专题3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（12题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦初中数学“点与圆、直线与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理点与圆（圆外、圆上、圆内，d与r比较）及直线与圆（相离、相切、相交，d与r比较）的判定方法，延伸切线性质与判定，构建从基础位置关系到综合应用的学习支架。 该资料以“即学即练+典例变式+综合题型”梯度设计为亮点，结合太阳与地平线等实际问题培养应用意识，通过图形观察与推理发展几何直观和推理能力，课中助力教师分层教学，课后便于学生巩固练习、查漏补缺。

专题3.5 点与圆、直线与圆的位置关系 教学目标 1. 探索并理解点与圆的三种位置关系（点在圆外、圆上、圆内），能根据点到圆心的距离与半径的大小关系进行判断。 2. 探索并理解直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交），能根据圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断。 3. 通过观察、操作与推理，体会分类讨论与数形结合思想，发展空间观念。 教学重难点 重点： 1. 点与圆的位置关系的判断方法。 2. 直线与圆的位置关系的判断方法（d 与 r 的比较）。 教学难点： 1. 理解直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径这一数量关系。 2. 运用直线与圆的位置关系解决实际问题（如太阳与地平线、航线与暗礁等）。 知识点01 点与圆的位置关系 点和圆的位置关系 1）点和圆的位置关系有3种：圆外、圆上、圆内 2）设O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则： P在圆外d>r； P在圆上d=r； P在圆内d<r 【即学即练】1．已知圆的半径是，则点和圆的位置关系是（  ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 【答案】A 【分析】设圆的半径为，点到圆心的距离为，当时，点在圆内；当时，点在圆上；当时，点在圆外． 【详解】解：∵圆的半径，点到圆心的距离，即， ∴点在圆内． 2．如图，在中，，，，点在边上，且，连接．以点为圆心，以为半径画圆，若点中只有2个点在圆内，则的值可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点到圆心距离为d，半径为r，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 先根据勾股定理求出，再得出，根据点A，B，C中只有2个点在圆内，推出，即可解答． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∵点中只有2个点在圆内，， ∴， 故选：C． 3．已知的半径为，点到圆心的距离为，若点在内，则的取值范围中整数的个数为___________ 【答案】 7 【分析】根据点与圆的位置关系得到的取值范围，再统计范围内整数的个数即可． 【详解】已知的半径， 根据点与圆的位置关系，点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，且点到圆心的距离为非负数， 因此可得的取值范围为, 该范围内的整数为，共个． 知识点02 直线与圆等三种位置关系 直线与圆的位置关系 1.直线和圆有几种位置关系 如图（a），直线L和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线． 如图（b），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，�这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点． 如图（c），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．[ 2.切线的判定和性质 1、切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径 2、推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 【即学即练】4．圆的半径为，圆心与直线上某一点距离为，则直线与圆的位置关系不可能是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合垂线段最短，即可作出判断． 【详解】解：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为，圆心与直线上某一点的距离为， 又∵垂线段最短， 圆心到直线的距离， ∴ ∴直线与圆相切或相交，不可能相离． 5．如图，是的直径，是的切线，切点为C，点D在的延长线上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接．利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到，再根据切线的性质得到，然后利用直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：连接． ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴． 6．如图，切于点B，交于点C，过点B作交于点D，连接．若，则______． 【答案】/度 【分析】连接，由切线的性质得，由，得，，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵切于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型01 判断点与圆的位置关系 【典例1】（2026·云南昭通·一模）某圆形桌面，圆心为O，半径为，桌面上有一点P，则线段的长度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点P在圆形桌面上，可得点P在圆内或圆上，由此得到的取值范围，再判断选项即可． 【详解】解：∵点在圆形桌面上，圆形桌面所在圆的半径，圆心为， ∴点在内或上， ∴， 故观察选项，只有符合该范围． 【变式1】（2026·河南周口·二模）已知的直径为，点M不在内，则的长（   ） A．大于 B．不小于 C．大于 D．不小于 【答案】B 【分析】先根据圆的直径求出半径，再结合点与圆的位置关系判断的长度范围，点不在圆内包含点在圆上和点在圆外两种情况． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径， ∵点不在内， ∴点在上或外， ∴，即的长不小于． 【变式2】（2026·云南昆明·模拟预测）已知的直径为，若点到点的距离为，则点在________．（填“内”“外”或“上”） 【答案】外 【分析】先根据的直径求出圆的半径，再比较点到圆心的距离与半径的大小关系，根据点与圆的位置关系判断点的位置即可． 【详解】解：的直径为， 的半径， 点到圆心的距离， ， 点在外． 【变式3】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知的半径为3，，则点P与的位置关系是：点P在________． 【答案】外 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，一个圆的圆心到一个点的距离为d，圆的半径为，则当时，该点在圆外；当时，该点在圆上，当时，该点在圆内，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴点P与的位置关系是点P在外， 故答案为：外． 题型02 利用点与圆的位置关系求半径 【典例1】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知的半径为2，若点在内，则的长可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：∵的半径为2，点在内， ∴， ∴的长可能为1． 故选：D 【变式1】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）平面上的一点和的最近点距离为，最远距离为，则这个圆的半径是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系． 分点在圆外和点在圆内两种情况讨论，利用最近和最远距离与半径的关系求解 【详解】解：设点与圆心距离为d，半径为r， 当点在圆外时， ∵最近距离为，最远距离为， ∴两式相加，， 即， 代入， 得； 当点在圆内时， ∵最近距离为，最远距离为， ∴两式相加，， 解得：； ∴圆的半径为或． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知的半径是2，若点在外，则的长可能为_______．（填一个符合条件的数即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内是解题的关键． 根据点在圆外得到，即可求解． 【详解】解：∵的半径是2，若点在外， ∴， ∴的长可能为3（答案不唯一）， 故答案为：3（答案不唯一）． 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）在平面直角坐标系内，点的坐标是．如果与两坐标轴有且只有3个公共点，那么的半径长是______． 【答案】4或5/5或4 【分析】本题考查圆与坐标轴的位置关系，掌握根据圆心到坐标轴的距离及圆的半径，分析公共点数量是解题的关键． 分析圆心到坐标轴的距离，分圆与轴相切、圆经过原点两种情况，判断圆与坐标轴的公共点数量，从而确定半径． 【详解】解：圆心到轴距离为4，到轴距离为3，到原点距离为． 当圆与轴相切时，半径，此时圆与轴相交于两点，公共点共个； 当圆经过原点时，半径，此时圆与轴、轴各有一个除原点外的交点，公共点共个． 其他情况：当时，无公共点； 当时，与轴相切，有个交点，与轴无交点，公共点数为； 当时，与轴有两个交点，与轴无交点，公共点数为； 当或时，与轴和轴各有两个交点，公共点数为； 故半径为或时，圆与坐标轴有且只有个公共点． 故答案为：或． 题型03 判断直线与圆的位置关系 【典例1】（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）已知圆的半径是，如果圆心到直线的距离是，那么直线和圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据题意得圆的半径，圆心到直线的距离，然后比较即可求解． 【详解】解：根据题意得圆的半径，圆心到直线的距离， ∵， ∴根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离小于圆的半径时，直线与圆相交， ∴直线和圆的位置关系是相交． 【变式1】（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）如果的半径为，圆心到直线的距离为，且，那么和直线的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【分析】比较圆的半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到位置关系，规则为：时直线与圆相交，时相切，时相离． 【详解】解：∵的半径，圆心到直线的距离， ∴， 根据判定规则可得和直线的位置关系是相交． 【变式2】（25-26九年级上·广东广州·期末）若的半径为5，圆心O到直线的距离为2，则直线与的位置关系是________．（填“相交”、“相切”或“相离”） 【答案】相交 【分析】本题考查直线和圆的位置关系．设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和相交⇔，②直线l和相切⇔，③直线l和相离⇔．据此判断即可． 【详解】解：∵的半径为5，圆心到直线的距离为2， ∴, ∴直线与圆相交， 故答案为：相交． 【变式3】（25-26九年级上·江苏南通·期末）的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是__________． 【答案】相交 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系；由题意得出，根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可． 【详解】解：∵的半径为，圆心到直线的距离为， ∴， 即， ∴直线l与⊙O的位置关系是相交， 故答案为：相交． 题型04 已知直线和圆的位置关系求半径等取值范围 【典例1】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．根据直线与圆相交、相切、相离的定义判定．直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离，即可得到问题的选项． 【详解】解：∵直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离为6， ∴， 故选：A． 【变式1】（25-26九年级下·上海杨浦·期中）在平面直角坐标系中，已知点，以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r可以取的值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【分析】先求出圆心M到x轴和y轴的距离，再根据直线与圆相交相离的位置关系确定半径r的取值范围，最后匹配选项即可． 【详解】解：∵点M的坐标为， ∴圆心M到轴的距离，到轴的距离， ∵圆与轴相交，与轴相离， ∴且，即， 观察选项，只有满足该范围，因此选B． 【变式2】（25-26九年级上·河北衡水·期末）已知的半径为，圆心到直线的距离为4，若直线与相离，且为整数，则的值可以为__________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查直线与圆的关系，根据直线与圆相离的位置关系，圆心到直线的距离大于半径得出，再根据r为整数且，即可得出答案． 【详解】∵直线l与相离， ∴圆心O到直线l的距离．已知， ∴，即， 又∵r为整数且， ∴r可取1，2，3． 故答案为：3 【变式3】（25-26九年级上·上海静安·期末）已知点坐标为，如果半径为的与轴无公共点，与轴有公共点，那么的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系；根据圆与坐标轴的位置关系，利用圆心到直线的距离与半径的关系列不等式求解． 【详解】解：圆心到x轴的距离为， 由于圆与x轴无公共点， 故圆心到x轴的距离大于半径，即； 圆心到y轴的距离为1，由于圆与y轴有公共点， 故圆心到y轴的距离小于或等于半径，即； 因此，r的取值范围是． 故答案为：． 题型05 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线等距离 【典例1】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）若半径为的与直线l相离，则圆心O到直线l的距离可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，一个圆的圆心到直线的距离为d，圆的半径为，则当时，直线与圆的位置关系为相离；当时，直线与圆的位置关系为相切，当时，直线与圆的位置关系为相交，由题意可得圆心O到直线l的距离大于，据此可得答案． 【详解】解：∵半径为的与直线l相离， ∴圆心O到直线l的距离大于， ∴四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】圆与直线的位置关系由圆心到直线的距离和圆半径的大小关系决定：当时，圆与直线相离，无公共点；当时，圆与直线相切，有一个公共点；当时，圆与直线相交，有两个公共点． 【详解】解：∵与直线没有公共点， ∴与直线相离， 已知的半径， ∴圆心到直线的距离， 观察选项，只有选项A中的6满足， 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）已知的半径为5，点到直线的距离为，若直线与相离，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知的半径为，圆心到直线的距离为，当时，直线和相离是解答此题的关键． 根据圆与直线相离的位置关系，圆心到直线的距离大于半径，即可求解． 【详解】解：∵直线与相离， ∴圆心到直线的距离大于的半径，即． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级下·全国·课后作业）在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为，半径是2．如果⊙M与y轴相切，那么___；如果⊙M与y轴相交，那么m的取值范围是___；如果⊙M与y轴相离，那么m的取值范围是___． 【答案】 或 【分析】根据轴与圆的位置关系，推出圆心到轴的距离和半径之间的关系即可得解． 【详解】解：∵⊙M与y轴相切， ∴； 即； ∴如果⊙M与y轴相交，那么m的取值范围是； 如果⊙M与y轴相离，那么m的取值范围是或． 故答案为：；；或． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系与直线与圆的位置关系之间的联系，是解题的关键． 题型06 求平移到直线相切时圆心经过的距离 【典例1】（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离为或， 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径，注意分类讨论． 分圆心在轴的左侧和轴的右侧两种情况，根据半径等于圆心到直线的距离写出答案即可． 【详解】解：当位于轴的左侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为； 当位于轴的右侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为． 故选：B． 【变式2】（2023·浙江衢州·一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为___________秒．    【答案】2或10 【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】解：当位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； ∴(秒)； 当位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． ∴(秒)； 故答案为：2或10 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 【变式3】（2025·河南濮阳·一模）如图，，圆心在边上的的半径为，．若在上向点移动，当与相切时，圆心移动的距离为________． 【答案】 【分析】此题重点考查平移的性质、切线的性质定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 当移动到与相切时，设圆心为，切点为，由，，，得，最后求解即可． 【详解】解：当移动到与相切时，设圆心为，切点为，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴圆心移动的距离为． 故答案为：． 题型07 求直线平移到与圆相切时运动的距离 【典例1】（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系以及平移的性质，是基础知识要熟练掌握． 根据直线和圆相切的数量关系，可得点O到l的距离为，可向上或向下平移，使l与相切，即可得出答案． 【详解】解：如图，当直线l经过点B时，， 当直线l平移至直线，且切点为点A时，此时； 当l移动到，且切点为点C时，则； 综上所述，与相切时，平移的距离是或． 故选D． 【变式1】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知的半径为，点O到直线l的距离为，把直线l向上平移______，才能使l与相切？ 【答案】2或 【分析】本题考查圆的切线，掌握相关知识是解决问题的关键．直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，据此解答即可． 【详解】解：根据题意得，或， 把直线l向上平移或才能使l与相切； 故答案为：2或 【变式2】（2026·广东广州·二模）如图，的半径，直线，垂足为，且交于，两点，，若沿所在直线平移后与相切，则平移的距离是________． 【答案】或 【分析】连接，利用垂径定理可得，再由勾股定理可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】解：连接， ∵直线，， ∴， 在中，， ∴， ∵直线l沿所在直线平移后与相切， ∴直线l应垂直于过点C的直径，垂足为直径的两个端点， ∴当直线向下平移时，直线l沿所在直线移动的距离为； 当直线向上平移时，直线l沿所在直线移动的距离为； 综上所述，平移的距离是或． 【变式3】（25-26九年级下·全国·随堂练习）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离． 【答案】1或5． 【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； 当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． 故答案为：1或5． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 题型08 切线的性质定理 【典例1】（2026·湖北·中考真题）如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理求出的度数，最后在中利用直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ． 【变式1】（2026·河南平顶山·三模）如图，四边形是的内接四边形，是的切线，交的延长线于点E．若经过圆心O，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接．由四边形是的内接四边形可得，得出．由切线的性质得，可得，根据三角形外角的性质可得的度数． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是的内接四边形， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的切线， ∴ ． ∴ ． ∴． ∵， ∴． 【变式2】（2026·安徽芜湖·三模）是的弦，与相切于点B，圆心O在上，若，则_______． 【答案】25 【分析】连接，根据切线的定义得到，进而可求出，再根据圆周角定理得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（2026·北京·模拟预测）如图，为的直径，点C在上，连接、，过点B作的切线交的延长线于点D．若，则的大小为______． 【答案】/30度 【分析】连接，由题意易得，，则有，然后可得是等边三角形，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵过点B作的切线交的延长线于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 题型09 证明某直线是圆的切线 【典例1】（2026·广东·中考真题）如图，直线经过上的点，且，，．求证：直线是的切线． 【答案】证明：连接 ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵点在上， ∴为半径， ∴直线是的切线． 【分析】连接，先由三角形内角和定理求出的度数，再证明为等腰三角形，则由三线合一得到，即可证明． 【详解】略 【变式1】（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，中，，，点A在以为直径的上． (1)求度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2) 证明：如图，连接， ，， ， ， ， ，即， 又是半径， 是的切线． 【分析】本题考查圆周角定理和切线的判定定理，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）根据“直径所对的圆周角是直角”得，计算即可求解； （2）连接，根据角之间的关系，易求，根据切线的判定定理即可求证． 【详解】（1）解：为的直径， ，即是直角三角形， ， ； （2）略 【变式2】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，是的外接圆，，． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接并延长，交于点，连接，． ， ． 又． ∴垂直平分，即． ， ， ． ∵是的半径， 是的切线． (2) 【分析】（1）连接并延长，交于点，连接，，根据线段垂直平分线的性质得到，根据平行线的性质得到根据切线的判定定理得到是的切线； （2）由（1）得，，根据勾股定理得到，设的半径为，则，，根据勾股定理得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，， ， 在中，由勾股定理，得， 设的半径为，则，， 在中，由勾股定理，得， 解得， 即的半径为． 【变式3】（2026·广东梅州·二模）如图， 是 的直径，是 的弦，点D是的中点．过点D作交的延长线于点E．四边形内接于 ，是 的直径，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接． ∵点D是的中点， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵ 是 的半径， ∴是 的切线． 【分析】（1）证明 是等腰直角三角形，即可求解； （2）利用垂径定理求得，推出，即可得到，据此即可证明是 的切线； 【详解】（1）解：如图，连接． ∵ 是 的直径， ∴ ． ∵， ∴， 则 是等腰直角三角形． ∴； （2）略 题型10 切线长定理 【典例1】（2026·广东江门·二模）如图，的内切圆分别与相切于点D、E、F，且，则的周长为（   ） A．32 B．30 C．28 D．26 【答案】C 【分析】根据切线长定理得到，，，因此将的周长转化为即可求解． 【详解】解：∵分别与相切于点， ∴，，， ∴ ． 【变式1】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，圆 O是的内切圆，，交于点D，交于点E，且是O的切线．若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与O相切于点M，N，F，与圆O相切于点G．利用切线长定理得出，结合三角形周长及等量代换求解即可 【详解】解：设与O相切于点M，N，F，与圆O相切于点G． ∴． ∴． ∵的周长是， ∴． ∴． ∴的周长为 【变式2】（2026·山西临汾·三模）如图，点P是外一点，过P作的切线，切点分别为点A和点B，点C为圆上一点．若，则的度数为 °． 【答案】65 【分析】连接，利用切线的性质求出的度数，再利用同弧所对圆周角是圆心角的一半求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ， ∵是切线， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴． 【变式3】（2026·广东广州·二模）如图，为的弦，，为的切线，且，点为劣弧上一动点（点与点，不重合），则的度数为______． 【答案】/度 【分析】连接、，在优弧上取一点，连接、，根据切线的性质及切线长定理得出，，进而得出是等边三角形，根据四边形内角和为求出，根据圆周角定理及圆内接四边形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、，在优弧上取一点，连接、， ∵，为的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵和是所对的圆周角和圆心角， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴． 题型11 三角形的内切圆问题 【典例1】（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）三角形内切圆的圆心为（   ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】C 【详解】解：∵三角形内切圆的圆心到三角形三条边的距离相等， 又∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点． 【变式1】（2026·山东青岛·一模）如图，是的内切圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理可得，再由三角形内切圆的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴平分， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则______． 【答案】3 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出关于的方程是解题的关键．由切线长定理可知：，得到，设，则，然后根据，列方程求解即可． 【详解】解：∵的内切圆与分别相切于点、、， ， ∴， 设，则， 则． 解得． ∴． 故答案为：3． 【变式3】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，点为外接圆的圆心，点为的内心，连接，，若，则的度数为___________°． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内心和外心的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，内心是三角形角平分线的交点，外心是各边垂直平分线的交点． 由点为的内心可得的度数，由点为外接圆的圆心可得的度数，然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：连接， 点为的内心， 平分， ， ， 点为外接圆的圆心， ， ， ． 故答案为：． 题型12 切线的性质和判定的综合应用 【典例1】（2026·北京海淀·二模）如图，为外一点，连接，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆，交于点，，连接，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得点，在以为直径的上，连接，证明和都是的切线，利用切线长定理结合四边形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，由题意得点，在以为直径的上，连接， ∴， ∵和都是的半径， ∴和都是的切线， ∴， ∴． 【变式1】（2025·浙江舟山·一模）如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径是直角边的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则的度数是_______． 【答案】/60度 【分析】本题考查垂直平分线性质和判定，三线合一，切线长定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 记量角器圆弧所在圆的圆心为，连接，根据题意推出垂直平分，结合等腰三角形性质得到，再结合切线长定理进行求解，即可解题． 【详解】解：记量角器圆弧所在圆的圆心为，连接， 直径是直角边的两倍， ， ， 垂直平分， ， ， 为半径，， 为切线， 为切线， ， ； 故答案为：． 【变式2】（2026·四川遂宁·中考真题）如图，是的直径，弦于点E，连接，过点D的直线分别与的延长线交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：连接 是的直径，弦于点E， ，， ， ， ， ， ， ， 是的切线； (2) 【分析】（1）连接，证明即可证明是的切线； （2）设，得到，根据勾股定理得到，解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：设， 是的直径，弦于点E，， ， ， ， ， ，， ， ， 解得， 故的长为． 【变式3】（2026·新疆·一模）如图，是的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点．作，垂足为点，已知平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； (2)． 【分析】（1）连接，根据题意求得，，从而求出，，结合切线的判定即可求解； （2）设的半径，则，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，是的直径， ， 设的半径，则， ，， 由勾股定理得， 解得：，（舍）， 的半径为． 一、单选题 1．（25-26九年级上·北京·期中）如图，是的内切圆，切点分别为．若，则的周长为（   ） A．8 B．10 C．20 D．36 【答案】D 【分析】本题主要考查了切线长定理，根据切线长定理可得，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵是的内切圆，切点分别为， ∴， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：D． 2．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，，是的切线，切点分别为A，B，若，，则的半径为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理，熟练掌握切线长定理是解答本题的关键． 根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，可知的度数，连接，，，可知，故在中，根据角所对的直角边等于斜边的一半可表示出，然后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：连接，， ∵为的切线， ∴， ∵为的切线，， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理得 , ∴ 故选：B． 3．（25-26九年级上·湖北荆门·月考）如图，、、是的切线，点、、是切点，分别交、于、两点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了切线的性质和全等三角形的性质，掌握切线的性质是解题的关键．连接，根据切线性质，，再根据为切线可知，即可求解出的度数． 【详解】解：如图，连接， 由切线性质得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 则的度数为． 故选：D． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴相切于点，与轴交于两点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作于，连接，由点的坐标可得，，进而由垂径定理得，即得，又根据切线的性质可得四边形是矩形，即得，，得到，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：过点作于，连接，则， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵与轴相切于点， ∴轴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选A． 5．（25-26九年级上·山西朔州·月考）如图，与相切于点C，，，，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查切线的性质，直角三角形的性质以及勾股定理等知识，连接，则，由得，得出，由勾股定理得；由，得，即是等腰直角三角形，可得，运用勾股定理可求出． 【详解】解：连接，如图， ∵与相切于点C， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，为的直径，点在反比例函数的图象上，为轴上一点，若的面积为1，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，根据图形面积求比例系数（解析式），切线的性质定理，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用切线的性质说明轴，从而可得出轴，根据的面积为1，得出，进而求得． 【详解】解：∵与轴相切于点， ∴轴， ∴轴， ∵的面积为1， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴设，则，， ∴ ∴，解得：， 故答案为：4． 7．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，切于点A，交于点B．若，，则线段的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了切线的性质，运用圆的切线垂直于过切点的半径和勾股定理是解题关键，先由切线的性质得，再由勾股定理求得圆的半径，进而求出长． 【详解】解：如图，连接， ∵切于A点， ∴， ， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 8．（25-26九年级上·天津河北·期中）如图，点是的外心，点是的内心，连接，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理．连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 点是的内心， 平分， ， ， 点是外接圆的圆心， ， ， ， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，是的直径，是延长线上一点，且，与相切于点，连接，且，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了圆的切线性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，含角的直角三角形性质．熟练掌握圆的切线性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，含角的直角三角形性质是解题的关键． 连接，由切线性质得，由等腰三角形和外角性质，推出，得到，设半径为，列出方程，求出后再结合求出的长即可． 【详解】解：连接， 与相切于点， ， 设的半径为，则， ， ， ， ， 又， ， ， 在中， ， ， ， ，即， 解得， ． 故答案为． 10．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为 ． 【答案】/28度 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键．连接，根据切线的性质得，求出的度数，再根据圆周角定理计算的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵切于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的外接圆，是直径，作与过点A的切线交于点D，连接并延长交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查切线性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理等知识，熟练掌握圆相关知识是解答的关键． （1）连接，先根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到，然后证明可得结论； （2）先根据切线性质和全等三角形的性质得到，设半径为，利用勾股定理求得，进而可求解． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ，， 且，， ， ； （2）解：是的切线， ， ， 设半径为，则，， ， 解得， ． 12．（25-26九年级上·浙江金华·期中）“板车”具有悠久的历史，是上世纪90年代以前农村主要运输及交通工具．如图是板车侧面的部分示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，． (1)求证：； (2)若，求直线的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理及其推论、切线的性质、三角形内角和、等腰三角形、勾股定理的应用等知识，熟练运用相关定理进行推理和计算是解题的关键． (1)连接，由圆周角定理及其推论，切线的性质可得，，再由即可得到结论； (2)由可得，再由求得，从而求出，再通过勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：连接， 为车轮的直径，与车轮相切于点， ，， ， ， ， ， ； （2）解：在和中， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，, 解得：，（不符合题意，舍去）， ． 13．（25-26九年级上·云南曲靖·月考）如图，在中，，于点，过点作与边相切于点，交于点，为的直径． (1)求证：； (2)若，求半径的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理等知识，熟练掌握圆的切线的性质和相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据圆的切线的性质可得，再根据三角形的中位线定理可得，然后根据平行线的性质即可得证； （2）连接，设半径的长为，则直径，先求出，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】（1）证明：∵与边相切于点， ∴， ∵，于点， ∴，即点是的中点， ∵为的直径， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴． （2）解：如图，连接， 设半径的长为，则直径， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， 由（1）已证：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， 所以半径的长为． 14．（25-26九年级上·上海·月考）如图，已知中，，过点作，且，连接交于点． (1)求的长 (2)以点为圆心，以为半径作，试判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)直线与相切，理由见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，圆切线的判定，勾股定理，直角三角形的性质，证明是解题的关键． （1）利用直角三角形的性质求出，根据题意易证，进而证明，利用相似三角形的性质即可求解； （2）利用勾股定理求出，再求出，由（1）知，利用相似三角形的性质求出，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，得到，结合是的半径，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：直线与相切，理由如下： ∵， ∴， ∵，，， ∴， 由（1）知， ∴，即， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切． 15．（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图，四边形内接于，是直径，的延长线与相交于点，其中，． (1)求证：是切线； (2)若点是圆弧的中点，则 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、圆内接四边形的性质． (1)根据圆内接四边形的性质可知，根据三角形内角和定义可以求出，因为，根据三角形内角和定理可以求出，又因为点在圆上，可证是切线； (2)因为点是圆弧的中点，根据圆周角定理可知，根据直径所对的圆周角是直角，可知，根据三角形内角和定理可得． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接，则， 四边形内接于，， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线； （2）解：如下图所示，连接， 点是的中点， ， ， 由(1)得， ， 是的直径， ， ． 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25九年级上·山东淄博·阶段检测）如图，已知、为的切线，、为切点，若，则的切线（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，圆的切线的性质，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键． 根据题意，证得，利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：、为的切线，、为切点， ，，， ， 在和中， ， ， ． 故选：A． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1或5 B．1 C．1或3 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分为圆在y轴的左侧和在y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】解：∵圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径2， ∵当位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； 当位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． 综上所述，将沿轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为1或5． 故选：A． 3．（2026·山西·一模）如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，是上一点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，圆周角定理得到，根据切线的性质得到，进而求出的度数，再求出的度数即可. 【详解】解：连接，则， ∵以为直径的交于点，与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 4．（2026·山东淄博·一模）如图，，是的切线，切点为，，点，在圆上，若，则（    ） A．55° B．65° C．70° D．78° 【答案】C 【分析】连接，则，而，求得，由切线长定理得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴． ∵， ． ，是⊙O的切线， ， ， ． 故选：C． 5．（2026·安徽淮北·模拟预测）如图，是的直径，与相切于点D，与的延长线交于点C，连接，过点B作，交于点E，已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图：连接，利用切线的性质以及直角三角形的性质可得，利用圆周角定理以及平行线的性质可得，最后运用邻补角互补即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵与相切于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题 6．（2026·陕西西安·二模）如图，是的直径，点是上一点，连接，过点作的切线交的延长线于点，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质可得，进而求得，根据圆周角和圆心角的关系可得，进而求得． 【详解】解：连接， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（2026·山东潍坊·一模）如图，在平面直角坐标系中，与y轴交于点A、B，与x轴相切于点C，点M的坐标为，则点A的坐标为_________． 【答案】 【分析】连接，过点M作于点E，由题意易得四边形是矩形，则有，然后根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，过点M作于点E，如图所示： ∵与x轴相切于点C， ∴轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点M的坐标为， ∴， ∴在中，由勾股定理可得， ∴， ∴点A的坐标为． 8．（2026·河南驻马店·二模）如图，中，，，以点为圆心的与相切于点，若，则的半径为____________． 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质得出，设的半径为，分别在和中利用锐角三角函数或特殊角性质表示出和的长，根据列出关于的方程求解即可． 【详解】解：连接，的半径为， 与相切于点， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 即， 解得：， 即的半径为． 9．（2026·浙江绍兴·二模）如图，是的直径，直线切于点C，连结，若，则的度数为______． 【答案】/50度 【分析】连接，根据切线的定理，得到，根据，即可求解． 【详解】解：连接， ∵直线切于点， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．（2026·广东肇庆·三模）如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 【答案】24 【详解】解：和是的两条切线， ， 同理可得：，， 的周长 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了切线长定理，关键是把的周长转化为；根据切线长定理得，由此得的周长为，从而可求得结果． 【详解】解：∵是的切线， ∴； ∵过点C的切线分别交于点D、E， ∴； ∵的周长20， ∴， ∴， 即， ∴． 12．（2023·广东肇庆·一模）如图，为的直径，是延长线上一点，点为上方上的点，已知． (1)求证：直线为的切线． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图所示，连接，根据切线的证明方法即可求解； （2）根据题意，证明，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵AB为的直径， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 又∵OD是的半径， ∴直线CD为的切线． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握相似三角形的判定与性质，切线的判定定理及其推论是解题的关键． 13．（2026·山东泰安·三模）如图，已知是的直径，点为上一点，过点的切线交延长线于点，且． (1)求证：； (2)过点作交于点，若，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ∵点为上一点，过点的切线交延长线于点， ∴，即， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）连接，证明，，，进一步可得，可得，可证明； （2）连接，证明与是等边三角形，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 14．（2026·安徽阜阳·三模）如图，点P是半圆O的直径延长线上一点，与半圆O切于点C，连接，交于点D，与交于点E． (1)证明：； (2)设与交于点F，若半圆O的半径为4，，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵是的切线，是的半径， ∴ ． ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）利用切线的性质得到 ，根据半径构成的等腰三角形和对顶角得到对应的角相等，再通过等量代换，证出答案； （2）根据圆的半径和算出线段的代数式，利用勾股定理进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵的半径为4， ∴ ． ∵， ∴， ∴ ， ∴ ． 在中，由勾股定理，得， 即，解得， ∴ ． 15．（2026·湖南永州·模拟预测）如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线 (2)3 【分析】（1）连接，因为，所以对应的圆周角相等，可推出与的平行关系；又因为，所以，结合是半径，根据切线判定定理即可证明； （2）设半径为，则，因为，所以是直角三角形，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）略． （2）解：设的半径为r，， ∵在中，， ∴， 解得， 即的半径为3． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3.5点与圆、直线与圆的位置关系 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01点与圆的位置关系 2.知识清单 知识点02直线与圆的位置关系 题型01判断点与圆的位置关系 题型02利用点与圆的位置关系求半径 题型03判断直线与圆的位置关系 题型04已知直线和圆的位置关系求半径等取值范围 点与圆、直线与圆 题型05已知直线和圆的位置关系求圆心到直线等距离 的位置关系 题型06求平移到直线相切时圆心经过的距离 3.题型精讲 题型07求直线平移到与圆相切时运动的距离 题型08切线的性质定理 题型09证明某直线是圆的切线 题型I0切线长定理 题型11三角形的内切圆问题 题型12切线的性质和判定的综合应用 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.探索并理解点与圆的三种位置关系（点在圆外、圆上、圆内），能根据点到圆心的 距离与半径的大小关系进行判断。 教学目标 2.探索并理解直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交），能根据圆心到直线的 距离与半径的大小关系进行判断。 3. 通过观察、操作与推理，体会分类讨论与数形结合思想，发展空间观念。 1/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重点： 1.点与圆的位置关系的判断方法。 2.直线与圆的位置关系的判断方法(d与r的比较)。 教学重难点 教学难点： 1.理解直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径这一数量关系。 2.运用直线与圆的位置关系解决实际问题（如太阳与地平线、航线与暗礁等）。 知识清单 知识点01点与圆的位置关系 点和圆的位置关系 1)点和圆的位置关系有3种：圆外、圆上、圆内 2)设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OPd,则： P在圆外一dDrP在圆上一止nP在圆内一水r 【即学即练】1.已知圆O的半径是5cm,OP=4cm,则点P和圆O的位置关系是() A.点P在圆O内B.点P在圆O上C.点P在圆O外 D.无法确定 2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4,BC=7,点D在边BC上，且BD=3,连接AD.以点D 为圆心，以r为半径画圆，若点A,B,C中只有2个点在圆内，则r的值可能为() D A.3 B.4 C.5 D.6 3.已知⊙O的半径为7cm,点P到圆心O的距离为d,若点P在⊙O内，则d的取值范围中整数的个数为 知识点02直线与圆等三种位置关系 直线与圆的位置关系 1.直线和圆有几种位置关系 2/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 相交 相切 相离 (a (b (c) 如图()，直线L和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线， 如图(b),直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个 点叫做切点 如图(c),直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离. 2.切线的判定和性质 1、切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径 2、推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 【即学即练】4.圆的半径为4cm,圆心与直线上某一点距离为4cm,则直线与圆的位置关系不可能是 () A.相离 B.相切 C.相交 D,无法确定 5.如图，AB是OO的直径，CD是⊙O的切线，切点为C,点D在AB的延长线上，若∠A=25°，则∠D 的度数为() D A.40° B.50° C.60° D.70° 6.如图，AB切OO于点B,OA交⊙O于点C,过点B作BD∥AO交⊙O于点D,连接CD.若 ∠DC0=25°，则∠A=—· B 3/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型精讲 题型01判断点与圆的位置关系 【典例1】(2026云南昭通·一模)某圆形桌面，圆心为O,半径为50Cm,桌面上有一点P,则线段OP 的长度可能是() A.40cm B 60cm C80cm D 90cm 【变式1】(2026河南周口·二模)已知⊙0的直径为2Cm,点M不在⊙0内，则OM的长() A.大于lcm B.不小于lcm C.大于2cm D.不小于2cm 【变式2】(2026云南昆明模拟预测)已知⊙0的直径为6，若点P到点0的距离为4，则点P在⊙0 (填“内”“外”或“上”) 【变式3】(25-26九年级上江苏南通阶段检测)已知⊙0的半径为3，OP=2V3,则点P与⊙0的位置 关系是：点P在⊙0 题型02 利用点与圆的位置关系求半径 【典例1】(25-26九年级上·江苏扬州期末)已知⊙0的半径为2，若点P在⊙0内，则OP的长可能为 () A.4 B.3 C.2 D.1 【变式1】(25-26九年级上·安徽宿州期末)平面上的一点和⊙0的最近点距离为4cm,最远距离为 10cm,则这个圆的半径是() A.7cm B.3cm或5cm C.3cm或7cm D.5cm或7cm 【变式2】(25-26九年级上江苏泰州期中)已知⊙0的半径是2，若点P在⊙0外，则OP的长可能为 (填一个符合条件的数即可) 【变式3】(2025九年级全国·专题练习)在平面直角坐标系内，点A的坐标是(3,4).如果⊙A与两坐标 轴有且只有3个公共点，那么⊙A的半径长是一. 题型03 判断直线与圆的位置关系 【典例1】(25-26九年级下·浙江杭州：阶段检测)已知圆的半径是6cm,如果圆心到直线的距离是3cm, 4/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 那么直线和圆的位置关系是() A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定 【变式1】(25-26九年级下·江苏常州阶段检测)如果⊙0的半径为5cm,圆心0到直线1的距离为d, 且d=3cm,那么⊙0和直线I的位置关系是() A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定 【变式2】(25-26九年级上广东广州期末)若⊙0的半径为5，圆心O到直线AB的距离为2，则直线 AB与⊙O的位置关系是 (填“相交”、“相切”或“相离”) 【变式3】(25-26九年级上·江苏南通期末)⊙0的半径为5cm,圆心0到直线I的距离为3cm,则直线l 与⊙0的位置关系是 题型04已知直线和圆的位置关系求半径等取值范围 【典例1】(25-26九年级上湖北武汉期末)如图，直线1与半径为r的⊙0相交，且点O到直线1的距离 为6，则r的取值范围是() A.r>6 B.r=6 C.r<6 D.r≤6 【变式1】(25-26九年级下·上海杨浦期中)在平面直角坐标系xOy中，已知点M(⑧，6)，以M为圆心，， 为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r可以取的值是() A.6 B.7 C.8 D.10 【变式2】(25-26九年级上：河北衡水期末)已知⊙0的半径为r,圆心0到直线1的距离为4，若直线1 与⊙0相离，且r为整数，则r的值可以为 一.（写出一个即可） 【变式3】(25-26九年级上·上海静安期末)已知点A坐标为(，-3)，如果半径为r的⊙A与x轴无公共点， 与y轴有公共点，那么”的取值范围是 题型05已知直线和圆的位置关系求圆心到直线等距离 【典例1】(25-26九年级上：江苏南通阶段检测)若半径为3cm的⊙0与直线1相离，则圆心0到直线1的 5/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 距离可以是() A.Icm B.2cm C.3cm D.4cm 【变式1】(25-26九年级上甘肃张掖期末)已知⊙0与直线l没有公共点，若⊙0的半径为5，则圆心0 到直线的距离可以是() A.6 B.5 C.4 D.3 【变式2】(25-26九年级上辽宁盘锦期末)已知⊙0的半径为5，点0到直线1的距离为d,若直线1与 ⊙O相离，则d的取值范围是 【变式3】(25-26九年级下·全国课后作业)在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为(m,0),半径是2.如 果⊙M与y轴相切，那么m=一；如果⊙M与y轴相交，那么m的取值范围是一；如果⊙M与y轴相离， 那么m的取值范围是一· 题型06求平移到直线相切时圆心经过的距离 【典例1】(2425九年级上四川南充期中)如图，在平面直角坐标系x0少中，半径为2的⊙P的圆心P 的坐标为(-3,0)，将0P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为() A.1 B.1或5 C.3 D.3或5 【变式1】(2425九年级上：河北邯郸期中)如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P圆心坐标是 （-3,0),将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（) YA A.1 B.1或5 C.3 D.5 【变式2】(2023浙江衢州·一模)如图，在平面直角坐标系x0少中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为 （-3,0),将⊙P沿x轴正方向以0.5个单位/秒的速度平移，使⊙P与y轴相切，则平移的时间为 秒. 6/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 【变式3】(2025河南濮阳·一模)如图，∠APB=30°，圆心在边PB上的⊙0的半径为3cm,OP=8cm. 若⊙O在BP上向点P移动，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为 cm A B 题型07求直线平移到与圆相切时运动的距离 【典例1】(25-26九年级上河北保定·阶段检测)已知：⊙0的半径为2cm,圆心到直线l的距离为lcm, 将直线沿垂直于1的方向平移，使1与⊙0相切，则平移的距离是() A.Icm B.lcm或2cm C.2cm或3cm D.lcm或3cm 【变式1】(25-26九年级上浙江宁波期中)已知⊙0的半径为5cm,点O到直线1的距离0P为7cm, 把直线1向上平移cm,才能使1与O0相切？ 【变式2】(2026广东广州二模)如图，⊙0的半径0C=5cm,直线l10C,垂足为H,且l交⊙0于 A,B两点，AB=8cm,若I沿OC所在直线平移后与⊙0相切，则平移的距离是 cm】 7/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(25-26九年级下·全国随堂练习)如图所示，在平面直角坐标系x0y中，半径为2的⊙P的圆 心P的坐标为(-3，O),将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离。 p 题型08 切线的性质定理 【典例1】(2026湖北中考真题)如图，PA与⊙0相切于点A,连接P0并延长交O0于点B,连接AB. 若∠B=24°，则∠P的度数是() A.42° B.48° C.56° D.66 【变式1】(2026河南平顶山·三模)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，DE是⊙O的切线，交 BC的延长线于点E.若BC经过圆心O,∠A=110°，则∠E的度数为() D B E A.30° B.40° C.50° D.60 【变式2】(2026：安徽芜湖·三模)AB是⊙0的弦，PB与⊙0相切于点B,圆心O在PA上，若∠P=40° 8/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则∠PAB= 0 夕 【变式3】(2026北京模拟预测)如图，AB为⊙0的直径，点C在⊙0上，连接OC、AC,过点B作 ⊙O的切线交OC的延长线于点D.若OC=CD,则∠AC0的大小为一， B D 题型09证明某直线是圆的切线 【典例1】(2026广东中考真题)如图，直线AB经过⊙0上的点C,且AC=BC,∠OAB=40°， ∠AOB=100°.求证：直线AB是⊙0的切线. 【变式1】(25-26九年级上：浙江台州期末)如图，△ABC中，AB=AC,∠B=∠C=30°，点A在以CD 为直径的⊙0上. (1)求∠ADC度数： (2)求证：AB是⊙O的切线 【变式2】(2026内蒙古通辽模拟预测)如图，⊙0是△ABC的外接圆，∠B=∠C,AD‖BC」 9/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 0 (1)求证：AD为⊙0的切线： (2)若AB=3V5,BC=6,求⊙0的半径. 【变式3】(2026广东梅州二模)如图，AB是⊙0的直径，AC是⊙0的弦，点D是BC的中点.过 点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.四边形ACFG内接于⊙O,CF是⊙O的直径，连接AF,CG. D (I)若AC=BC,求∠BAC的度数： (2)求证：DE是OO的切线， 题型10 切线长定理 【典例1】(2026广东江门二模)如图，△ABC的内切圆OO分别与AB、BCAC相切于点D、E、F, 且AB=CE=7,则△ABC的周长为() E A.32 B.30 C.28 D.26 【变式1】(2026辽宁抚顺模拟预测)如图，圆O是△ABC的内切圆，AC=2Cm,DE交AB于点D, 交BC于点E,且DE是O的切线.若△BDE的周长为5cm,则△ABC的周长为() 10/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E A.8cm B.9cm C.10cm D.11cm 【变式2】(2026山西临汾三模)如图，点P是⊙0外一点，过P作⊙0的切线，切点分别为点A和点 B,点C为圆上一点.若∠P=50°，则∠ACB的度数为_°. B 【变式3】(2026广东广州二模)如图，AB为O0的弦，PA,PB为O0的切线，且AB=AP,点C为 劣弧上一动点（点C与点A,B不重合），则∠ACB的度数为一· B 题型11三角形的内切圆问题 【典例1】(25-26九年级上·宁夏吴忠·期末)三角形内切圆的圆心为() A.三条高的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条中线的交点 【变式1】(2026山东青岛一模)如图，⊙0是△ABC的内切圆，∠B0C=117°，则∠A的度数为() A B A.54° B.55° C.560 D.60° 11/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(25-26九年级上辽宁盘锦期末)如图，△ABC的内切圆⊙0与AC,AB,BC分别相切于点 D,E,F,且AB=5,BC=8,AC=9,则AD= B E 【变式3】(25-26九年级上：河北石家庄·阶段检测)如图，点O为△ABC外接圆的圆心，点I为△ABC的 内心，连接B0,CI,若∠BCI=38°，则∠OBA的度数为 B 题型12 切线的性质和判定的综合应用 【典例1】(2026北京海淀二模)如图，P为⊙0外一点，连接0P,分别以0，P为圆心，OP长为半 径画弧，两弧交于点C,D.连接CD交OP于点N,以N为圆心，NO为半径作圆，交⊙O于点E,F, 连接OE,OF,EP.若∠EPO=a,则∠EOF的大小为() A.180°-2aB.90°-a C.2a D.3a 【变式1】(2025·浙江舟山一模)如图，将量角器和含30°角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内， 使三角板的OCm刻度线与量角器的O°刻度线在同一直线上，直径DC是直角边BC的两倍，过点A作量角 器圆弧所在圆的切线，切点为E,则∠EAC的度数是 E 12/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 【变式2】(2026四川遂宁·中考真题)如图，AB是⊙O的直径，弦CD1AB于点E,连接AC,过点D 的直线分别与AB、AC的延长线交于点R、G,且A=<CDG 2 D ()求证：DG是⊙0的切线： (2)若AB=10,CD=6,求BF的长。 【变式3】(2026新疆一模)如图，AB是⊙0的直径，点C是⊙0上一点，过点C的直线交AB的延长 线于点M.作AD⊥MC,垂足为点D,已知AC平分∠MAD. B (①)求证：MC是⊙O的切线： (2)若AB=BM,MC=2V6,求⊙0的半径. 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(25-26九年级上北京期中)如图，⊙0是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F.若CF=8,AB=10, 则△ABC的周长为() 13/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ B 0 E A.8 B.10 C.20 D.36 2.(25-26九年级上河南周口期中)如图，PA,PB是⊙0的切线，切点分别为A,B,若∠APB=60°， PA=2,则O0的半径为() B O● A 4.3 B. 2w5 3 C.2 D.25 3.(25-26九年级上湖北荆门月考)如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E是切点，CD分 别交PA、PB于C、D两点，若∠COD=55°，则∠APB的度数为() A.45° B.50° C.60° D.70° 4.(25-26九年级上江苏宿迁月考)如图，在平面直角坐标系x0少中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切 于点Q,与y轴交于M(0,2),N(0,8)两点，则点P的坐标是() ·P A.(4,5) B.(3,4) c.(5,4) D.(4,3) 5.(25-26九年级上山西朔州月考)如图，AB与⊙0相切于点C,∠A=45°，∠B=60°，BC=1,则 OA=() 14/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5 B.25 C.6 D.3 二、填空题 6.(25-26九年级上江苏南通期中)如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B,CB为⊙A的 直径，点C在反比例函数y=（>0)的图象上，D为y轴上一点，若4CD的面积为1，则k:一 X B 7.(25-26九年级上·北京课后作业)如图，PA切⊙0于点A,PO交⊙0于点B.若PA=8,OP=10,则 线段PB的长为一 8.(25-26九年级上·天津河北期中)如图，点O是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，连接OB,IA」 若∠CA1=36°，则∠0BC的度数为 B 9.(25-26九年级上山东临沂期中)如图，AB是⊙0的直径，D是AB延长线上一点，且AD=12, DC与⊙O相切于点C,连接AC,且AC=DC,则BD的长为一· 15/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 O B D 10.(25-26九年级上北京课后作业)如图，AB是⊙0的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙0于点 C,若∠D=34°，则∠A的度数为一 D B 0 三、解答题 11.(25-26九年级上江苏扬州期中)如图，⊙0是△ABC的外接圆，AB是直径，作OD∥BC与过点A 的切线交于点D,连接DC并延长交AB的延长线于点E. (I)求证：AD=CD: (②)若AE=6,CE=2V3,求线段BE的长度. 12.(25-26九年级上浙江金华期中)“板车”具有悠久的历史，是上世纪90年代以前农村主要运输及 交通工具.如图是板车侧面的部分示意图，AB为车轮⊙O的直径，过圆心O的车架AC一端点C着地时， 地面CD与车轮⊙O相切于点D,连接AD,BD A B D (①)求证：∠A=LBDC: (2)若AD=CD=5V3,求直线AB的长. 16/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 13.(25-26九年级上云南曲靖月考)如图，在△ABC中，AB=AC,AD1BC于点D,过点C作⊙0 与边AB相切于点E,交BC于点F,CE为OO的直径. (1)求证：OD1CE: (2②若DF=1,DC=3,求半径OC的长. 14.(25-26九年级上：上海月考)如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90,∠CAB=30,BC=6,过点A作 AE⊥AB,且AE=I8,连接BE交AC于点P. E B (①)求CP的长 (②)以点A为圆心，以AP为半径作OA,试判断直线BE与⊙A的位置关系，并说明理由. 15.(25-26九年级上广西崇左月考)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AB是直径，AB的延长线与PC 相交于点P,其中∠D=115°，∠P=40°， D B (I求证：PC是OO切线： (2)若点D是圆弧AC的中点，则∠A=_· 能力提升 17/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1.(24-25九年级上山东淄博阶段检测)如图，已知P、9为⊙T的切线，P、卫为切点，若 P=3cm,则⊙T的切线Q=()cm. A.3 B.2.5 C.4 D.3.5 2.(2025辽宁抚顺一模)在平面直角坐标系x0中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(-3,0)，将⊙P 沿x轴正方向平移，使⊙与y轴相切，则平移的距离为() 543201 A.1或5 B.1 C.1或3 D.3 3.(2026山西·一模)如图，己知△ABC,以BC为直径的⊙0交AB于点D,与AC相切于点C,E是 BC上一点，连接BE,DE,若∠A=50°，则∠E的度数是() A.20° B.25o C.40 D.50 4.(2026山东淄博一模)如图，EA,ED是⊙0的切线，切点为A,D,点B,C在圆⊙0上，若 ∠ABC+∠CDE=235°，则∠E=() 18/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 子 A.55° B.65° C.70° D.78 5.(2026安徽淮北模拟预测)如图，AB是⊙0的直径，DC与⊙0相切于点D,与AB的延长线交于点 C,连接AD,过点B作BE∥AD,交OO于点E,已知∠C=20°，则∠EBC=() D A.125° B.135o C.145o D.155° 二、填空题 6.(2026陕西西安二模)如图，AB是⊙0的直径，点C是⊙0上一点，连接BC,过点C作⊙0的切线 交BA的延长线于点D,若∠D=38°，则∠BCD的度数为。 C D B ○ 7.(2026山东潍坊一模)如图，在平面直角坐标系中，OM与y轴交于点A、B,与x轴相切于点C,点 M的坐标为(-4,5)，则点A的坐标为 M 8.(2026河南驻马店·二模)如图，△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，以点A为圆心的⊙A与BC相切于 点D,若BC=2,则⊙A的半径为 19121 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 9.(2026浙江绍兴二模)如图，AB是⊙0的直径，直线CD切O0于点C,连结AC,若∠ACD=40°， 则∠BAC的度数为 10.(2026广东肇庆·三模)如图，PA,PB是⊙0的两条切线，A,B是切点，C是AB上一点，过点C 画⊙O的切线，分别交PA,PB于点D,E,PA=l2cm,则△PDE的周长是cm. 0 三、解答题 11.(2425九年级上江苏泰州阶段检测)如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B.点C在AB 上，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E,己知△PDE的周长20，求PA的长. D B 12.(2023广东肇庆一模)如图，AB为⊙0的直径，C是AB延长线上一点，点D为AB上方⊙0上的 点，已知∠DAC=∠CDB D ()求证：直线CD为OO的切线. 20/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若CD=2CB=4,求AB的长 13.(2026山东泰安·三模)如图，已知AB是⊙0的直径，点C为⊙0上一点，过点C的切线交BA延长 线于点P,且PC=BC (I)求证：AP=AC: (2)过点C作CD∥AB交⊙0于点D,若AB=8,求CD的长. 14.(2026安徽阜阳三模)如图，点P是半圆0的直径AB延长线上一点，P℃与半圆0切于点C,连接 AC,OD⊥AB交PC于点D,OD与AC交于点E. D B (I)证明：DE=DC: (2)设OD与⊙0交于点F,若半圆0的半径为4,0A=20E,求DE的长. 15.(2026湖南永州模拟预测)如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙0于点D,E是劣弧AD上一点， 且AE=DE,过点E作EF⊥BC于点F,延长FE和BA的延长线交于点G. C E D A (1)证明：GF是OO的切线： (②)若AG=6,GE=6W2,求⊙0的半径. 21/21