山西省太原市第五中学2026-2027学年高三上学期阶段性检测数学试题

太原五中2026—2027学年度第一学期学科阶段性检测 高三数学 时间：2026年9月 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．已知集合，则集合的子集的个数为（ ） A．3 B．4 C．8 D．7 2．若函数（，）满足，则的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，且为偶函数，则实数的值为（ ） A． B．3 C．2 D．6 4．“，为正实数”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知函数的定义域为，为奇函数，，则（ ） A．16 B．0 C．22 D．32 6．甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《功夫女足》，恰好买到了七张连号的电影票．甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（ ） A．240 B．192 C．96 D．48 7．甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球．整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用、表示由甲罐取出的球是红球、白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用、表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”、“两球为一红一白”的事件，则下列结论中不正确的是（ ） A． B． C． D． 8．若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法不正确的是（ ） A．“”的充要条件是“” B．关于的不等式的解集为，，若，则 C．命题“任意，则”的否定是“存在，则” D．若，则函数的最小值为2 10．以下说法正确的是（ ） A．82，83，78，87，89，85，86，89的第75百分位数为88 B．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好 C．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为4 D．已知是随机变量，则 11．已知函数，，下列说法正确的是（ ） A．有极小值为 B．对于恒成立，则实数的取值范围是 C．当时，过原点与曲线相切的直线有2条 D．若关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中常数项是，则________． 13．已知函数的图象过定点，点在角的终边上，若角的终边顺时针旋转后对应的角为，角、的始边均为平面直角坐标系中轴的非负半轴，则________． 14．已知，函数，则________；若存在实数，使得函数恰有四个零点，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知． （1）求的值； （2）若，是方程的两个根，求的值． 16．（15分）设． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 17．（15分）已知函数． （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）解关于的不等式； （3）设，若函数与图象有2个公共点，求实数的取值范围． 18．（17分）某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了100个相同的箱子，其中第个箱子中有个数学题，个物理题．每一轮竞赛活动规则如下：任选一个箱子，依次抽取三个题目（每次取出不放回），并全部作答完毕，则该轮活动结束；若此轮活动中，三个题目全部答对获得一个奖品． （1）已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了2个数学题，1个物理题，且甲答对每一个数学题的概率为，答对每一个物理题的概率为． ①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率； ②已知，学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时，的值． （2）若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率． 19．（17分）已知函数，，其中，曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）求的最小值； （3）设，若对恒成立，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原五中2026—2027学年度第一学期学科阶段性检测 高三数学答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】D 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．【答案】AD 10．【答案】ABD 11．【答案】BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．【答案】2 13．【答案】 14．【答案】0 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）【答案】解：（1）， ，解得； （2）由题意可得， ， ， ． 16．（15分）【答案】解：（1）由题意知对一切实数恒成立， 故对一切实数恒成立， 当时，得，不满足题意； 时，则需满足，解得， 综上所述，． （2）由，可得， ①当时，即，解集为； ②当时，，不等式即为，解集为； ③当时，，不等式即为，解集为； ④当时，可得，解集为； ⑤当时，，不等式即为，解集为． 综上可得，的解集为： 当时，解集为； 当时，解集为（和可以合并）； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 17．（15分）【答案】解：（1）偶函数；对任意的，，所以，函数的定义域为，， 即， 所以， 所以函数是偶函数； （2）法一：因为， 令，任取、，且，则， ，则， 所以 ，则， 所以，函数在上为增函数， 又因为外层函数为上的增函数， 所以，函数在上为增函数， 由可得，所以， 即，整理可得，解得． 因此，实数的取值范围是． 法二：， 时，，单调递增，由偶函数得，时，单调递减． 由可得，所以， 即，整理可得，解得， 因此，实数的取值范围是． （3）函数与图象有2个公共点， 由可得， 可得，即， 因为，则， 设，则，又在上单调递增， 由题意可知，关于的方程有两个不等的正根， 所以，，解得． 即的取值范围为 18．（17分）【答案】解：（1）①记“学生甲第一轮活动获得一个奖品”为事件，则． ②学生甲在每一轮活动中获得一个奖品的概率为， 令，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故时取得最大值， 即时，． 学生甲在轮活动中获得奖品的个数． 由，知． 故理论上至少要进行27轮游戏，此时，． （2）设选出的是第个箱子，连续三次取出题目的方法数为． 设数学题为，物理题为，第三次取出的是物理题有如下四种情形： 取法数为， 取法数为， 取法数为， 取法数为， 从而，第三次取出的是物理题的种数为 ． 则在第个箱子中第三取出的是物理题的概率为． 而选到第个箱子的概率为， 故所求的概率为 ． 19．（17分）【答案】解：（1）由，得． 由题意，得． （2）由， 得． 设， 则． 则在单调递减，，， 所以存在唯一零点，使得． 得在单调递增，在单调递减． 又，， 所以在上恒成立， 所以在上单调递增． 所以，即的最小值为0． （3）因为对恒成立， 令，则，由（2）知， 所以． 因为，所以． 下面证明当时，对恒成立． 由（2）知，则， 于是． 设，， 则， 所以在上单调递减． 所以， 所以在上恒成立，满足题意． 综上所述，整数的最大值为2． 学科网（北京）股份有限公司 $