精品解析：广东省深圳中学初中部2026-2027学年第一学期九年级暑假作业巩固练习数学试卷

初三年级暑假作业巩固练习 数学试卷 说明： 1．答题前，务必将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上． 2．考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 3．全卷共6页，考试时间90分钟，满分100分． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图案代表四个城市的地铁标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 把不等式的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式的值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，小明能用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，他的依据是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 对角线垂直的平行四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 有三个角是直角的四边形是矩形 5. 如图是一张书法练习纸，其中的横格线都互相平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，不同横格线上的三点A，B，C在同一直线上．若线段，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两个工程队共同承包某一城市美化工程，已知甲队单独完成这项工程需要30天，若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合作8天完成．问乙队单独完成这项工程需要多少天？若设乙队单独完成这项工程需要天．则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在矩形中，为上一定点，为上一动点，、分别是、的中点，当点从向移动时，线段的长度（ ） A. 逐渐变小 B. 逐渐变大 C. 不变 D. 无法确定 8. 新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知，面积比为，的对应边为，，则的长为______． 10. 中国结不仅是一种装饰品，还是一种文化符号，寓意团圆、美满，彰显了中国智慧和深厚的文化底蕴．如图，这是个菱形中国结，测得对角线，，则菱形的周长是______cm． 11. 已知关于的分式方程有增根，则的值为______． 12. 一个正八边形与一个正六边形按如图所示方式放置，若分别平分正八边形与正六边形的内角，则的度数为________． 13. 如图，在平行四边形中，为对角线，于点，点是延长线上的一点，且，，的延长线交于点．若，，，则的长为______． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 解方程与解不等式． （1）解方程：； （2）解不等式：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为个单位长度，的三个顶点的坐标分别为． （1）将向右平移个单位长度得到，请画出； （2）请画出关于原点中心对称的； （3）若绕某点旋转得到，则旋转中心的坐标为______； （4）若存在点使得以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标：______． 17. 按要求完成以下问题 （1）分解因式：； （2）若，那么或．利用这个结论，我们可以解决以下问题：的三边满足，请判断的形状，并说明理由． 18. 如图，四边形是平行四边形，点是延长线上一点，，连接，，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的周长． 19. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器． 素材2 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共500件，批发市场灯管的单价为20元，镇流器的单价为70元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于40元．（即当降价到40元后，再多购买也不会降价了．） 问题解决 （1）任务1：设镇流器补进件，若，则补进镇流器的单价为________元，补进灯管的总价为________元（用含的代数式表示）； （2）任务2：若学校后勤部补进镇流器和灯管共花13600元，求补进镇流器多少件？ 20. 综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，正方形中，点在上，，交直线于点．试猜想线段与的数量关系． （1）【建立模型】 同学们发现，过点分别作，，垂足为，，可以由平分，用角平分线的性质定理辅助解决这个问题．请在图1中补全图形，解答上述问题． （2）【模型应用】 小敏受此问题启发，并提出新的问题：如图2，延长交直线于点，请你判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）【模型迁移】 小睿深入思考小敏提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图2，在（2）的条件下，当为直线上一动点，猜想线段，，之间的数量关系并直接写出结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级暑假作业巩固练习 数学试卷 说明： 1．答题前，务必将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上． 2．考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 3．全卷共6页，考试时间90分钟，满分100分． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图案代表四个城市的地铁标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念和各图的特点求解． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，因为找不到一个点使图形绕该点旋转后能够与自身重合，不符合题意； B、该图形不是中心对称图形，因为找不到一个点使图形绕该点旋转后能够与自身重合，不符合题意； C、该图形是中心对称图形，符合题意； D、该图形不是中心对称图形，因为找不到一个点使图形绕该点旋转后能够与自身重合，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 2. 把不等式的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 在数轴上表示： 3. 若分式的值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：分式的值为， 且， ． 4. 如图，小明能用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，他的依据是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 对角线垂直的平行四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 有三个角是直角的四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【详解】解：检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，依据是对角线相等的平行四边形是矩形． 5. 如图是一张书法练习纸，其中的横格线都互相平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，不同横格线上的三点A，B，C在同一直线上．若线段，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．过点C作于点E，交于点D，根据平行线分线段成比例得出，然后代入数据计算即可． 【详解】解：如图：过点C作于点E，交于点D， ∵纸中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等， ∴，即， 解得：． 故选：B． 6. 甲、乙两个工程队共同承包某一城市美化工程，已知甲队单独完成这项工程需要30天，若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合作8天完成．问乙队单独完成这项工程需要多少天？若设乙队单独完成这项工程需要天．则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙工程队单独完成这项工程需要天，由题意可得等量关系：甲10天的工作量甲与乙8天的工作量，再根据等量关系可得方程即可．关键是弄清题意，找出题目中的等量关系． 【详解】解：设乙工程队单独完成这项工程需要天，由题意得： ． 故选：C． 7. 如图所示，在矩形中，为上一定点，为上一动点，、分别是、的中点，当点从向移动时，线段的长度（ ） A. 逐渐变小 B. 逐渐变大 C. 不变 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】连接AR，可得EF为△APR的中位线，R为定点，则AR不变，故EF不变． 【详解】如图所示，连接A、R， ∵在△APR中，E为AP的中点，F为PR的中点， ∴EF为△APR的中位线 ∴ 又∵R为定点， ∴线段AR不变 ∴EF也不变． 故选C． 【点睛】本题考查三角形的中位线性质，连接AR，构造出中位线是本题的关键． 8. 新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】通过因式分解求解一元二次方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义分两种情况讨论根的关系，最终求解得到的值． 【详解】解：， ， 解得，． 关于的一元二次方程是“倍根方程”， 分两种情况：①当时，即，此时， ②当时，即，此时． 综上所述，代数式的值为或． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知，面积比为，的对应边为，，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方，结合已知条件列比例式求解对应边的长度即可． 【详解】解：∵，与的面积比为， ∴， ∵三角形边长为正数， ∴， ∵， ∴． 10. 中国结不仅是一种装饰品，还是一种文化符号，寓意团圆、美满，彰显了中国智慧和深厚的文化底蕴．如图，这是个菱形中国结，测得对角线，，则菱形的周长是______cm． 【答案】120 【解析】 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∵， ∴菱形的周长为． 11. 已知关于的分式方程有增根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式方程的增根求参数的值，先将原分式方程去分母化为整式方程，根据分式方程有增根得到增根的取值，再代入整式方程求解即可得到的值． 【详解】解：， 去分母，得， 展开并整理，得， ∵分式方程有增根， ∴， 解得， 将代入，得， 解得， ∴的值为． 12. 一个正八边形与一个正六边形按如图所示方式放置，若分别平分正八边形与正六边形的内角，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角计算，角的平分线的计算，先计算正多边形的内角，再根据角平分线的定义计算即可． 【详解】∵正八边形的内角为，正六边形的内角为，分别平分正八边形与正六边形的内角， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在平行四边形中，为对角线，于点，点是延长线上的一点，且，，的延长线交于点．若，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，延长与的延长线交于，由平行四边形性质可得，，，，根据勾股定理得，则，在中，由勾股定理得，又，从而求得，由勾股定理得，然后证明，，再由相似三角形的性质和线段和差即可求出的长． 【详解】解：过点作于，延长与的延长线交于，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先按分式运算法则化简原式，再代入计算结果． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 15. 解方程与解不等式． （1）解方程：； （2）解不等式：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用配方法解方程即可． （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1． 【小问1详解】 解：， 移项得：， ∴， ∴， ∴， 所以，； 【小问2详解】 解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并得． 16. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为个单位长度，的三个顶点的坐标分别为． （1）将向右平移个单位长度得到，请画出； （2）请画出关于原点中心对称的； （3）若绕某点旋转得到，则旋转中心的坐标为______； （4）若存在点使得以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标：______． 【答案】（1） （2） （3） （4），， 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）连接，，，相交于点，则点即为旋转中心； （4）结合平行四边形的性质确定点的坐标，以，，作为对角线分别讨论． 【小问1详解】 解：将，，分别向右平移个单位，得到，，，连接三点即可画出； 【小问2详解】 解：关于原点中心对称的点，横纵坐标均为相反数，因此的对称点为，的对称点为，的对称点为，连接，，，即可画出； 【小问3详解】 解：如图，连接，，，相交于点，则旋转中心点的坐标为． 【小问4详解】 解：以为顶点的平行四边形有三种情况，分别以，，作为对角线进行讨论．由于平行四边形的对角线互相平分，其中三个点坐标已知，所以可以先求出平行四边形其中一条对角线的中点，再依据中点公式，代入另一条对角线上某点，求出该条对角线上的另一点． 当为对角线时，的中点为，也是的中点，由于点，所以点为； 当为对角线时，的中点为，也是的中点，由于点，所以点为； 当为对角线时，的中点为，也是的中点，由于点，所以点为． 17. 按要求完成以下问题 （1）分解因式：； （2）若，那么或．利用这个结论，我们可以解决以下问题：的三边满足，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）解：是等腰三角形或直角三角形；理由如下： ∵， ∴， 根据题中“若，则或”的结论，得或， 即或， ∴为等腰三角形或直角三角形． 【解析】 【分析】（1）先提取公因式a，再利用平方差公式分解即可； （2）对等式左边分解因式即可判断． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 略． 18. 如图，四边形是平行四边形，点是延长线上一点，，连接，，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的周长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）． 【解析】 【分析】（1）利用“平行四边形的对边平行且相等”证明,再利用“等量代换”得到,同时由“两直线平行，同位角相等”证明,再由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”和“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明结论． （2）由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得,再由勾股定理计算的长，进而求出结论． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 ∵，， ∴, 在中，, ∴由勾股定理得 ∴的周长为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定、平行线的性质、直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握这些性质是解决问题的关键． 19. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器． 素材2 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共500件，批发市场灯管的单价为20元，镇流器的单价为70元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于40元．（即当降价到40元后，再多购买也不会降价了．） 问题解决 （1）任务1：设镇流器补进件，若，则补进镇流器的单价为________元，补进灯管的总价为________元（用含的代数式表示）； （2）任务2：若学校后勤部补进镇流器和灯管共花13600元，求补进镇流器多少件？ 【答案】（1）； （2）补进镇流器件或件或件 【解析】 【分析】（1）设镇流器补进x件，根据题意列出代数式即可求解； （2）分情况根据题意列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设镇流器补进件，若，则补进镇流器的单价为元， 补进灯管的总价为元． 【小问2详解】 解：①设镇流器补进件， 当时，依题意，， 解得：，， ． ． ②当时，依题意，， 解得：， 当时，镇流器的单价固定为元，， ． 答：补进镇流器件或件或件． 20. 综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，正方形中，点在上，，交直线于点．试猜想线段与的数量关系． （1）【建立模型】 同学们发现，过点分别作，，垂足为，，可以由平分，用角平分线的性质定理辅助解决这个问题．请在图1中补全图形，解答上述问题． （2）【模型应用】 小敏受此问题启发，并提出新的问题：如图2，延长交直线于点，请你判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）【模型迁移】 小睿深入思考小敏提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图2，在（2）的条件下，当为直线上一动点，猜想线段，，之间的数量关系并直接写出结论． 【答案】（1） （2）； 理由∶延长交于，延长交于， 正方形中，， ， ， 同理可证， 同（1）可证明四边形是矩形，四边形是正方形，， ， ， ， ， ； （3）①当在对角线上，时，；时，；②当在线段或的延长线上时， 【解析】 【分析】（1）根据题中提供的方法，证明，进而证明四边形是正方形，进而可得，即可证明，进而可证明结论； （2）延长交于，延长交于，同法证明，即可得出结论； （3）作，交直线于，证明，由（1），（2）可知，证明，可得，分以下三种情况：①当在对角线上，时，当时；②当在线段的延长线上时；③当在线段的延长线上时，分别求得它们的关系即可． 【小问1详解】 解：如图，过点分别作，，垂足为，， ， 正方形中，平分， ， 四边形是正方形， ，即， ， ，即， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作，交直线于， ， ， ， ，平分， ， ，， ， 由（1），（2）可知， ， ， ， ， ①当在对角线上，时，如上图， ； 当时， 如图 同理可得； ②当在线段的延长线上时， 如图， 同理可得； ③当在线段的延长线上时， 如图， 同理可得； 综上所述，①当在对角线上，时，；时，；②当在线段或的延长线上时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $