3.1 等量关系和方程-课件---2026-2027学年湘教版数学七年级上册

# 湘教版数学七年级上册 3.1 等量关系和方程 专项练习（约1112字） ## 知识点梳理 含有未知数的等式叫作方程。方程必须满足两个条件：一是等式，二是含有未知数。能使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。列方程的关键是找出题目中的等量关系，把文字描述转化成等式。找等量关系常利用和、差、倍、分，周长面积公式，总量等于各部分之和等关系。区分等式、方程、代数式：代数式不含等号；等式带有等号；方程是含有未知数的等式。易错点：分不清方程与代数式；列方程时等量关系找错，左右两边不相等；混淆“方程”和“方程的解”的概念。本节是一元一次方程的入门，学会寻找等量关系，是列方程解应用题的基础。 ## 一、填空题（每空3分，共24分） 1. 含有________的等式叫作方程。 2. 若$\(x=2\)$是方程$\(3x+\(a=\)8\)$的解，则$\(a=\)$________。 3. $x$的3倍与5的和等于14，列方程：________________。 4. 一个数$y$减去4所得的差是9，列方程：________________。 5. 长方形周长为30，长为$x$，宽为6，根据周长公式列方程：________________。 6. 已知等式$2x-1=5$，这个方程的解是________。 7. 某数$x$的一半加3等于7，列出方程：________________。 ## 二、选择题（每题4分，共20分） 1. 下面各式属于方程的是（） A.$\(2x+5\)$　B.$\(3+6=9\)$　C.$4x-1=7$　D.$\(x+3>1\)$ 2. 下列数值是方程$\(2x+1=5\)$的解的是（） A.$\(x=1\)$　B.$\(x=2\)$　C.$\(x=3\)$　D.$\(x=4\)$ 3. “比$x$的4倍小6的数等于10”，所列方程是（） A.$\(4x+6=10\)$　B.$4x-6=10$　C.$6-4\(x=1\)0$　D.$10-4x=6$ 4. 下列说法正确的是（） A.等式一定是方程 B.方程不一定是等式 C.代数式是方程 D.方程一定是等式 5. 甲、乙两数和为24，甲数是$x$，乙数是甲数的2倍，则方程是（） A.$x+2\(x=2\)4$　B.$\(x+2=24\)$　C.$2\(x=2\)4$　D.$x+\(x=2\)4$ ## 三、解答题（共46分） 1. 判断下列式子是不是方程，是方程的写出未知数（每题5分，共30分） （1）$5x-3=7$ （2）$\(2a+6\)$ （3）$\(3+9=12\)$ （4）$4y-2=2y$ （5）$\(m+5>0\)$ （6）$\dfrac12x+1=0$ 2. 检验$\(x=3\)$和$x=-2$是不是方程$\(2x+4=10\)$的解（8分） 3. 根据题意列方程（8分） 一个数的5倍减去8等于这个数的3倍，设这个数为$x$，列出方程。 ## 四、拓展思考题（10分） A、B两地相距120千米，甲、乙两人分别从两地同时出发相向而行，甲每小时走18千米，乙每小时走22千米，经过$t$小时两人相遇，请根据等量关系列出方程。 --- ## 参考答案 ### 一、填空题 1.未知数　2.$2$　3.$\(3x+5=14\)$　4.$y-4=9$ 5.$\(2(x+6)=30\)$　6.$\(x=3\)$　7.$\dfrac12x+3=7$ ### 二、选择题 1.C　2.B　3.B　4.D　5.A ### 三、解答题 1.（1）是方程，未知数$x$；（2）不是方程，没有等号，是代数式；（3）不是方程，无未知数；（4）是方程，未知数$y$；（5）不是方程，是不等式；（6）是方程，未知数$x$。 2. 解：把$\(x=3\)$代入，左边$=2\times3+4=10$，左边=右边，$\(x=3\)$是方程的解； 把$x=-2$代入，左边$=2\times(-2)+4=0$，左边≠右边，$x=-2$不是方程的解。 3. 解：$5x-8=3x$ ### 四、拓展题 相遇问题等量关系：甲路程+乙路程=总路程，列方程：$\(18t+22t=120\)$ ## 解题小结 判断方程抓住两点：有等号，含有未知数。检验方程解的方法：将数值代入方程左右两边，两边相等就是方程的解。列方程最重要的一步是找准等量关系，读懂题目文字，找到“等于”“是”这些关键词，等式左右两边表示同一个量。区分代数式、等式、方程是基础考点。常见错误：漏写等号、等量关系颠倒，把方程的解和方程概念混淆。应用题先找等量关系，再设未知数，最后写出方程，不用急着求解。学好本节，才能熟练用方程思想解决实际问题，为一元一次方程解法打下基础。 （全文1111字） 需要我生成**无答案纯题目版本**，方便直接打印做题吗？ 湘教版（新教材）数学七年级上册 3.1 等量关系和方程 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/25 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第3章 一次方程（组） 能通过对实际问题的分析，理解并归纳方程和一元一次方程的概念。 估算使方程左右两边相等的未知数的值，理解方程的解的概念。 会根据简单的实际问题列出一元一次方程。 思考 新课导入 （1）为进一步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区于今年9月举办了一次中学生篮球联赛.比赛规则为：胜一场得2分，输一场得一分.若某校初中男子篮球队参加了14场比赛，共得26分.问：其中蕴含怎样的等量关系？如何根据等量关系，列出相应等式？ （2）如图是一个长方体形状的包装盒示意图，长为1.2 m，高为1 m，表面积为6.8 m2. 其中蕴含怎样的等量关系？如何根据等量关系，列出相应等式？ 3 （1）中蕴含以下等量关系： 胜的场数得分+输的场数得分=总得分. （2）中蕴含以下等量关系： （长×宽+宽×高+长×高）×2=表面积. 前面已经学习了用字母表示数，这启发我们，可以先将问题中的未知量用字母表示，然后再探索解决办法. 对于（1），设该队胜了x场，则该队输了（14-x）场.又由于胜一场得2分，输一场得1分，总共得了26分，因此可得以下等式： 2x +（14-x） = 26. 5 对于（2），若设包装盒的底面宽是y m，则根据题意可得以下等式： （1.2×y+y×1+1.2×1）×2 = 6.8， 即 2.4y + 2y + 2.4= 6.8. 6 等式2x +（14-x） = 26，2.4y + 2y + 2.4= 6.8中的x，y叫作未知数，含有未知数的表示等量关系的等式叫作方程. 归纳 2.4y + 2y + 2.4 = 6.8 已知数 未知数 2x +（14-x） = 26 已知数 未知数 方程2x +（14-x） = 26， 2.4y + 2y + 2.4= 6.8中，每个方程含有几个未知数？每个未知数的次数是多少？ 说一说 像方程2x +（14-x） = 26，2.4y + 2y + 2.4= 6.8这样，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫作一元一次方程． 2x +（14-x） = 26有一个未知数，次数是1. 2.4y + 2y + 2.4= 6.8有一个未知数，次数是1. 8 （2）方程中只有一个未知数； （3）未知数的次数是1. 判断一个方程是一元一次方程，化简后必须满足三个条件： （1）等号两边都是整式； 归纳 判断下列各式是不是一元一次方程. ①2x2－5＝4；②－m＋8＝1；③x＝1；④x＋y＝1； ⑤x＋3>0；⑥2x2－2(x2－x)＝1；⑦ ；⑧πx＝12. 解：①未知数的指数是1，所以不是；④含有2个未知数，所以不是； ⑤不是等式，所以不是；⑦未知数指数不是1，所以不是. 注意：⑥2x²-2（x²-x）=1，可化简为2x=1，所以⑥是一元一次方程. 补充练习 √ √ √ √ 1. 下列式子中，方程的个数是( ) ； ； ； ； ； . B A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 返回 举一反三 11 2. 按照表格中的步骤，第三次估算方程 的解时， 可以取的值是( ) 估计的 的值 的值 与2.2比较 第一次估算 0 3 大了 第二次估算 1 小了 第三次估算 A A. 0.1 B. 2 C. D. 返回 举一反三 12 3.［2025长沙开福区月考］已知下列方程： ；；； ； ； . 其中属于一元一次方程的有________（填序号）. ②③⑤ 返回 举一反三 13 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作. 成书于公元400年前后，传本共有上、中、下三卷.下卷有许多著名数学题，如第31题就是有趣的“鸡兔同笼”问题：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚. 问笼中各有几只鸡和兔？ 做一做 上述趣题中存在以下等量关系: (1)兔的只数十鸡的只数=35; (2)兔的脚数+鸡的脚数=94. 设兔有x只，则鸡有(35-x)只. 由于每只兔有4只脚，每只鸡有2只脚，并且笼子里总共有94只脚， 因此，可得如下一元一次方程:4x+2(35-x)=94.③ 将方程③左边的多项式整理得4x+2(35-x)=4x+(70-2x)=2x+70， 从而方程③变成2x+70=94.④ 把方程的左边和右边分别看成多项式，找到一个数，将这个数代入方程，能使左、右两边的多项式的值相等，则这个数就是方程中未知数的一个值. 如何找到一个数，使方程④左、右两边多项式的值相等? 对于方程④，就是要找出一个数，使得它的2倍与70的和等于94.根据方程④中x的实际意义可知，这个数一定是正整数. 议一议 估计x的值 方程④左边的值 与方程④右边的值94比较 第1次估算 10 90 小了 第2次估算 15 100 大了 第3次估算 13 96 大了 第4次估算 12 94 相等 第5次估算 11 92 小了 因此，只有一个数12符合条件. 对于含有一个未知数x的方程，若x用一个数c代入能使方程左、右两边的值相等，这个数c就是这个方程的一个解.习惯上记作x=c. 由上可知，12是方程④的唯一解，于是上述趣题中兔有12只，鸡有23只. 例 例题讲解 分别检验x的值是否是方程2.5x+318=1 068的解. （1）x=300； （2）x=330. 解：（1）把x用300代入原方程得， 左边=2.5×300+318=1 068， 左边=右边， 所以x=300是方程2.5x+318=1 068的解. 18 例 分别检验x的值是否是方程2.5x+318=1 068的解. （1）x=300； （2）x=330. （2）把x用330代入原方程得， 左边=2.5×330+318=1 143， 左边≠右边， 所以x=330不是方程2.5x+318=1 068的解. 判断方程解的三个步骤： (1)代：把所给未知数的值分别代入方程等号的左右两边. (2)算：计算等号的左右两边的值. (3)判：若左边=右边，则是方程的解；若左边≠右边，则不是方程的解. 总结 补充练习 1.已知九年级某班30名学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则下面所列方程正确的是(　　) A．2x＋3(72－x)＝30 B．3x＋2(72－x)＝30 C．2x＋3(30－x)＝72 D．3x＋2(30－x)＝72 2. 根据下列条件能列出方程的是(　　) A．a与5的和的3倍 B．甲数的3倍与乙数的2倍的和 C．a与b的差的15% D．一个数的5倍是18 D D 当堂检测 21 3.已知关于 x 的一元一次方程2(x-1)+3a=3的解为4，则 a 的值是( ) A.-1 B.1 C.-2 D.-3 解析：将x=4代入2(x-1)+3a=3，得2×3+3a=3，解得a= -1. A 技巧点拨：根据方程的解的定义求有关字母的值时，通常先将解代入方程中，得到关于字母的方程，求解即可得到这个字母的值. 当堂检测 4.下列方程是一元一次方程的是（ ） A.-2=0 B.2x=1 C.x+2y=5 D.x2-1=2x B 5.x=5是下列方程的解吗？ （1）2x+(15-x)=10； （2）4x²-12x+5=9x. 不是 是 当堂检测 6.（分类讨论题）若方程3-3x²+2x-2=0是关于x的一元一次方程，求n²-n+1的值. 当堂检测 4. “方程”二字最早见于我国《九章算术》这 部经典著作中，该书的第八章名为“方程”.如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知 数,的系数与相应的常数项，即可表示方程 ,则 表示的方程是____________. 返回 举一反三 25 5. 请写一个未知数的系数是 ，且方程的 解是1的一元一次方程:___________________________. （答案不唯一） 返回 举一反三 26 6. 按如图方式做一个试管架，在 长的木板 上钻若干个半径为 的圆孔，已知相邻两个圆孔的间距为 ，设木板上能钻 个圆孔，则可列方程为____________. 返回 举一反三 27 7. 2024年巴黎奥运会上，中国代表队获 得奖牌91枚，其中银牌27枚，金牌数比铜牌数的2倍少8枚. （1）若设中国代表队获得铜牌 枚，则可列出方程为______ ________________； 举一反三 28 （2）试判断中国代表队获得的铜牌数是不是24枚，并说明理由. 【解】是.理由如下：由（1）得 ， 当时，方程左边 方程 右边，所以是方程 的解， 所以中国代表队获得的铜牌数是24枚. 返回 举一反三 29 课堂小结 建立一元一次方程模型 方程的有关概念 一元一次方程的概念 建立一元一次方程模型 设字母表示数 把其他部分的量也用字母表示出来 找等量关系，列出方程 方程的概念 方程的解概念 30 谢谢观看 THANKS $