第05讲 解一元一次方程-去分母（3个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（人教版2024）

第05讲 解一元一次方程——去分母 课程标准 学习目标 ①解一元一次方程：去分母 ②解一元一次方程的一般步骤 ③列方程解决行程问题 1. 掌握解一元一次方程去分母的基本方法，再结合去括号、移项、合并同类项以及系数化为1解一元一次方程。 2. 掌握解一元一次方程的基本步骤，并能够在解一元一次方程时熟练应用。 3. 掌握行程问题中的基本量与基本等量关系以及行程问题的类型，并能够在题目中熟练应用并解决问题。 知识点01 解一元一次方程——去分母 1. 去分母方法： 在方程左右两边 同时乘上各分母的 ，将分母去掉，这一过程叫做去分母。 去了分母之后再按照去括号、移项、合并以及系数化为1进行解一元一次方程。 【即学即练1】 1．解方程去分母正确的是（　　） A．3（x+1）﹣2x﹣3＝6 B．3（x+1）﹣2x﹣3＝1 C．3（x+1）﹣（2x﹣3）＝12 D．3（x+1）﹣（2x﹣3）＝6 【即学即练2】 2．解下列方程： （1）； （2）2x﹣（x+1）＝（x+3）． 知识点02 解一元一次方程的一般步骤 1. 解一元一次方程的一般步骤： ①去分母：方程左右两边 同时乘以各分母的 。 ②去括号：用括号前的数（包含符号）乘以括号内的每一项。当括号前是负数时，一定要改变每一项的符号。 ③移项：把含有未知数的项移到等号的 ，常数项移到等号的 。注意移动过的项一定要 。 ③合并：按照合并同类项的方法进行合并。 ④系数化为1：方程的左右两边同时除以系数或乘上系数的倒数。 【即学即练1】 3．解方程： （1）﹣＝﹣1； （2）﹣＝2． 知识点03 列方程解决行程问题 1. 行程问题中的基本量的等量关系： 路程＝ ；时间＝ ；速度＝ 。 2. 行程问题之相遇问题： ①甲、乙同时出发相向而行相遇。如图： 等量关系： 时间： ；路程： 。 ②甲、乙同地不同时同向而行相遇。，乙先出发。如图： 等量关系 路程： ；时间： 。 3. 行程问题之相距问题： ①甲、乙同时出发相向而行相遇前相距。如图 等量关系 时间： ；路程： 。 ②甲、乙同时出发相向而行相遇后相距。如图： 等量关系： 时间： ；路程： 。 ③甲、乙先后同地出发同向而行相遇前相距。 等量关系： 时间： ；路程： 。 ④甲、乙向后同地出发同向而行相遇后相距。如图：（慢的先出发） 等量关系： 时间： ；路程： 4. 火车过桥进洞问题： 车头进到火车车尾出：如图： 行驶路程＝ 。 车尾进到货车车头出：如图： 行驶路程＝ 。 5. 火车追及错车与相遇错车问题： ①追及错车问题：如图： 等量关系： 快车行驶的路程－慢车行驶的路程＝两车车长之和。 ②相遇错车问题：如图： 两车行驶的路程之和＝两车车长之和。 【即学即练1】 4．甲、乙两地的路程为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行72千米；一列慢车从甲站开出，每小时行48千米． （1）若两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时两车相遇？ （2）若快车先开25分钟，两车相向而行，慢车行驶了多少时间两车相遇？ 【即学即练2】 5．已知甲、乙两地相距160km，A、B两车分别从甲、乙两地同时出发，A车速度为85km/h，B车速度为65km/h． （1）A、B两车同时同向而行，A车在后，经过几小时A车追上B车？ （2）A、B两车同时相向而行，经过几小时两车相距20km？ 【即学即练3】 6．甲、乙两列火车的长分别为144米和180米，甲车比乙车每秒多行4米． （1）两列车相向而行，从相遇到完全错开需9秒．问：甲、乙两列车的速度各是多少？ （2）若同向而行，甲车的车头从乙车的车尾追到甲车完全超过乙车，需要多少秒？ 题型01 解一元一次方程 【典例1】下列方程变形中，正确的是（　　） A．方程＝1，去分母得5（x﹣1）﹣2x＝10 B．方程3﹣x＝2﹣5（x﹣1），去括号得3﹣x＝2﹣5x﹣1 C．方程t＝，系数化为1得t＝1 D．方程3x﹣2＝2x+1，移项得3x﹣2x＝﹣1+2 【变式1】解下列方程： （1）3（4x﹣1）+5（3x+2）＝7（2x﹣1）+1； （2）； （3）． 【变式2】解方程： （1）x﹣3＝4﹣x （2）2（2x+1）＝1﹣5（x﹣2） （3） （4）＝3． 【变式3】解下列方程： （1）3x﹣7+6x＝4x﹣8； （2）4x﹣3（20﹣x）＝5x﹣7（20﹣x）； （3）＝1； （4）＝0.75． 题型02 同解方程 【典例1】已知关于x的方程2x﹣7＝3x+a的解与方程4x+2＝7﹣x的解相同，则a＝　 　． 【变式1】若方程x+5＝7﹣2（x﹣2）的解也是方程6x+3k＝14的解，则常数k＝　 　． 【变式2】当k取何值时，关于x的方程2（2x﹣3）＝6﹣2x和8﹣k＝2（x+1）的解相同？ 【变式3】已知关于x的方程（m+3）xm﹣1+5＝0是一元一次方程． （1）求m的值； （2）若原方程（m+3）xm﹣1+5＝0的解也是关于x的方程的解，求n的值． 题型03 错解方程 【典例1】小李在解关于x的方程5a﹣x＝13时（其中a为已知数），误将“﹣x”中的“﹣”号看成“+”号，得方程的解为x＝﹣2，则原方程的解为（　　） A．x＝3 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝1 【变式1】王涵同学在解关于x的方程时，误将“x”看作“x”，得到方程的解为x＝，那么原方程的解为（　　） A．x＝2 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝﹣2 【变式2】小明解方程﹣1去分母时，方程右边的﹣1忘记乘6，因而求出的解为x＝﹣2，那么原方程正确的解为（　　） A．x＝5 B．x＝﹣7 C．x＝﹣13 D．x＝1 【变式3】某同学在解方程＝﹣1去分母时，方程右边的﹣1忘记了乘3，因而求得方程的解为x＝2．则a的值为 　 　，原方程的解为 　 　． 【变式4】小芳同学在解关于x的一元一次方程时，误将x﹣a抄成x+a，求得方程的解为x＝2，请帮小芳求出原方程正确的解． 题型04 方程的特殊解 【典例1】若关于x的方程5x﹣3＝kx+2有整数解，那么满足条件的整数k的取值个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】已知关于x的方程kx＝5﹣x的解是负整数，那么整数k的所有取值之和为（　　） A．4 B．0 C．﹣4 D．﹣8 【变式2】已知关于x的方程有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（　　） A．﹣6 B．﹣7 C．﹣14 D．﹣19 【变式3】如果方程2x＝2和方程的解互为相反数，那么a的值为（　　） A．0 B．5 C．﹣7 D．7 【变式4】若方程6（x+1）＝3x﹣7的解与关于x的方程的解互为倒数，求m的值． 题型05 解一元一次方程的新定义题型 【典例1】定义运算“*”，其规则为，则方程3*x＝7的解为（　　） A．x＝3 B．x＝4 C．x＝5 D．x＝﹣5 【变式1】对于实数a，b，定义关于“※”的一种运算：a※b＝2a﹣3b，例如2※1＝2×2﹣3×1＝1，若（a※2b）﹣3a＝4，且（a﹣1）※（b+1）＝2，则a，b的值分别为（　　） A．﹣2，1 B．2，﹣1 C．﹣1，2 D．1，﹣2 【变式2】现定义运算“*”，对于任意有理数a，b满足a*b＝．如5*3＝2×5﹣3＝7，*1＝﹣2×1＝﹣，若x*3＝5，则有理数x的值为（　　） A．4 B．11 C．4或11 D．1或11 【变式3】我们规定＝﹣（其中c≠0，d≠0），例如＝﹣＝﹣＝0，若＝﹣2，则x的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4】将四个数a，b、c，d排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成．若定义＝ad﹣bc，则＝2x﹣15中x的值为（　　） A．10 B．8 C．6 D．5 题型06 列方程解决行程问题 【典例1】我国古代有很多经典的数学题，其中有一道题目是：良马日行二百里，驽马日行一百二十里，驽马先行十日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走200里，跑得慢的马每天走120里，慢马先走10天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意可列方程为（　　） A．120+10x＝200x B．120x+200x＝120×10 C．200x＝120x+200×10 D．200x＝120x+120×10 【变式1】A，B两站间的距离为335km，一列慢车从A站开往B站，每小时行驶55km，慢车行驶1h后，另有一列快车从B站开往A站，每小时行驶85km，设快车行驶了x h后与慢车相遇，可列方程为（　　） A．55x+85x＝335 B．55（x﹣1）+85x＝335 C．55x+85（x﹣1）＝335 D．55（x+1）+85x＝335 【变式2】如图，点A、B在数轴上表示的数分别为﹣24和16，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． （1）若运动2秒后，两只蚂蚁M、N分别到达点C、点D，则C、D两点在数轴上所表示的数分别是 　 　、　 　． （2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P，求t的值以及点P在数轴上所表示的数． 【变式3】甲、乙两车分别从相距210千米的A，B两地相向而行． （1）两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ （2）如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 【变式4】【问题引入】 一列火车匀速行驶，经过一条长400米的隧道需要30秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是15秒，你能求出这列火车的长度吗？ 【情境分析】 设这列火车的长度是x米． （1）从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是 　 　米，这段时间内火车的平均速度是 　 　米/秒． （2）从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是 　 　米，这段时间内火车的平均速度是 　 　米/秒． （3）火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是 　 　． 【问题解决】 （4）请列出方程并求出这列火车的长度． 1．把方程3x+＝3﹣去分母正确的是（　　） A．18x+（2x﹣1）＝18﹣（x+1） B．3x+（2x﹣1）＝3﹣（x+1） C．18x+2（2x﹣1）＝18﹣3（x+1） D．3x+2（2x﹣1）＝3﹣3（x+1） 2．将方程＝1+中分母化为整数，正确的是（　　） A．＝10+ B．＝10+ C．＝1+ D．＝1+ 3．若单项式与﹣2a3bn的和仍是单项式，则方程的解为（　　） A．x＝﹣23 B．x＝23 C．x＝﹣29 D．x＝29 4．已知关于x的方程x﹣＝﹣2有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（　　） A．﹣23 B．23 C．﹣34 D．34 5．小文同学晚上写数学作业，在解方程“﹣5x+1＝2x﹣a”时，将“﹣5x”中的负号抄漏了，解出x＝2，则方程正确的解为（　　） A． B． C． D． 6．若关于x的方程的解是正整数，且关于y的多项式（a﹣2）y2+ay﹣1是二次三项式，那么所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 7．现定义运算“*”，对于任意有理数a与b，满足a*b＝，譬如5*3＝3×5﹣3＝12，，若有理数x满足x*3＝12，则x的值为（　　） A．4 B．5 C．21 D．5或21 8．已知关于y的方程6﹣3（y+1）＝0与的解互为相反数，则m＝（　　） A． B． C．5 D．﹣5 9．A、B两地相距1000km，一列快车以200km/h的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以75km/h的速度从B地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距200km的次数是（　　）次． A．5 B．4 C．3 D．2 10．方程的解是x＝（　　） A． B． C． D． 11．现规定一种运算：xΔy＝3x﹣，如果xΔ（4Δ4）＝7，那么x＝　 　． 12．小华在计算时（☆代表一个有理数），误将“÷”看成“+”，按照正确的运算顺序计算，结果为﹣26，则的正确结果是 　 　． 13．已知关于x的方程的解是整数，且k也是整数，则满足条件的所有k值的和为 　 　． 14．A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣10，B点对应的数为90．若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过 　 　秒2只电子蚂蚁在数轴上相距25个单位长度． 15．一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a＝b＝0．我们称使得成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为（a，b）．若（1，b）是“相伴数对”，则b＝ 　﹣　；若（m，n）是“相伴数对”，则的值为 　 　． 16．解下列方程： （1）3x＝2x+1； （2）3x+2＝4（2x+3）； （3）； （4）． 17．我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．请根据上述规定解答下列问题 （1）判断：方程 　 　（“是”或“不是”）“和解方程”． （2）关于x的一元一次方程5x＝t是“和解方程”，求t的值． （3）关于x的一元一次方程﹣3x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝m，求m、n的值． 18．甲、乙两辆汽车分别从相距340千米的A，B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶．行驶2小时后，甲车到达C地，并停车休息，此时两车相距40千米，乙车继续行驶，0.5小时后也到达C地．乙车到达C地后未做停留继续匀速开往A地，甲车在C地休息1小时后按原速度开往B地． （1）由题意可求得甲车的速度为 　 　千米/小时，乙车的速度为 　 　千米/小时； （2）求两车出发多少小时相距140千米．（列方程解决） 19．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程2x﹣1＝2和2x﹣1＝0为“成双方程”． （1）请判断方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是否互为“成双方程”； （2）若关于x的方程m＝0与方程3x﹣2＝x+4互为“成双方程”，求m的值； （3）若关于x的方程x﹣1＝0与x+1＝3x+k互为“成双方程”，求关于y的方程（y+2）+1＝3y+k+6的解． 20．已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：|m﹣7|+（n+2）2＝0． （1）求m、n的值； （2）①情境： 有一个玩具火车AB如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为 　 　 个单位长度； ②应用： 如图1所示，当火车AB匀速向右运动时，若火车完全经过点M需要2秒，则火车的速度为 　 　个单位长度/秒； （3）在（2）的条件下，当火车AB匀速向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车AB运动后对应的位置为A1B1．是否存在常数k使得kPQ﹣B1A的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值：若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 解一元一次方程——去分母 课程标准 学习目标 ①解一元一次方程：去分母 ②解一元一次方程的一般步骤 ③列方程解决行程问题 1. 掌握解一元一次方程去分母的基本方法，再结合去括号、移项、合并同类项以及系数化为1解一元一次方程。 2. 掌握解一元一次方程的基本步骤，并能够在解一元一次方程时熟练应用。 3. 掌握行程问题中的基本量与基本等量关系以及行程问题的类型，并能够在题目中熟练应用并解决问题。 知识点01 解一元一次方程——去分母 1. 去分母方法： 在方程左右两边 每一项 同时乘上各分母的 最小公倍数 ，将分母去掉，这一过程叫做去分母。 去了分母之后再按照去括号、移项、合并以及系数化为1进行解一元一次方程。 【即学即练1】 1．解方程去分母正确的是（　　） A．3（x+1）﹣2x﹣3＝6 B．3（x+1）﹣2x﹣3＝1 C．3（x+1）﹣（2x﹣3）＝12 D．3（x+1）﹣（2x﹣3）＝6 【分析】这是一个带分母的方程，所以要先找出分母的最小公倍数，去分母即可． 【解答】解：由此方程的分母2，6可知，其最小公倍数为6， 故去分母得：3（x+1）﹣（2x﹣3）＝6． 故选：D． 【即学即练2】 2．解下列方程： （1）； （2）2x﹣（x+1）＝（x+3）． 【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【解答】解：（1）， 去分母，得3（x+2）＝2（2x﹣3）﹣12， 去括号，得3x+6＝4x﹣6﹣12， 移项，得3x﹣4x＝﹣6﹣12﹣6， 合并同类项，得﹣x＝﹣24， 系数化成1，得x＝24； （2）2x﹣（x+1）＝（x+3）， 去分母，得12x﹣3（x+1）＝4（x+3）， 去括号，得12x﹣3x﹣3＝4x+12， 移项，得12x﹣3x﹣4x＝12+3， 合并同类项，得5x＝15， 系数化成1，得x＝3． 知识点02 解一元一次方程的一般步骤 1. 解一元一次方程的一般步骤： ①去分母：方程左右两边 每一项 同时乘以各分母的 最小公倍数 。 ②去括号：用括号前的数（包含符号）乘以括号内的每一项。当括号前是负数时，一定要改变每一项的符号。 ③移项：把含有未知数的项移到等号的 左边 ，常数项移到等号的 右边 。注意移动过的项一定要 改变符号 。 ③合并：按照合并同类项的方法进行合并。 ④系数化为1：方程的左右两边同时除以系数或乘上系数的倒数。 【即学即练1】 3．解方程： （1）﹣＝﹣1； （2）﹣＝2． 【分析】（1）按解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求解即可； （2）先利用分数的基本性质，把分子、分母化为整数，再按解一元一次方程的一般步骤求解即可． 【解答】解：去分母，得4（2x﹣1）﹣2（10x+1）＝3（2x+1）﹣12， 去括号，得8x﹣4﹣20x﹣2＝6x+3﹣12， 移项，得8x﹣20x﹣6x＝3﹣12+4+2， 合并，得﹣18x＝﹣3， 系数化为1，得x＝． （2）原方程可变形为：﹣＝2， 去分母，得30x﹣7（17﹣20x）＝42， 去括号，得30x﹣119+140x＝42， 移项，得30x+140x＝119+42， 合并，得170x＝161， 系数化为1，得x＝． 知识点03 列方程解决行程问题 1. 行程问题中的基本量的等量关系： 路程＝ 速度×时间 ；时间＝ 路程÷速度 ；速度＝ 路程÷时间 。 2. 行程问题之相遇问题： ①甲、乙同时出发相向而行相遇。如图： 等量关系： 时间： ；路程： 。 ②甲、乙同地不同时同向而行相遇。，乙先出发。如图： 等量关系 路程： ；时间： 。 3. 行程问题之相距问题： ①甲、乙同时出发相向而行相遇前相距。如图 等量关系 时间： ；路程： 。 ②甲、乙同时出发相向而行相遇后相距。如图： 等量关系： 时间： ；路程： 。 ③甲、乙先后同地出发同向而行相遇前相距。 等量关系： 时间： ；路程： 。 ④甲、乙向后同地出发同向而行相遇后相距。如图：（慢的先出发） 等量关系： 时间： ；路程： 4. 火车过桥进洞问题： 车头进到火车车尾出：如图： 行驶路程＝ 桥长（洞长）＋火车长 。 车尾进到货车车头出：如图： 行驶路程＝ 桥长（洞长）－火车长 。 5. 火车追及错车与相遇错车问题： ①追及错车问题：如图： 等量关系： 快车行驶的路程－慢车行驶的路程＝两车车长之和。 ②相遇错车问题：如图： 两车行驶的路程之和＝两车车长之和。 【即学即练1】 4．甲、乙两地的路程为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行72千米；一列慢车从甲站开出，每小时行48千米． （1）若两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时两车相遇？ （2）若快车先开25分钟，两车相向而行，慢车行驶了多少时间两车相遇？ 【分析】根据题意可得（1）和（2）的等量关系：快车走的路程+慢车走的路程＝360； （2）中主要注意快车已经先开了25分钟；可以列出方程，解可得答案． 【解答】解：（1）设两车同时开出相向而行，经x小时两车相遇，即72x+48x＝360， 解得：x＝3， 答：经过3小时两车相遇． （2）设慢车行驶y小时两车相遇； 根据题意有：48y+72（y+）＝360， 解得：y＝． 答：慢车行驶了小时两车相遇． 【即学即练2】 5．已知甲、乙两地相距160km，A、B两车分别从甲、乙两地同时出发，A车速度为85km/h，B车速度为65km/h． （1）A、B两车同时同向而行，A车在后，经过几小时A车追上B车？ （2）A、B两车同时相向而行，经过几小时两车相距20km？ 【分析】（1）设经过x小时A车追上B车，根据路程＝速度÷时间结合A车比B车多行驶160km，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设经过y小时两车相距20km，分两次相遇前及两车相遇后两种情况考虑，根据两车之间相距20km，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设经过x小时A车追上B车， 依题意，得：85x﹣65x＝160， 解得：x＝8． 答：经过8小时A车追上B车． （2）设经过y小时两车相距20km． 两车相遇前，85y+65y＝160﹣20， 解得：y＝； 两车相遇后，85y+65y＝160+20， 解得：y＝． 答：经过或小时两车相距20km． 【即学即练3】 6．甲、乙两列火车的长分别为144米和180米，甲车比乙车每秒多行4米． （1）两列车相向而行，从相遇到完全错开需9秒．问：甲、乙两列车的速度各是多少？ （2）若同向而行，甲车的车头从乙车的车尾追到甲车完全超过乙车，需要多少秒？ 【分析】（1）设乙车每秒行驶x m，则甲车每秒行驶（x+4）m，根据“两列车相向行驶，从相遇到全部错开需9s”列出方程即可； （2）同向行驶时，甲车的车头从乙车的车尾追到甲车完全超过乙车，那么甲车比乙车多行驶（144+180）m，甲车比乙车每秒多行4m，根据时间＝路程÷速度即可求解． 【解答】解：（1）设乙车每秒行驶x m，则甲车每秒行驶（x+4）m，根据题意得： 9（x+x+4）＝144+180， 解得：x＝16， ∴x+4＝20， 答：甲车每秒行驶20m，乙车每秒行驶16m； （2）同向行驶时，甲车的车头从乙车的车尾追到甲车完全超过乙车，需要的时间： （144+180）÷4＝81（秒）， 答：需要81秒． 题型01 解一元一次方程 【典例1】下列方程变形中，正确的是（　　） A．方程＝1，去分母得5（x﹣1）﹣2x＝10 B．方程3﹣x＝2﹣5（x﹣1），去括号得3﹣x＝2﹣5x﹣1 C．方程t＝，系数化为1得t＝1 D．方程3x﹣2＝2x+1，移项得3x﹣2x＝﹣1+2 【分析】根据等式的性质，逐项判断即可． 【解答】解：∵方程＝1，去分母得5（x﹣1）﹣2x＝10， ∴选项A符合题意； ∵方程3﹣x＝2﹣5（x﹣1），去括号得3﹣x＝2﹣5x+5， ∴选项B不符合题意； ∵方程t＝，系数化为1得t＝， ∴选项C不符合题意； ∵方程3x﹣2＝2x+1，移项得3x﹣2x＝1+2， ∴选项D不符合题意． 故选：A． 【变式1】解下列方程： （1）3（4x﹣1）+5（3x+2）＝7（2x﹣1）+1； （2）； （3）． 【分析】（1）（2）（3）都考查解一元一次方程的知识，根据一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1解答即可． 【解答】解：（1）12x﹣3+15x+10＝14x﹣7+1， 13x＝﹣13， x＝﹣1； （2）x﹣2﹣2x﹣4＝6+3x﹣3， ﹣4x＝9， x＝； （3）5x+20﹣2x+6＝2， 3x＝﹣24， x＝﹣8． 【变式2】解方程： （1）x﹣3＝4﹣x （2）2（2x+1）＝1﹣5（x﹣2） （3） （4）＝3． 【分析】首先熟悉解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1． 【解答】解：（1）去分母，得 合并同类项，得 系数化1，得． （2）去括号，得4x+2＝1﹣5x+10 移项，得4x+5x＝1+10﹣2 合并同类项，得9x＝9 系数化1，得x＝1． （3）去分母，得4（2x﹣5）＝3（x﹣3）﹣1 去括号，得8x﹣20＝3x﹣9﹣1 移项，得8x﹣3x＝﹣9﹣1+20 合并同类项，得5x＝10 系数化1，得x＝2 （4）分母化整，得 去分母，得5（10x﹣20）﹣2（10x+10）＝30 去括号，得50x﹣100﹣20x﹣20＝30 移项、合并同类项，得30x＝150 系数化1，得x＝5． 【变式3】解下列方程： （1）3x﹣7+6x＝4x﹣8； （2）4x﹣3（20﹣x）＝5x﹣7（20﹣x）； （3）＝1； （4）＝0.75． 【分析】（1）移项，合并同类项，系数化成1即可； （2）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可； （3）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可； （4）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【解答】解：（1）3x﹣7+6x＝4x﹣8， 3x+6x﹣4x＝﹣8+7， 5x＝﹣1， x＝﹣． （2）4x﹣3（20﹣x）＝5x﹣7（20﹣x）， 4x﹣60+3x＝5x﹣140+7x， 4x+3x﹣5x﹣7x＝﹣140+60， ﹣5x＝﹣80， x＝16． （3）＝1， 4（2x﹣1）﹣3（2x﹣3）＝12， 8x﹣4﹣6x+9＝12， 2x＝7， x＝． （4）＝0.75， 2（30x+2x）﹣4（20+30x）＝3， 60+4x﹣80﹣120x＝3， ﹣116x＝23， x＝﹣． 题型02 同解方程 【典例1】已知关于x的方程2x﹣7＝3x+a的解与方程4x+2＝7﹣x的解相同，则a＝　﹣8　． 【分析】先求出第二个方程的解是x＝1，把x＝1代入第一个方程，即可求出a的值． 【解答】解：解方程4x+2＝7﹣x得：x＝1， ∵关于x的方程2x﹣7＝3x+a的解与方程4x+2＝7﹣x的解相同， ∴方程2x﹣7＝3x+a的解也是x＝1， ∴2﹣7＝3+a， 解得：a＝﹣8， 故答案为：﹣8． 【变式1】若方程x+5＝7﹣2（x﹣2）的解也是方程6x+3k＝14的解，则常数k＝　　． 【分析】解方程x+5＝7﹣2（x﹣2）得到x的值，代入6x+3k＝14，得到关于k的一元一次方程，解之即可． 【解答】解：解方程x+5＝7﹣2（x﹣2）得： x＝2， 把x＝2代入6x+3k＝14得： 12+3k＝14， 解得：k＝， 故答案为： 【变式2】当k取何值时，关于x的方程2（2x﹣3）＝6﹣2x和8﹣k＝2（x+1）的解相同？ 【分析】根据解方程，可得方程的解，根据方程的解相同，可得关于k的一元一次方程，根据解方程，可得答案． 【解答】解：解2（2x﹣3）＝6﹣2x得x＝2， 把x＝2代入8﹣k＝2（x+1），得 8﹣k＝2×（2+1）， 解得k＝2， 故当k＝2时，关于x的方程2（2x﹣3）＝6﹣2x和8﹣k＝2（x+1）的解相同． 【变式3】已知关于x的方程（m+3）xm﹣1+5＝0是一元一次方程． （1）求m的值； （2）若原方程（m+3）xm﹣1+5＝0的解也是关于x的方程的解，求n的值． 【分析】（1）利用一元一次方程的定义判断即可求出m的值； （2）把m的值代入方程求出第一个方程的解，代入第二个方程计算即可求出n的值． 【解答】解：（1）∵关于x的方程（m+3）xm﹣1+5＝0是一元一次方程， ∴m﹣1＝1， 解得：m＝2； （2）把m＝2代入原方程，得：5x+5＝0， 解得：x＝﹣1， 把x＝﹣1代入方程﹣＝1得：﹣＝1， 去分母得：2（﹣5+2n）﹣3（﹣n﹣3）＝6， 去括号得：﹣10+4n+3n+9＝6， 移项合并得：7n＝7， 解得：n＝1． 题型03 错解方程 【典例1】小李在解关于x的方程5a﹣x＝13时（其中a为已知数），误将“﹣x”中的“﹣”号看成“+”号，得方程的解为x＝﹣2，则原方程的解为（　　） A．x＝3 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝1 【分析】将x＝﹣2代入方程5a+x＝13，可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值，再将其代入原方程，解之即可得出结论．（亦可根据两个方程的解互为相反数直接得出结论） 【解答】解：将x＝﹣2代入方程5a+x＝13得：5a﹣2＝13， 解得：a＝3， ∴原方程为5×3﹣x＝13， 解得：x＝2， ∴原方程的解为x＝2． 故选：C． 【变式1】王涵同学在解关于x的方程时，误将“x”看作“x”，得到方程的解为x＝，那么原方程的解为（　　） A．x＝2 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝﹣2 【分析】先将x＝代入x+3a＝中，可得出a的值，再解原方程即可求出答案． 【解答】解：∵x＝是x+3a＝的解， ∴， 解得：a＝1， ∴原方程为x+3a＝， 解得：x＝3， 故选：B． 【变式2】小明解方程﹣1去分母时，方程右边的﹣1忘记乘6，因而求出的解为x＝﹣2，那么原方程正确的解为（　　） A．x＝5 B．x＝﹣7 C．x＝﹣13 D．x＝1 【分析】﹣1去分母时，方程右边的﹣1忘记乘6，则所得的方程是2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣1，把x＝﹣2代入即可求得a的值，然后把a的值代入原方程，解方程即可． 【解答】解：﹣1去分母时，方程右边的﹣1忘记乘6，则所得的方程是2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣1， 把x＝﹣2代入方程得2（﹣4﹣1）＝3（﹣2+a）﹣1， 解得：a＝﹣1． 把a＝﹣1代入方程，得． 去分母，得2（2x﹣1）＝3（x﹣1）﹣6， 去括号，得4x﹣2＝3x﹣3﹣6， 移项，得4x﹣3x＝﹣3﹣6+2， 合并同类项，得x＝﹣7． 故选：B． 【变式3】某同学在解方程＝﹣1去分母时，方程右边的﹣1忘记了乘3，因而求得方程的解为x＝2．则a的值为 　2　，原方程的解为 　x＝0　． 【分析】方程右边的（﹣1）项没有乘3，则所得的式子是：2x﹣1＝x+a﹣1，把x＝2代入方程即可得到一个关于a的方程，求得a的值，然后把a的值代入，解方程即可求得方程的解． 【解答】解：方程右边的（﹣1）项没有乘3，则所得的式子是：2x﹣1＝x+a﹣1， 把x＝2代入方程，得4﹣1＝2+a﹣1， 解得：a＝2． 则方程是：＝﹣1， 去分母，得2x﹣1＝x+2﹣3， 解得：x＝0． 故答案为：2，x＝0． 【变式4】小芳同学在解关于x的一元一次方程时，误将x﹣a抄成x+a，求得方程的解为x＝2，请帮小芳求出原方程正确的解． 【分析】依题意得方程的解为x＝2，根据一元一次方程根的定义可求出a＝2，进而得原方程为，然后再解原方程求出x即可． 【解答】解：依题意得：方程的解为x＝2， ∴， ∴， ∴2+a＝4， ∴a＝2， ∴原方程为， 去分母，方程两边同时乘以6，得：3（x﹣2）﹣6＝2（x+1）， 去括号，得：3x﹣6﹣6＝2x+2， 移项，得：3x﹣2x＝2+6+6， 合并同类项，得：x＝14． 题型04 方程的特殊解 【典例1】若关于x的方程5x﹣3＝kx+2有整数解，那么满足条件的整数k的取值个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】先解方程可得，再根据关于x的方程5x﹣3＝kx+2有整数解，k为整数，可得5﹣k＝±1或5﹣k＝±5，从而可得答案． 【解答】解：∵5x﹣3＝kx+2， ∴5x﹣kx＝5，即（5﹣k）x＝5， 当5﹣k≠0时， ∴， ∵关于x的方程5x﹣3＝kx+2有整数解，k为整数， ∴5﹣k＝±1或5﹣k＝±5， 解得：k＝4或k＝6或k＝0或k＝10， ∴满足条件的整数k的取值个数是5， 故选：C． 【变式1】已知关于x的方程kx＝5﹣x的解是负整数，那么整数k的所有取值之和为（　　） A．4 B．0 C．﹣4 D．﹣8 【分析】解一元一次方程，可得出原方程的解为x＝，结合原方程的解是负整数且k为整数，可得出k的值，再将其相加即可得出结论． 【解答】解：∵kx＝5﹣x， ∴（k+1）x＝5， ∴x＝． ∵原方程的解是负整数，且k为整数， ∴k＝﹣2或﹣6， ∴整数k的所有取值之和为﹣2﹣6＝﹣8． 故选：D． 【变式2】已知关于x的方程有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（　　） A．﹣6 B．﹣7 C．﹣14 D．﹣19 【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将a的值算出，最后相加即可得出答案． 【解答】解：， 去分母，得6x﹣（2﹣ax）＝2x﹣6， 去括号，得6x﹣2+ax＝2x﹣6， 移项、合并同类项，得（4+a）x＝﹣4， 将系数化为1，得， ∵是非负整数解， ∴4+a取﹣1，﹣2，﹣4， ∴a＝﹣5或﹣6，﹣8时，x的解都是非负整数， 则﹣5+（﹣6）+（﹣8）＝﹣19， 故选：D． 【变式3】如果方程2x＝2和方程的解互为相反数，那么a的值为（　　） A．0 B．5 C．﹣7 D．7 【分析】先按照解一元一次方程的一般步骤，求出已知条件中两个方程的解，然后根据两个方程的解是互为相反数，列出关于a的方程，解方程即可． 【解答】解：2x＝2， x＝1， ， 方程两边同时乘6得： 3（a+x）＝2（a+2x）﹣6， 3a+3x＝2a+4x﹣6， 3a﹣2a+6＝4x﹣3x， x＝a+6， ∵方程2x＝2和方程 的解互为相反数， ∴1+a+6＝0， 7+a＝0， a＝﹣7， 故选：C． 【变式4】若方程6（x+1）＝3x﹣7的解与关于x的方程的解互为倒数，求m的值． 【分析】先解方程6（x+1）＝3x﹣7得到，再根据倒数的定义得到关于x的方程 的解为，据此把代入方程中求出m的值即可． 【解答】解：解方程6（x+1）＝3x﹣7得， ∵方程6（x+1）＝3x﹣7的解与关于x的方程 的解互为倒数， ∴关于x的方程 的解为， ∴， ∴， 解得． 题型05 解一元一次方程的新定义题型 【典例1】定义运算“*”，其规则为，则方程3*x＝7的解为（　　） A．x＝3 B．x＝4 C．x＝5 D．x＝﹣5 【分析】根据新定义可得方程，解方程即可得到答案． 【解答】解；∵3*x＝7， ∴， 解得x＝5， 故选：C． 【变式1】对于实数a，b，定义关于“※”的一种运算：a※b＝2a﹣3b，例如2※1＝2×2﹣3×1＝1，若（a※2b）﹣3a＝4，且（a﹣1）※（b+1）＝2，则a，b的值分别为（　　） A．﹣2，1 B．2，﹣1 C．﹣1，2 D．1，﹣2 【分析】根据新定义建立关于a，b的方程组，然后用加减消元法求解即可． 【解答】解：根据题意，得 整理，得， ①×2﹣②得15b＝﹣15， ∴b＝﹣1， 将b＝﹣1代入②得，2a+3＝7， ∴a＝2． 故选：B． 【变式2】现定义运算“*”，对于任意有理数a，b满足a*b＝．如5*3＝2×5﹣3＝7，*1＝﹣2×1＝﹣，若x*3＝5，则有理数x的值为（　　） A．4 B．11 C．4或11 D．1或11 【分析】分x≥3与x＜3两种情况求解． 【解答】解：当x≥3，则x*3＝2x﹣3＝5，x＝4； 当x＜3，则x*3＝x﹣2×3＝5，x＝11， 但11＞3，这与x＜3矛盾，所以此种情况舍去． 即：若x*3＝5，则有理数x的值为4， 故选：A． 【变式3】我们规定＝﹣（其中c≠0，d≠0），例如＝﹣＝﹣＝0，若＝﹣2，则x的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】首先根据＝﹣（其中c≠0，d≠0），由＝﹣2，可得﹣＝﹣2，然后根据解一元一次方程的方法，求出x的值即可． 【解答】解：∵＝﹣（其中c≠0，d≠0），＝﹣2， ∴﹣＝﹣2， 去分母，可得：2x+1+3（x﹣4）＝﹣6， 去括号，可得：2x+1+3x﹣12＝﹣6， 移项，可得：2x+3x＝﹣6﹣1+12， 合并同类项，可得：5x＝5， 系数化为1，可得：x＝1． 故选：A． 【变式4】将四个数a，b、c，d排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成．若定义＝ad﹣bc，则＝2x﹣15中x的值为（　　） A．10 B．8 C．6 D．5 【分析】根据题意得出关于x的方程，求出x的值即可． 【解答】解：∵＝ad﹣bc，则＝2x﹣15， ∴3（2x﹣1）﹣2（3x+1）＝2x﹣15， 解得x＝5． 故选：D． 题型06 列方程解决行程问题 【典例1】我国古代有很多经典的数学题，其中有一道题目是：良马日行二百里，驽马日行一百二十里，驽马先行十日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走200里，跑得慢的马每天走120里，慢马先走10天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意可列方程为（　　） A．120+10x＝200x B．120x+200x＝120×10 C．200x＝120x+200×10 D．200x＝120x+120×10 【分析】设快马x天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程即可． 【解答】解：设快马x天可以追上慢马， 依题意，得：200x＝120x+120×10． 故选：D． 【变式1】A，B两站间的距离为335km，一列慢车从A站开往B站，每小时行驶55km，慢车行驶1h后，另有一列快车从B站开往A站，每小时行驶85km，设快车行驶了x h后与慢车相遇，可列方程为（　　） A．55x+85x＝335 B．55（x﹣1）+85x＝335 C．55x+85（x﹣1）＝335 D．55（x+1）+85x＝335 【分析】设快车行驶了x h与慢车相遇，则慢车先行驶1h，再行驶x小时，快车行驶x h；路程＝速度×时间，根据路程和为335列方程即可． 【解答】解：设快车行驶了x h与慢车相遇， 根据题意得55（x+1）+85x＝335． 故选：D． 【变式2】如图，点A、B在数轴上表示的数分别为﹣24和16，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． （1）若运动2秒后，两只蚂蚁M、N分别到达点C、点D，则C、D两点在数轴上所表示的数分别是 　﹣20　、　10　． （2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P，求t的值以及点P在数轴上所表示的数． 【分析】（1）利用点C在数轴上所表示的数＝﹣24+蚂蚁M的速度×运动时间，可求出点C在数轴上所表示的数；利用点D在数轴上所表示的数＝16﹣蚂蚁N的速度×运动时间，可求出点D在数轴上所表示的数； （2）当运动时间为t秒时，蚂蚁M（看成一个点）在数轴上表示的数是（﹣24+2t），蚂蚁N（看成一个点）在数轴上表示的数是（16﹣3t），根据两只蚂蚁相遇，可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值，再将其代入（﹣24+2t）中，即可求出点P在数轴上所表示的数． 【解答】解：（1）根据题意得：点C在数轴上所表示的数是﹣24+2×2＝﹣20； 点D在数轴上所表示的数是16﹣3×2＝10． 故答案为：﹣20，10； （2）当运动时间为t秒时，蚂蚁M（看成一个点）在数轴上表示的数是（﹣24+2t），蚂蚁N（看成一个点）在数轴上表示的数是（16﹣3t）， 根据题意得：﹣24+2t＝16﹣3t， 解得：t＝8， ∴﹣24+2t＝﹣24+2×8＝﹣8． 答：t的值为8，点P在数轴上所表示的数是﹣8． 【变式3】甲、乙两车分别从相距210千米的A，B两地相向而行． （1）两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ （2）如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 【分析】（1）设乙车的速度是x千米/小时，则甲车的速度是2x千米/小时，利用路程＝速度×时间，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出乙车的速度，再将其代入2x中，即可求出甲车的速度； （2）设经过y小时两车相距30千米，利用路程＝速度×时间，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设乙车的速度是x千米/小时，则甲车的速度是2x千米/小时， 根据题意得：3×2x+（3﹣2）x＝210， 解得：x＝30， ∴2x＝2×30＝60（千米/小时）． 答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时； （2）设经过y小时两车相距30千米， 根据题意得：60y+30y＝210﹣30或60y+30y＝210+30， 解得：m＝2或m＝． 答：经过2小时或小时两车相距30千米． 【变式4】【问题引入】 一列火车匀速行驶，经过一条长400米的隧道需要30秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是15秒，你能求出这列火车的长度吗？ 【情境分析】 设这列火车的长度是x米． （1）从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是 　x　米，这段时间内火车的平均速度是 　　米/秒． （2）从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是 　（x+400）　米，这段时间内火车的平均速度是 　　米/秒． （3）火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是 　相等　． 【问题解决】 （4）请列出方程并求出这列火车的长度． 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出代数式即可； （3）根据火车的平均速度不发生变化，即可得出结论； （4）根据速度相等列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）根据题意得：从车头经过灯下到车尾经过灯下火车所走的路程为x米， 这段时间内火车的平均速度米/秒， 故答案为：x，； （2）从车头进入隧道到车尾离开隧道火车所走的路程为（x+400）米， 这段时间内火车的平均速度为米/秒， 故答案为：（x+300），； （3）火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是相等． 故答案为：相等； （4）根据题意得：＝， 解得：x＝400， 答：这列火车的长度是400米． 1．把方程3x+＝3﹣去分母正确的是（　　） A．18x+（2x﹣1）＝18﹣（x+1） B．3x+（2x﹣1）＝3﹣（x+1） C．18x+2（2x﹣1）＝18﹣3（x+1） D．3x+2（2x﹣1）＝3﹣3（x+1） 【分析】根据等式的性质去分母即可． 【解答】解：3x+＝3﹣， 去分母，得18x+2（2x﹣1）＝18﹣3（x+1）， 故选：C． 2．将方程＝1+中分母化为整数，正确的是（　　） A．＝10+ B．＝10+ C．＝1+ D．＝1+ 【分析】方程各项分子分母扩大相应的倍数，使其小数化为整数得到结果，即可作出判断． 【解答】解：方程整理得：＝1+． 故选：C． 3．若单项式与﹣2a3bn的和仍是单项式，则方程的解为（　　） A．x＝﹣23 B．x＝23 C．x＝﹣29 D．x＝29 【分析】首先根据题意，可得：，据此求出m、n的值；然后根据解一元一次方程的方法，求出方程的解即可． 【解答】解：∵单项式与﹣2a3bn的和仍是单项式， ∴， 解得：， ∴﹣＝1， 去分母，可得：2（x﹣7）﹣3（1+x）＝6， 去括号，可得：2x﹣14﹣3﹣3x＝6， 移项，可得：2x﹣3x＝6+14+3， 合并同类项，可得：﹣x＝23， 系数化为1，可得：x＝﹣23． 故选：A． 4．已知关于x的方程x﹣＝﹣2有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（　　） A．﹣23 B．23 C．﹣34 D．34 【分析】直接解方程进而利用非负整数的定义分析得出答案． 【解答】解：x﹣＝﹣2， 则6x﹣（2﹣ax）＝2x﹣12， 故6x﹣2+ax＝2x﹣12， （4+a）x＝﹣10， 解得：x＝﹣， ∵﹣是非负整数， ∴a＝﹣5或﹣6，﹣9，﹣14时，x的解都是非负整数， 则﹣5﹣6﹣9﹣14＝﹣34． 故选：C． 5．小文同学晚上写数学作业，在解方程“﹣5x+1＝2x﹣a”时，将“﹣5x”中的负号抄漏了，解出x＝2，则方程正确的解为（　　） A． B． C． D． 【分析】把x＝2代入方程5x+1＝2x﹣a得出10+1＝4﹣a，求出a＝﹣7，把a＝﹣7代入方程，再根据等式的性质求出方程的解即可． 【解答】解：∵小文同学晚上写数学作业，在解方程”﹣5x+1＝2x﹣a”时，将”﹣5x”中的负号抄漏了，解出x＝2， ∴把x＝2代入方程5x+1＝2x﹣a，得10+1＝4﹣a， 解得：a＝﹣7， 即方程为﹣5x+1＝2x+7， 解方程得：﹣5x﹣2x＝7﹣1， ﹣7x＝6， x＝﹣， 即方程的解是x＝﹣． 故选：D． 6．若关于x的方程的解是正整数，且关于y的多项式（a﹣2）y2+ay﹣1是二次三项式，那么所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【分析】先解方程得到，根据方程的解为正整数，推出是正整数，结合a为整数，可得出a＝1或2或4，再根据多项式次数和项的定义得到a≠0且a≠2，据此得到所有满足条件的整数a的值为1，4，将其相加即可求出结论． 【解答】解：， 去分母得：6x﹣（1﹣ax）＝6（x+1）﹣3， 去括号得：6x﹣1+ax＝6x+6﹣3， 移项得：6x+ax﹣6x＝6﹣3+1， 合并同类项得：ax＝4， 系数化为1得：， ∵关于x的方程的解是正整数， ∴是正整数，且a是整数， ∴a＝1或2或4， ∵（a﹣2）y2+ay﹣1是二次三项式， ∴， ∴a≠0且a≠2， ∴所有满足条件的整数a的值为1，4， ∴所有满足条件的整数a的值之和是1+4＝5． 故选：C． 7．现定义运算“*”，对于任意有理数a与b，满足a*b＝，譬如5*3＝3×5﹣3＝12，，若有理数x满足x*3＝12，则x的值为（　　） A．4 B．5 C．21 D．5或21 【分析】根据“*”的定义，分别当x≥3和x＜3时写出对应的方程并求解即可． 【解答】解：若x≥3，3x﹣3＝12，解得x＝5； 若x＜3，x﹣9＝12，解得x＝21（不符合题意，舍去）． 综上，x＝5， 故选：B． 8．已知关于y的方程6﹣3（y+1）＝0与的解互为相反数，则m＝（　　） A． B． C．5 D．﹣5 【分析】根据相反数的定义构建方程求解，即可． 【解答】解：∵6﹣3（y+1）＝0， 解得：y＝1， ∵y的方程6﹣3（y+1）＝0与的解互为相反数， ∴方程的解为：﹣1， ∴， 解得：． 故选：B． 9．A、B两地相距1000km，一列快车以200km/h的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以75km/h的速度从B地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距200km的次数是（　　）次． A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】设两车相距200km时，行驶的时间为t小时，相距200km要从相遇前和相遇后；追及前和追及后，快车已到终点几个方面考虑，共计5种情况，经计算检验数据是否符合题意． 【解答】解：设两车相距200km时，行驶的时间为t小时，依题意得： 当快车从A地开往B地，慢车从B地开往A地，两车相距200km时，则有：200t+75t+200＝1000， 解得； ②当快车继续开往B地，慢车继续开往A地，相遇后背离而行，两车相距200km时， 200t+75t﹣200＝1000， 解得； ③快车从A地到B地全程需要小时，此时慢车从B地到A地行驶5×75＝375km， ∵375＞200， ∴快车又从B地返回A地是追慢车，则有： 75t＝200+200（t﹣5）， 解得； ④快车追上慢车后并超过慢车相距200km时，则有200（t﹣5）﹣75t＝200， 解得； ⑤快车返回A地终点所需时间是10小时，此刻慢车行驶了10×75＝750km，距终点还需行驶1000﹣750＝250km，则有：75t＝1000﹣200， 解得． 综上所述，两车恰好相距200km的次数为5次． 故选：A． 10．方程的解是x＝（　　） A． B． C． D． 【分析】这是一个比较复杂的方程，解答此题的关键是将方程变形为x[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝1，然后提取公因式，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解． 【解答】解：， 提取公因式，得 x （+++…+）＝1， 将方程变形，得 x[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝1， 提取公因式，得 （1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝1， 移项，合并同类项，得 （1﹣）＝1， 系数化为1，得 x＝． 故选：C． 11．现规定一种运算：xΔy＝3x﹣，如果xΔ（4Δ4）＝7，那么x＝　4　． 【分析】先根据新定义运算，得出关于x的方程，再根据解一元一次方程的方法求解即可． 【解答】解：∵x△y＝3x﹣， ∴4△4＝3×4﹣＝12﹣2＝10， ∴x△10＝3x﹣＝7， 即3x﹣5＝7， 移项、合并同类项，得3x＝12， 将系数化为1，得x＝4． 故答案为：4． 12．小华在计算时（☆代表一个有理数），误将“÷”看成“+”，按照正确的运算顺序计算，结果为﹣26，则的正确结果是 　　． 【分析】根据题意构建方程，求解得a＝10，进而求代数式值． 【解答】解：设☆代表一个有理数为a， 根据题意，， 解得a＝10，即☆代表10， ∴； 故答案为：． 13．已知关于x的方程的解是整数，且k也是整数，则满足条件的所有k值的和为 　2　． 【分析】先求解方程，解得：x＝，再根据x为整数，且k是整数，即可求出所有k值的和． 【解答】解：解方程得：x＝， ∵x为整数，且k是整数， ∴k的值为0或1或3或﹣2， ∴所有k值的和为0+1+3﹣2＝2， 故答案为：2． 14．A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣10，B点对应的数为90．若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过 　15或25　秒2只电子蚂蚁在数轴上相距25个单位长度． 【分析】分为2只电子蚂蚁相遇前相距25个单位长度和相遇后相距25个单位长度，根据距离除以速度等于时间即可求得答案． 【解答】解：当两只电子蚂蚁相遇前在数轴上相距25个单位长度时，则需要的时间为（90+10﹣25）÷（3+2）＝15秒， 当两只电子蚂蚁相遇后在数轴上相距25个单位长度时，则需要的时间为（90+10+25）÷（3+2）＝25秒， 综上，经过15秒或25秒满足题意， 故答案为：15或25． 15．一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a＝b＝0．我们称使得成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为（a，b）．若（1，b）是“相伴数对”，则b＝ 　﹣　；若（m，n）是“相伴数对”，则的值为 　﹣2　． 【分析】根据“相伴数对”的定义列出方程，然后解方程即可求出b的值；先根据“相伴数对”的定义得出关于m、n的等式，再化简所求代数式，然后代入求解即可． 【解答】解：由题意得： 解得：， 由题意得：， 解得：， 原式＝ ＝ ＝ ＝﹣2． 故答案为：，﹣2． 16．解下列方程： （1）3x＝2x+1； （2）3x+2＝4（2x+3）； （3）； （4）． 【分析】（1）先移项、合并同类项、最后合并同类项即可得到答案； （2）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可得到答案； （3）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可； （4）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可． 【解答】解：（1）移项得，3x﹣2x＝1， 合并同类项得，x＝1； （2）去括号得，3x+2＝8x+12， 移项得，3x﹣8x＝12﹣2， 合并同类项得，﹣5x＝10， 两边都除以﹣5得，x＝﹣2； （3）去分母得，4（x﹣2）﹣3（3x+1）＝24， 去括号得，4x﹣8﹣9x﹣3＝24， 移项得，4x﹣9x＝24+3+8， 合并同类项得，﹣5x＝35， 两边都除以﹣5得，x＝﹣7； （4）原方程可变为：， 两边都乘以75得，25（2﹣10x）﹣112.5＝3（10﹣30x）， 去括号得，50﹣250x﹣112.5＝30﹣90x， 移项得，﹣250x+90x＝30﹣50+112.5， 合并同类项得，﹣160x＝92.5， 两边都除以﹣160得，． 17．我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．请根据上述规定解答下列问题 （1）判断：方程 　是　（“是”或“不是”）“和解方程”． （2）关于x的一元一次方程5x＝t是“和解方程”，求t的值． （3）关于x的一元一次方程﹣3x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝m，求m、n的值． 【分析】（1）先解方程，再根据“和解方程”的定义判断即可； （2）先解方程5x＝t，再根据“和解方程”的定义列关于t的一元一次方程求解即可； （3）根据“和解方程”的定义可得方程﹣3x＝mn+n的解为﹣3+mn+n，进而得到mn＝m﹣n+3，得到方程﹣3x＝m+3，求出m的值，再求出n的值即可． 【解答】解：（1）方程的解为， 而， 根据关于x的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”， 可得方程是“和解方程”， 故答案为：是； （2）方程5x＝t的解为， ∵方程5x＝t是“和解方程”， ∴， 解得：； 故t的值为； （3）∵方程﹣3x＝mn+n是“和解方程”， ∴方程﹣3x＝mn+n的解为x＝﹣3+mn+n， 又∵它的解是x＝m， ∴﹣3+mn+n＝m， ∴mn＝m﹣n+3， 将mn＝m﹣n+3代入方程﹣3x＝mn+n，可得﹣3x＝m+3， 将x＝m代入方程﹣3x＝m+3，可得：， 将代入mn＝m﹣n+3，可得， 解得：n＝9． 故m的值为﹣，n的值为9． 18．甲、乙两辆汽车分别从相距340千米的A，B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶．行驶2小时后，甲车到达C地，并停车休息，此时两车相距40千米，乙车继续行驶，0.5小时后也到达C地．乙车到达C地后未做停留继续匀速开往A地，甲车在C地休息1小时后按原速度开往B地． （1）由题意可求得甲车的速度为 　70　千米/小时，乙车的速度为 　80　千米/小时； （2）求两车出发多少小时相距140千米．（列方程解决） 【分析】（1）由乙车继续行驶，0.5小时后也到达C地可得乙车的速度，再由甲乙两车2小时行驶300千米可得甲车的速度，从而可得答案； （2）分两种情况讨论，建立方程求解即可． 【解答】解：（1）由题意可得，乙车0.5小时行驶40千米， 乙车的速度＝（千米/时）， ∴甲车的速度＝（340﹣40）÷2﹣80＝70（千米/时）， 故答案为：70，80； （2）设相遇前两车出发x小时相距140千米， 则（70+80）x+140＝340， 解得：， 设相遇后两车出发x小时相距140千米， 则70（x﹣1）+80x＝340+140， 解得：， 答：两车出发小时或小时相距140千米． 19．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程2x﹣1＝2和2x﹣1＝0为“成双方程”． （1）请判断方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是否互为“成双方程”； （2）若关于x的方程m＝0与方程3x﹣2＝x+4互为“成双方程”，求m的值； （3）若关于x的方程x﹣1＝0与x+1＝3x+k互为“成双方程”，求关于y的方程（y+2）+1＝3y+k+6的解． 【分析】（1）先解两个一元一次方程，求出它们的解，然后根据已知条件中的新定义进行判断即可； （2）先两个一元一次方程，求出它们的解，然后根据已知条件中的新定义列出关于m的方程，解方程即可； （3）先解方程x﹣1＝0，根据新定义，求出方程x+1＝3x+k的解，然后把所求方程化成x+1＝3x+k的形式，求出所求方程的解即可． 【解答】解：（1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3不是互为“成双方程”，理由如下： 4x﹣（x+5）＝1， 4x﹣x﹣5＝1， 3x＝6， x＝2， ﹣2y﹣y＝3， ﹣3y＝3， y＝﹣1， ∵x+y＝2+（﹣1）＝1， ∴方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3不是互为“成双方程”； （2）m＝0， x+2m＝0， x＝﹣2m， 3x﹣2＝x+4， 3x﹣x＝4+2， 2x＝6， x＝3， ∵关于x的方程m＝0与方程3x﹣2＝x+4互为“成双方程”， ∴﹣2m+3＝2， 解得：； （3）x﹣1＝0， ， x＝2024， ∵x﹣1＝0与x+1＝3x+k互为“成双方程”， ∴x+1＝3x+k的解为：x＝﹣2022， ∴关于y的方程（y+2）+1＝3y+k+6就是：， ∴y+2＝﹣2022， y＝﹣2024， ∴关于y的方程（y+2）+1＝3y+k+6的解为：y＝﹣2024． 20．已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：|m﹣7|+（n+2）2＝0． （1）求m、n的值； （2）①情境：有一个玩具火车AB如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为 　3　个单位长度； ②应用：如图1所示，当火车AB匀速向右运动时，若火车完全经过点M需要2秒，则火车的速度为 　3　个单位长度/秒； （3）在（2）的条件下，当火车AB匀速向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车AB运动后对应的位置为A1B1．是否存在常数k使得kPQ﹣B1A的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值：若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据|m﹣7|+（n+2）2＝0得m﹣7＝0，n+2＝0，计算即可． （2）①设A表示的数为xA，B表示的数为xB，小火车的长度为l，根据题意7﹣xB＝l，xA﹣（﹣2）＝l，xB﹣xA＝l，建立方程计算即可． ②根据①得xA＝1，xB＝4，火车完全经过点M需要2秒，点A运动路程为3单位长度，利用速度＝路程÷时间计算即可． （3）设玩具火车运动的时间为t秒，则点B运动到点B1的距离为个单位长度，此时点B1表示的数是，继而得到，根据题意，得到点Q表示的数是2t+7，点9表示的数是﹣2﹣t，继而表示PQ＝2t+7﹣（﹣2﹣t）＝9+3t，代入kPQ﹣B1A化简，令t的系数为零计算即可． 【解答】解：（1）∵|m﹣7|+（n+2）2＝0， ∴m﹣7＝0，n+2＝0， ∴m＝7，n＝﹣2． （2）①设A表示的数为xA，B表示的数为xB，小火车的长度为l， 根据题意，得7﹣xB＝l，xA﹣（﹣2）＝l，xB﹣xA＝l， ∴9﹣（xB﹣xA）＝2l， ∴9﹣l＝2l， 解得l＝3， 即玩具火车长3个单位长度， 故答案为：3． ②根据①得xA＝1，xB＝4，火车完全经过点M需要2秒， 故点A运动路程为6单位长度， ∴玩具火车的速度为：6÷2＝3（单位长度/秒）， 故答案为：3． （3）存在，k＝1，﹣12，理由如下： 设玩具火车运动的时间为t秒，则点B运动到点B1的距离为个单位长度，此时点B1表示的数是， ∴B1A＝3t+3， 根据题意，得到点Q表示的数是2t+7，点9表示的数是﹣2﹣t， ∴PQ＝2t+7﹣（﹣2﹣t）＝9+3t， ∴kPQ﹣B1A ＝k（9+3t）﹣（3t+3） ＝9k+3kt﹣（3+3t） ＝9k+3kt﹣3﹣3t ＝（3k﹣3）t+9k﹣3， ∵常数k使得kPQ﹣B1A的值与它们的运动时间无关， ∴3k﹣3＝0， 解得k＝1， 故9﹣3t＝12， 故当k＝1时，常数k使得kPQ﹣B1A的值与它们的运动时间无关，此时值为﹣12． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $