3.4函数的应用(一)同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习按“基础全面练”“综合应用练”分层，基础层覆盖一次、反比例、二次函数等单一模型及简单应用，综合层聚焦复杂情境下的函数综合应用，梯度衔接紧密，强化从概念到建模的知识巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础全面练|一次/反比例/二次函数模型、简单实际问题（存车/电价/盈利）|选择/填空/解答结合，生活情境题（如阶梯电价）占比60%，注重概念理解与基础运算| |综合应用练|分段函数/多变量函数、复杂情境（水池蓄水/成本优化）|含多选与开放题（如进货成本参数范围），强调数学建模（如二氧化碳处理利润分析）与逻辑推理|

　函数的应用(一) (时间:45分钟　分值:65分) 【基础全面练】 1.(5分)据调查,某存车处在某星期日的存车量为4 000辆次,其中电动车存车费是每辆一次0.3元,自行车存车费是每辆一次0.2元.若自行车存车数为x辆次,存车总收入为y元,则y关于x的函数关系式是 (　　) A.y=0.1x+800(0≤x≤4 000) B.y=0.1x+1 200(0≤x≤4 000) C.y=-0.1x+800(0≤x≤4 000) D.y=-0.1x+1 200(0≤x≤4 000) 2.(5分)气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压p(千帕)是气球体积V(立方米)的反比例函数,其图象如图所示,则这个函数的解析式为 (　　) A.p=96V B.p=- C.p=-96V D.p= 3.(5分)刘明饭后出去散步,从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看了20分钟报纸后,用20分钟返回家里,下列图象能表示刘明离开家的时间x与距离y之间的关系的是 (　　) 4.(5分)已知某炮弹飞行高度h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系式为h=130t-5t2,则炮弹飞行高度高于240 m的时间长为 (　　) A.22 s B.23 s C.24 s D.25 s 5.(5分)(2026·百色高一检测)某省对居民生活用电实行“阶梯电价”,计费方式如表: 每户每年用电量 电价 不超过2 160千瓦时 0.60元/千瓦时 超过2 160千瓦时但不超过4 200千瓦时的部分 0.65元/千瓦时 超过4 200千瓦时的部分 0.90元/千瓦时 若某户居民一年的电费为2 712元,则此户居民这一年使用的电量为 (　　) A.3 750千瓦时　 B.3 950千瓦时 C.4 300千瓦时　 D.4 400千瓦时 6.(5分)(多选)已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元,某食品加工厂对饼干采用两种包装,其包装费用、销售价格如表所示: 型号 小包装 大包装 重量 100克 300克 包装费 0.5元 0.7元 销售价格 3.00元 8.4元 则下列说法正确的是 (　　) A.买小包装实惠 B.买大包装实惠 C.卖3小包比卖1大包盈利多 D.卖1大包比卖3小包盈利多 7.(5分)生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=x2-75x,若每台机器售价为25万元,则该厂获得最大利润时生产的机器为　　台.  8.(5分)(2026·南开高一检测)如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0<a<12),不考虑树的粗细.现用16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形花圃ABCD,设此矩形花圃的最大面积为S.若将这棵树围在矩形花圃内,则函数S=f(a)(单位:m2)的解析式为　　.  9.(10分)(2026·潍坊高一检测)某企业为紧抓新能源发展带来的历史机遇,决定开发一款锂电池生产设备.生产此设备的年固定成本为280万元,且每生产x台(x∈N*)需要另投入成本c(x)(万元),当年产量x不足40台时,c(x)=x2+40x-430(万元);当年产量x不少于40台时,c(x)=61x+-1 290(万元).经过市场调查和分析,若每台设备的售价定为60万元时,则该企业生产的锂电池设备能全部售完. (1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式; (2)当年产量x为多少台时,企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大?最大利润是多少万元? 【综合应用练】 10.(5分)一水池有两个进水口,一个出水口,每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示.某天0时到6时,该水池的蓄水量如图丙所示. 给出以下3个论断: ①0点到3点只进水不出水; ②3点到4点不进水只出水; ③4点到6点不进水不出水. 则一定正确的是 (　　) A.① B.①② C.①③ D.②③ 11.(5分)(多选)某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.以下判断正确的是 (　　) A.该单位每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低 B.该单位每月最低可获利20 000元 C.该单位每月不获利,也不亏损 D.每月需要国家至少补贴40 000元才能使该单位不亏损 故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损,故D正确,B,C错误. 12.(5分)(2026·济宁高一检测)随着市场需求和消费习惯的转变,摆摊创业正吸引着越来越多创业者.小李打算批发某种水果摆摊售卖,设他进货总费用f(x)(百元)与进货量x(单位:百千克)之间的关系式为f(x)=(a为常数),若满足“随着进货量的增大,水果每千克的平均价格逐渐减小”,则a的取值范围为　　.  答案解析 【基础全面练】 1.(5分)据调查,某存车处在某星期日的存车量为4 000辆次,其中电动车存车费是每辆一次0.3元,自行车存车费是每辆一次0.2元.若自行车存车数为x辆次,存车总收入为y元,则y关于x的函数关系式是 (　　) A.y=0.1x+800(0≤x≤4 000) B.y=0.1x+1 200(0≤x≤4 000) C.y=-0.1x+800(0≤x≤4 000) D.y=-0.1x+1 200(0≤x≤4 000) 【解析】选D.因为自行车存车数为x辆次, 所以电动车为(4 000-x)辆次,存车总收入y=0.2x+0.3×(4 000-x)=-0.1x+1 200. 2.(5分)气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压p(千帕)是气球体积V(立方米)的反比例函数,其图象如图所示,则这个函数的解析式为 (　　) A.p=96V B.p=- C.p=-96V D.p= 【解析】选D.因为气球内气体的气压是气球体积的反比例函数,所以可设p=(k≠0), 由题图可知,点(1.5,64)在函数图象上,所以64=,解得k=96,故p=. 3.(5分)刘明饭后出去散步,从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看了20分钟报纸后,用20分钟返回家里,下列图象能表示刘明离开家的时间x与距离y之间的关系的是 (　　) 【解析】选A.刘明行走的前20分钟路程一直在增加,到900米之后停下看报纸,20分钟至40分钟路程不增加,40分钟至60分钟回家的过程中,路程减少至0,因此A中图象符合题意. 4.(5分)已知某炮弹飞行高度h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系式为h=130t-5t2,则炮弹飞行高度高于240 m的时间长为 (　　) A.22 s B.23 s C.24 s D.25 s 【解析】选A.根据题意可得130t-5t2>240, 解得2<t<24,则炮弹飞行高度高于240 m的时间长为24-2=22(s). 5.(5分)(2026·百色高一检测)某省对居民生活用电实行“阶梯电价”,计费方式如表: 每户每年用电量 电价 不超过2 160千瓦时 0.60元/千瓦时 超过2 160千瓦时但不超过4 200千瓦时的部分 0.65元/千瓦时 超过4 200千瓦时的部分 0.90元/千瓦时 若某户居民一年的电费为2 712元,则此户居民这一年使用的电量为 (　　) A.3 750千瓦时　 B.3 950千瓦时 C.4 300千瓦时　 D.4 400千瓦时 【解析】选C.由题意,设某户居民用电量为x千瓦时,本年缴纳的电费为y, 可得y=, 当某户居民本年缴纳的电费为2 712元时,可得2 622+0.90×(x-4 200)=2 712, 解得x=4 300,即居民本年的用电量为4 300千瓦时. 6.(5分)(多选)已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元,某食品加工厂对饼干采用两种包装,其包装费用、销售价格如表所示: 型号 小包装 大包装 重量 100克 300克 包装费 0.5元 0.7元 销售价格 3.00元 8.4元 则下列说法正确的是 (　　) A.买小包装实惠 B.买大包装实惠 C.卖3小包比卖1大包盈利多 D.卖1大包比卖3小包盈利多 【解析】选BD.大包装饼干300克8.4元,则平均每100克2.8元,小包装饼干100克3元,则买大包装饼干实惠,故A错误,B正确; 卖1大包饼干盈利8.4-0.7-1.8×3=2.3(元),卖1小包饼干盈利3-0.5-1.8=0.7(元),则卖3小包饼干盈利0.7×3=2.1(元),则卖1大包饼干比卖3小包饼干盈利多,故C错误,D正确. 7.(5分)生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=x2-75x,若每台机器售价为25万元,则该厂获得最大利润时生产的机器为　50　台.  【解析】设生产x台,获得利润f(x)万元,则f(x)=25x-y=-x2+100x=-(x-50)2+2 500, 故当x=50时,获得利润最大. 8.(5分)(2026·南开高一检测)如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0<a<12),不考虑树的粗细.现用16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形花圃ABCD,设此矩形花圃的最大面积为S.若将这棵树围在矩形花圃内,则函数S=f(a)(单位:m2)的解析式为　f(a)=　.  【解析】设BC=x,则S=x·(16-x)=-(x-8)2+64,由题意可得x≥a且16-x≥4,故a≤x≤12, 当0<a≤8时,由x≥a,可取x=8,则得S=64; 当8<a<12时,x=8不可取,又x≥a,则S=-(a-8)2+64=-a2+16a; 综上,可得f(a)=. 9.(10分)(2026·潍坊高一检测)某企业为紧抓新能源发展带来的历史机遇,决定开发一款锂电池生产设备.生产此设备的年固定成本为280万元,且每生产x台(x∈N*)需要另投入成本c(x)(万元),当年产量x不足40台时,c(x)=x2+40x-430(万元);当年产量x不少于40台时,c(x)=61x+-1 290(万元).经过市场调查和分析,若每台设备的售价定为60万元时,则该企业生产的锂电池设备能全部售完. (1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式; 【解析】(1)由题意,当0<x<40,x∈N*时,y=60x-280-(x2+40x-430)=-x2+20x+150, 当x≥40,x∈N*时,y=60x-280-(61x+-1 290)=-x-+1 010, 综上所得,年利润y关于年产量x的函数关系式为y=. (2)当年产量x为多少台时,企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大?最大利润是多少万元? 【解析】(2)当0<x<40,x∈N*时,y=-x2+20x+150=-(x-30)2+450, 当x=30时,ymax=450. 当x≥40,x∈N*时,y=-x-+1 010=-[(x+2)+]+1 012≤-2+1 012=892, 当且仅当x+2=时,即x=58时,上式取等号,即ymax=892, 综上,当年生产58台时,该企业年利润最大,最大值为892万元. 【综合应用练】 10.(5分)一水池有两个进水口,一个出水口,每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示.某天0时到6时,该水池的蓄水量如图丙所示. 给出以下3个论断: ①0点到3点只进水不出水; ②3点到4点不进水只出水; ③4点到6点不进水不出水. 则一定正确的是 (　　) A.① B.①② C.①③ D.②③ 【解析】选A.由题干中甲、乙两图知,出水的速度是进水的2倍,所以0点到3点只进水不出水; 3点到4点水量减少,则一个进水口进水,另一个进水口关闭,出水口出水; 4点到6点水量不变,可能是不进水不出水或两个进水口进水,一个出水口出水,所以只有①一定正确. 11.(5分)(多选)某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.以下判断正确的是 (　　) A.该单位每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低 B.该单位每月最低可获利20 000元 C.该单位每月不获利,也不亏损 D.每月需要国家至少补贴40 000元才能使该单位不亏损 【解析】选AD.由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为x+-200≥ 2-200=200,当且仅当x=,即x=400时等号成立,故该单位每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为200元,故A正确; 设该单位每月获利为S元,则S=100x-y=100x-(x2+80 000-200x) =-x2+300x-80 000=-(x-300)2-35 000, 因为x∈[400,600],所以S∈[-80 000,-40 000]. 故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损,故D正确,B,C错误. 12.(5分)(2026·济宁高一检测)随着市场需求和消费习惯的转变,摆摊创业正吸引着越来越多创业者.小李打算批发某种水果摆摊售卖,设他进货总费用f(x)(百元)与进货量x(单位:百千克)之间的关系式为f(x)=(a为常数),若满足“随着进货量的增大,水果每千克的平均价格逐渐减小”,则a的取值范围为　(4,6]　.  【解析】设水果每千克的平均价格为g(x), 则g(x)=, 随着进货量的增大,水果每千克的平均价格逐渐减小,即函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递减, 则需满足,解得4<a≤6, 所以实数a的取值范围为(4,6]. 学科网（北京）股份有限公司 $