18.2 分式的乘法与除法 导学案2026-2027学年人教版数学八年级上册

人教版数学八年级上册 · 第十八章 分式 · 18.2 分式的乘法与除法（导学案） 第十八章 分式 18.2 分式的乘法与除法 · 导学案 2026—2027学年 人教版数学 八年级上册 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 第十八章 分式 · 第 2 节 · 2 课时 · 教材 P146—P151 上一节把分式的样子、分母的条件与基本性质认清楚了。这一节要动手算：分式怎么乘、怎么除、怎么乘方。算的方法不是新的东西——小学学过分数的乘除法，本节要做的只是把其中的数换成字母，算法原样搬过来。 搬过来的过程里，只有两处需要多花一点心思。第一处是"分子、分母是多项式"的时候：直接乘会得到一个很长的式子，不如先把各分子、分母分解因式，把公因式约掉再乘，式子短、也最不容易错。第二处是"乘除混在一起"的时候：看见乘号就想先算乘，往往算错顺序，正规的做法是把所有的除法都改成乘法以后，再从左到右一个一个乘。 把这两处记住，这一节就顺了。整节的走法可以概括成一句话：先把"乘"与"除"两个动作各练熟（两个动作），再把两个动作连起来（一次合流），最后把"乘方"这个升级动作加进来（一次升级）。 学习目标 1. 掌握分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母，即 · = 。 2. 掌握分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 ÷ = · = 。 3. 会进行分式的乘除运算：分子、分母是单项式的直接算；分子、分母是多项式的先分解因式再约分。 4. 知道运算结果要化成最简分式或整式；会检查最后一步的结果是不是最简。 5. 会进行分式的乘除混合运算：先把所有的除法都改成乘法，再从左到右依次相乘；有乘方时先算乘方，有括号时先算括号里面的。 6. 掌握分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方，即 = （n 为正整数）；系数与负号也要一起乘方。 7. 会用分式的乘除解决简单的实际问题：先列式，再计算，最后回到实际问题作答。 学习重点与难点 项目 内容 学习重点 分式的乘法法则与除法法则；分子、分母是多项式时的"先分解因式、再约分"；分式的乘除混合运算的顺序；分式的乘方法则；结果要化成最简分式或整式 学习难点 第一，除法法则里颠倒的只能是除式，被除式不动，除号要跟着改成乘号；第二，分子、分母是多项式时，必须先分解因式，公因式要整段约去，不能只把某一项划掉；第三，乘除混合运算不能"见乘先算"，要先把除法全改成乘法再从左到右算；第四，乘方时分子、分母两处都要乘方，系数（如 2a 里的 2）也要一起乘方，负号要看指数的奇偶；第五，混合运算里乘方优先于乘除，别把顺序弄反；第六，结果的符号与最简形式要盯住，负号能提到分式前面就提到前面；第七，实际问题要先列式再计算，算完还要回到实际作答 课时与教材页码 课时 教材页码 这一课时要弄明白的事 打勾 第 1 课时　18.2.1 分式的乘法与除法 P146—P148 由分数的乘除法类比分式的乘法法则与除法法则；分子、分母是单项式的乘除；分子、分母是多项式的乘除（先分解因式）；课本 P146 例 1、P147 例 2、P147 例 3（实际问题），课本 P148 练习 第 1—4 题 ○ 第 2 课时　18.2.2 分式的乘方与乘除混合运算 P148—P150 分式的乘除混合运算（先把除法全改成乘法）；分式的乘方（分子、分母分别乘方）；课本 P149 例 4、P149 例 5，课本 P150 练习 第 1—5 题；完成《习题18.2》 ○ 本节正文从课本 P146 的"思考"开始，到 P151 的《习题18.2》结束。课本上的图只有 P147 例 3 配的那一幅（课本图18.2-1）与 P151 第 6 题配的那一幅，本节材料都按"在题内写明出处"的办法处理，不重画课本原图。 开场六问 1. 计算： × = ______； ÷ = ______。再想一想：把其中的数换成字母，算法会不会变？ 2. 填空：分式乘分式，用分子的积作为积的 ______，用分母的积作为积的 ______。 3. 填空：分式除以分式，把 ______ 的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 4. 计算： = ______；再说说分子、分母是不是都要乘方。 5. 想一想：a ÷ b × 与 a ÷ 的结果一样吗？为什么？ 6. 计算： × = ______（先分解因式再算）。 我的热身答案: 【预习提醒】第 1 题： × = ； ÷ = × = 。把数换成字母，算法一样。第 2 题：分子；分母。第 3 题：除式。第 4 题： = ，分子、分母都要乘方。第 5 题：不一样。a ÷ b × 从左到右算，得 ；而 a ÷ 先算括号，b × = 1，得 a。第 6 题：原式 = × = 1。 一、先看这张地图 · 两个动作、一次合流、一次升级 这一节是一节运算课。运算课最怕的是"一看就会、一算就错"，原因往往不在法则本身，而在动手之前没有把这道题看清：它到底是乘、是除、还是混在一起；分子、分母是单项式还是多项式。所以动手之前，先把本节要认的四种算式看一眼。 这四种算式的走法是有先后的：乘与除是两个独立的动作，各自练熟以后才好连起来；连起来算顺了，再加进乘方这个升级动作。按这个顺序走，每一步都只新增一个心眼，不至于一上手就手忙脚乱。 1. 本节要认的四种算式，如图 1。 图 1 本节要认的四种算式：乘、除、乘除混合、乘方 对着图看这四件事：① 两个分式相乘；② 一个分式除以另一个；③ 乘与除连在一起；④ 同一个分式连乘，也就是乘方。 2. 四件事的走法（课本 P146—P149）：先把乘与除这两个动作各练一遍，再把它们连起来算，最后把乘方加进来。四件事的算法都能从分数的乘、除、乘方搬过来，本节要补的只是"分子、分母是多项式"与"顺序"这两处。 四件事 式子的样子 课本出处 打勾 ① 乘 两个分式相乘 例 1 第 (1) 小题、例 2 第 (1) 小题（课本 P146—P147） ○ ② 除 一个分式除以另一个 例 1 第 (2) 小题、例 2 第 (2) 小题（课本 P146—P147） ○ ③ 合流 乘与除连在一起 例 4（课本 P149） ○ ④ 升级 同一个分式连乘 例 5（课本 P149） ○ 3. 这一节的走法，一句话说完：两个动作（乘、除）→ 一次合流（乘除混在一起）→ 一次升级（乘方）。本节材料的板块顺序就是照着这句话排的。 4. 想一想：为什么把乘方放到最后学？如果先学乘方，前面的乘法还没练熟，会出什么问题？ 我的想法: 【走法提醒】四件事里，前两件是"底子"，后两件是"组合"。乘与除各自只有一条法则，练熟不难；难的是把两条法则用在同一道题里——乘除混合要先统一成乘法，乘方要先算、再参与乘除。所以课本把它们排在乘与除之后，本节也照这个顺序走。 二、动作一 · 乘：分子乘分子，分母乘分母 先看最省的这一件：两个分式相乘。分数的乘法在小学就学过——分子乘分子、分母乘分母，能约分的先约分。分式的样子与分数一样，乘法也照办，只是把"数"换成了"式"。 分式的乘法要盯住的有两条线：一条是分子这条线，一条是分母这条线。两个分子归到上面一条线上，两个分母归到下面一条线上，各归各的，谁也不会跑到对方那条线上去。这一点看清楚了，法则就不用背。 1. 分式的乘法要盯住的两条线，如图 2。 图 2 分式的乘法：分子这一条线、分母这一条线 对着图看两条线：上面一条线上放的是两个分子，下面一条线上放的是两个分母。分子不会跳到分母那条线上去，分母也不会跳到分子那条线上去。 2. 分式的乘法法则（课本 P146）：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母。即 · = 。 法则本身只有一句话，动手时却要按三步走。第一步，先把各分子、分母能分解因式的分解开；第二步，把分子乘到一起、分母乘到一起，乘的时候先别急着展开，写成积的样子最容易看出公因式；第三步，把公因式约掉，化成最简分式或整式。三步里最容易被省掉的是第一步，省了它，后面就得跟一长串式子打交道。 3. 例题（课本 P146 例 1 第 (1) 小题）： × 。 分析与解答：分子与分子相乘，分母与分母相乘，先把积写成积的样子，再约分。 (1) 原式 = = = 。 【解题提醒】这道小题里，分子上有个 y，分母上也有个 y，可以直接约掉；系数 4 与 6 约成 2 与 3；x 与 约成 1 与 。约分时把每一处都写完，最后再检查一遍分子、分母还有没有公因式，免得留下一个约不干净的得数。 我的例题解答: 4. 例题（课本 P147 例 2 第 (1) 小题）： × 。 分析与解答：分子、分母都是多项式，先把它们各自分解因式，再乘、再约。 (1) 原式 = × = = 。 5. 想一想：第 4 题里，如果先把两个分式乘开再分解因式，会多出哪几步？为什么"先分解"更省事？ 我的想法: 【解题提醒】多项式相乘的题，一律先分解因式。 - 4a + 4 分解成 ， - 2a + 1 分解成 ， - 4 分解成 (a - 2)(a + 2)——三处都分开了，公因式 (a - 2) 与 (a - 1) 一眼就能看到。约分一定要整段约去，不能只把某一项划掉。 6. 即时练习（课本 P148 练习 第 1 题）：照课本 P148 练习 第 1 题抄题计算。做题时统一按三步走——先分解因式，再把分子、分母分别乘起来，最后约到最简。 我的练习答案: 【解题提醒】第 1 题两道小题的得数依次是 与 。做完回头检查两处：分子、分母里还有没有公因式；得数是不是写成了最简分式或整式。 7. 自主小结：把分式的乘法法则说一遍；再说说"两条线各归各的"指的是什么，"先分解因式"这一步又省下了哪些麻烦。 我的小结: 三、动作二 · 除：把除式颠倒过来乘 第二个动作是除。分数除法在小学也学过一句话：除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数。这句话搬到分式上来，就是分式的除法法则——把除式的分子、分母颠倒位置，再与被除式相乘。 这里有一处一定要看清楚：颠倒的只是除式，被除式一动不动，除号也跟着改成乘号。把这三件事一次做齐，除法就变成乘法了；少做一件，得数必错。 1. 除法要做的第一件事，如图 3。 图 3 分式的除法：把除式颠倒过来 对着图看两处：被除式留在原来的位置上不动，除式翻一个身；翻的过程中，除号要改成乘号。翻完以后，剩下的就是上一板块学过的乘法。 2. 分式的除法法则（课本 P146）：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。即 ÷ = · = 。 除法法则可以拆成三个连贯的小动作：一翻（把除式的分子、分母对调）、二改（除号改成乘号）、三乘（照乘法法则算）。三个小动作要一次做完，不要算了一半再回头翻。做完以后仍旧按乘法的老规矩收尾：先把除法全改成乘法，再一次性约分，最后才乘出来——不要边翻边乘，那样容易漏掉公因式。 3. 例题（课本 P146 例 1 第 (2) 小题）： ÷ 。 分析与解答：先把除式颠倒过来，除号改成乘号，再按乘法算。 (1) 原式 = × = - = - = -。 【解题提醒】得数上的负号来自除式的分子 -5，把负号提到分式前面最不容易丢。约分时 a 与 约成 1 与 a， 与 约成 b 与 1，c 与 约成 1 与 c；系数 4 与 10 约成 2 与 5。练熟以后，翻、改、乘三个小动作可以连着写。 我的例题解答: 4. 例题（课本 P147 例 2 第 (2) 小题）： ÷ 。 分析与解答：除式是 ，把它颠倒过来就是 ( - 7m)；颠倒之后，分子、分母都是多项式，先把它们分解因式。 (1) 原式 = × m(m - 7) = = -。 5. 想一想：第 4 题里，m - 7 与 7 - m 只差一个负号。为什么能约掉？约掉以后负号到哪里去了？ 我的想法: 【解题提醒】m - 7 与 7 - m 互为相反数，把其中一个的负号提前，两者就一样了：7 - m = -(m - 7)。这一手在分式的乘除里出现得很多，看到"两个式子只差一个符号"就先把负号提出来，公因式立刻看得见。得数写成 -，负号放在分式前面。 6. 乘与除摆在一起比，如图 4。 图 4 乘与除摆在一起比 对着图看：乘法是一步到底，两处分头乘；除法多了一道开头的手续——先把除式翻过来。翻完以后，除法的后半段与乘法完全一样，收尾的约分也一模一样。所以练熟乘法，除法就只多记一件事。 7. 即时练习（课本 P148 练习 第 2 题）：照课本 P148 练习 第 2 题抄题计算。每题都先写"翻过来"那一步，再算乘法。 我的练习答案: 【解题提醒】第 2 题两道小题的得数依次是 与 1。两道题的分子、分母都是多项式，动作一模一样：先把除法改成乘法，再把各分子、分母分解因式，公因式整段约去。第二道小题约到最后分子、分母相同，得数是 1。 8. 自主小结：把分式的除法法则说一遍；再说说它比乘法多做了哪一件事，翻的是式子里的哪一个。 我的小结: 四、合流 · 乘除混在一起：先把它们都变成乘法 两个动作各自练熟以后，题目就会把它们连起来出。乘除混在一起的时候，最容易犯的错是"见乘先算"——看见乘号就把前面两个数先乘起来，把后面的除法丢在一边。这样做，运算顺序就乱了。 正规的做法只有一句：先把所有的除法都改成乘法，改完以后式子里只剩乘号，再从左到右一个一个乘。改成乘法以后，约分还能一次性做完，式子最短、错的余地最小。 1. 混在一起时的第一步，如图 5。 图 5 乘除混在一起：先统统变成乘法 对着图看上下两行：上一行是原来的式子，里面既有一个除号又有一个乘号；下一行把除号那一步翻过来，整行只剩乘号。从上一行到下一行，变的是那一个除号与它后面那个分式，其余部分原样不动。 2. 运算顺序（课本 P149）：分式的乘除混合运算，先把所有的除法都改成乘法，再从左到右依次相乘；式子里含有乘方时先算乘方；有括号时先算括号里面的。 顺序这件事有三级：第一级是括号，第二级是乘方，第三级才是乘除。同级运算按从左到右的顺序进行。所以拿到一道混合运算题，先扫一遍：有没有括号、有没有乘方、有几个除号；把这三件事处理完，剩下的就是一串乘法，按顺序乘下来即可。切忌"看见乘号就先乘"。 3. 例题（课本 P149 例 4）： ÷ × 。 分析与解答：式子里有一个除号、一个乘号。先把除法改成乘法，把 颠倒过来，再把 25 - 9 分解因式，最后一次性约分。 (1) 原式 = × × = = 。 【解题提醒】这道题的关键在顺序：先改除号，不要先算 2x 乘后面的式子。改完以后，5x - 3 与 5x + 3 各出现两次，一次约干净，剩下的就只有 2x·x 与分母上的 3。做完回头看一遍得数 ，分子、分母没有公因式，也是最简分式。 我的例题解答: 4. 算完以后要检查的一处，如图 6。 图 6 得数要写成这两样：最简分式或整式 对着图看得数的两个样子：一种是分子、分母再没有公因式的分式；另一种是分母被约净以后剩下的整式。得数如果不是这两样之一，说明还有公因式没约完，要回去再约一遍。 5. 想一想：把 的分子、分母同减 a，分式的值变不变？为什么不能这样"约"？ 我的想法: 6. 即时练习（课本 P150 练习 第 1 题）：照课本 P150 练习 第 1 题抄题计算。每题先在草稿上把除法全改成乘法，再动笔算。 我的练习答案: 【解题提醒】第 1 题两道小题的得数依次是 1 与 2。这两道题都是乘除混在一起的式子，做题时把"先把除法改成乘法"这一步写在纸上，不要只在脑子里做——写在纸上的那一步，往往就是挡住运算顺序错误的那一步。 7. 自主小结：把乘除混合运算的顺序说一遍；再说说为什么不能"见乘先算"。 我的小结: 五、升级 · 乘方：分子、分母各自乘方 乘方不是新的算法，它是乘法的连做： 的 3 次方，就是把 这个分式连乘 3 次。按前面学过的乘法法则，连乘 3 次以后，分子这条线上一共乘了 3 个 a，分母那条线上一共乘了 3 个 b。所以乘方的结果，就是分子、分母各自乘方。 明白了这层来路，乘方法则就不用死记。要留心的是两处容易漏的地方：一是系数，比如 里的 2 也是一个因数，它也要乘方；二是负号，负号乘方的结果要看指数的奇偶——指数是偶数，负号抵消；指数是奇数，负号留下。 1. 乘方要做的两处，如图 7。 图 7 分式的乘方：分子、分母两处都要乘 对着图看两处：分子这一处要乘方，分母这一处也要乘方，两处的次数一样。图上只有两处，没有第三处——乘方是对着分子、分母同时做的，缺了任何一处都不对。 2. 分式的乘方法则（课本 P149）：分式乘方要把分子、分母分别乘方。即 = （n 为正整数）。 这条法则与积的乘方是同一句话的两个方向：积的乘方是把括号里的每个因式都乘方，分式的乘方是把分子、分母两处都乘方。用的时候把"每个因式"这四个字记住，就不会漏掉系数与负号。算完以后照旧检查：分子、分母还有没有公因式，负号有没有提到分式前面。 3. 括号里的三类因式怎么乘方（课本 P149）： 括号里的因式 乘方时怎么办 打勾 分子、分母两处 两处都要乘方，次数一样，缺一处都不对 ○ 系数（如 2a 里的 2） 跟着一起乘方，2 的三次方是 8 ○ 负号 看指数的奇偶：偶次方消掉，奇次方留下 ○ 4. 例题（课本 P149 例 5）：(1) ；(2) ÷ × 。 分析与解答：第 (1) 小题只有乘方，把分子、分母两处分别乘方；第 (2) 小题是乘方与乘除混在一起，先算乘方，再把除法改成乘法，最后一次性约分。 (1) 原式 = = 。 (2) 原式 = × × = -。 【解题提醒】第 (1) 小题里，系数 2 与 -3 都要跟着乘方： = 4， = 9，负号被偶次方消掉。第 (2) 小题要先算乘方再算乘除， 得 -，负号指数是奇数，所以负号留着；最后约分时 a 从 约到 ，c 从 约到 c， 与 约成 。 我的例题解答: 5. 想一想： 与 一样吗？ 又与它们中的哪一个相等？ 我的想法: 6. 即时练习（课本 P150 练习 第 2—5 题）：照课本 P150 练习 第 2—5 题抄题计算。含乘方的题一律先算乘方，再改除号为乘号，最后约分。 我的练习答案: 【解题提醒】第 2—5 题的得数依次是 -、、1、。含乘方的题务必先算乘方： 的分子是 ，分母是 ，负号被偶次方消掉；若是三次方，负号就留下来。算到最后仍要检查得数是不是最简。 7. 自主小结：把分式的乘方法则说一遍；再说说系数与负号在乘方时各要看什么。 我的小结: 六、回到实际 · 用分式的乘除解决实际问题 把算法练熟的用处，是解决实际问题。实际问题里的分式乘除，往往藏在"比较两个量"或"求一个量是另一个量的几倍"这类说法里：比较两个分式的大小，常常要做一次除法；求几倍，也是做除法。 做这类题有一个固定的三步格式：第一步列式，用含字母的式子把题目里要比较或要求的量分别表示出来；第二步计算，按本节学的乘除法则算；第三步作答，把算出来的式子翻译回题目问的那句话。三步都写完，才算做完。 1. 两块试验田，如图 8。 图 8 两块试验田：丰收1号与丰收2号 对着图看两块田的形状：丰收1号是一块边长为 a 的正方形，被挖去了一个边长为 1 的正方形（那块是蓄水池）；丰收2号是一整块边长为 a - 1 的正方形。两块田里收下的麦子一样多，所以要比的是两块田的单位面积产量。 2. 例题（课本 P147 例 3）：丰收1号小麦的试验田是边长为 a m 的正方形减去一个边长为 1 m 的正方形蓄水池后余下的部分，丰收2号小麦的试验田是边长为 (a - 1) m 的正方形，两块试验田的小麦都收获了 500 kg。(1) 哪种小麦的单位面积产量高？(2) 高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 分析与解答：单位面积产量 = 总产量 ÷ 面积。两块田的总产量都是 500 kg，所以先把两块田的面积分别表示出来，再写单位面积产量的式子，最后比大小、求倍数。 (1) 丰收1号的面积是 ( - 1) ，单位面积产量是 ；丰收2号的面积是 ，单位面积产量是 。当 a > 1 时， < - 1，分子相同时分母越小值越大，所以 > ，丰收2号的单位面积产量高。 (2) ÷ = × = = 。所以高的单位面积产量是低的 倍。 这道题把本节的两个动作都用上了：第 (1) 问只列式、比大小，用到的是"分母越小、分子相同时值越大"；第 (2) 问求倍数，做的就是分式的除法。第 (2) 问里 500 与 500 约掉， - 1 分解成 (a - 1)(a + 1)，与分母上的 约去一个 (a - 1)，得数 是最简分式，符合得数的要求。 我的例题解答: 3. 动手做（课本 P151《习题18.2》里的四道应用题）： 第 6 题：甲、乙两个花坛的形状见课本 P151 第 6 题的图（阴影部分是种花面积）。分别在这两个花坛中均匀播种 m 颗花种，哪一个花坛的撒播密度大？（撒播密度 = 花种数量 ÷ 撒播面积） 第 7 题：一艘船顺流航行 n km 用了 m h，如果逆流航速是顺流航速的 ，那么这艘船逆流航行 t h 走了多少路程？ 第 8 题：在一块 a 的稻田上插秧，如果 10 个人插秧，要用 m 天完成；如果一台插秧机工作，要比 10 个人插秧提前 3 天完成，一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的多少倍？ 第 9 题：在调配饮料时，需要考虑不同原料的质量配比。如果一种由甲、乙两种原料配制成的饮料成品是 1 kg，甲、乙两种原料的配比是 x:y，那么需要甲原料多少千克？ 我的应用题解答: 【应用提醒】四道题都按"列式、计算、作答"三步走。第 6 题在比两个花坛的撒播密度：花种都是 m 颗，所以只要比两个花坛的种花面积，面积大的密度反而小；甲花坛的撒播密度是 ，乙花坛的种花面积要按课本 P151 第 6 题的图算出来，再写出它的密度，然后比大小——甲花坛的撒播密度大。第 7 题先求顺流速度 ，再乘 得逆流速度，最后乘 t。第 8 题先算一个人的工作效率 ，再算插秧机的效率 ，两者相除。第 9 题按配比把 1 kg 分成 x 份与 y 份，甲占其中的 。 4. 想一想：第 6 题里，为什么可以不算出两个花坛的面积具体是多少，就能比出谁的撒播密度大？ 我的想法: 5. 自主小结：把解决实际问题的三步格式写一遍；再说说本节的哪一条法则在三步里各派了什么用场。 我的小结: 七、走完之后 · 易错清单、作业与自我评价 一节运算课学完，先把最容易踩的几处集中查一遍。本节的法则只有三条，可错的地方却相当集中：翻错了对象、改了除法忘了改除号、多项式不分解就动手、约分只划一项、顺序见乘先算、乘方漏乘系数或看错负号。下面把最常见的七处列成三栏：错法、错在哪里、怎么改。做题时若有一道怎么算都不顺，回来对一对。 查完以后再动手做作业。本节作业分两层：第一层是课本《习题18.2》的复习巩固与综合运用，人人必做；第二层是拓广探索与本材料自编的分层练习，量力选做。 错法 错在哪里 怎么改 ① 除法里颠倒错了对象 把被除式翻了过来，除式反而没动 颠倒的只能是除式；被除式原样不动，它只是"被除"的那一个 ② 改了除法忘了改除号 写成 ÷ = × 却把除号留着，或翻完了仍旧写除号 一翻、二改、三乘三个动作连着做：翻的同时把除号改成乘号 ③ 多项式不分解就直接乘 把 直接乘开，式子上下一长串 先把每个分子、分母各自分解因式，再乘、再约，式子短、错得少 ④ 约分只把某一项划掉 把 里的 单独划去 公因式要整段约去，先分解得 ，结果是 ⑤ 见乘先算，顺序弄错 算 a ÷ b × c 时先把 b × c 乘起来，再拿 a 去除 先把所有除法都改成乘法，改完只剩乘号，再从从左到右依次相乘 ⑥ 乘方漏乘系数 把 写成 系数 2 也是一个因式，要跟着乘方，应为 ⑦ 乘方时负号看错 把 写成 - 负号的去留看指数的奇偶：偶次方负号消掉，结果是 ；奇次方才留负号 1. 自查：上面的七条里，本节你做错过的有哪几条？把序号写下来，再各写一句"下一次怎么躲开它"。 我的易错自查: 【自查提醒】七条里，第 ② 条与第 ⑤ 条最容易反复。第二条是"动作不齐"——翻了却没改除号，或者改了除号却忘了翻，两件事要当成一件事来做；第五条是"顺序习惯"——看见乘号就想先乘是小学带来的直觉，纠正的办法是每道混合运算题都先在草稿上把除号全部改掉，改完再动笔。 评价项目 自评 能说出分式的乘法法则，并按"两条线各归各的"把分子、分母分开处理 ○ 会做分子、分母是单项式的分式乘法，并能把结果约到最简 ○ 会做分子、分母是多项式的分式乘法，并能说清为什么要先分解因式 ○ 能说出分式的除法法则，并说清颠倒的是除式、除号也要跟着改 ○ 会做分式的除法，并知道得数要化成最简分式或整式 ○ 会做分式的乘除混合运算，并按"先统一成乘法、再从左到右"的顺序算 ○ 能说出分式的乘方法则，乘方时不忘系数与负号的处理 ○ 会用分式的乘除解决简单的实际问题，并按"列式、计算、作答"三步作答 ○ 2. 学习反思：写两句——本节的三个动作（乘、除、乘方）里，哪一个你用着最顺？哪一处最容易踩坑，还需要再练几道题？ 我的学习反思: 3. 作业安排（课本《习题18.2》在课本 P150—P151，共 10 题） 层次 题目范围 要求 打勾 必做 复习巩固 第 1—4 题（课本 P150） 全做，写在作业本上，除法的题要把"翻过来"那一步写出来 ○ 必做 综合运用 第 5—9 题（课本 P151） 第 5 题先化简再求值；第 6—9 题按"列式、计算、作答"三步写 ○ 选做 拓广探索 第 10 题（课本 P151） 自己设计一道运用分式乘除运算的实际问题，并给出解答 ○ 4. 《习题18.2》全览（课本 P150—P151，共 10 题） 题号 教材页码 这一题要做什么 打勾 第 1 题 P150 复习巩固：分子、分母是单项式的分式乘除，四道小题 ○ 第 2 题 P150 复习巩固：分子、分母是多项式的分式乘除，先分解因式 ○ 第 3 题 P150 复习巩固：分式的乘方，两道小题 ○ 第 4 题 P150 复习巩固：分式的乘除混合运算，四道小题 ○ 第 5 题 P151 综合运用：先化简，再求值，两道小题 ○ 第 6 题 P151 综合运用：比较两个花坛的撒播密度（花坛的形状见课本 P151 第 6 题） ○ 第 7 题 P151 综合运用：由顺流航行的速度推出逆流速度，再求 t h 走的路程 ○ 第 8 题 P151 综合运用：求插秧机的工作效率是一个人的多少倍 ○ 第 9 题 P151 综合运用：按两种原料的配比求甲原料的质量 ○ 第 10 题 P151 拓广探索：自编一道运用分式乘除运算的实际问题，并给出解答 ○ 5. 分层练习 A 组（必做·把两个动作练熟） (1) 计算：(1) × ；(2) ÷ 。 (2) 计算：(1) × ；(2) ÷ 。 (3) 计算：(1) ；(2) 。 (4) 计算： ÷ × 。 (5) 一个长方形的面积是 12，宽是 3ab，求它的长。 我的 A 组解答: B 组（选做·把多项式与混合运算用上） (1) 计算： ÷ 。 (2) 计算： × 。 (3) 计算： ÷ × 。 (4) 先化简，再求值： × ，其中 a = 3。 (5) 计算： ÷ × 。 我的 B 组解答: C 组（挑战·先整理再算） (1) 先化简，再求值： ÷ × ，其中 x = 2。 (2) 计算： ÷ × 。 (3) 一块长方形空地的宽是 (a - b) m，面积是 ( - ) ，求它的长；再求长是宽的几倍。 (4) 计算： ÷ × 。 我的 C 组解答: 【挑战提醒】C 组四道题都藏着一句"先整理"。第 (1) 题先把三个分式都分解因式，前两个先约成 1，再乘第三个；第 (2) 题把除法改成乘法之后，(a - 1) 与 a 都约得干干净净，只剩系数与 ；第 (3) 题是"面积除以宽求长"，求倍数时再做一次除法；第 (4) 题先算乘方，两处的指数都是 2，分子、分母各乘方，再把除法改成乘法，最后一次性约分，结果是 。 八、参考答案 （一）学习目标与开场六问 （1）第 1 题： × = ； ÷ = × = 。把数换成字母，算法不变。 （2）第 2 题：分子；分母。 （3）第 3 题：除式。 （4）第 4 题： = 。分子、分母都要乘方，两处的次数一样。 （5）第 5 题：不一样。a ÷ b × 按从左到右算，得 ；而 a ÷ 先算括号，括号里得 1，整个式子得 a。 （6）第 6 题：原式 = × = 1。 （二）先看这张地图 · 两个动作、一次合流、一次升级 （1）本节要认的四种算式：① 两个分式相乘；② 一个分式除以另一个；③ 乘与除连在一起；④ 同一个分式连乘（乘方）。 （2）四件事的课本出处：乘与除见例 1（课本 P146）与例 2（课本 P147）；乘除混合见例 4（课本 P149）；乘方见例 5（课本 P149）。 （3）这一节的走法：两个动作（乘、除）→ 一次合流（乘除混在一起）→ 一次升级（乘方）。乘与除各自只有一条法则，先把它们练熟，才好把两条法则用在同一道题里。 （4）为什么乘方放在最后：乘方是乘法的连做，要先会用乘法法则；而混合运算里先算乘方，所以乘方必须练到不用想。 （三）动作一 · 乘：分子乘分子，分母乘分母 （1）分式的乘法法则（课本 P146）：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母。即 · = 。 （2）"两条线各归各的"指的是：上面一条线专门放分子，下面一条线专门放分母；分子不会跑到分母那一条线上去。 （3）例题（课本 P146 例 1 第 (1) 小题）： × = = = 。 （4）例题（课本 P147 例 2 第 (1) 小题）： × = × = 。 （5）为什么先分解因式：不分解的话，要把两个多项式乘开，式子很长；分解以后公因式一眼可见，约分一步到位。 （6）练习（课本 P148 练习 第 1 题）：两道小题的得数依次是 与 。 （7）小结示例：分式乘分式，分子乘分子、分母乘分母；动手时按"先分解因式 → 分子、分母分别相乘 → 约到最简"三步走，最后检查得数是不是最简分式或整式。 （四）动作二 · 除：把除式颠倒过来乘 （1）分式的除法法则（课本 P146）：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。即 ÷ = · = 。 （2）三个连贯的小动作：一翻（把除式的分子、分母对调）、二改（除号改成乘号）、三乘（照乘法法则算）。被除式一动不动。 （3）例题（课本 P146 例 1 第 (2) 小题）： ÷ = × = - = -。 （4）例题（课本 P147 例 2 第 (2) 小题）： ÷ = × m(m - 7) = -。 （5）为什么能约掉 m - 7 与 7 - m：两者互为相反数，7 - m = -(m - 7)；把负号提前以后两者相同，约掉的结果把负号留在分式前面。 （6）乘与除的比较：乘法一步到底；除法多一道开头的手续（把除式翻过来），翻完以后的收尾动作与乘法完全一样。 （7）练习（课本 P148 练习 第 2 题）：两道小题的得数依次是 与 1。 （8）小结示例：分式除以分式，把除式颠倒位置后与被除式相乘；它比乘法多做的就是"翻"这一件事，翻的是除式，被除式不动。 （五）合流 · 乘除混在一起：先把它们都变成乘法 （1）运算顺序（课本 P149）：分式的乘除混合运算，先把所有的除法都改成乘法，再从左到右依次相乘；含有乘方时先算乘方；有括号时先算括号里面的。 （2）顺序的三级：第一级括号，第二级乘方，第三级乘除；同级运算从左到右进行。 （3）例题（课本 P149 例 4）： ÷ × = × × = = 。 （4）得数的两个样子：一个是分子、分母再没有公因式的分式（最简分式），一个是分母被约净以后剩下的整式。得数不是这两样之一，说明还有公因式没约完。 （5）为什么不能"见乘先算"：同级运算要从左到右，先算后面的乘法等于把顺序倒过来，结果必错；正规做法是先把除法全改成乘法，再依次相乘。 （6）练习（课本 P150 练习 第 1 题）：两道小题的得数依次是 1 与 2。 （7）小结示例：乘除混合运算，先把所有除法改成乘法，再从从左到右一个一个乘；把"改除号为乘号"这一步写在纸上，是挡住顺序错误最省力的办法。 （六）升级 · 乘方：分子、分母各自乘方 （1）分式的乘方法则（课本 P149）：分式乘方要把分子、分母分别乘方。即 = （n 为正整数）。 （2）括号里的三类因式怎么处理：分子、分母两处都要乘方，次数一样；系数（如 2a 里的 2）跟着一起乘方；负号的去留看指数的奇偶，偶次方消掉，奇次方留下。 （3）例题（课本 P149 例 5）：(1) = = ；(2) ÷ × = × × = -。 （4） 与 不一样：前者负号在分子上、且指数是 2，结果负号消掉，得 ；后者负号只是分子的符号，结果是 -。 的指数是奇数，负号留下，得 -。 （5）练习（课本 P150 练习 第 2—5 题）：得数依次是 -、、1、。 （6）小结示例：分式乘方，分子、分母分别乘方；系数与负号都要一起处理，负号按指数的奇偶决定去留；算完仍旧检查得数是不是最简。 （七）回到实际 · 用分式的乘除解决实际问题 （1）三步格式：第一步列式，用含字母的式子把要比较或要求的量分别表示出来；第二步计算，按本节的乘除法则算；第三步作答，把算出来的式子翻译回题目问的那句话。 （2）例题（课本 P147 例 3）：丰收1号的面积是 - 1，单位面积产量是 ；丰收2号的面积是 ，单位面积产量是 。 （3）第 (1) 问：当 a > 1 时 < - 1，分子相同时分母越小值越大，所以 > ，丰收2号的单位面积产量高。 （4）第 (2) 问： ÷ = × = = ，即高的单位面积产量是低的 倍。 （5）第 6 题（课本 P151）：甲花坛的种花面积是 - ，撒播密度是 ；乙花坛的种花面积要按课本 P151 第 6 题的图算出来（阴影部分），再由"撒播密度 = 花种数量 ÷ 撒播面积"写出乙花坛的密度；两个密度一比，甲花坛的撒播密度大。 （6）第 7 题（课本 P151）：顺流速度是 km/h，逆流速度是 · = km/h，所以逆流航行 t h 走的路程是 ·t = km。 （7）第 8 题（课本 P151）：一个人的工作效率是 ，插秧机的工作效率是 ，两者相除得 ÷ = ，即插秧机的工作效率是一个人的 倍。 （8）第 9 题（课本 P151）：两种原料的配比是 x:y，1 kg 里甲原料占 x 份中的 x 份，所以需要甲原料 kg。 （9）想一想：两个花坛播的都是 m 颗花种，分子相同，所以只要比两个花坛的种花面积——面积大的那一个，撒播密度反而小，不必算出面积的具体数值。 （10）小结示例：实际问题按"列式、计算、作答"三步走；求"几倍"或"哪一个更大"时，列式之后做的往往就是分式的除法。 （八）走完之后 · 易错清单与自我评价 （1）七条依次是：除法里颠倒错了对象；改了除法忘了改除号；多项式不分解就直接乘；约分只把某一项划掉；见乘先算，顺序弄错；乘方漏乘系数；乘方时负号看错。 （2）最需要防的两条是"改了除法忘了改除号"与"见乘先算"。前者要养成"翻、改、乘"三个动作一次做完的习惯；后者要养成"先把除号全部改掉再动笔"的习惯。 （3）自我评价：逐项对照评价表打勾；没有打勾的项目，就回到对应的板块，把那一条法则重看一遍，再把那一栏的练习重做一遍。 （九）作业 ·《习题18.2》与分层练习 （1）习题18.2 第 1 题（课本 P150）：(1) 原式 = ；(2) 原式 = ；(3) 原式 = ；(4) 原式 = -。 （2）习题18.2 第 2 题（课本 P150）：(1) 原式 = ；(2) 原式 = ；(3) 原式 = ；(4) 原式 = 。 （3）习题18.2 第 3 题（课本 P150）：(1) 原式 = -；(2) 原式 = 。 （4）习题18.2 第 4 题（课本 P150）：(1) 原式 = ；(2) 原式 = -2；(3) 原式 = ；(4) 原式 = 。 （5）习题18.2 第 5 题（课本 P151）：(1) 原式 = + a - 2，当 a = 3 时原式 = 10；(2) 原式 = ，当 x = -、y = 时原式 = 。 （6）习题18.2 第 6 题（课本 P151）：见本板块（七）第 (5) 条，甲花坛的撒播密度大。 （7）习题18.2 第 7 题（课本 P151）： km，见本板块（七）第 (6) 条。 （8）习题18.2 第 8 题（课本 P151）： 倍，见本板块（七）第 (7) 条。 （9）习题18.2 第 9 题（课本 P151）： kg，见本板块（七）第 (8) 条。 （10）习题18.2 第 10 题（课本 P151）：答案不唯一。示例：某长方形的面积是 ( - ) ，宽是 (a - b) m，则它的长是 ( - ) ÷ (a - b) = (a + b) m。 （11）A 组第 (1) 题：(1) 原式 = ；(2) 原式 = 。A 组第 (2) 题：(1) 原式 = x + 3；(2) 原式 = 1。 （12）A 组第 (3) 题：(1) 原式 = ；(2) 原式 = 。A 组第 (4) 题：原式 = 。 （13）A 组第 (5) 题：长 = 12 ÷ (3ab) = 4b。 （14）B 组第 (1) 题：(1) 原式 = × = 1。B 组第 (2) 题：原式 = × = 1。 （15）B 组第 (3) 题：原式 = × × = 。B 组第 (4) 题：原式 = × = ，当 a = 3 时原式 = 。 （16）B 组第 (5) 题：原式 = × × = 。 （17）C 组第 (1) 题：原式 = × × = ，当 x = 2 时原式 = 。 （18）C 组第 (2) 题：原式 = × × = 。 （19）C 组第 (3) 题：长 = ( - ) ÷ (a - b) = a + b（m）；长是宽的 (a + b) ÷ (a - b) = 倍。 （20）C 组第 (4) 题：原式 = × × = 。 — 2026—2027学年 · 班级 ______ 姓名 ______ — 学科网（北京）股份有限公司 $