精品解析：江苏省连云港市灌南名校协作体2027届高三上学期9质量检测数学试题

2026-2027学年度高三第一学期9月质量检测 数学试题 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，满分40分. 1. 已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由得，所以， ， 所以 . 2. 已知复数，则z的虚部为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接由复数的乘法运算以及复数的虚部概念即可求解． 【详解】因， 则， 所以z的虚部是． 故选：B． 3. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量模的计算公式及向量垂直的条件可得结果. 【详解】因为，所以， 两式相减得，即． 又，所以，联立，解得,即． 故选：C． 4. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据对称性求出的周期，再利用奇函数的性质以及周期性即可求得. 【详解】因为奇函数，则， 又，则， 于是，即4是函数的一个周期， 而，则，， 则， 又当时，，则， 所以． 故选：A 5. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件可得，计算的值，结合二倍角公式可得结果. 【详解】∵，∴，即， ∴， ∵，∴，∴，故， ∵，∴， ∴. 故选：C. 6. 记的内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合二倍角公式求出，再利用同角三角函数关系求出，最后通过二倍角的正切公式计算. 【详解】由正弦定理，结合，得， 因为，所以， 代入上式得，化简得， ， 因为，所以， ， . 故选：D. 7. 已知函数，，若曲线上存在点P，使得点P关于y轴的对称点在曲线上，则a的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，建立方程并构造函数，利用导数求出函数的最大值即可. 【详解】函数，的定义域均为， 设，则点关于轴的对称点为， 依题意，方程组有解，即方程组有解， 因此方程有解， 令函数，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 则，由有解得， 所以的最大值为. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，已知和都是偶函数，且，则的值为（ ） A. 1 B. －1 C. 2025 D. －2025 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件确定的对称中心及对称轴，进而确定函数周期，即可求解. 【详解】因为为偶函数，所以， 即， 所以关于直线对称，求导得 关于点对称， 即， 又为偶函数，则，所以关于直线对称， 推导周期：及， 得， 得， 得， 得函数的周期为4， 由，得， 得， 共项和，因为， 所以， 故选：B. 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，满分18分. 9. 已知实数m，n满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用在上单调递减，可判断选项A；利用在区间上单调递减，可判断选项B；由在区间上单调递减，可判断选项D；由 得到，利用的单调性得到，利用不等式的性质可判断选项C. 故选:ABD. 【详解】因为在上单调递减，且，所以，故A正确； 因为在区间上单调递减，所以，故B正确； 因为在区间上单调递减，所以，故D正确； 因为，所以，所以， 所以，所以，即，故C错误. 故选:ABD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 在上单调递增 C. 关于的方程有2个解 D. 若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】对 A，求出函数定义域，验证定义域关于原点对称，再判断与关系，依据定义判断函数奇偶性；对 B，在区间用作差法比较的大小得到该区间单调性，再依据奇函数性质判断区间单调性；对C，将分区间去绝对值求解，利用是偶函数的对称性判断方程解的情况；对 D，把原函数写成分段形式，转化不等式，结合整数解仅有 1 个的条件，结合图象求解参数范围. 【详解】对于A：函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，所以为奇函数，A正确； 对于B：任取，， ，，，所以，， 即函数在单调递减， 又因为函数为奇函数，所以在上单调递减，B错误； 对于C：时，， 当时，，令，解得， 当时，，令，无解； 令，则，所以函数为偶函数， 由对称性可知在上方程有解，C正确； 对于D：， 关于的不等式可得， 结合图象可知，当时，不等式有无数个整数解； 当时，在区间内无整数解， 因此只需在内包含一个即可. 因为， 因此若不等式恰好有1个整数解，只需， 解得，D错误． 11. 如图，若正方体的棱长为2，点是正方体在侧面上的一个动点（含边界），点是棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面截该正方体的截面面积为 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 若为的中点，则三棱锥的体积为1 D. 与平面所成角的正弦值的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项A，先确定截面，然后计算面积即可；对于选项B，首先确定点的轨迹，然后利用弧长公式进行计算即可；对于选项C，首先确定点到底面的距离，然后根据三棱锥体积公式求出三棱锥的体积即可；对于选项D，找出与平面所成的角的最小值和最大值，然后根据边角关系求出其正弦值即可. 【详解】对于选项A： 取线段的中点，连接，那么平面截该正方体的截面为平面. 由于，所以面积为，所以A错误； 对于选项B： 因为平面，平面， 所以，所以根据勾股定理得， 所以点的轨迹是以为圆心以2为半径的弧. 如图所示，因为，所以，所以. 同理.所以弧长角度为，所以轨迹长度为，B正确； 对于选项C： 取的中点，连接，则. 取的中点，连接，过点作. 因为，所以，所以. 因为平面，平面，所以. 又，所以. 又，且平面.所以平面. 所以点到平面的距离为点到平面的距离. 设平行直线之间的垂直距离为，则， 所以，所以点到平面的距离为. 因为平面，平面，所以. 所以. 所以三棱锥的体积为，所以C正确； 对于选项D： 作，连接. 因为平面，平面， 所以，因为，平面. 所以平面.所以与平面所成的角的正弦值为. 在中，，解得. 当点位于时，平面，此时与平面所成的角的正弦值最小为0； 当店位于处时，此时与平面所成的角的正弦值最大，最大值小于，达不到. 所以D错误. 故选：BC. 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知函数的定义域是，则函数的定义域为______． 【答案】. 【解析】 【分析】由条件求出函数解析式中的范围，列出使得有意义的不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数的定义域是， 所以，故， 因为有意义， 所以，所以， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13. 已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可知使得成立，即，结合函数的单调性求出最值即可． 【详解】因为且定义域为，所以， 又在上存在单调递减区间，等价于使得成立， 即不等式在上有解，即 设，，则 ， 令，解得（负根不符合定义域，舍去）． 所以函数在 单调递减，在单调递增，经计算， ， 所以，所以． 14. 已知，关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先作出函数的图象，结合图象可把问题转化为在上有两个不同实根，，数形结合即可求得答案． 【详解】作出函数图象如图所示： 令，则可化为， 若有6个根， 结合图象可知方程在上有2个不相等的实根， 不妨设，， 则，解得， 故m的取值范围为. 四、解答题：共5大题，满分77分. 15. 已知，． （1）求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系结合两角差的正弦公式可求得的值； （2）利用二倍角的余弦公式可求得的值，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求出的值，结合角的取值范围可求得结果. 【小问1详解】 解：因为，， 又，所以， 所以. 【小问2详解】 解：因为， ， 又因为，所以， 由（1）知，， 所以． 因为，，则，所以． 16. 已知. （1）求的单调区间； （2）函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增. （2）不存在，理由： 由题意得，斜率 ， , 由得， ，即，即 令，不妨设，则， 记 所以，所以在上是增函数，所以， 所以方程无解，则满足条件的两点不存在. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，根据导函数的正负来确定函数的单调区间； （2）求出直线的斜率，再求出，从而得到的等式，再进行换元和求导，即可解出答案. 【小问1详解】 由题可得 因为，所以， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. 综上，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 17. 已知四棱锥的底面为菱形，平面，，是的中点，点在棱上. （1）证明：； （2）若，，且直线与底面所成的角为，求二面角的余弦值. 【答案】（1）由四边形为菱形，， 得为正三角形，因为为的中点， 所以，又，因此， 因为平面，平面，所以， 而平面，平面且， 所以平面，又平面， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，根据线面垂直判定定理证明平面，由此证明； （2）建立坐标系，结合条件证明为线段的中点，再求平面，平面的法向量，结合向量夹角公式即可求结论. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系： 由，结合菱形性质得，，，， 因为在上，故可设，则， 取底面的法向量为， 因为直线与底面所成角为，则线面角的正弦值等于向量与向量的夹角的余弦值的绝对值，  所以， ​ 代入，，可得， 所以， 化简解得​，即为中点，点的坐标为， 设平面的法向量为， 由，可得， 令，可得，， 所以为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 由，可得， 令，可得，， 所以为平面的一个法向量， 设二面角的平面角为， 因此 ， 观察图象可得二面角为锐二面角，故， 所以二面角的余弦值为. 18. 已知椭圆C：的离心率为，焦距为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线l：（）与椭圆C相交于A，B两点，且． ①求证：的面积为定值； ②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）① 证明：由消去y，化简得：， 设，，则， ，， 故， 因为，所以， 所以， 坐标原点到直线l的距离为， 所以的面积为， 故的面积为定值． ②不存在，理由如下： 假设存在椭圆上的点P，使得OAPB为平行四边形，则， 设，则， 又因为，即，得， 与矛盾， 故椭圆上不存在点P，使得OAPB为平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆焦距和离心率的概念求解即可； （2）联立椭圆方程与直线方程消去y后，利用韦达定理和得出，表示出的面积并化简可证明的面积为定值；假设存在椭圆上的点P，使得OAPB为平行四边形，借助表示出点P坐标代入椭圆方程可得出，与矛盾，从而得出结论． 【小问1详解】 由题意知，焦距，故，又，故， 所以，故椭圆C的方程为． 【小问2详解】 ①略 ②略 19. 已知函数的定义域是D．对于，定义集合． （1）若，求； （2）对于集合A，若对任意都有，则称A是对称集．若D是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； （3）若函数的定义域为，对任意,．试求b的取值范围，使得对于任意，都有． 【答案】（1） （2）证明： 必要性：因为是偶函数，所以任意，， 对任意，若，即，则， 所以，所以对任意，是对称集. 充分性：若对任意，是对称集， 因为对任意，，所以，即①， 又，所以，即②. 由①②得，对任意，， 所以函数是偶函数. 综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证. （3） 【解析】 【分析】（1）根据的定义，代入数值，解不等式； （2）分必要性和充分性，结合偶函数的定义，以及“对称集”的定义，即可证明； （3）由定义可知，，所以在上单调不减，利用导数分析函数的单调性，求的取值范围. 【小问1详解】 由定义得， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为对于任意，都有， 所以若，则，即若，则， 所以，所以在上单调不减， 所以恒成立. 所以. 当时，，等号仅当时成立，所以单调递增， 而，所以对任意，； 当时，若满足， 即时，，而， 因此当时，，不合题意 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高三第一学期9月质量检测 数学试题 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，满分40分. 1. 已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2. 已知复数，则z的虚部为（　　） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 记的内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，若曲线上存在点P，使得点P关于y轴的对称点在曲线上，则a的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，已知和都是偶函数，且，则的值为（ ） A. 1 B. －1 C. 2025 D. －2025 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，满分18分. 9. 已知实数m，n满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 在上单调递增 C. 关于的方程有2个解 D. 若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的范围是 11. 如图，若正方体的棱长为2，点是正方体在侧面上的一个动点（含边界），点是棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面截该正方体的截面面积为 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 若为的中点，则三棱锥的体积为1 D. 与平面所成角的正弦值的取值范围为 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知函数的定义域是，则函数的定义域为______． 13. 已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为__________． 14. 已知，关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 四、解答题：共5大题，满分77分. 15. 已知，． （1）求的值； （2）若，，求的值． 16. 已知. （1）求的单调区间； （2）函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由. 17. 已知四棱锥的底面为菱形，平面，，是的中点，点在棱上. （1）证明：； （2）若，，且直线与底面所成的角为，求二面角的余弦值. 18. 已知椭圆C：的离心率为，焦距为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线l：（）与椭圆C相交于A，B两点，且． ①求证：的面积为定值； ②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由． 19. 已知函数的定义域是D．对于，定义集合． （1）若，求； （2）对于集合A，若对任意都有，则称A是对称集．若D是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； （3）若函数的定义域为，对任意,．试求b的取值范围，使得对于任意，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $