4.4 对数函数 同步练（提升版）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本练习聚焦对数函数，通过基础理解、综合应用、拓展创新三层设计，实现从概念辨析到实际应用的知识巩固路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|对数函数图像、奇偶性、单调性等概念辨析|单选1-5结合图像识别（数学眼光）、定义判断（数学思维），夯实基础| |综合应用|函数性质综合、新定义运算、比较大小|单选6-8、多选9-11通过新定义运算（数学语言）、多性质综合判断，提升逻辑推理| |拓展创新|值域求解、反函数、实际应用与证明|填空12-14、解答15-16结合实际问题（模型意识）、单调性证明（推理能力），深化应用能力|

4.4 对数函数课后同步练习（提升版） 1．（25-26高二下·江西赣州·期末）函数的部分图象大致为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）下列函数是奇函数，且在定义域上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·四川绵阳·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量在20～80mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了2.4mg/mL，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（    ） （参考数据：，） A．12 B．11 C．10 D．9 4．（2026高三·全国·专题练习）已知命题函数且1）的图象必过定点；命题：如果函数的图象关于原点对称，那么函数的图象关于点对称．则（    ） A．“且”为真 B．“或”为假 C．真假 D．假真 5．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）是函数在区间上单调递增的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 6．（2026高三·全国·专题练习）对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·贵州毕节·期末）已知定义在R上的函数满足：当时，恒有成立，设，，，则（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知，下列不等式判断中，正确的个数为（     ） ①；②；③；④； A．0 B．1 C．2 D．3 9．（25-26高一上·湖北武汉·期末）（多选）若，则（       ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·陕西汉中·期末）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则的定义域为 B．若，则的值域为 C．的图象关于直线对称 D．若，则的单调递减区间是 11．（25-26高二下·山西运城·期末）（多选）关于函数，则下列选项正确的是（    ） A．图象关于直线对称 B．在单调递增 C．的值域为 D．有两个零点 12．（25-26高二下·福建福州·期末）若函数的值域为，则的取值范围是________. 13．（2026高一下·广东汕尾·竞赛）设函数的反函数为，则不等式的解集为__________. 14．（25-26高一下·河北唐山·开学考试）已知函数在上有最小值，则的取值范围是_______. 15．（2026高三·全国·专题练习）函数，若在区间内恒有，解关于x的不等式． 16．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知函数，函数且 (1)若为偶函数，求实数的值． (2)求的值，并根据定义证明函数在区间上单调递增； (3)若函数在上满足，求实数的取值范围． 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4 对数函数课后同步练习（提升版） 1．（25-26高二下·江西赣州·期末）函数的部分图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， 故是奇函数，图象关于原点对称，故A,B错误； 当时，恒成立，的符号由决定， 当时，，故，图象在轴下方； 当时，，故图象在轴上方； 当时，，故，故C错误； D选项图象符合以上特征，故D正确． 2．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）下列函数是奇函数，且在定义域上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对A，函数在和上都是单调递增， 但在定义域上不是增函数，故A不满足题意； 对B，由，所以函数定义域为. 因为在上单调递减，故B不满足题意； 对C，因为为偶函数，故C不满足题意； 对D，函数定义域为， 因为，所以函数为奇函数， 因为，在上都是增函数， 所以在上为增函数，故D满足题意. 3．（25-26高二下·四川绵阳·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量在20～80mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了2.4mg/mL，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（    ） （参考数据：，） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【分析】由题意，应用对数的运算性质求的范围，即可得结果. 【详解】由题设，想要在不违法的情况下驾驶汽车，则酒精含量小于， 令小时后，，则小时， 所以想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为11小时. 故选：B 4．（2026高三·全国·专题练习）已知命题函数且1）的图象必过定点；命题：如果函数的图象关于原点对称，那么函数的图象关于点对称．则（    ） A．“且”为真 B．“或”为假 C．真假 D．假真 【答案】C 【分析】代入验证可得命题为真命题；根据抽象函数对称性可得的图象关于点中心对称，命题为假命题，从而得到答案 【详解】命题由于， 故函数且1）的图象必过定点，命题为真命题； 命题：函数的图象关于原点对称，则， 故，由于， 所以函数的图象关于点中心对称，命题为假命题， 所以“且”为假，“或”为真，ABD错误，C正确 5．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）是函数在区间上单调递增的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】先由复合函数单调性得出内层二次函数需单调递减且恒大于0的条件，从而得到函数递增的充要条件为 ；再将此范围与题干条件 比较，通过判断两者之间的推出关系确定条件类型． 【详解】设，则， 因为在定义域内单调递减，要使在上单调递增，需在上单调递减且恒大于0， 二次函数的图象开口向上，对称轴为，因为在上单调递减，所以， 又因为对任意恒成立，所以，即，解得， 因此，函数在区间上单调递增的充要条件为， 若，显然，所以必要性成立； 但不能保证，所以充分性不成立； 所以，“”是函数在上单调递增的必要不充分条件． 6．（2026高三·全国·专题练习）对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整理可得，分和两种情况，解不等式结合对数函数单调性运算求解即可. 【详解】因为， 令，则，解得， 此时，且，可得， 可知函数在内的值域为； 令，则，解得， 此时，可知函数在内的值域为； 综上所述：函数的值域为. 7．（25-26高二下·贵州毕节·期末）已知定义在R上的函数满足：当时，恒有成立，设，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得在R上单调递增，然后利用基本不等式，换底公式，可完成大小比较. 【详解】因定义在R上的函数满足：当时，恒有成立，则在R上单调递增. ， 注意到，又由基本不等式可得， 则，从而； ，从而. 则，得. 8．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知，下列不等式判断中，正确的个数为（     ） ①；②；③；④； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】对于①，根据指数函数单调性判断；对于②，根据对数函数、幂函数单调性判断；对于③，根据幂函数、指数函数单调性判断；对于④，利用作差法判断. 【详解】对于①，因为在上单调递增， 当时，，所以，故①错误； 对于②，因为在上单调递增， 当时，， 因为在上单调递增， 所以，故②正确； 对于③，因为在上单调递减， 当时，， 因为在上单调递增， 所以，故③错误； 对于④，， 当时，， 所以，即，故④正确； 综上：正确的个数为2个. 9．（25-26高一上·湖北武汉·期末）（多选）若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】通过同构构造函数，利用该函数的单调性推导出，结合函数的单调性逐一验证各个选项即可. 【详解】由题意得，设， 因为单调递增， 单调递增，所以单调递增，则， 对于A，因为单调递增，所以，故A正确， 对于B，等价于，无法由得出，故B错误， 对于C，，因为，且单调递增， 所以，故C正确， 对于D， 单调递减，所以，即，故D正确. 10．（25-26高一下·陕西汉中·期末）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则的定义域为 B．若，则的值域为 C．的图象关于直线对称 D．若，则的单调递减区间是 【答案】ACD 【分析】由对数型复合函数的性质，结合二次函数性质、复合函数“同增异减”规则、函数对称性判定方法逐一分析选项即可. 【详解】选项A：当时，对数真数需满足，因式分解得， 解得或，即定义域为，A正确； 选项B：当时，真数，为增函数， 故，值域为，不是，B错误； 选项C：， ， 即，故图象关于直线对称，C正确； 选项D：当时，定义域为， 内层函数在上单调递减，外层单调递增， 由复合函数“同增异减”规则，得的单调递减区间为，D正确. 11．（25-26高二下·山西运城·期末）（多选）关于函数，则下列选项正确的是（    ） A．图象关于直线对称 B．在单调递增 C．的值域为 D．有两个零点 【答案】AD 【分析】先得到函数定义域为，由，即可得到图象关于直线对称，即可验证A项；令内层函数， 时，单调递减，根据复合函数“同增异减”得到在单调递减，即可验证B项；先由复合函数的单调性原则得到函数的单调性，即可验证C项；令，解得，即可验证D项. 【详解】函数 需满足，即定义域为， 由对数的运算法则得到， 对于A项，因为， 所以，即图象关于直线对称，故A正确； 对于B项，令内层函数，开口向下，对称轴， 时，单调递增，时，单调递减， 因为外层函数在单调递增， 所以根据复合函数的单调性得到在单调递减，故B错误； 对于C项，根据复合函数的单调性得到在单调递增， 所以当时，函数有最大值， 又因为当或时，函数，， 所以函数的值域为，故C错误； 对于D项，令，即，得到， 整理得到，解得， 所以函数有两个零点，故D正确. 12．（25-26高二下·福建福州·期末）若函数的值域为，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】先通过函数单调性，求出分段函数在上的值域，再通过对参数的范围讨论，通过二次函数的性质求出函数在上的值域，通过并集为全集求出参数的范围，从而求得结果. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以当时，， 令，， 当时，函数对称轴，则函数在上单调递增， 则，即函数的值域为， 要想函数的值域为，则，即，所以， 当时，函数对称轴，则函数在上单调递减，在上单调递增，则，即函数的值域为， 因为，所以此时函数的值域为，即， 综上所述：. 13．（2026高一下·广东汕尾·竞赛）设函数的反函数为，则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】根据函数奇偶性定义及反函数的性质得出是上单调递减的奇函数，再将问题转化为一元二次不等式即可求解． 【详解】因为，所以是上的奇函数， 又因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减，且的值域为， 所以也是在上单调递减的奇函数， 因为，所以， 所以不等式可化为， 所以，解得或， 故原不等式的解集为． 14．（25-26高一下·河北唐山·开学考试）已知函数在上有最小值，则的取值范围是_______. 【答案】 【分析】先求出函数在上的最小值，再分和两种情况讨论，求出在时的最小值即可. 【详解】因为在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 所以当时，， 当时，， 若，则时，， 要使在上有最小值，则； 若，则时，，而 此时在上有最小值，符合题意， 综上所述的取值范围是. 15．（2026高三·全国·专题练习）函数，若在区间内恒有，解关于x的不等式． 【答案】 【分析】根据恒成立得出，再根据复合函数的单调性得出的单调性即可求解. 【详解】若，则， 因为在区间上恒成立，所以， 因为均在上单调递增， 所以， 因为均在上单调递增， 所以， 在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减， 则由 可得， 则，即， 得（舍）或，得， 故不等式的解集为. 16．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知函数，函数且 (1)若为偶函数，求实数的值． (2)求的值，并根据定义证明函数在区间上单调递增； (3)若函数在上满足，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)，证明见解析； (3). 【分析】（1）利用偶函数的定义求解参数值； （2）用定义法证明函数单调性即可； （3）先确定函数的单调性，再建立不等式组求解即可. 【详解】（1）因为函数为偶函数，则． 即． 所以 恒成立， ； （2），，． 证明：，，且， 则， ，，，， ，即，故在上单调递增． （3）在上单调递增，所以， ，，解得，即的取值范围为. 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $