精品解析：广西壮族自治区柳州市柳州地区民族高级中学2027届高三上学期模拟（一）数学试题

柳地高2027届高三上学期模拟试题（一） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合） 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. 0或 D. 0或 【答案】C 【解析】 【详解】设复数，则， 所以， 所以，解得或， 所以或. 2. 已知为等比数列，，，则（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 17 【答案】A 【解析】 【详解】由等比中项的性质知， 若该数列的公比为，则，显然， 所以. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若，则，又，所以或，则， 所以当时，“”推不出“”； 若，，则，可得，则， 所以当时，“”可以推出. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 4. 设一个随机事件的样本空间为，事件，则下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，任意事件的概率都满足，故成立； 对于B，因是事件的对立事件，则，所以，故成立； 对于C，因为，则事件包含事件所有的样本点，所以，故成立； 对于D，由，仅能说明事件和事件的并集为样本空间，但并未说明事件和事件是否互斥， 由概率的加法公式，因此，只有当，即时，才成立，故不一定成立. 5. 已知实数，，若，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】，故，， ，故，所以， 因为，所以，， 所以. 6. 已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（ ） A. 体积为 B. 表面积为 C. 两条母线的夹角的最大值为 D. 过顶点的截面面积的最大值为2 【答案】D 【解析】 【分析】先算出母线长，结合体积公式、表面积公式计算后可判断AB的正误，求出轴截面的顶角值后可判断CD的正误. 【详解】对于A，圆锥的体积为，故A错误； 对于B，圆锥的母线长为， 故圆锥的表面积为，故B错误； 对于C，设圆锥轴截面顶角为，则， 而为锐角，故，故，故两条母线的夹角的最大值为，故C错误； 对于D，设两条母线的夹角为，则过顶点的截面面积为 而，故当，，故D正确. 7. 已知点，，点P是抛物线上的动点（异于A，B两点），记直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，则下列结论正确的是（ ） A. 为定值 B. 为定值 C. 为定值 D. 为定值 【答案】C 【解析】 【分析】设（），利用两点斜率公式求，再分别求即可判断. 【详解】因为点是抛物线上异于的动点， 故设（）， 则，， 对于选项A，，不是定值，A错误； 对于选项B，，不是定值，B错误； 对于选项C，，为定值，C正确； 对于选项D，，不是定值，D错误. 8. 已知数列共有5项，各项均为正整数，且对，满足，若为数列中的项，记满足题意的数列的个数为，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】时，分数列仅有一个1、仅有两个1、仅有三个1讨论求出；同理求出即可． 【详解】解：时，把数列的5项依次排列， 数列只有一个1时，时，共3种，同理也有3种； 时，共2种，同理也有2种； 时，共1种； 数列仅有两个1时， 共4种； 数列仅有三个1时，共1种， 综上，； 时， 数列只有一个2时，时，共3种，同理也有3种； 时，共4种，同理也有4种； 时，一种； 数列仅有两个2时，时，共2种， 同理时也有2种； 时，共8种； 时，共1种； 数列仅有三个2时，共4种， 综上， ． 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 直线是曲线的一条对称轴 D. 的图象向右平行移动个单位长度后得到函数的图象，则为偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角恒等式化简函数解析式，对于A，根据解析式求值；对于B，利用整体思想，结合复合函数单调性；对于C，利用整体思想，根据余弦函数对称性；对于D，根据函数图象变换，结合余弦函数奇偶性；可得答案. 【详解】化简函数解析式可得， 对于A，，故A正确； 对于B，当时，，易知函数在上单调递减， 在区间上单调递减,故B正确； 对于C，当时，，由函数的对称中心为， 则点是函数图像上的一个对称中心，故C错误； 对于D，函数向右平移个单位得， 由，且定义域为，则函数是偶函数，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知正四面体的棱长为2，下列说法正确的是（ ） A. 此正四面体的表面积为 B. 此正四面体外接球的表面积为 C. 此正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 D. 从此正四面体6条棱中任取2条，这2条棱垂直的概率为 【答案】BC 【解析】 【分析】A：根据棱锥的表面积公式，结合三角形面积公式进行求解判断即可；B：把该正四面体放在正方体中，利用正方体的性质，结合球的表面积公式进行求解判断即可；C：根据正四面体的体积公式，结合等积法进行求解判断即可；D：根据线面垂直的判定定理和性质，结合组合的定义、古典概型的计算公式进行运算判断即可. 【详解】A：因为正四面体每个面都是边长为2的正三角形， 所以此正四面体的表面积为，因此本选项说法不正确； B：把该正面体放在正方体中，如下图所示： 设该正方体的棱长为，则有， 所以该正方体的对角线长为， 所以该正方体外接球的半径为， 所以该正四面体外接球的半径为， 所以该正四面体外接球的表面积为，因此本选项说法正确； C：设此正四面体内任意一点为， 它到该正四面体四个面的距离分别为， 设点到平面的距离为，显然为一常数， 因为该正四面体每个面都是边长为2的正三角形，设每个面的面积为， 所以有， 即为定值，所以本选项说法正确； D：设的中点为，连接， 因为是正三角形， 所以， 因为平面， 所以平面，而平面， 所以，同理可证，， 除了这三对互相垂直，其他的棱之间成的角为， 所以从此正四面体6条棱中任取2条，这2条棱垂直的概率为， 所以本选项说法不正确. 故选：BC 11. 设，是双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线交的右支于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的两条渐近线夹角为 B. 的最小值为 C. 当时，的面积为1 D. 的周长最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据渐近线斜率求出倾斜角，直接计算两条渐近线的夹角；对B，利用平方差公式和双曲线定义化简表达式，再结合直线与双曲线的交点条件判断最小值能否取到；对C，由推出点在以为直径的圆上，联立方程求高，进而计算三角形面积；对 D，利用双曲线定义将周长转化为，再求出弦长的最小值，从而得到周长的最小值. 【详解】对于A：双曲线的渐近线方程为，一条渐近线的倾斜角为，由对称性可知，两条渐近线的夹角为，A正确； 对于B：由双曲线的定义可得， 所以， 又，所以， 因为，所以，B错误； 对于C：，故，即A在以为直径的圆上， 由，解得，所以， 所以，C正确； 对于D：由双曲线定义可得， 所以周长， 当轴时，最小，将代入双曲线方程，得，故， 所以，D正确. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意转化为求的展开式中的系数，利用二项展开式求解. 【详解】的展开式中的系数即为的展开式中的系数， 又二项式的展开式的通项为， 令，可得的展开式中的系数为. 13. 在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为________ 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】由点在线段上，，得， 而点为线段上除端点外的任意一点，则， 故，整理得， 结合同向和可得， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 14. 如图，要用个元件组成一个电路系统，当且仅当从到的电路为通路状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设由2个并联元件组成的整体依次为系统，其损坏的元件个数为，，可得，结合两点分布可得，即可得结果. 【详解】设由2个并联元件组成的整体依次为系统，其损坏的元件个数为，， 则，可得， 在电路系统正常工作的条件下，可知系统均正常工作，对应概率为， 则，可得，， 则，所以. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤） 15. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）若，求； （2）若外接圆半径为1，当的面积取最大值时，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由切化弦得到，再结合，即可求解； （2）由（1），得到， ，结合正弦定理与已得的角关系，可将面积公式化为，得到时面积最大，进而可求解. 【小问1详解】 因为， 得，即， 即， 故，又，，， 所以， 故； 【小问2详解】 由（1），， 得，又， 所以，，故， 又根据诱导公式有，可得， 所以，故，， 因为外接圆半径为1， 由正弦定理可得：， 所以 故当时，的面积取最大值， 此时 16. 近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2021年到2024年某地新能源汽车销量（单位：千辆） 年份 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 销量 33 69 93 129 附：相关系数； 回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为， （1）试根据样本相关系数的值判断该地汽车销量与年份代号的线性相关性强弱（，则认为与的线性相关性较强，，则认为与的线性相关性较弱）；（精确到0.001） （2）建立关于的线性回归方程，并预测该地2025年的新能源汽车销量． 【答案】（1）与具有较强的线性相关关系 （2），（千辆） 【解析】 【分析】（1）根据题干所给数据算出，，，代入相关系数计算公式计算即可； （2）根据（1）算出的结果进一步算出，再根据线性回归方程经过计算，最后把代入回归直线方程即可求解． 【小问1详解】 已知，，则， ，则， ，，所以， 已知，故， 又，代入相关系数公式， 可得， 因为，所以与具有较强的线性相关关系． 【小问2详解】 根据， 由（1）可知，，所以， 由，已知，，，则， 所以关于的线性回归方程为，将代入线性回归方程（千辆）． 17. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． （1）证明：平面； （2）若在同一个球面上，求该球的半径； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： 二面角为直二面角，即平面平面， 又因为平面，平面平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 由题意平面， 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而根据线线垂直证明平面． （2）建立空间直角坐标系，根据两点距离公式列方程，可求解球心的坐标，即可求解， （3）根据面面垂直的性质，结合二面角的定义可得为所求的角，即可根据三角形的边角关系求解，或者求解平面法向量，根据法向量的夹角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点中点，连接， 则， 因为平面，平面，所以，所以， 在中，为中点，所以. 以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系， 则． 设该球的球心坐标为，则 解得. 所以该球的半径为. 【小问3详解】 法一：取中点，在中，过作，垂足为，连接， 平面平面平面， 平面平面，所以平面． 而平面，故， 又因为，平面，故平面， 而平面，所以， 则为平面与平面的所成角. 直角三角形中，， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 法二：平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则即 取，得平面的一个法向量为. 所以平面与平面所成角的余弦值为. 18. 在平面直角坐标系中，点，动点P满足，记点P的轨迹为C． （1）求C的方程； （2）过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E，F（E在F的左侧）．设直线AE，AF的斜率分别为． ①求证：为定值； ②设直线AF，BE相交于点M，求证：为定值． 【答案】（1） （2） ①由，直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，，，， 联立，得， 则，，， 所以， 又因为，所以，， 所以， . ②由①可知，，所以， 作关于轴的对称点，则，，三点共线， 又，，设， 则直线方程即为直线方程， 又直线方程为， 作差可得， 所以， 所以，， 又，得出， 又因为， 所以， 即，即， 所以点在以，为焦点，1为实轴长的双曲线的左支上运动， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义可知点在以，为焦点，4为长轴长的椭圆上，即可求出轨迹方程. （2）①设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，即可得到，再由斜率公式计算可得； ②作关于轴的对称点，则，，三点共线，设，表示出直线、的方程，即可得到，，代入椭圆方程得到轨迹方程，结合双曲线的定义即可证明. 【小问1详解】 由，， 所以点在以，为焦点，4为长轴长的椭圆上， 设椭圆方程为， 焦距为，则，， 所以， 所以C的方程为. 【小问2详解】 略 19. 已知函数，直线与曲线相切. （1）求的值； （2）若对任意，存在，使得不等式成立，求的最大值； （3）若，求证：对任意，有. 【答案】（1） （2） （3） 由已知可得， 则， 令，则， 所以在上单调递增， 又函数在上单调递增且恒为正， 所以在上单调递增且恒为正， 所以在单调递增， 令，，则， 因为，所以，在单调递增， 所以对任意有， 因为时， ， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）设出切点坐标，利用导数的几何意义求解即可； （2）将原不等式转化为，利用导数求的单调区间进而求最小值即可； （3）构造，，利用导数可知在单调递增，利用单调性证明不等式即可. 【小问1详解】 设直线与曲线相切于点处， 因为，所以①， 又因为②，①②联立解得，. 【小问2详解】 由（1）得， 对任意，存在，使得不等式成立， 等价于对任意，即可， 所以当时恒成立， 令，只需即可， 因为，令， 则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 因为，所以， 又 ，，所以当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以，即的最大值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柳地高2027届高三上学期模拟试题（一） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合） 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. 0或 D. 0或 2. 已知为等比数列，，，则（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 17 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设一个随机事件的样本空间为，事件，则下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 5. 已知实数，，若，，则（ ） A. B. C. D. 1 6. 已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（ ） A. 体积为 B. 表面积为 C. 两条母线的夹角的最大值为 D. 过顶点的截面面积的最大值为2 7. 已知点，，点P是抛物线上的动点（异于A，B两点），记直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，则下列结论正确的是（ ） A. 为定值 B. 为定值 C. 为定值 D. 为定值 8. 已知数列共有5项，各项均为正整数，且对，满足，若为数列中的项，记满足题意的数列的个数为，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 直线是曲线的一条对称轴 D. 的图象向右平行移动个单位长度后得到函数的图象，则为偶函数 10. 已知正四面体的棱长为2，下列说法正确的是（ ） A. 此正四面体的表面积为 B. 此正四面体外接球的表面积为 C. 此正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 D. 从此正四面体6条棱中任取2条，这2条棱垂直的概率为 11. 设，是双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线交的右支于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的两条渐近线夹角为 B. 的最小值为 C. 当时，的面积为1 D. 的周长最小值为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中的系数为______. 13. 在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为________ 14. 如图，要用个元件组成一个电路系统，当且仅当从到的电路为通路状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤） 15. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）若，求； （2）若外接圆半径为1，当的面积取最大值时，求． 16. 近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2021年到2024年某地新能源汽车销量（单位：千辆） 年份 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 销量 33 69 93 129 附：相关系数； 回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为， （1）试根据样本相关系数的值判断该地汽车销量与年份代号的线性相关性强弱（，则认为与的线性相关性较强，，则认为与的线性相关性较弱）；（精确到0.001） （2）建立关于的线性回归方程，并预测该地2025年的新能源汽车销量． 17. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． （1）证明：平面； （2）若在同一个球面上，求该球的半径； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 18. 在平面直角坐标系中，点，动点P满足，记点P的轨迹为C． （1）求C的方程； （2）过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E，F（E在F的左侧）．设直线AE，AF的斜率分别为． ①求证：为定值； ②设直线AF，BE相交于点M，求证：为定值． 19. 已知函数，直线与曲线相切. （1）求的值； （2）若对任意，存在，使得不等式成立，求的最大值； （3）若，求证：对任意，有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $