2026-2027学年北师大版八年级上册勾股定理单元测试卷

2026-2027学年北师大版八年级上册勾股定理单元测试卷 一．选择题（共8小题） 1．如图，用面积分别为1，4和S的三个正方形围成Rt△ABC（∠ABC＝90°），则S的值为（　　） A．3 B．5 C．15 D．17 2．如图，一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处，如果圆柱的高为8cm，圆柱的半径为 cm，那么最短路径AB的长为（        ） A．8cm B．6cm C．10πcm D．10cm 3．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝15．则图中阴影部分的面积为（　　） A．5 B． C． D．10 4．如图（1），这个图案是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空部分是一个小正方形．在图（1）中连接四条线段得到如图（2）的图案，若图（2）中两个阴影三角形的面积相等，则大正方形与小正方形的边长之比是（　　） A． B． C．5：2 D． 5．由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成如图所示边长为10的大正方形，连接AE，若小正方形EFGH的面积为4，则△ABE的面积为（　　） A．20 B．24 C．28 D．32 6．下列各组数中，是“勾股数”的一组是（　　） A．2，3，4 B．1.2，1.6，2.0 C．5，12，13 D．1，， 7．周末，小丽和小华来到学校长方形操场玩耍，两人从操场的同一个拐角出发分别沿着两条互相垂直的跑道行走，两人的速度分别为1m/s和0.75m/s，则8s之后两人相距（　　） A．6m B．8m C．10m D．12m 8．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，“折竹抵地“问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，永折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（　　） A．3 B．3.5 C．4.2 D．4.9 二．填空题（共9小题） 9．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S1+S2﹣S3＝12，则图中阴影部分的面积为_____ ． 10．我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），则：xy＝___________________ ；（x+y）2＝_______ ． 11．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为_____ ． 12．直角三角形两条边长分别是6和8，则这个直角三角形的第三边长 ___________________ ． 13．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的面积分别为7、16、3，则正方形D的面积为_____ ． 14．如图，将两个完全相同的直角三角形纸板叠放在一起，∠A＝∠F＝30°．若，则CE的长度为_____ ． 15．如图，在“4×4”的正方形网格中，∠1+∠2的度数为 ________ ． 16．在△ABC中，，BC＝3，AC＝2，则∠ACB的度数为________ ． 17．如图是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个三级台阶两个相对的顶点，则沿台阶面由A到B的最短路程是 _________ ． 三．解答题（共4小题） 18．“赵爽弦图”由三国时期数学家赵爽为注解《周髀算经》所创，以四个全等直角三角形拼构，巧妙用面积关系证明勾股定理，是中国古代数学的重要成就．现用四个图1中的直角三角形拼成如图2所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（a＞b），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： （1）请用图2验证勾股定理； （2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3， ①求ab的值； ②求（a+b）2的值． 19．为了防止电线杆倾斜、倒伏，一般会用钢丝绳将其固定．如图，钢丝绳一端固定在电线杆的点A处，另一端固定在地面上的点B处，电线杆AC垂直于地面BC．已知AC＝8m，BC＝6m（钢丝绳不可拉伸，始终处于紧绷状态）． （1）求钢丝绳AB的长度． （2）为了提升安全性能，有关部门将钢丝绳与地面的固定点由点B调整为点D（点D在CB的延长线上），点A的位置不变．若B，D两点的距离为9m，求钢丝绳增加的长度． 20．观察下列等式．第1个等式：（32−1）2+62＝102；第2个等式：（42−1）2+82＝172；第3个等式：（52−1）2+102＝262；第4个等式：（62−1）2+122＝372．（1）请用含n（n为正整数，且n≥3）的等式表示上面的规律，并证明其正确性．（2）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由． 21．为持续提升居民生活环境品质，打造“颜值”与“内涵”并重的生态宜居环境，某市积极开展“市容环境卫生整治行动•植绿种树”活动．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地ABCD（如图）进行绿化，经测量∠ABC＝90°，AB＝7米，BC＝24米，CD＝20米，AD＝15米，求空地的面积． 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．如图，用面积分别为1，4和S的三个正方形围成Rt△ABC（∠ABC＝90°），则S的值为（　　） A．3 B．5 C．15 D．17 【解答】解：用面积分别为1，4和S的三个正方形围成Rt△ABC（∠ABC＝90°），设面积为4、1、S的正方形的边长分别为a、b、c． ∴a2＝4，b2＝1，c2＝S． ∵△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°， ∴AB2+BC2＝AC2． ∵AB为面积是4的正方形的边长，BC为面积是1的正方形的边长，AC为面积是S的正方形的边长， ∴AB2＝4；BC2＝1；AC2＝S． ∴S＝4+1＝5． 故选：B． 2．如图，一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处，如果圆柱的高为8cm，圆柱的半径为 cm，那么最短路径AB的长为（        ） A．8cm B．6cm C．10πcm D．10cm 【解答】解： 𝑟=cm 根据圆的周长公式𝐶=2𝜋𝑟，可得底面周长为： 𝐶=2𝜋×=12(cm) 水平距离=𝐶=×12=6(cm)· 𝐴𝐵²=6²+8²=36+64=100 AB=10(𝑐𝑚) 故选：D． 3．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝15．则图中阴影部分的面积为（　　） A．5 B． C． D．10 【解答】解：∵在∠A＝90°， ∴AB2+AC2＝BC2． ∵，，， ∴S1+S2＝S3． 又∵S3+S2﹣S1＝15， ∴将S3＝S1+S2代入得：（S1+S2）+S2﹣S1＝15． ∴2S2＝15， 解得，． ∵阴影部分面积等于S2面积的一半， ∴阴影部分面积． 故选：C． 4．如图（1），这个图案是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空部分是一个小正方形．在图（1）中连接四条线段得到如图（2）的图案，若图（2）中两个阴影三角形的面积相等，则大正方形与小正方形的边长之比是（　　） A． B． C．5：2 D． 【解答】解：如图，由题意得△ABC≌△CDE， ∴AC＝CE，BC＝DE，AB＝CD，∠ACB＝∠CED， ∵四边形BDFG是正方形， ∴BD＝DF， ∴BC﹣BD＝DE﹣DF，即DC＝FE， ∴△ACD≌△CEF（SAS）， ∵S△ACD＝S△CEF， ∵S△ABD＝S△CEF， ∴S△ABD＝S△ACD， ∴BD＝CD， ∴AB＝BD＝CD， 设AB＝BD＝CD＝a，则BC＝2a， ∵∠ABC＝90°， ∴， ∴大正方形与小正方形的边长之比为AC， 故选：D． 5．由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成如图所示边长为10的大正方形，连接AE，若小正方形EFGH的面积为4，则△ABE的面积为（　　） A．20 B．24 C．28 D．32 【解答】解：设每个直角三角形的两条直角边分别为a和b，其中a＞b＞0， ∵小正方形EFGH的面积为4， ∴a﹣b＝2， ∴b＝a﹣2， ∵四个直角三角形全等，大正方形的边长为10， ∴AH＝BE＝a，大正方形边长a2+b2＝100， 将b＝a﹣2代入a2+b2＝100，得a2+（a﹣2）2＝100， 解得：a＝8或a＝﹣6， ∴AH＝BE＝8， ∴S△ABE， 故选：D． 6．下列各组数中，是“勾股数”的一组是（　　） A．2，3，4 B．1.2，1.6，2.0 C．5，12，13 D．1，， 【解答】逐一分析各选项：A选项：22+32＝4+9＝13≠42＝16，不符合勾股定理，不是勾股数；B选项：1.2、1.6、2.0均为小数，不满足“正整数”的要求，不是勾股数；C选项：52+122＝25+144＝169＝132，且三个数均为正整数，符合勾股数定义；D选项：、为无理数，不满足正整数要求，不是勾股数．故选C． 7．周末，小丽和小华来到学校长方形操场玩耍，两人从操场的同一个拐角出发分别沿着两条互相垂直的跑道行走，两人的速度分别为1m/s和0.75m/s，则8s之后两人相距（　　） A．6m B．8m C．10m D．12m 【解答】先计算两人8秒内行走的路程：小丽行走的路程：，小华行走的路程：．两人行走路线互相垂直，因此两人的距离为直角三角形的斜边，根据勾股定理可得：．故选C． 8．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，“折竹抵地“问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，永折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（　　） A．3 B．3.5 C．4.2 D．4.9 【解答】解：设折断处离地面的高度OA是x尺，则折断处离竹梢的长度AB是（10﹣x）尺， 由勾股定理可得：OA2+OB2＝AB2， 即：x2+42＝（10﹣x）2， 解得：x＝4.2， 故折断处离地面的高度OA是4.2尺． 故选：C． 二．填空题（共9小题） 9．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S1+S2﹣S3＝12，则图中阴影部分的面积为　3　 ． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°， ∴AB2+AC2＝BC2， 即S1+S3＝S2， ∵S1+S2﹣S3＝12， ∴S1+S1+S3﹣S3＝12， 即2S1＝12， 解得：S1＝6， ． 则阴影部分的面积为3． 故答案为：3． 10．我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），则：xy＝　　 ；（x+y）2＝　94　 ． 【解答】解：∵大正方形的面积为49，小正方形的面积为4， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为， 由图可知，大正方形的边长等于直角三角形的斜边长，小正方形的边长等于直角三角形较长直角边与较短直角边的差， ∴x2+y2＝72＝49，x﹣y＝2， ∴，， 故答案为：，94． 11．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为　1　 ． 【解答】解：如图，由题意可知，BC＝AF＝BG＝2，∠AFD＝∠BGD＝90°， 又∵∠ADF＝∠BDG， ∴△ADF≌△BDG（AAS）， ∴AD＝BD， 同理：AE＝CE， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEBC＝1， 故答案为：1． 12．直角三角形两条边长分别是6和8，则这个直角三角形的第三边长 　2或10　 ． 【解答】解：当8是斜边时，第三边长2； 当6和8是直角边时，第三边长10； ∴第三边的长为：2或10， 故答案为：2或10． 13．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的面积分别为7、16、3，则正方形D的面积为　6　 ． 【解答】解：如图， 由勾股定理结合正方形的面积可知，SB﹣SA＝SE＝SC+SD， 又∵A、B、C三个正方形的面积分别为7、16、3， ∴正方形D的面积＝SB﹣SA﹣SC＝16﹣7﹣3＝6， 故答案为：6． 14．如图，将两个完全相同的直角三角形纸板叠放在一起，∠A＝∠F＝30°．若，则CE的长度为　1　 ． 【解答】解：∵∠BDF＝90°，BD，∠F＝30°， ∴BF＝2BD＝2， ∵△ABC≌△FBD， ∴BC＝BD， ∴CF＝BF﹣BC， ∵∠FCE＝90°， ∴EF＝2CE， ∵CE2+CF2＝EF2， ∴CE2+3＝（2CE）2， ∴CE＝1， 故答案为：1． 15．如图，在“4×4”的正方形网格中，∠1+∠2的度数为 　45度　 ． 【解答】解：将∠2向下平移1个单位格得到AB，如图，连接AC， ∴∠2＝∠ABE， ∵AC2＝AD2+CD2＝22+12＝5，AB2＝BE2+AE2＝22+12＝5，BC2＝32+12＝10， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°， ∴∠ABE+∠1＝45°， ∴∠1+∠2＝45°， 故答案为：45°． 16．在△ABC中，，BC＝3，AC＝2，则∠ACB的度数为　90°　 ． 【解答】解：∵，BC＝3，AC＝2， ∴AB2＝BC2+AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， 故答案为：90°． 17．如图是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个三级台阶两个相对的顶点，则沿台阶面由A到B的最短路程是 　25dm ． 【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（3+2）×3dm， 则沿台阶面由A到B最短路程是此长方形的对角线长． 设沿台阶面由A到B的最短路程为xdm， 由勾股定理得：x2＝202+[（3+2）×3]2＝625， 解得x＝25． 故沿台阶面由A到B的最短路程是25dm， 故答案为：25dm． 三．解答题（共4小题） 18．“赵爽弦图”由三国时期数学家赵爽为注解《周髀算经》所创，以四个全等直角三角形拼构，巧妙用面积关系证明勾股定理，是中国古代数学的重要成就．现用四个图1中的直角三角形拼成如图2所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（a＞b），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： （1）请用图2验证勾股定理； （2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3， ①求ab的值； ②求（a+b）2的值． 【解答】解：（1）∵小正方形的面积为（a﹣b）2，大正方形的面积为c2，一个直角三角形面积为， ∴， 整理得c2＝a2+b2， 即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和． （2）①∵大正方形的面积为13， ∴c2＝13， 又∵a2+b2＝c2， ∴a2+b2＝13， ∵小正方形的面积为3， ∴（a﹣b）2＝3， 即a2﹣2ab+b2＝3， 将a2+b2＝13代入得13﹣2ab＝3， 解得2ab＝10， ∴ab＝5． ②由①知a2+b2＝13，2ab＝10， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+10＝23． 19．为了防止电线杆倾斜、倒伏，一般会用钢丝绳将其固定．如图，钢丝绳一端固定在电线杆的点A处，另一端固定在地面上的点B处，电线杆AC垂直于地面BC．已知AC＝8m，BC＝6m（钢丝绳不可拉伸，始终处于紧绷状态）． （1）求钢丝绳AB的长度． （2）为了提升安全性能，有关部门将钢丝绳与地面的固定点由点B调整为点D（点D在CB的延长线上），点A的位置不变．若B，D两点的距离为9m，求钢丝绳增加的长度． 【解答】解：（1）∵BC＝6m，AC⊥BC，AC＝8m， ∴在Rt△ABC中，， 答：钢丝绳的长度AB为10m． （2）∵BC＝6m，BD＝9m， ∴CD＝BD+BC＝15m， ∵AC⊥BC，AC＝8m， ∴在Rt△ACD中，， ∴钢丝绳增加的长度为AD﹣AB＝17﹣10＝7（m）， 答：钢丝绳增加的长度为7m． 20．观察下列等式．第1个等式：（32−1）2+62＝102；第2个等式：（42−1）2+82＝172；第3个等式：（52−1）2+102＝262；第4个等式：（62−1）2+122＝372．（1）请用含n（n为正整数，且n≥3）的等式表示上面的规律，并证明其正确性．（2）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由． 【解答】（1）规律：当n≥3且n为正整数时，（n2−1）2+（2n）2＝（n2+1）2．证明：左边＝（n2−1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2＝右边，等式成立．（2）能．已知直角边为35，结合规律式分情况讨论：情况1：n2−1＝35，则n2＝36，解得n＝6（n为正整数）．此时另一个直角边为2n＝2×6＝12，斜边为n2+1＝36+1＝37．验证：352+122＝1225+144＝1369＝372，符合勾股定理，且三个数均为正整数，为勾股数．情况2：2n＝35，则n＝17.5，不是正整数，不符合规律式要求．因此这组勾股数为12，35，37． 21．为持续提升居民生活环境品质，打造“颜值”与“内涵”并重的生态宜居环境，某市积极开展“市容环境卫生整治行动•植绿种树”活动．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地ABCD（如图）进行绿化，经测量∠ABC＝90°，AB＝7米，BC＝24米，CD＝20米，AD＝15米，求空地的面积． 【解答】解：连接AC， 在RtABC中，AB＝7m，BC＝24m，CD＝20m，AD＝15m， ∴AC25m， ∵AD2+CD2＝152+202＝625， ∴AD2+CD2＝AC2， ∴△ACD是直角三角形，且∠D＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC AD•CDAB•BC 20×157×24 ＝150+84 ＝234（m2）． 答：空地的面积是234m2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/24 8:56:08；用户：王小星；邮箱：orFmNtyEUSGLn02posxCsLY75NiI@weixin.jyeoo.com；学号：41362721 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $