5.1 方程 知识点梳理 2026-2027学年人教版数学七年级上册

5.1 方程 知 识 点 梳 理 2026—2027学年 · 人教版（2024）数学 · 七年级上册 第五章 一元一次方程 5.1 方程 本讲版式：平衡守恒 · 等式变形版式 一、学习导航 课标要求：《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求「能根据现实情境理解方程的意义」「理解方程解的意义」「掌握等式的基本性质」，并能「经历用方程解决实际问题的过程，形成模型观念」。 学习目标： 1. 理解方程的概念，能判断一个式子是不是方程； 2. 理解一元一次方程的概念，能准确识别一元一次方程； 3. 理解方程的解与解方程的意义，会检验一个数是不是方程的解； 4. 掌握等式的两个基本事实与两条性质，能用式子的形式表示出来； 5. 能利用等式的性质把方程转化为 x = a 的形式，会解简单的一元一次方程。 本节在教材中的地位： 本节对应人教版（2024）数学七年级上册第五章 5.1 节（教材第 115 页起），下辖「从算式到方程」「等式的性质」两个课时。 这一节有一个很特别的地方：按照《课程标准》的要求，小学阶段不再讲方程，所以初中阶段方程的学习成为义务教育阶段「方程与不等式」内容的起点——方程的相关概念是作为全新内容引入的。 本节要解决两件事：一是把「方程」这个概念立起来（什么是方程、什么样的是最简单的一元一次方程、什么叫方程的解）；二是给出解方程的工具（等式的性质）。有了这两样，后面 5.2 学解一元一次方程、5.3 用方程解决实际问题才走得下去。 课 时 核 心 内 容 关 键 方 法 第1课时 从算式到方程 方程的概念； 一元一次方程的概念； 方程的解与检验； 列方程 抓住方程的两个条件 （含未知数 + 是等式）； 检验即「代入看两边是否相等」 第2课时 等式的性质 等式的两个基本事实； 等式的性质1； 等式的性质2； 用等式的性质解方程 两边同时做 同样的运算； 除以的数必须不为 0 二、从算式到方程（第 1 课时） （一）一个问题，两种做法 甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发。甲队从距大本营 1 km 的一号营地出发，每小时行进 1.2 km；乙队从距大本营 3 km 的二号营地出发，每小时行进 0.8 km。多长时间后，甲队在途中追上乙队？ 用算术方法想：甲队每小时比乙队多走 1.2−0.8 = 0.4（km），而乙队在甲队前面 3−1 = 2（km），所以要追上，需要 2÷0.4 = 5（小时）。算式里只有已知数，看不到「要求的那个数」。 换一种想法：设 x 小时后甲队在途中追上乙队。此时甲队走了 (1.2x+1) km，乙队走了 (0.8x+3) km。甲队追上乙队，就是两队走过的路程相等，于是得到： 1.2x+1 = 0.8x+3。 这个式子里既有已知的数，也有用字母 x 表示的未知数。它把「要求的那个数」直接摆进了式子，只要想办法求出 x，问题就解决了。 从算式到方程，是一次思路的升级。 比 较 项 算 术 方 法 方 程 方 法 式子的构成 只含已知数， 不含未知数 既含已知数， 也含用字母表示的未知数 怎么想 从未知出发反向推， 想清楚每一步该算什么 先把未知数设为字母， 再找相等关系把两边连起来 适用情形 数量关系简单、 步骤少时较方便 数量关系复杂、 步骤多时更清楚、更有力 （二）方程的概念 定义：含有未知数的等式叫做方程。 这个定义只有一句话，但是里面藏着两个条件，缺一个都不是方程： 条 件 含 义 反 例 条件一： 含有未知数 式子里必须有字母表示的未知数 3+5 = 8 是等式， 但没有未知数，不是方程 条件二： 是等式 式子必须用等号「=」连接 2x+1 有未知数， 但不是等式，不是方程； x−3 > 0 用的是不等号，也不是方程 另外，教材里的实际问题也给出了几个方程的样本： · 买水杯问题：买 3 个大水杯的钱恰好可以买 4 个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多 5 元。设小水杯的单价为 x 元，则大水杯的单价为 (x+5) 元，列出 3(x+5) = 4x。 · 纪念币问题：一枚长方形纪念币的面积是 4000 mm²，长和宽的比是 8∶5。设长为 x mm，则宽为 x mm，列出 x·x = 4000。 （三）列方程的一般步骤 列方程就是把实际问题中的相等关系，用含未知数的等式表示出来。可以按「审、设、列」三步走： 步 骤 做 什 么 以登山队问题为例 审 仔细读题，弄清已知量、未知量， 找出题中的相等关系 相等关系：甲队走过的路程 = 乙队走过的路程 设 设出恰当的未知数， 并把与相等关系有关的量用它表示出来 设 x 小时后追上； 甲队走 (1.2x+1) km，乙队走 (0.8x+3) km 列 根据相等关系， 把两边的量用含未知数的式子连起来 1.2x+1 = 0.8x+3 提醒：「设」的时候，问什么就设什么（直接设元）通常最省事；表示各个量时，字母要带单位一起想清楚。 三、一元一次方程（第 1 课时） 定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是 1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。 这个名字其实把三个条件写在了脸上——「一元」说的是未知数的个数，「一次」说的是未知数的次数，「方程」则要求两边都是整式： 要 点 含 义 示 例 与 反 例 「一元」： 只含一个未知数 方程中出现的字母 只能有一个 3x−1 = 2x 是一元一次方程； x+y = 3 含两个未知数，不是 「一次」： 未知数的次数是 1 未知数的最高次数为 1， 不能出现平方、立方 2x+5 = 9 是一元一次方程； +1 = 0 中未知数的次数是 2，不是 两边都是整式 未知数不能在分母上， 也不能在根号里 3x−1 = 2x 是一元一次方程； +1 = 2 中分母含未知数，不是 一句话记住：一元一次方程 = 「一个未知数 + 次数为 1 + 两边都是整式」。 四、方程的解与检验（第 1 课时） 定义：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 「方程的解」是一个数，「解方程」是一个过程，别把两个词混着用。 要检验一个数是不是方程的解，做法很直接：把这个数分别代入方程的左边和右边，算出结果，再看两边是否相等。 步 骤 做 法 检验 x = 4 是不是 3x−5 = 7 的解 第一步 代左边 把值代入左边的式子， 算出左边的值 左边 = 3×4−5 = 12−5 = 7 第二步 代右边 把值代入右边的式子， 算出右边的值（右边通常先化简） 右边 = 7 第三步 作比较 左边 = 右边 → 是这个方程的解； 左边 ≠ 右边 → 不是 左边 = 右边 = 7， 所以 x = 4 是方程 3x−5 = 7 的解 注意：检验时左右两边要分别独立地算，不能把值只代进一边就下结论；代入负数或分数时，要先用括号括起来。 五、等式的性质（第 2 课时） （一）等式的两个基本事实 名 称 内 容 式子表示 对称性 等式两边可以交换 如果 a = b，那么 b = a 传递性 相等关系可以传递 如果 a = b，b = c，那么 a = c 为什么要把等式和它的性质单独拿出来讲？可以借助天平来想：天平平衡时，左右两个盘里的东西质量相等。在两边同时添上（或拿走）同样重的东西，天平仍然平衡；把两边的质量都扩大到原来的同样倍数，天平也仍然平衡。等式就相当于一架「数学天平」。 （二）等式的性质 1 性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 文 字 叙 述 式 子 表 示 举 例 等式两边加同一个数 （或式子），结果仍相等 如果 a = b， 那么 a+c = b+c 由 x−3 = 5， 两边同加 3，得 x = 8 等式两边减同一个数 （或式子），结果仍相等 如果 a = b， 那么 a−c = b−c 由 x+4 = 1， 两边同减 4，得 x = −3 用性质 1 的诀窍：方程里「多」了什么，就在两边同「减」掉它；「少」了什么，就在两边同「加」上它。目的是让含未知数的项和常数项分开两边。 （三）等式的性质 2 性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。 文 字 叙 述 式 子 表 示 举 例 等式两边乘同一个数， 结果仍相等 如果 a = b， 那么 ac = bc 由 = 3， 两边同乘 2，得 x = 6 等式两边除以同一个 不为 0 的数，结果仍相等 如果 a = b（c ≠ 0）， 那么 = 由 4x = 12， 两边同除以 4，得 x = 3 这一条里「不为 0」四个字最关键。0 不能作除数，所以两边同时除以的式子必须保证不等于 0——这一点是常考的陷阱。 （四）利用等式的性质解方程 解以 x 为未知数的方程，就是想方设法把方程变形成 x = a 的形式，而等式的性质正是这种变形的依据。变形时，每一步都要保证「两边同时做同样的运算」。 方 程 形 式 两 边 同 时 做 什 么 示 例 x + a = b 同减 a x+5 = 2 → x = −3 x − a = b 同加 a x−7 = −2 → x = 5 ax = b（a ≠ 0） 同除以 a −3x = 12 → x = −4 = b（a ≠ 0） 同乘 a = 3 → x = 12 解完别忘了检验：把求出的值代回原方程，看左右两边是否相等。检验是解方程最后一道「保险」，尤其在自己不太有把握的时候。 六、易错点辨析 易 错 点 错 在 哪 里 正 确 做 法 把「含未知数」当成方程的全部条件 只看到有字母就说是方程， 忘了还必须是等式 两个条件都要满足： 含未知数 且 是等式 把不等式、代数式当方程 x−3 > 0 含未知数却是不等式； 2x+1 含未知数却不是等式 看连接符号： 只有用「=」连接的才是方程 把「一元一次」理解成「一个字母」 +1 = 0 只含一个字母 x， 却不是一元一次方程 还要看次数： 未知数的次数必须是 1，两边都是整式 认为未知数在分母上也是一元一次方程 = 2 只含一个未知数， 但分母含未知数，左边不是整式 分母上有字母的， 不是一元一次方程 混淆「方程的解」与「解方程」 把「解方程」的答案写成一句话， 或把「解」写成一个过程 方程的解是一个数； 解方程是一个过程 检验时只代一边就下结论 算出左边是 7 就说 x = 4 是解， 没有算右边 左右两边都要独立算出来， 再比较是否相等 等式两边同除以一个可能为 0 的式子 由 ac = bc 直接推出 a = b， 没说明 c ≠ 0 除以的式子必须 保证不等于 0 等式两边做的运算不一样 一边加 2 一边减 2， 还认为等式仍成立 两边必须做完全相同的运算 七、数学文化小站 1. 等号「=」的来历。1557 年，英国数学家雷科德（Robert Recorde）在《砺智石》一书中第一次用两条平行线段表示相等。他给出的理由很有意思：世界上没有两样东西比这两条平行线更相等了。这个符号后来被全世界通用，一直沿用到今天。 2. 用字母表示未知数的习惯，一般追溯到法国数学家笛卡儿。他把 x、y、z 用来表示未知量，把 a、b、c 用来表示已知量，这个约定一直沿用到现在。所以我们在列方程时，习惯上也用 x 表示未知数。 3. 我国古代很早就用「方程」解决问题。《九章算术》中有一道著名的问题：「今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？」意思是：几个人合买一件物品，如果每人出 8 钱，就会多出 3 钱；如果每人出 7 钱，就会少 4 钱。问有多少人、物价是多少？用今天的话说，列出的式子就是 8x−3 = 7x+4，解得 x = 7，物价为 53 钱。 4. 「方程」这个名称也有来历。魏晋时期的刘徽在注《九章算术》时说：「程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实。」意思是把各个数量按类别列出、逐一核对，这也正是列方程时「把条件都摆出来、让两边相等」的朴素想法。 八、知识网络与口诀 主 干 分 支 要 点 方程 概念 含有未知数的等式； 两个条件缺一不可 一元一次方程 三个条件 一个未知数； 未知数的次数是 1； 两边都是整式 方程的解 检验 使左右两边相等的未知数的值； 代入左右两边分别算、再比较 等式的性质 基本事实 对称性 a = b → b = a； 传递性 a = b、b = c → a = c 等式的性质 性质 1 / 性质 2 两边同加减，结果仍相等； 两边同乘或同除非 0 的数，结果仍相等 解方程 目标与依据 目标：转化为 x = a； 依据：等式的性质 口诀一（认方程）：含未知数、是等式，两条都有才叫方程。 口诀二（认一元一次）：一元即一个未知数，一次即次数为 1，两边都得是整式，三条齐了才算数。 口诀三（检验）：代入左右分别算，两边相等才是解。 口诀四（等式性质）：两边同加同减、同乘同除一个样；除的那个不能是 0，这一步千万不能忘。 九、达标自测 1. 含有未知数的 ____________ 叫做方程；使方程左右两边相等的 ____________ 的值，叫做方程的解。 2. 下列各式中，是方程的是 ____________（填序号）：① 3+4 = 7；② 2x−1；③ x+1 > 2；④ 5x−1 = 4。 3. 下列方程中，是一元一次方程的是 ____________（填序号）：① +1 = 0；② x+y = 5；③ 3x−1 = 2；④ = 2。 4. 请写出一个解为 x = 3 的一元一次方程：____________（写出一个即可）。 5. 利用等式的性质解方程 x+6 = −2，得 x = ____________。 6. 利用等式的性质解方程 −5x = 15，得 x = ____________。 7. 若 x = 2 是关于 x 的方程 3x+a = 10 的解，则 a = ____________。 8. 某数的一半与 3 的和等于 7。设这个数为 x，可列方程 ____________。 自测答案： 1. 等式；未知数。这正是方程的解与方程这两个最核心的定义。 2. ④。①是等式但不含未知数；②含未知数但不是等式；③含未知数但用的是不等号。只有④同时满足两个条件。 3. ③。①中未知数的次数是 2；②含两个未知数；④中分母含未知数、不是整式；③符合全部三个条件。 4. x−3 = 0（答案不唯一，如 2x = 6、x+1 = 4 等均可）。只要只含一个未知数、次数是 1、两边都是整式，且把 x = 3 代入后左右两边相等即可。 5. −8。两边同减 6，得 x = −2−6 = −8。检验：左边 = −8+6 = −2 = 右边。 6. −3。两边同除以 −5，得 x = = −3。检验：左边 = −5×(−3) = 15 = 右边。 7. 4。把 x = 2 代入方程：3×2+a = 10，即 6+a = 10，两边同减 6，得 a = 4。 8. +3 = 7。某数的一半是 ，它与 3 的和等于 7。（两边同减 3 得 = 4，再同乘 2 得 x = 8。） 学科网（北京）股份有限公司 $