的关键． 【变式1】将三角形按下列方式折叠得到线段，其中满足三角形的内心一定在上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：折叠后点落在边上，根据折叠前后对应角相等，可得，即平分，因此的内心一定在上， 选项A正确； 选项B：根据折叠前后对应角相等，可得，即不平分，所以 选项B不符合题意； 选项C：根据折叠前后对应角相等，可得，即不平分，所以 选项C不符合题意； 选项D：根据折叠前后对应角相等，可得，即不平分，所以 选项D不符合题意． 【变式2】如图，是的内切圆，切点分别为，，，且，，，则的半径是（    ）    A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】连接，，，如图，设的半径为r，利用勾股定理计算出，再证明四边形为正方形，则，所以，，进而可证，，因此，由此可解． 【详解】解：连接，，，如图， 设的半径为r， ∵，，， ∴， ∵F点、D点为切点， ∴，， 又∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴ ， ∴， 同理可证， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的半径为2． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明四边形为正方形． 【变式3】如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）解：是的内切圆， 平分，平分， 在中，， ， ， ． （2）解：设半径为r，连接、， 是的内切圆，切点分别为、、， 由切线长定理得：，，， ，，， 四边形是正方形，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得： 或 （舍去负值）， 的半径． （3）解：由（2）知，，， 设斜边的中点为，则是的外心， 分别连接， ，， ， ， 是内切圆半径，， ， 在中，由勾股定理得： ， 的外心和内心的距离为． 【题型7：圆的综合应用】 【例7】如图，四边形为的内接四边形，，平分，，，则的内心与外心之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于，于，证明，推出，可证，得到，得到四边形是正方形，是对角线，作的内切圆，圆心为，为切点，连接，．由切线长定理可知，推出，由面积法可知内切圆半径为，在中，由勾股定理即可解决问题． 【详解】解：作于，于， 平分，，， ，， 又 ， ，即， 四边形为的内接四边形，， ，即， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 四边形是正方形，是对角线， ， 正方形的边长为， ， ， ， ， 作的内切圆，圆心为，为切点，连接，． 由切线长定理可知：， ， ， ， ， 即内切圆半径为， 在中，． 的内心与外心之间的距离为， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式1】在中，已知，下列判断中错误的是（   ） A．若为重心，则 B．若为外心，则 C．若为内心，则 D．若为垂心，则 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的重心，外心，内心及垂心的性质，要理解这“四心”的定义，因为三角形的性质不确定，所以根据题意举反例是解题的关键． 根据三角形重心，外心，内心及垂心的定义及性质逐个选项进行判断． 【详解】解：若是的重心，即是三条中线的交点． 当是等边三角形时，如图，，则； 当是非等边三角形时，；故选项A正确； 若是的外心，即是外接圆的圆心， ，故选项B正确； 若是的内心，即是内切圆的圆心， 如图， ∵ ， ， ∵是的内心， ， ， ，故选项C正确； 若是的垂心，即是三条高的交点． 当是直角三角形时，如图，与直角顶点重合， ，故选项D错误． 故选：D． 【变式2】如图，已知在中，，，，点是的内心．    （1）点到边的距离为__； （2）是的外心，连接，则的长为__． 【答案】 2 【分析】（1）连接，，，过点分别作，，于点，，，根据，，可得，即可解决问题； （2）连接，证明，可得，再利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，连接，，，过点分别作，，于点，，，    在中， ，，， ， 是的内心， ， ， ， ， 点到边的距离为2； 故答案为：2； （2）如图，连接， 由1.知，， ，， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， （AAS）， ， 是的外心， ， ， 在中，根据勾股定理得： ． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，三角形外接圆与外心，三角形的全等的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握内心和外心的区别． 【变式3】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过点O作OD⊥CB，垂足为点D，延长DO交⊙O于点E，过点E作PE⊥AB，垂足为点P，作射线DP交CA的延长线于F点，连接EF， （1）求证：OD＝OP； （2）求证：FE是⊙O的切线． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）在∴△OPE和△ODB中 ， ∴△OPE≌△ODB（AAS）， ∴OD＝OP； （2）如图：连接EA，EB， ∵AB是直径， ∴∠AEB＝∠C＝90°， ∴∠2+∠3＝90°，∠AEO+∠OEB＝90°． ∵∠3＝∠DEB ∴∠2＝∠AEO． ∵∠C＝∠BDE＝90° ∴CF∥OE， ∴∠ODP＝∠AFP，∠1＝∠AEO， ∴∠1＝∠2． ∵OD＝OP， ∴∠ODP＝∠OPD． ∵∠OPD＝∠APF， ∴∠AFP＝∠APF ∴AF＝AP． 在△APE和△AFE 中， ∴△APE≌△AFE （SAS）， ∴∠AFE＝∠APE＝90° ∴∠FED＝90° 又∵FE经过半径的外端， ∴FE是⊙O的切线． 【基础通关练】 1．如图，点P，Q分别在直线和上，且，与的平分线交于点R．如果以为直径作，那么点R与O的位置关系是（     ） A．点R在外 B．点R在内 C．点R在上 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出同旁内角互补，结合角平分线的定义求出，再根据直径所对的圆周角是直角即可判定点R在上 【详解】解：∵， ∴， ∵与的平分线交于点R， ∴，， ∴， ∴， ∴以为直径作时，的半径， ∴点R在上． 2．点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：点P在圆O外， 点P到圆心O的距离大于圆O的半径r， 点P到圆心O的距离为，且圆的半径， ． 故选：A． 3．在平面直角坐标系中，的半径为2.5，直线的解析式为，那么直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，一次函数的性质，关键是由三角形面积公式求出的长．求出，由勾股定理得到，由三角形面积公式求出，而的半径，即可判断直线与的位置关系． 【详解】解：如图，直线分别与轴交于， 过作于， 当时，， ， 当时，， ， ， ， 的面积， ， ， 到直线的距离， 的半径， ， 直线与的位置关系是相交． 故选：C． 4．已知直角坐标内，半径为2的圆心坐标为（3，-4），当该圆向上平移m个单位长度时，若要此圆与x轴没有交点，则m的取值范围是_______________． 【答案】m<2或m>6 【详解】圆心向上平移m个单位长度后坐标为（3，m－4）， ∵圆与x轴没有交点， ∴所以圆心到x轴的距离＞2， 即m－4＞2或m－4＜－2， ∴m＞6或m＜2. 故答案为m＞6或m＜2. 点睛：（1）掌握平面坐标系中，点经过平移后，对应的坐标的表示方法； （2）将圆与x轴的交点问题转化为圆心到x 轴的距离问题. 5．如图，是的直径，直线切于点C，连结，若，则的度数为______． 【答案】/50度 【详解】解：连接， ∵直线切于点， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．如图， 是 的直径，是 的弦，点D是的中点．过点D作交的延长线于点E．四边形内接于 ，是 的直径，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)；(2) 见解析 【详解】（1）解：如图，连接． ∵ 是 的直径， ∴ ． ∵， ∴， 则 是等腰直角三角形． ∴； （2）证明：如图，连接． ∵点D是的中点， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵ 是 的半径， ∴是 的切线． 【提升通关练】 1．已知点在半径为5的内，那么点到圆心的距离不可能是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，掌握点P到圆心的距离，当时，点P在圆内是解题的关键． 根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：∵点P在半径为5的内， ∴， ∴点P到圆心O的距离不可能是6． 故选：D． 2．圆的半径为，圆心与直线上某一点距离为，则直线与圆的位置关系不可能是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为，圆心与直线上某一点的距离为， 又∵垂线段最短， 圆心到直线的距离， ∴ ∴直线与圆相切或相交，不可能相离． 3．如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 【答案】A 【分析】本题主要考查切线的定义，根据与圆有唯一公共点的直线是圆的切线进行判断即可． 【详解】解：∵与有唯一公共点的直线是， ∴与相切的直线是， 故选：A． 4．如图，已知，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作，当________cm时，与OA相切. 【答案】4 【分析】过M作MN⊥OA于点N，此时以MN为半径的圆与OA相切，根据30°角所对直角边为斜边的一半可得OM的长. 【详解】解：如图，过M作MN⊥OA于点N， ∵MN=2cm，， ∴OM=4cm， 则当OM=4cm时，与OA相切. 故答案为4. 【点睛】本题主要考查切线判定，直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 5．如图，⊙O的半径为4，点P是⊙O外的一点，PO=10，点A是⊙O上的一个动点，连接PA，直线l垂直平分PA，当直线l与⊙O相切时，PA的长度为____________． 【答案】． 【分析】如图设切点为E，作OF⊥PA于F，连接OE．直线l交PA于K，则四边形OEKF是矩形．设AK=PK=x，由OE=KF=4，推出AF=x﹣4，PF=x+4，由OF2=OA2﹣AF2=OP2﹣PF2，列出方程即可解决问题． 【详解】如图设切点为E，作OF⊥PA于F，连接OE． 直线l交PA于K，则四边形OEKF是矩形． 设AK=PK=x． ∵OE=KF=4， ∴AF=x﹣4，PF=x+4． 在中， ∵OF2=OA2﹣AF2=OP2﹣PF2， ∴42﹣(x﹣4)2=102﹣(x+4)2， ∴x， ∴PA=2x． 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造特殊四边形，列出关于x的方程解决问题． 6．直角三角形两条直角边分别为和，则此三角形的内切圆半径为_____，外接圆半径为_____． 【答案】 【详解】解：如图所示： 由内切圆性质可知，， ∵直角三角形的两条直角边分别为和， ∴由勾股定理得斜边长为， 则内切圆半径， 再由直角三角形外接圆半径为斜边的一半，可知此三角形的外接圆半径为． 7．如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)； (2)证明：连接， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线。 【分析】（1）连接，先求出长度，利用垂径定理得，再在中由勾股定理算出，进而求出； （2）连接，由垂直平分线性质得，等边对等角得，结合推出，再利用得，等量代换证明，依据切线判定定理证为切线。 【详解】（1）解：连接， ∵半径为， ∴， ∵， ∴， ∵，为直径， ∴，， 在中，， ∴； （2）略 8．如图，在矩形中，以为直径作半圆O，切线的延长线交于点F，E为切点，对角线恰好过E点． (1)求证：F为中点； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：∵矩形， ∴， ∵为半圆O的直径， 、CD为的切线， 又AE为切线， ， ， 在矩形ABCD中，， ， ， ， 、FC为切线， ， ， 为CD中点． (2) 【分析】（1）先证、CD为的切线，再根据切线长定理得出，从而得出，然后根据平行线的性质与对顶角性质证得，得出，最后由切线长定理得出，即可得出结论； （2）设，则，，再在中，由勾股定理得出，解得：，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：、AE为切线 ， 设 则， ∴， ∵矩形， ∴， 在中 ， 即， 又， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定与性质，切线长定理，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的判定与性质以及切线长定理是解题的关键． 9．如图，是的直径，点C在上，过点C的直线与的延长线交于点P，． (1)求证：是的切线； (2)已知弦于E点，，，求长． 【答案】(1)见解析；(2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为r，则，， 在中，根据勾股定理得， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【培优通关练】 1．如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝55°，则∠A的度数是（　　）． A．35° B．55° C．70° D．125° 【答案】C 【分析】根据三角形内切圆、圆心角和圆周角定理、四边形的性质分析，即可完成解题． 【详解】连接OD，OF，如下图所示 ∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F ∵∠DEF＝55° ∴∠DOF＝2∠DEF＝2×55°＝110° ∵四边形ADOF ∵∠A+∠ADO+∠AFO+∠DOF＝360° ∵AD，AF是圆的切线 ∴∠ADO＝∠AFO＝90° ∴∠A＝360°-90°-90°-110°＝70° 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内切圆、圆心角、圆周角、四边形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内切圆、圆心角、圆周角、四边形内角和性质，从而完成求解． 2．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为_______． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，由的周长为14，可求的长． 【详解】解：与 ，，分别相切于点，，， ，，， 的周长为14， ， ， ． 故答案为：5． 3．如图，以的直角边为直径的交斜边于点，过点作的切线与交于点，弦与垂直，垂足为． (1)求证：为的中点； (2)若的面积为，两个和的外接圆面积之比为3，求的内切圆面积和四边形的外接圆面积的比． 【答案】(1) 证明：连接、， 是直径，则， 是切线， ， ， ，即是圆的切线， ， ， ， ， ， ， 为的中点； (2) 【分析】（1）证明，，为直角三角形的中线，即可求解； （2）和的外接圆面积之比为3，确定，即，得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：和的外接圆面积之比为3，， 则两个三角形的外接圆的直径分别为、， ， ∵， ∴， ， ∵，是直径， ∴， ， ∴， ， ，是直角三角形的中线， ， 为等边三角形， 的面积：， 则，， ，，， ∵是的中位线， ∴， ∴四边形的外接圆面积， ∵等边三角形边长为2， ∴其内切圆的半径为：，面积为， 故的内切圆面积和四边形的外接圆面积的比为：． 【点睛】本题为圆的综合运用题，涉及到三角形的外接圆和内切圆的相关知识，本题的关键是通过和的外接圆面积之比为3，确定，进而求解． 4．如图，在等腰△ABC中，CA＝CB，AD是腰BC边上的高，△ACD的内切圆⊙E分别与边AD、BC相切于点F、G，连接AE、BE． （1）求证：AF＝BG； （2）过E点作EH⊥AB于H，试探索线段EH与线段AB的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见试题解答内容；（2）EHAB 【解答】解：（1）设△ACD的内切圆⊙E与边AC相切于点I， △ACD的内切圆⊙E与边BC相切于点G，所以CI＝CG． 同理：AI＝AF． ∵CA＝CB，CI＝CG，∴AI＝BG． 又∵AI＝AF，∴AF＝BG． （2）EHAB， 理由：连接AE、BE、CE， ∵E是△ACD的内切圆的圆心， ∴CE平分∠ACB． 即∠ACE＝∠BCE， 在△ACE和△BCE中， ， ∴△ACE≌△BCE（SAS）． ∴∠AEC＝∠BEC，AE＝BE， ∵E是△ACD的内切圆的圆心，∠ADC＝90°， ∵∠AEC＝90°∠ADC＝135°， 从而∠AEB＝90°，又AE＝BE， ∴△ABE为等腰直角三角形， ∵EH⊥AB于H， ∴EHAB． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.5 点与圆、直线与圆的位置关系 目录 Part1考点突破 考点1：点与圆、直线与圆的位置关系 考点2：切线的判定与性质 考点3：切线长定理与三角形的内切圆 Part2 题型探究 题型1：点与圆的位置关系 题型2：直线与圆的位置关系 题型3：切线的判定 题型4：切线的性质 题型5：切线长定理 题型6：三角形的内切圆 题型7：圆的综合应用 Part3 分层通关 【考点1：点与圆、直线与圆的位置关系】 1、点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则：点P在圆外⟺d>r；点P在圆上⟺d=r；点P在圆内⟺d<r。判定点与圆的位置关系，关键是比较d与r的大小。 2、直线与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：直线l与⊙O相交⟺d<r（有两个公共点）；直线l与⊙O相切⟺d=r（有一个公共点）；直线l与⊙O相离⟺d>r（没有公共点）。 3、根据位置关系求取值范围 已知直线与圆的位置关系，可建立d与r的不等式（组），从而求出半径或距离的取值范围。注意相切是相交与相离的分界。 【考点2：切线的判定与性质】 1、切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。证明切线的两种常用方法：①已知直线过圆上某点，连接圆心与该点，证明垂直（"连半径，证垂直"）；②未知公共点，过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于半径（"作垂直，证半径"）。 2、切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径。推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。见到切线，常连接圆心与切点，构造直角三角形。 3、切线的概念辨析 注意区分"与圆有公共点"和"与圆相切"：与圆有两个公共点的直线是割线，不是切线。切线必须满足"唯一公共点"或"d=r"或"经过半径外端且垂直于半径"三个等价条件之一。 【考点3：切线长定理与三角形的内切圆】 1、切线长及切线长定理 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长。切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 2、三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点。内心到三角形三边的距离相等，都等于内切圆半径r。 3、内切圆半径与面积的关系 设△ABC的周长为l，内切圆半径为r，则△ABC的面积S=1/2·l·r。对于直角三角形，内切圆半径r=(a+b−c)/2（a、b为直角边，c为斜边）。圆外切四边形的两组对边之和相等。 【题型1：点与圆的位置关系】 【例1】如图，在直角中，为斜边上的中线，以点D为圆心，以为直径作，则点C与的位置关系为（     ） A．点C在圆外 B．点C在圆内 C．点C在圆上 D．不能确定 【变式1】已知的半径为．若点P到圆心O的距离为，则（   ） A．点P在上 B．点P在内 C．点P在外 D．无法判断 【变式2】已知矩形，，，以点为圆心，为半径作，则点在_________（填“外”“内”或“上”）． 【变式3】如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型2：直线与圆的位置关系】 【例2】已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 【变式1】直线a上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线a与⊙O的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【变式2】已知点坐标为，如果半径为的与轴无公共点，与轴有公共点，那么的取值范围是_________． 【变式3】如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3：切线的判定】 【例3】下列四个命题中正确的是(   ) ①与圆有公共点的直线是该圆的切线; ②垂直于圆的半径的直线是该圆的切线; ③到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线; ④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线. A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【变式1】当点P在⊙O上时, 经过点P能作________条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O_________(填”上”或”外”或”内”) 【变式2】如图，为的直径，，当________时，直线与相切． 【变式3】如图，为的直径，点，为上的两个点，延长至，使，连接交于点． 求证：是的切线； 证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． 【题型4：切线的性质】 【例4】如图，在中，，是上的一点，以为直径的与相切于点，连接、，若，，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A，与y轴交点分别为B、C，圆心M的坐标是（4，5），则弦BC的长度为___． 【变式3】如图，是的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点．作，垂足为点，已知平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【题型5：切线长定理】 【例5】如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 【变式1】如图，，是的切线，切点为，，点，在圆上，若，则（    ） A．55° B．65° C．70° D．78° 【变式2】如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______． 【变式3】如图，是的直径，和是它的两条切线，切于点，交于点，交于点，求证：． 【题型6：三角形的内切圆】 【例6】如图，已知⊙是的内切圆，且，，则的度数为_____． 【变式1】将三角形按下列方式折叠得到线段，其中满足三角形的内心一定在上的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】如图，是的内切圆，切点分别为，，，且，，，则的半径是（    ）    A．1 B． C．2 D． 【变式3】如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 【题型7：圆的综合应用】 【例7】如图，四边形为的内接四边形，，平分，，，则的内心与外心之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【变式1】在中，已知，下列判断中错误的是（   ） A．若为重心，则 B．若为外心，则 C．若为内心，则 D．若为垂心，则 【变式2】如图，已知在中，，，，点是的内心．    （1）点到边的距离为__； （2）是的外心，连接，则的长为__． 【变式3】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过点O作OD⊥CB，垂足为点D，延长DO交⊙O于点E，过点E作PE⊥AB，垂足为点P，作射线DP交CA的延长线于F点，连接EF， （1）求证：OD＝OP； （2）求证：FE是⊙O的切线． 【基础通关练】 1．如图，点P，Q分别在直线和上，且，与的平分线交于点R．如果以为直径作，那么点R与O的位置关系是（     ） A．点R在外 B．点R在内 C．点R在上 D．无法确定 2．点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，的半径为2.5，直线的解析式为，那么直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 4．已知直角坐标内，半径为2的圆心坐标为（3，-4），当该圆向上平移m个单位长度时，若要此圆与x轴没有交点，则m的取值范围是_______________． 5．如图，是的直径，直线切于点C，连结，若，则的度数为______． 6．如图， 是 的直径，是 的弦，点D是的中点．过点D作交的延长线于点E．四边形内接于 ，是 的直径，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线． 【提升通关练】 1．已知点在半径为5的内，那么点到圆心的距离不可能是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 2．圆的半径为，圆心与直线上某一点距离为，则直线与圆的位置关系不可能是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 3．如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 4．如图，已知，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作，当________cm时，与OA相切. 5．如图，⊙O的半径为4，点P是⊙O外的一点，PO=10，点A是⊙O上的一个动点，连接PA，直线l垂直平分PA，当直线l与⊙O相切时，PA的长度为____________． 6．直角三角形两条直角边分别为和，则此三角形的内切圆半径为_____，外接圆半径为_____． 7．如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长； (2)求证：是的切线． 8．如图，在矩形中，以为直径作半圆O，切线的延长线交于点F，E为切点，对角线恰好过E点． (1)求证：F为中点； (2)求的长． 9．如图，是的直径，点C在上，过点C的直线与的延长线交于点P，． (1)求证：是的切线； (2)已知弦于E点，，，求长． 【培优通关练】 1．如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝55°，则∠A的度数是（　　）． A．35° B．55° C．70° D．125° 2．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为_______． 3．如图，以的直角边为直径的交斜边于点，过点作的切线与交于点，弦与垂直，垂足为． (1)求证：为的中点； (2)若的面积为，两个和的外接圆面积之比为3，求的内切圆面积和四边形的外接圆面积的比． 4．如图，在等腰△ABC中，CA＝CB，AD是腰BC边上的高，△ACD的内切圆⊙E分别与边AD、BC相切于点F、G，连接AE、BE． （1）求证：AF＝BG； （2）过E点作EH⊥AB于H，试探索线段EH与线段AB的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $