25.2.1二次函数y=ax²的图象与性质 课件 2026-2027学年华东师大版数学九年级下册

1. 二次函数y=ax2的图象与性质 侵权必究 名校课堂 学习目标 1.正确理解抛物线的有关概念.（重点） 2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象的特点.（难点） 3.掌握形如y=ax²的二次函数图象的性质，并会应用.（难点） 侵权必究 名校课堂 新课导入 我们知道，一次函数的图象是一条直线.那么，二次 函数的图象是什么？它有什么特点？反映了二次函数的 哪些性质？ 让我们先来研究最简单的二次函数y =ax2的图象与 性质. 侵权必究 名校课堂 3 讲授新课 1 二次函数y=ax2的图象 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 画出二次函数y=x2的图象. 9 4 1 0 1 9 4 1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值： 例1 侵权必究 名校课堂 4 讲授新课 2 4 -2 -4 o 3 6 9 x y 2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y） 3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象． 侵权必究 名校课堂 -3 3 o 3 6 9 当取更多个点时，函数y=x2的图象如下： x y 二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线. 这条抛物线关于y轴对称, y轴就是它的对称轴. 对称轴与抛物线的交 点叫做抛物线的顶点. 侵权必究 名校课堂 画出函数y=-x2的图象. y 2 4 -2 -4 0 -3 -6 -9 x x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9　 -4　 -1　 0　 -1　 -4　 -9　 …　 做一做 侵权必究 名校课堂 根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流. x o y=x2 1.y＝x2是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点． y 讨 论 侵权必究 名校课堂 说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流. o x y y=-x2 1.y＝-x2是一条抛物线; 2.图象开口向下; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最高点． 侵权必究 名校课堂 1. 顶点都在原点; 3.当a>0时，开口向上； 当a<0时，开口向下． 二次函数y=ax2 的图象性质： 2. 图像关于y轴对称; 知识要点 侵权必究 名校课堂 观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？ 二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称. x y O y=ax2 y=-ax2 交流讨论 侵权必究 名校课堂 1．关于二次函数y＝2x2与y＝－2x2，下列叙述正确的 有(　　) ①它们的图象都是抛物线；②它们的图象的对称轴 都是y轴；③它们的图象都经过点(0，0)；④二次函 数y＝2x2的图象开口向上，二次函数y＝－2x2的图 象开口向下；⑤它们的图象关于x轴对称． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 练一练 A 侵权必究 名校课堂 二次函数y=ax2的性质 2 问题1：观察图形，y随x的变化如何变化？ (-2,4) (-1,1) (2,4) (1,1) （a＞0） 侵权必究 名校课堂 对于抛物线 y = ax 2 （a＞0） 当x＞0时，y随x取值的增大而增大； 当x<0时，y随x取值的增大而减小. 知识要点 侵权必究 名校课堂 (-2,-4) (-1,-1) (2,-4) (1,-1) 问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？ （a＜0） 侵权必究 名校课堂 对于抛物线 y = ax 2 （a＜0） 当x＞0时，y随x取值的增大而减小； 当x＜0时，y随x取值的增大而增大. 知识要点 侵权必究 名校课堂 例2 解：分别填表，再画出它们的图象，如图 x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． 侵权必究 名校课堂 x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 思考1：从二次函数 开口大小与a的大小有什么关系？ 当a>0时，a越大，开口越小. 侵权必究 名校课堂 做一做 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· -8 -4.5 -2 -0.5 0 -8 -4.5 -2 -0.5 -8 -4.5 －2 －0.5 0 －8 －4.5 －2 －0.5 侵权必究 名校课堂 x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 －8 当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小. 思考2 从二次函数 开口大小与a的大小有什么关系？ 对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小． 侵权必究 名校课堂 y＝ax2 a>0 a<0 图象 位置开 口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x 知识要点 侵权必究 名校课堂 例3 已知二次函数y=x2． （1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？ （2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标； （3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=－x2的图象上吗？ 侵权必究 名校课堂 （1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？ 解：（1）当x=2时，y=x2=4， 所以A（2，4）在二次函数图象上； （2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于 y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的 坐标； （2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，-4），点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，4），点A关于原点O的对称点D的坐标为（-2，-4）； 侵权必究 名校课堂 （3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次 函数y=－x2的图象上吗？ 当x=－2时，y=x2=4， 所以C点在二次函数y=x2的图象上； 当x=2时，y=－x2=－4， 所以B点在二次函数y=－x2的图象上； 当x=－2时，y=－x2=－4， 所以D点在二次函数y=－x2的图象上． 侵权必究 名校课堂 例4 已知二次函数y＝2x2. (1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____y2； (填“>”“＝”或“<”)； (2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和． < 侵权必究 名校课堂 (1)把两点的横坐标代入二次函数表达式求出纵坐标，再比较大小即可得解； (2)由于函数图象经过点B，根据点B的横坐标为2，代入表达式可求出点C的纵坐标，再根据二次函数图象关于y轴对称求出OA＝OB，即图象左边部分与右边部分对称，两个阴影部分面积相加等于右边第一象限内的矩形面积． 分析： 侵权必究 名校课堂 (2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点B， ∴当x＝2时，y＝2×22＝8. ∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它 们的对称轴， ∴OA＝OB， ∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右 边空白部分面积， ∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16. 侵权必究 名校课堂 二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解． 方法总结 侵权必究 名校课堂 练一练 2．已知点A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(3，y3)在抛物线 y＝ x2上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A．y1＜y2＜y3 B．y1＞y2＞y3 C．y1＝y3＜y2 D．y2＜y3＝y1 D 侵权必究 名校课堂 1．对于抛物线y＝－3x2，下列说法正确的是(　　) A．开口向上，对称轴是x轴 B．开口向下，对称轴是x轴 C．开口向上，对称轴是y轴 D．开口向下，对称轴是y轴 当堂练习 D 侵权必究 名校课堂 当堂练习 2．下列关于函数y＝36x2的叙述中，错误的是(　　) A．图象的对称轴是y轴 B．图象的顶点是原点 C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．y有最大值 D 侵权必究 名校课堂 当堂练习 3．在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝－2x2和y3＝ x2 的图象，正确的是图中的(　　) D 侵权必究 名校课堂 当堂练习 5．已知 是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k= . 2 4．函数y= x2的图象的开口 , 对称轴 ,顶点是 ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 . 向上 y轴 (0,0) 减小 增大 侵权必究 名校课堂 当堂练习 6．已知函数y＝ x2，不画图象，回答下列各题． (1)开口方向：________； (2)对称轴：________； (3)顶点坐标：________； (4)当x＞0时，y随x的增大而________； (5)当x________时，y＝0； (6)当x________时，函数值y最________，是_______． (7)若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1<x2<0, 则y1 y2. 向下 y轴 (0，0) 减小 ＝0 ＝0 大 0 ＜ 侵权必究 名校课堂 当堂练习 7．已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积． 解：由题意得 解得 所以此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)． ∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4. ∴S△ACO＝ ·CO·4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2， ∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10. 侵权必究 名校课堂 课堂小结 二次函数y=ax2的图象及性质 画法 描点法 以对称轴为中心对称取点 图象 抛物线 轴对称图形 性质 重点关注4个方面 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 侵权必究 名校课堂 $