第一章 勾股定理 能力提升自测卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

第一章 勾股定理 能力提升自测卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．6，8，10 B．0.3，0.4，0.5 C．1，2，3 D． 【答案】A 【分析】利用勾股数需为正整数的特征先排除部分选项，再验证剩余选项的平方和关系． 【详解】解：∵0.3，0.4，0.5与均不是正整数， ∴B，D选项不符合要求； ∵， ∴C选项不符合要求； ∵6，8，10均为正整数，且， ∴A选项符合要求． 2．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（     ） A．2，3，4 B．3，3，6 C．6，8，10 D．5，7，9 【答案】C 【分析】验证每组数中两较短边的平方和是否等于最长边的平方，判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A选项，∵，∴不能构成直角三角形； B选项，∵，∴不能构成三角形，∴不能构成直角三角形； C选项，∵，∴能构成直角三角形； D选项，∵，∴不能构成直角三角形． 3．如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，设与交于点，根据勾股定理得到，，，，则，整理得，据此求解即可． 【详解】解：设与交于点， ∵， ∴，，，， ∴， 整理得， 故选：D． 4．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理即可判断求解． 【详解】解：由网格得，，，， ∵， ∴是直角三角形． 5．如图，小巷宽2米，左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在小巷中间，梯子底端恰好抵在右墙角，顶端距离地面米．为方便路人行走，现将梯子扶起靠在左墙上，使梯子顶端向上移米，则梯子的底端向左移了（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理解决实际问题是解题的关键． 如图：由题意可得：米，米，米，则米，，运用勾股定理可得，进而求得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：由题意可得：米，米，米，则米， 在中，， 在中，， 所以米，即梯子的底端向左移了米． 故选C． 6．如图，将一根长的吸管放进一个底面直径为，高为的圆柱形空水杯中，则吸管在杯口外的长度不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算吸管在杯内长度的最小值和最大值，从而确定杯外长度的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设吸管在杯内的长度为，在杯口外的长度为，则， 当吸管竖直放置时，取最小值，此时取最大值； 当吸管倾斜放置，底端与杯底边缘接触，顶端与杯口相对边缘接触时，取最大值，由勾股定理得，此时取最小值； ∴， ∴吸管在杯口外的长度不可能是． 7．如图，以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为，，，若，，则的值为（     ） A．4 B．3 C．22 D．不能确定 【答案】A 【分析】先由正方形的面积公式将，，，分别用含、、的式子表示，再根据勾股定理得到、、之间的等式，再转化为，，之间的等式，代入数值，即可求出的值． 【详解】解：∵以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心．如图所示，在底面周长为，高为的柱子上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在柱子上的巨龙长至少为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得，柱身高为米，底面周长为米， ∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕圈到达柱顶正上方的点， ∴，，，，，， ∴， ∴（米）， ∴雕刻在柱子上的巨龙长至少为米． 9．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． 设的长为，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意得， ∵ ∴． 设的长为， 则， ∴． 在中，由勾股定理， 得， 即， 解得：． 故选：B． 10．把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若，，则的长度是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】由折叠可知，，，设，则，在中，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：四边形为长方形，，， ，， 根据折叠的性质可得，，，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在中，，若两边长为5和13，则第三边的长为 _____． 【答案】12或 【分析】根据直角三角形的性质，分为13为斜边和13为直角边两种情况，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意，当13为斜边时，第三边为， 当13为直角边时，第三边为， 故第三边的长为12或． 12．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为100元，则购买地毯需花费_______元． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用. 先利用勾股定理求出台阶最上面和最下面的水平距离，再求出需要铺设的地毯面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得，台阶最上面和最下面的水平距离为， ∴购买地毯需花费（元）， 故答案为：． 13．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了赵爽弦图，勾股定理，完全平方公式，三角形面积计算，由题意可得，再由已知条件可得，即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为， 故答案为：． 14．如图，，，，，，则这个图形的面积为______． 【答案】24 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的运用，三角形面积的求法．关键是掌握勾股定理与逆定理．连接，在中，，，可求；在中，由勾股定理的逆定理可证为直角三角形，利用两个直角三角形的面积差求图形的面积． 【详解】解：连接，在中，， ， 在中， ， 为直角三角形； 图形面积为： 故答案为：． 15．如图，由九个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是__________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求得，再求得，进而可利用等面积法求中边上的高． 【详解】解：∵由九个边长为1的小正方形构成一个大正方形， ∴， ∵， 设中边上的高是， ∴， 即， 解得， ∴中边上的高是． 16．如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则______． 【答案】231 【分析】该题考查了勾股定理，在 、、、中，由勾股定理得出，再代入求解即可． 【详解】证明：在 中，由勾股定理，得①， 在 中，由勾股定理，得②， 得． 在 中，由勾股定理，得③， 在 中，由勾股定理，得④， 得， 所以， ∵，， ∴． 故答案为：231． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．某小区的两个喷泉A，B的位置如图所示，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为．求供水点M到喷泉A的距离； 【答案】 【分析】利用勾股定理结合题目条件求解即可． 【详解】解：的长是点到的距离， ， ， 在中，， ； ， ， 在中，， ， 答：供水点到喷泉的距离为． 18．如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理进行解答即可； （2）根据勾股定理的逆定理求出．再根据即可求出答案． 【详解】（1）解：在中，，，． ． （2）解：在中，，，， ，． ． ． ． 19．项目化学习 项目主题：办公区绿化规划． 项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候．某占地面积为的办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化． 设计方案：如图是该办公区的规划示意图．已知，，，，． 问题解决： (1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道，则这条直道的长度为________m； (2)若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的，请通过计算判断上述设计方案是否符合规划要求． 【答案】(1)15 (2)设计方案不符合规划要求 【分析】（1）利用勾股定理解答即可； （2）利用勾股定理逆定理可得，可求出绿化区的面积，即可求解． 【详解】（1）解：因为，，， 所以． 答：这条直道的长度为． （2）解：因为，，， 所以． 所以． 所以绿化区的面积为． ． 因为， 所以设计方案不符合规划要求． 20．如图，某校教学楼建在一条公路旁，有一辆货车沿方向由点向点行驶．已知与A、B的距离分别为和，，以货车为圆心的周围以内为受噪声影响的区域． (1)求证：； (2)教学楼会受噪声影响吗？请你说明理由． 【答案】(1)证明：依题得：，， ， 即， ； (2)解：教学楼会受噪声影响． 作交于点， 中，， ， 以货车为圆心的周围以内为受影响区域，故教学楼会受噪声影响． 【分析】（1）结合勾股定理逆定理即可得证； （2）作交于点，结合直角三角形面积计算公式求出的长，跟受影响区域的距离作比较即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 21．如图，在长方形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，求的长． 【答案】 【分析】连接交于点，由折叠可知：，，可得垂直平分，再证，得到，在中，利用等面积法求出的长，最后在中，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图，连接交于点． 将沿折叠得到， ，，垂直平分． 为的中点， ， ． ， ， ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ． 在中，由勾股定理，得． 【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，平行线的判定和性质等内容，熟练掌握翻折变换和勾股定理的应用是解题的关键． 22．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，某台风中心沿直线从左向右移动，已知点为某海港，点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)当地气象部门在通知中说海港会受到台风影响，请用所学数学知识说明缘由； (3)若台风的速度为，则台风持续影响该海港的时间有多长？ 【答案】(1) 证明：∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴； (2) 解：海港C会受到台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作于D点， ∴， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港C会受到台风影响； (3)台风持续影响该海港 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）得， 如图所示，当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形， ， ∴， ∵台风的速度为， ∴， ∴台风影响该海港持续的时间有． 23．【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形的面积可表示为：______，也可以表示为：______，由此可以推出； (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程． 【答案】(1)； (2)新路比原路少千米 (3)设，则， 在中，， 在中，， ，即， 解得， ． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，根据勾股定理列方程，求解即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：梯形的面积为，也可以表示为， ，即； （2）解：设， ， 在中，，即， 解得， 即（千米）， （千米）， 答：新路比原路少千米； （3）解：略. 24．如图，某海军正在进行军事演习，两艘军舰同时从港口O出发，一艘军舰以32海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘军舰以24海里/时的航速沿正北方向航行，10小时后两艘军舰分别到达点，此时要求两军舰沿航线相向而行． (1)求两点之间的距离； (2)若从港口派一艘补给舰在航线上接应，求该轮船行驶的最短距离． 【答案】(1)400海里 (2)该轮船行驶的最短距离为192海里 【分析】本题考查了勾股定理的应用，垂线段最短，解题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． （1）根据题意知，，根据“路程速度时间”分别得出，再根据勾股定理得，代入数据计算即可； （2）过点作于点，根据垂线段最短，当该轮船的航线与重合时，的长即为该轮船行驶的最短距离，利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以32海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以24海里/时的航速沿正北方向航行，10小时后两艘轮船分别到达点 ， ， 答：两点之间的距离为400海里． （2）如图，过点作于点， 当该轮船的航线与重合时，的长即为该轮船行驶的最短距离， ， ， 答：该轮船行驶的最短距离为192海里． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 勾股定理 能力提升自测卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．6，8，10 B．0.3，0.4，0.5 C．1，2，3 D． 2．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（     ） A．2，3，4 B．3，3，6 C．6，8，10 D．5，7，9 3．如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 5．如图，小巷宽2米，左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在小巷中间，梯子底端恰好抵在右墙角，顶端距离地面米．为方便路人行走，现将梯子扶起靠在左墙上，使梯子顶端向上移米，则梯子的底端向左移了（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．如图，将一根长的吸管放进一个底面直径为，高为的圆柱形空水杯中，则吸管在杯口外的长度不可能是（     ） A． B． C． D． 7．如图，以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为，，，若，，则的值为（     ） A．4 B．3 C．22 D．不能确定 8．中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心．如图所示，在底面周长为，高为的柱子上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在柱子上的巨龙长至少为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 9．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　） A． B． C． D． 10．把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若，，则的长度是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在中，，若两边长为5和13，则第三边的长为 _____． 12．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为100元，则购买地毯需花费_______元． 13．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为______． 14．如图，，，，，，则这个图形的面积为______． 15．如图，由九个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是__________． 16．如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则______． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．某小区的两个喷泉A，B的位置如图所示，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为．求供水点M到喷泉A的距离； 18．如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 19．项目化学习 项目主题：办公区绿化规划． 项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候．某占地面积为的办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化． 设计方案：如图是该办公区的规划示意图．已知，，，，． 问题解决： (1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道，则这条直道的长度为________m； (2)若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的，请通过计算判断上述设计方案是否符合规划要求． 20．如图，某校教学楼建在一条公路旁，有一辆货车沿方向由点向点行驶．已知与A、B的距离分别为和，，以货车为圆心的周围以内为受噪声影响的区域． (1)求证：； (2)教学楼会受噪声影响吗？请你说明理由． 21．如图，在长方形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，求的长． 22．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，某台风中心沿直线从左向右移动，已知点为某海港，点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)当地气象部门在通知中说海港会受到台风影响，请用所学数学知识说明缘由； (3)若台风的速度为，则台风持续影响该海港的时间有多长？ 23．【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形的面积可表示为：______，也可以表示为：______，由此可以推出； (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程． 24．如图，某海军正在进行军事演习，两艘军舰同时从港口O出发，一艘军舰以32海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘军舰以24海里/时的航速沿正北方向航行，10小时后两艘军舰分别到达点，此时要求两军舰沿航线相向而行． (1)求两点之间的距离； (2)若从港口派一艘补给舰在航线上接应，求该轮船行驶的最短距离． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $