3.3幂函数同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习围绕幂函数概念、图象、性质分层设计，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三级梯度，实现从单一知识点到综合能力的进阶，培养数学抽象、几何直观与推理能力，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|幂函数概念辨析、图象识别|含教材变式题（如第1题），通过选择填空（如第2、3题）强化概念理解| |综合应用|性质应用、简单综合|设置多选题（如第8题）和性质判断（如第7题），深化单调性、奇偶性认知| |拓展探究|综合探究、跨情境应用|结合实际情境（如第12题）和开放探究（如第9题），提升模型意识与推理能力|

3.3　幂函数 考点一　幂函数的概念 1.[教材P91练习第1题变式] 已知幂函数y=f(x)的图象过点,则f(9)= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B.3 C. D. 2.(多选题)下列哪些函数是幂函数 (　 ) A.y=2x2+1 B.y=x-2 C.y=(2x)3 D.y= 3.若函数y=(m2-3m+1)x3是幂函数,则实数m的值为　　　　.  考点二　幂函数的图象 4.如图,①②③④对应四个幂函数的图象,其中③对应的幂函数可能是 (　 ) A.y=x3 B.y=x2 C.y=x D.y= 5.如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为 (　 ) A.y= B.y= C.y= D.y= 6.如图是四个幂函数y=xn的部分图象,已知n取,2,-2,-这四个值,则与n=对应的曲线为　　　　.(从C1,C2,C3,C4中选择一个填写)  考点三　幂函数的性质及应用 7.下列关于幂函数f(x)=的说法不正确的是 (　 ) A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为[0,+∞) C.f(x)在(-∞,0)上单调递增 D.f(-2)>f(2a+4)的解集为(-3,-1) 8.(多选题)已知函数f(x)=xα(α∈R),则 (　 ) A.当α=-1时,f(x)是奇函数 B.当α=1时,f(x)的定义域为R C.当α=2时,f(x)的值域为[0,+∞) D.当α=3时,f(x)在R上单调递减 9.请写出一个幂函数f(x)满足以下两个条件:①定义域为(0,+∞);②f(x)为减函数,则f(x)=　　　　.  10.已知k∈Z,若幂函数y=的图象关于原点中心对称,且与x轴及y轴均无交点,则k的值为　　　　.  11.已知函数f(x)=(2m-1)xm-3是幂函数. (1)求m的值; (2)判断f(x)在区间(-∞,0)上的单调性,并用定义给出证明. 12.[2026·湖北华中科技大学附中高一期中] 在同一平面直角坐标系内,函数y=xa(a≠0)和y=ax-的图象可能是 (　 ) A B C D 13.幂函数f(x)=(m2-m-1)在区间(0,+∞)上单调递增,且a+b>0,则f(a)+f(b)的值 (　 ) A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断 14.(多选题)已知幂函数f(x)的图象经过A(0,0),B(1,1),C(-1,-1),D(4,2)中的三个点,则f(3)的值可能为 (　 ) A. B. C.3 D.9 15.已知幂函数y=f(x)的图象过点,且当x∈时,恒有f(x)<m,则实数m的取值范围为　　　　.  16.[2026·重庆复旦中学教共体高一月考] 已知幂函数f(x)=(3m2-2m)xm(m∈R)在定义域上不单调. (1)求函数f(x)的解析式; (2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明; (3)若f(a+1)+f(2a-3)<0,求实数a的取值范围. 17.已知幂函数f(x)=,且A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(0<x1<x2)是函数f(x)的图象上不同的两点,则下列结论中正确的是 (　 ) A.f(x1)>f(x2) B.x1f(x1)>x2f(x2) C.x2f(x1)>x1f(x2) D.f(x1)>f(x2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3　幂函数 1.A　[解析] ∵幂函数y=f(x)=xα的图象过点,∴f(2)=2α=,解得α=-,∴f(x)=,则f(9)==.故选A. 2.BD　[解析] 由幂函数的标准形式y=xα,对比选项可知y=x-2,与y==符合题意.故选BD. 3.3或0　[解析] 因为y=(m2-3m+1)x3是幂函数,所以m2-3m+1=1,解得m=3或m=0. [规律方法] 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即函数的解析式为一个幂的形式,且需满足:(1)指数为常数;(2)底数为自变量;(3)系数为1. 4.B　[解析] 图中③对应的函数可能是y=x2.故选B. 5.C　[解析] 对于A,y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),当x<0时,y=<0,不符合题意;对于B,当x=0时,y==0,不符合题意;对于C,y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),函数为偶函数,且y=在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增,符合题意;对于D,当x=0时,y=0,不符合题意,故选C. 6.C2　[解析] 在直线x=1的右侧,图象自下而上所对应的n依次增大.因为2>>->-2,所以与n=对应的曲线为C2. 7.C　[解析] 幂函数f(x)==的定义域为R,故选项A中说法正确;因为x2≥0,所以f(x)=≥0,所以幂函数f(x)的值域为[0,+∞),故选项B中说法正确;因为f(x)的定义域为R,且f(-x)===f(x),所以f(x)为偶函数,又>0,所以幂函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,故选项C中说法错误;因为f(x)为偶函数,所以f(-2)=f(2),由f(-2)>f(2a+4),可得|2a+4|<2,即-2<2a+4<2,解得-3<a<-1,故选项D中说法正确.故选C. 8.ABC　[解析] 对于A,当α=-1时,f(x)=,其定义域为{x|x≠0}且f(-x)==-=-f(x),函数为奇函数,故A正确;对于B,当α=1时,f(x)=x,显然f(x)的定义域为R,故B正确;对于C,当α=2时,f(x)=x2,易知其值域为[0,+∞),故C正确;对于D,当α=3时,f(x)=x3,根据相关幂函数的性质知函数在R上单调递增,故D错误.故选ABC. 9.(答案不唯一)　[解析] f(x)=的定义域为(0,+∞),且f(x)为减函数,故f(x)=(答案不唯一). 10.1或3或5　[解析] 因为函数图象与x轴、y轴均无交点,所以k2-6k<0,解得0<k<6,因为k∈Z,所以k=1,2,3,4,5.当k=1时,k2-6k=-5,幂函数y=x-5的图象关于原点中心对称,且与x轴及y轴均无交点,满足题意;当k=2时,k2-6k=-8,幂函数y=x-8的图象关于y轴对称,不关于原点对称,不满足题意;当k=3时,k2-6k=-9,幂函数y=x-9的图象关于原点中心对称,且与x轴及y轴均无交点,满足题意;当k=4时,k2-6k=-8,幂函数y=x-8的图象关于y轴对称,不关于原点对称,不满足题意;当k=5时,k2-6k=-5,幂函数y=x-5的图象关于原点中心对称,且与x轴及y轴均无交点,满足题意.综上,k的值为1或3或5. 11.解:(1)因为函数f(x)=(2m-1)xm-3为幂函数,所以2m-1=1,解得m=1. (2)由(1)可知,f(x)=x-2=,则函数f(x)=在区间(-∞,0)上单调递增,证明如下: ∀x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,有x2-x1>0,x1+x2<0, 所以f(x1)-f(x2)=-==<0,即f(x1)<f(x2), 故函数f(x)=在区间(-∞,0)上单调递增. 12.A　[解析] 对于A,由函数y=xa的图象得a>0,由函数y=ax-的图象得即a>0,故A正确;对于B,由函数y=xa的图象得a>0,由函数y=ax-的图象得即a<0,两者矛盾,故B错误;对于C,由函数y=xa的图象得a<0,由函数y=ax-的图象得即a>0,两者矛盾,故C错误;对于D,由函数y=xa的图象得a<0,由函数y=ax-的图象得无解,故D错误.故选A. 13.A　[解析] 由函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,可得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时,f(x)=x3;当m=-1时,f(x)=x-6.因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=x3,所以f(x)为奇函数.又a+b>0,所以a>-b,所以f(a)>f(-b)=-f(b),则f(a)+f(b)>0.故选A. 14.BC　[解析] 设f(x)=xa,由幂函数的性质可知f(x)的图象必定经过点B.若f(x)的图象经过A,B,C三点,由f(0)=0,f(-1)=(-1)a=-1,得a为正奇数,则f(x)的解析式可能为f(x)=x,此时f(3)=3;若f(x)的图象经过A,B,D三点,由f(4)=4a=2,得a=,则f(x)=,f(0)=0满足f(x)=,此时f(3)=;若f(x)的图象经过B,C,D三点,由f(4)=4a=2,得a=,则f(x)=,此时点C不在f(x)的图象上,即f(x)的图象不同时经过B,C,D三点.故选BC. 15.(4,+∞)　[解析] 设f(x)=xa,因为幂函数y=f(x)的图象过点,所以3a=,解得a=-2,所以f(x)=x-2.设f(x)在上的最大值为b,因为f(x)<m对x∈恒成立,所以m>b,易知f(x)在上单调递减,所以b=f=4,所以m>4,所以实数m的取值范围为(4,+∞). 16.解:(1)因为f(x)=(3m2-2m)xm是幂函数,所以3m2-2m=1,解得m=1或m=-. 若m=1,则f(x)=x在定义域R上单调递增,不符合题意; 若m=-,则f(x)==在定义域(-∞,0),(0,+∞)上单调递减, 但f(x)在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不单调,符合题意. 故函数f(x)的解析式为f(x)=. (2)函数f(x)为奇函数,证明如下: 函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, 因为f(-x)==-=-f(x),所以函数f(x)为奇函数. (3)由f(a+1)+f(2a-3)<0及f(x)为奇函数, 得f(a+1)<-f(2a-3)=f(3-2a),即(a+1<(3-2a, 又f(x)在(-∞,0)上单调递减且恒负,在(0,+∞)上单调递减且恒正, 所以或或解得<a<或a<-1. 综上可得,实数a的取值范围为(-∞,-1)∪. 17. C　[解析] f(x)=在定义域[0,+∞)上单调递增,因为0<x1<x2,所以f(x1)<f(x2),故A错误;y=xf(x)=在定义域[0,+∞)上单调递增,因为0<x1<x2,所以x1f(x1)<x2f(x2),故B错误;y==在定义域(0,+∞)上单调递减,因为0<x1<x2,所以>,即x2f(x1)>x1f(x2),故C正确;y=x2f(x)=在定义域[0,+∞)上单调递增,因为0<x1<x2,所以f(x1)<f(x2),故D错误.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $