5.3 一次函数的意义 课时作业 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

5.3 一次函数的意义 课时作业

浙教版 · 八年级上册 · 第5章 一次函数　　建议用时：60分钟　　满分：100分

班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________

一、学习目标

1．理解一次函数和正比例函数的概念，知道正比例函数是特殊的一次函数。

2．能根据一次函数的定义判断一个函数是否为一次函数，会根据定义求字母参数的值。

3．会用待定系数法求一次函数（正比例函数）的表达式。

4．能根据实际问题列出一次函数表达式，并确定自变量的取值范围。

二、知识点梳理

知识点1　一次函数与正比例函数的概念

一般地，函数 y=kx+b（k，b 都是常数，且 k≠0）叫做一次函数。

当 b=0 时，函数 y=kx（k 为常数，k≠0）叫做正比例函数，其中常数 k 叫做比例系数。

图1　正比例函数是特殊的一次函数

关系：正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。

知识点2　一次函数的结构特征

判断一个函数是不是一次函数，要把它化简后看是否满足：

（1）自变量 x 的次数为1；（2）x 的系数 k≠0；（3）式子是关于 x 的整式（x 不能在分母中，也不能在根号下）。

例如：y=-1 是一次函数（k=，b=-1）；y= 不是一次函数；y=x(x-2)-x² 化简得 y=-2x，是正比例函数。

知识点3　根据定义求参数

（1）若 y=(m-2)x+3 是一次函数，则 m-2≠0，即 m≠2。

（2）若 y=(m+1)x|m|+2 是一次函数，则 　所以 m=1。

（3）若 y=(k-3)x+k²-9 是正比例函数，则 　所以 k=-3。

知识点4　待定系数法求一次函数的表达式

先设出函数表达式，再根据条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法。

步骤：（1）设：设一次函数的表达式为 y=kx+b（k≠0）；

（2）代：把两组已知的 x、y 的对应值代入，得到关于 k、b 的方程组；

（3）解：解方程组，求出 k、b 的值；

（4）写：把 k、b 的值代回所设的表达式。

求正比例函数 y=kx 的表达式，只需要一组对应值（x≠0）。

知识点5　实际问题中的一次函数

常见类型：（1）匀速运动：路程=速度×时间+原有路程；（2）费用问题：总费用=固定费用+单价×数量；（3）蓄水、耗油问题：剩余量=原有量-单位消耗量×时间；（4）弹簧问题：弹簧长度=原长+每千克伸长量×质量。

注意：实际问题中要写出自变量的取值范围。

三、典型例题

例1　下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？如果是一次函数，指出 k、b 的值。

（1）y=-x；（2）y=3-5x；（3）y=；（4）y=x(x-2)-x²；（5）y=+1。

解：（1）是一次函数，也是正比例函数，k=-，b=0；

（2）是一次函数，k=-5，b=3；

（3）y=x-，是一次函数，k=，b=-；

（4）化简得 y=-2x，是一次函数，也是正比例函数，k=-2，b=0；

（5）x 在分母中，不是一次函数。

例2　已知 y 是 x 的一次函数，当 x=3 时，y=1；当 x=-2 时，y=-14。

（1）求这个一次函数的表达式；（2）当 x=5 时，求 y 的值。

解：（1）设 y=kx+b（k≠0）。由题意，得

两式相减得 5k=15，k=3，代入得 b=-8。所以 y=3x-8。

（2）当 x=5 时，y=3×5-8=7。

例3　如图，在长方形 ABCD 中，AB=6，BC=8，点 P 在边 BC 上（不与 B、C 重合），设 BP=x，四边形 APCD 的面积为 y。

（1）求 y 关于 x 的函数表达式；（2）y 是 x 的一次函数吗？求自变量 x 的取值范围。

解：（1）S长方形ABCD=6×8=48，S△ABP=×AB×BP=×6×x=3x，

所以 y=48-3x。

（2）y 是 x 的一次函数（k=-3，b=48）。点 P 在 BC 上且不与 B、C 重合，所以 0<x<8。

四、基础巩固

（一）选择题（每小题3分，共24分）

1．下列函数中，是一次函数的是（　　）

A．y=　　B．y=x²+1　　C．y=-1　　D．y=3

2．下列函数中，是正比例函数的是（　　）

A．y=2x-1　　B．y=　　C．y=x²　　D．y=