3.1.1 椭圆及其标准方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三章圆锥曲线的方程 3.1.1 椭圆及其标准方程 32100 1.理解椭圆的定义，会判断什么情况下点的轨迹是椭圆. 2.能根据定义推导椭圆的标准方程，并且能根据椭圆的标准方程判断其焦点在哪条轴. 3.能根据已知条件求椭圆的标准方程及轨迹方程. 学习目标 32100 生活中的椭圆： 新课导入 32100 椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么，椭圆到底有怎样的几何特征? 我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础? 椭圆 双曲线 抛物线 32100 动手试一试： 取一条定长的细绳，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1、F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是什么图形？ 新知讲解 32100 把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数. 思考1：移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？ 32100 6 我们把平面内与两个定点，的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 注：1. 是椭圆上任意一点，且 常数； 2. 将常数记为，焦距记为，且； F1 F2 不存在 椭圆的定义 32100 7 1：判断正误. (1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的轨迹叫做椭圆.( ) (2)到两定点和的距离之和为3的点的轨迹为椭圆.( ) 2：下列说法正确的的是( ) A.已知，，到两点，的距离之和大于8的点的轨迹是椭圆 B.已知，，到两点，的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C.到点，距离之和等于点到，距离之和的点的轨迹是椭圆 D.到点，距离相等的点的轨迹是椭圆 × × 巩固练习 32100 8 ①建系：对称性，以两定点所在直线为x轴，线段F1F2中垂线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy x O y M F1 F2 y x o F 2 F 1 M 思考2：如何求椭圆的方程？ F1 F2 M 新知讲解 32100 ②设点：设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c>0),M与F1和F2的距离的和等于正常数2a (2a>2c) ，则F1，F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) . ③动点的限制条件： ④代入点的坐标：由两点间的距离公式可得: x O y M F1 F2 (x,y) P (-c,0) (c,0) 32100 因为，即，所以 将上式两边同时除以，得： 在图中可得：， 可得：，令 所以椭圆方程化简为： ⑤化简： 则 则 整理得 两边平方得 整理得 x O y M F1 F2 (x,y) P (-c,0) (c,0) 32100 ①焦点在x轴上 y x o F 2 F 1 M ②焦点在y轴上 32100 定义 图形 方程 焦点坐标 (c，0)、(c，0) (0，c)、(0，c) a、b、c之间的 关系 椭 圆 的 标 准 方 程 1 2 y o F F M x 1 o F y x 2 F M 归纳 32100 焦点在x轴上： 思考3：观察右图，你能从中找出表示a，c，b的线段吗？ 椭圆的特征三角形 32100 3.下列方程哪些表示椭圆？ 若是,则判定其焦点在何轴？并指明 . 判断焦点在哪轴的方法：x2，y2的分母哪个大，焦点就在哪个轴上. （1）焦点在轴上，=100, =36 (2)焦点在轴上，=100, =36 (4)焦点在轴上，=4, = 巩固练习 32100 4.已知椭圆的方程为：,则a=____，b=___,c=____，焦点坐标为： ，焦距等于_____; 2 1 (0,-1)、(0,1) 2 巩固练习 32100 例1 （小组合作）求满足下列条件的椭圆的标准方程，说说你的思路. (1)两焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，且椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10； (2)两焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，且椭圆经过点(－，)； (3)经过P1(，1)，P2(－，－)两点. 解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)． 又c＝4，2a＝10，则a＝5，b2＝a2－c2＝9. 于是所求椭圆的标准方程为＝1. 例题讲解 32100 (2)两焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，且椭圆经过点(－，)； (3)经过P1(，1)，P2(－，－)两点. (2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)． 由椭圆的定义知： 2a＝ ＋ ＝2， 即a＝， 又c＝2， ∵b2＝a2－c2＝6， ∴所求椭圆的标准方程为＝1. 32100 (3)经过P1(，1)，P2(－，－)两点. (3)方法一　①当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＝1(a>b>0)． 由已知，得⇒ 即所求椭圆的标准方程是＝1. ②当焦点在y轴上时，设椭圆方程为＝1(a>b>0)， 与a>b>0矛盾，此种情况不存在． 综上，所求椭圆的标准方程是＝1. 32100 (3)经过P1(，1)，P2(－，－)两点. 方法二　设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)， 故⇒ 即所求椭圆的标准方程是＝1. 32100 (1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程. (2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可.即“先定位，后定量”. (3)当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)．因为它包括焦点在x轴上(m<n)或焦点在y轴上(m>n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算． 求椭圆标准方程的方法： 归纳 32100 例2 在圆x2+y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？ (当点P过圆与x轴的交点时，规定M，P重合) 解：设M(x，y)，P(x0，y0)，则D(x0，0)， ∵M是PD的中点，∴x＝x0，y＝， ∵P(x0，y0)在圆x2+y2＝4上，∴x02+y02＝4①， 将x0＝x，y0＝2y代入①得x2+4y2＝4， 即＝1， ∴点M的轨迹是椭圆. 将圆“压缩”可得到椭圆 将圆“拉伸”可得到椭圆 32100 相关点法求轨迹问题步骤： 1.设所求动点P（x,y），已知动点 ， 的坐标满足关系f（x,y）=0； 2.找出P与 坐标之间的关系，并表示为 ； 3.将（2）中的关系式代入f（x,y），即得所求动点P（x,y）的轨迹方程. 归纳 32100 解：设点M的坐标为(x,y),因为点A的坐标是(-5,0), 例3如图,设点A、B的坐标分别为 ,直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是 ，求点M的轨迹方程. 所以直线AM的斜率为 ， 同理，直线BM的斜率 由已知，有 化简，得点M的轨迹方程为 点M的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点的椭圆. 32100 5.设O为坐标原点，动点M在椭圆 上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足 ．求点P的轨迹方程． 设 ， ，由题意可得 ， ， 设 ，由点P满足 ,可得 ， ， 可得 ， ，即有 ， ， 代入椭圆方程 ，可得 ， 即有点P的轨迹方程为圆 . 巩固练习 32100 针对本节课关键词“椭圆”谈谈你的收获： (1)椭圆的定义是什么？如何表示椭圆的标准方程？ (2)求椭圆的标准方程方法有哪些？ (3)根据已知，如何求椭圆的轨迹方程？ 课堂小结 32100 $