4.2 整式的加法与减法 知识点梳理 2026-2027学年人教版数学七年级上册

4.2 整式的加法与减法 知 识 点 梳 理 2026—2027学年 · 人教版（2024）数学 · 七年级上册 第四章 整式的加减 4.2 整式的加法与减法 本讲版式：同类归并 · 括号消解版式 一、学习导航 课标要求：《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求「理解同类项的概念，掌握合并同类项的法则」「掌握去括号的法则」「能进行简单的整式加减运算，发展运算能力与推理能力」。 学习目标： 1. 理解同类项的概念，会判断两个项是不是同类项； 2. 理解合并同类项的法则，能准确合并同类项（系数相加、字母与指数不变）； 3. 理解去括号的依据是乘法分配律，掌握去括号法则，能正确处理括号前是正号与负号两种情形； 4. 掌握整式加减的一般步骤（去括号 → 合并同类项），会求两个整式的和与差； 5. 会先化简再求值，能解决「与某个字母的取值无关」一类问题。 本节在教材中的地位： 本节对应人教版（2024）数学七年级上册第四章 4.2 节（教材第 99 页起），下辖「合并同类项」「去括号」「整式的加减」三个课时。 4.1 节给式子各个部位起了名字：哪一项是单项式、系数是多少、次数是几、哪一项是常数项。起好名字是为了用——本节就要让这些式子的各部分「动起来」，该合的合、该去的去，把复杂的式子化归为最简形式。 换句话说：4.1 解决「把式子拆开看」，本节解决「把式子收拾干净」。整式的加减是整个初中代数运算的地基：后面学一元一次方程（去括号解方程）、整式乘法、因式分解，全都要用到这两招。 课 时 核 心 内 容 关 键 方 法 第1课时 合并同类项 同类项的概念； 合并同类项的概念； 合并同类项的法则与依据 认准「两同」； 系数相加，字母与指数不动 第2课时 去括号 去括号的依据（乘法分配律）； 去括号法则； 多重括号的处理 看括号前的符号： 正号不变号，负号全变号 第3课时 整式的加减 整式加减的法则与步骤； 求两式的和与差； 化简求值与无关型问题 列式先加括号， 再去括号、后合并 二、同类项与合并同类项（第 1 课时） （一）从港珠澳大桥说起 一辆汽车从香港口岸出发，经东人工岛、海底隧道前往西人工岛。汽车通过海底隧道需要 a h，从香港口岸到东人工岛所需时间是 1.25a h。已知汽车在海底隧道和这一段路上的平均速度分别为 72 km/h 和 96 km/h。 可以算出香港口岸到西人工岛的全长： 72a+96×1.25a = 72a+120a（km）。 追问：72a+120a 还能化简吗？ 先看数的运算：72×2+120×2 = (72+120)×2 = 192×2 = 384；72×(−2)+120×(−2) = (72+120)×(−2) = 192×(−2) = −384。 式子 72a+120a 与上面的算式具有完全相同的结构，字母 a 代表的是一个因数，于是根据分配律有： 72a+120a = (72+120)a = 192a（km）。 也就是说，香港口岸到西人工岛的全长是 192a km。能这样合并，是因为 72a 与 120a 两个项「结构相同」——它们所含的字母相同，字母的指数也相同。 （二）同类项的概念 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 判断两个项是不是同类项，抓住「两同」，同时记住「两无关」「一特例」： 要 点 含 义 示 例 两同之一： 所含字母相同 两个项中含有的字母必须完全一样， 不能多一个也不能少一个 3xy 与 −5xy 是同类项； 3xy 与 −5x 不是（少了 y） 两同之二： 相同字母的指数相同 对每一个字母分别看指数， 每一个都要相同 2b 与 −3b 是同类项； 2b 与 3a 不是 （a、b 的指数互换了） 无关之一：与系数无关 系数是多少、正还是负， 都不影响是否为同类项 3 与 −5 是同类项 无关之二：与字母的顺序无关 字母相乘可以交换位置， 调换书写顺序仍是同一个项 ab 与 ba 是同类项； 4b 与 −3b 是同类项 特例：常数项都是同类项 不含字母的项， 彼此之间都是同类项 5 与 −8、 与 0.7 都是同类项 提醒：同类项只与「字母及其指数」有关，与系数无关，与字母的排列顺序无关。 （三）合并同类项 定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。 法则的依据仍然是乘法分配律，只是反过来用：a·c+b·c = (a+b)·c。把 c 换成字母 3x+5x = (3+5)x = 8x，就是把两个同类项的系数「提」出来相加，字母部分照抄不动。 为了不出错，合并同类项可以按「一找、二移、三合并」三步走： 步 骤 做 什 么 示 例：合并 3−5x+7+4x−2 中的同类项 一找 把同类项找出来， 可以用不同的记号（下划线、波浪线）标出 类：3、7； x 类：−5x、4x； 常数类：−2、+7 二移 把同类项连同它前面的符号 一起移到一处 3+7−5x+4x+7−2 三合并 系数相加，字母与指数照抄 (3+7)+(−5+4)x+(7−2) = 10−x+5 合并同类项时，只要各项的系数相加，字母连同它的指数不变。特别地，如果两个同类项的系数互为相反数，合并后结果为 0，也就是两项正好抵消，这时这一项就不再写了。 系数是分数时，方法完全一样，必要时先把分数通分再相加： +− = (+−) = (+−) = 。 （四）合并同类项的三条注意 注 意 点 说 明 ① 系数相加时要带符号 减号属于后面那一项的符号，一起参与运算。 如 3a−5a = (3−5)a = −2a，而不是 (3+5)a ② 不能把字母或指数「合」掉 字母与指数是不参与运算的「外壳」，照抄不动。 如 3+5 = 8，不是 8x，也不是 8 ③ 不是同类项的绝不能合并 、、x 三者互不是同类项； a 与 b 也不是同类项，都不能相加 三、去括号（第 2 课时） （一）去括号的依据 一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。 例如：3(a+b) = 3a+3b；−2(x−3) = −2x+6。 特别地，+(a+b) 与 −(a+b) 可以看作 1 与 −1 分别乘 (a+b)，利用分配律就能把式子中的括号去掉： +1×(a+b−c) = a+b−c； −1×(a+b−c) = −a−b+c。 由此得到去括号的法则。 （二）去括号法则 括 号 前 的 符 号 去 括 号 的 结 果 是「+」号 （括号外的因数是正数） 把括号和它前面的「+」号去掉， 原括号内各项的符号与原来的符号相同 是「−」号 （括号外的因数是负数） 把括号和它前面的「−」号去掉， 原括号内各项的符号与原来的符号相反 口诀：去括号，看符号；是「+」号，不变号；是「−」号，全变号。 把常见的五种形式列成表，做题时对照着看： 原 式 去 括 号 后 说 明 a+(b−c) a+b−c 括号前是「+」号，b、−c 都不变号 a−(b−c) a−b+c 括号前是「−」号，两个项都要变号 k(a+b) ka+kb 括号外的数要乘遍括号内的每一项 −k(a−b) −ka+kb 先用 −k 乘遍每一项，再定各项的符号 −(a−b) −a+b 括号外的系数是分数时， 同样要乘遍括号内的每一项 最典型的错误：去括号时只把括号内第一项的符号变了，后面的项忘了变。例如把 a−(b−c) 写成 a−b−c，正确结果是 a−b+c。 （三）多重括号的处理 式子中出现两层甚至三层括号时，有两种做法，选自己顺手的即可： 做 法 操 作 顺 序 适 用 情 形 由内向外 先去掉最里面的一层括号， 再依次去掉外层 括号层次清楚、每层较短时 由外向内 先用括号外的数乘遍里面整体， 再处理里面的括号 括号外有数字因数、且内层较长时 例：化简 3−[2x−(x−3)+2]。 解：先去小括号（中括号内 −(x−3) = −x+3）： 3−[2x−x+3+2] = 3−[x+3+2]； 再去中括号（括号前是「−」号，全变号）： 3−x−3−2 = −x−3。 四、整式的加减（第 3 课时） （一）整式加减的法则与步骤 法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 整式的加减，说到底是两件事的组合：先去括号，再合并同类项。一般按三步走： 步 骤 要 求 易 错 提 醒 ① 列式 把每个整式看成一个整体， 用括号括起来再相加减 求 A 与 B 的差要写成 A−B， A、B 都要加括号，否则符号会错 ② 去括号 按去括号法则逐层去掉括号 括号前是「−」号时， 括号内每一项都要变号 ③ 合并同类项 系数相加，字母与指数不变 不是同类项不能合并； 结果按某个字母降幂排列更整齐 （二）求两个整式的和与差 例 1 求多项式 3x−y 与 5x+8y 的和与差。 解：和：(3x−y)+(5x+8y) = 3x−y+5x+8y = 8x+7y； 差：(3x−y)−(5x+8y) = 3x−y−5x−8y = −2x−9y。 注意去括号时符号的变化：加号后去括号符号不变，减号后去括号括号内每一项都要变号。 例 2 已知 A = 2−3x+1，B = −+4x−5，求 A+B 与 2A−B。 解：A+B = (2−3x+1)+(−+4x−5) = 2−3x+1−+4x−5 = +x−4； 2A−B = 2(2−3x+1)−(−+4x−5) = 4−6x+2+−4x+5 = 5−10x+7。 当 A、B 是带字母的整式时，求 2A−B 要先把 A 整体乘 2（每一项都要乘），再把 B 整体减去（每一项都要变号）。 （三）先化简，再求值 例 3 先化简，再求值：3−[2x−(x−3)+2]，其中 x = −2。 解：原式 = 3−[2x−x+3+2] = 3−[x+3+2] = 3−x−3−2 = −x−3； 当 x = −2 时，原式 = −(−2)−3 = 4+2−3 = 3。 求值题一律「先化简、再代入」：直接把数代进原式算，计算量大且容易出错；化简到最简式再代入，又快又准。 （四）整式加减的应用 例 4（教材探究） 用 a、b、c 分别表示一个三位数的百位、十位、个位数字，这个三位数是 100a+10b+c。把百位数字与个位数字交换位置，所得的新数与原数的差能被 11 整除吗？ 解：交换后的三位数是 100c+10b+a。 (100a+10b+c)−(100c+10b+a) = 100a+10b+c−100c−10b−a = 99a−99c = 99(a−c)。 因为 99 能被 11 整除，99(a−c) = 11×9(a−c)，所以这个差一定能被 11 整除。 例 5 一个三角形的三条边长分别为 (3a+2b) 厘米、(2a−b) 厘米、(a+3b) 厘米，用含 a、b 的整式表示这个三角形的周长。 解：周长 = (3a+2b)+(2a−b)+(a+3b) = 3a+2b+2a−b+a+3b = 6a+4b（厘米）。 （五）「与某个字母的取值无关」型问题 如果一个整式化简后，含某个字母的项全部消失了（系数为 0），那么这个整式的值就与这个字母的取值无关。解题的口诀是：先合并，再令系数为 0。 例 6 已知整式 3+mx−2y+4−3n−2x+6y−3 的值与字母 x 的取值无关，求 m+n 的值。 解：先合并同类项： 原式 = (3−3n)+(m−2)x+(−2+6)y+(4−3) = (3−3n)+(m−2)x+4y+1。 ∵ 结果与 x 的取值无关，∴ 含 x 的项的系数都为 0， 即 3−3n = 0 且 m−2 = 0，解得 n = 1，m = 2。 ∴ m+n = 2+1 = 3。 提醒：只要式子里还有含 x 的项没有消掉（系数不为 0），x 一变结果就会变，就不算「无关」。所以必须让含 x 的每一项的系数都等于 0。 五、易错点辨析 易 错 表 现 错 在 哪 里 正 确 做 法 3+5 = 8 把指数也加起来了， 把乘法与加法的规律混了 字母与指数不变： 3+5 = 8 3a−5a = 8a 把减号当加号， 系数相加时漏掉了符号 (3−5)a = −2a + = 2 两者不是同类项 （x 的指数不同），根本不能合并 与 不是同类项， 只能保留两项不动 a−(b−c) = a−b−c 括号前是「−」号， 只变了第一项的符号 括号内每一项都要变号： a−b+c 3(a+2b) = 3a+2b 括号外的数只乘了第一项， 漏乘了后面的项 3a+6b 求 A 与 B 的差写成 A−B 而 B 没有加括号 整体相减时符号容易错， B 的各项都要变号 写成一整块：A−(B)， 再去括号 合并后把字母丢掉 （3a−2a = 1） 只算了系数， 忘了字母部分要照抄 3a−2a = (3−2)a = a 「与 x 无关」只令了 其中一项的系数为 0 含 x 的项往往不止一项， 每一项都要消掉 把含 x 的所有项 （如 项与 x 项）的系数 都令为 0 六、数学文化小站——「数式通性」 本节的两个核心操作——合并同类项与去括号——依据的是同一条规律：乘法分配律。 · 合并同类项 3x+5x = (3+5)x = 8x，是把分配律反过来用； · 去括号 3(x+2) = 3x+6，是把分配律正着用。 用字母表示数以后，数的一些运算律（加法交换律、结合律、乘法分配律）对式子同样适用——这就是「数式通性」：式与数在运算规律上是相通的。正因为有了这条性质，我们才敢把 72a+120a 当成 (72+120)×a 来算。 我国古代《九章算术》「方程」章中的「正负术」，讲的正是同名（同类）的量相减、相并的处理办法，实质上就是合并同类的思想。 教材在章末还安排了「信息技术应用·用电子表格进行数据计算」（教材第 108 页）：把化简后的整式写进电子表格，输入 x 的不同取值，就能自动算出对应的值。这正是「数式通性」在机器上的体现——你对式子做一次化简，机器就能替你算无数次。 七、知识网络与口诀 知 识 点 关 键 抓 手 注 意 点 同类项 所含字母相同， 相同字母的指数也相同 与系数无关、 与字母顺序无关； 常数项都是同类项 合并同类项 系数相加， 字母连同指数不变 带符号相加； 不是同类项不能合并 去括号 括号前是「+」不变号， 是「−」全变号 依据是分配律； 括号外的数要乘遍每一项 整式的加减 先去括号， 再合并同类项 列式时每个整式 都要加括号 化简求值 先化简，再代入 代入负数要加括号 与字母取值无关 合并后令 含该字母项的系数为 0 含该字母的项 可能不止一项 口诀一（认同类）：字母相同、指数也同；系数无关、顺序无关；常数项全都是同类。 口诀二（合并）：系数相加减，字母指数照抄不动。 口诀三（去括号）：去括号，看符号；是正号，不变号；是负号，全变号；括号外有数要乘遍，一项都不能漏。 口诀四（加减法）：列式先加括号，去括号，后合并——三步走完就是最简。 八、达标自测 1. 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做 ____________；把多项式中的同类项合并成一项，叫做 ____________。 2. 合并同类项：3−7 = ____________。 3. 去括号：a+(b−c) = ____________；a−(b−c) = ____________。 4. 化简：5x−2(3x−1) = ____________。 5. 若 3y 与 − 是同类项，则 m = ____________，n = ____________。 6. 化简：(2−3a+1)−(+2a−4) = ____________。 7. 先化简，再求值：3−2x+1−2+4x−3，其中 x = −1。 8. 已知 A = +2x−1，B = 2−3x+4。（1）求 2A−B；（2）当 x = 2 时，求 2A−B 的值。 自测答案： 1. 同类项；合并同类项。这正是本节两个最核心的概念。 2. −4。(3−7) = −4，字母与指数照抄不动。 3. a+b−c；a−b+c。括号前是「+」号各项不变号；是「−」号各项都变号。 4. −x+2。5x−2(3x−1) = 5x−6x+2 = −x+2。注意 −2 要乘遍括号内的两项。 5. m = 2，n = 1。同类项要求相同字母的指数相同：x 的指数 m = 2，y 的指数 1 = n。 6. −5a+5。原式 = 2−3a+1−−2a+4 = −5a+5。 7. 原式 = (3−2)+(−2+4)x+(1−3) = +2x−2；当 x = −1 时，原式 = +2×(−1)−2 = 1−2−2 = −3。 8.（1）2A−B = 2(+2x−1)−(2−3x+4) = 2+4x−2−2+3x−4 = 7x−6； （2）当 x = 2 时，2A−B = 7×2−6 = 8。 学科网（北京）股份有限公司 $