精品解析：吉林省延边朝鲜族自治州延吉市第三高级中学2026-2027学年高三上学期9月诊断性考试数学试题

延吉市第三高级中学2026-2027学年度第一学期 高三年级9月诊断性考试数学学科试卷 命题人：丁婵娟 审题人：张钰佳 终审人：刘瑞 考生注意： 1、本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2、第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂写在答题卡对应的方框内；第Ⅱ卷请用黑色墨水签字笔在答题卡各题的答案区域内作答，超出答题区域的答案无效，在草稿纸上作答无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因， 则. 2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】化简复数，根据复数的几何意义求解即可． 【详解】， 在复平面内对应的点为，位于第二象限． 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程求得，结合向量模的坐标运算公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得， 所以，所以． 4. 已知，则（ ） A. 1 B. －1 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，故， 所以. 5. “”是“直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆与直线相切以及圆的标准方程求解即可. 【详解】圆配方. 因此，即，圆心为，半径. 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离​，即， 整理，解得或.结合圆的条件，因此直线与圆相切等价于. 因此是直线与圆相切的充要条件. 6. 已知二项式的展开式中所有项的系数和为32，若，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 【答案】D 【解析】 【详解】二项式的展开式中所有项的系数和为32， 令，得，所以. 若，且，则. 所以，所以. 7. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加高三毕业文艺汇演，若甲不站在两端，且甲和乙不相邻，则不同的排列方式共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 96种 【答案】B 【解析】 【详解】甲不站在两端，则甲有种站法，甲和乙不相邻，则乙有种站法， 则不同的排列方式有种. 8. 已知函数，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数作出函数的图象，转化条件为的图象与直线有个交点，数形结合即可得解. 【详解】由题当时，，所以， 所以当时，，当时，； 所以在区间上单调递增，在上单调递减， 当时，当时，； 当时，； 所以可作出函数的图象，如下图， 若要使函数有个不同的零点， 所以的图象与直线有个交点， 即，解得. 即实数的取值范围是. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分． 9. 某种水果成熟后重量为左右，为了检测其品质，在一块水果园中，随机取出个水果，称得它们重量如下：206,200,198,205,200,200,202,,192,（单位：），重量在内的水果为优质水果，则（ ） A. 这个数据的第百分位数为 B. 这个数据的中位数与众数相等 C. 从这个水果中去掉最重的和最轻的，样本方差变大 D. 估计这块水果园中优质水果占 【答案】BD 【解析】 【分析】根据已知数据求出相应的第30百分位数、中位数、众数、方差判断ABC，估计出优质水果的占比判断D． 【详解】对于A，这10个数据按从小到大排列为：,192, 198, 200, 200,200,202, 205,206,，，第3与第4个数的平均值为，所以第30百分位数为199，A错； 对于B，中位数为，众数为200，B正确； 对于C，去掉最重的和最轻的数据后，各数据与均值的偏差显著变小，因此方差变小，C错误； 对于D，已知10个数据中在上的有6个，占比为，因此估计优质水果占，D正确． 10. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 当或5时，最大 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意列方程组求得，根据等差数列通项公式计算可判断AB；根据等差数列前项和公式计算可判断C；根据等差数列性质可判断D. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由题意可得，解得， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为， 所以数列单调递增， 当时，，当时，，且， 所以当或5时，最小，故D错误. 11. 如图，四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（ ） A. 四棱锥的外接球表面积为 B. 存在点，使得 C. 的最小值为 D. 点到直线的距离的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，将动点在线段上的位置用参数表示，从而把外接球直径、向量垂直条件、及点到直线距离等几何问题全部转化为关于的代数运算，其中外接球可通过补成长方体快速求解，垂直问题化为向量点积为零，距离最值则归结为闭区间上二次函数的最值. 【详解】以为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系. 则. 动点在线段上，设，则. 选项 A：将四棱锥补成长、宽、高分别为的长方体， 其外接球即为四棱锥的外接球，外接球直径等于长方体体对角线长，， 故， 外接球表面积.故 A 正确. 选项 B：，，. 令 ， 得，故存在点使.故 B 正确. 选项 C：，， 故，. 二次函数在时取最小值， 故.故 C 错误. 选项 D：直线即轴，点到的距离为. 二次函数在时取最小值， 故.故 D 正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是双曲线：的一个焦点，则的渐近线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本道题结合焦点坐标,计算出m，即可． 【详解】,解得,所以双曲线方程为 ,所以渐近线方程为 【点睛】本道题考查了双曲线的基本性质，难度较小． 13. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则周长的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题设得，作抛物线的准线于，结合抛物线的定义确定三角形周长的最小值. 【详解】由抛物线的焦点为，则，即， 作抛物线的准线于，则，且， 所以周长为， 结合图知，当且仅当共线，即时周长最小， 所以. 14. 已知幂函数经过点，函数满足，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先证明函数的奇偶性和单调性，即可求解不等式. 【详解】设幂函数经过点得，，所以， 即，故， 因为，且定义域为， 所以是奇函数， 又由于是上的增函数，是上的减函数，是上的增函数， 所以是上的增函数， 再由，得， 所以，解得：， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【小问1详解】 方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 【小问2详解】 由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 16. 如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． （1）若分别为的中点，求证：平面PAB； （2）若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】（1） 取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， 与为等腰直角三角形且， 不妨设，.. E、F分别为BC、PD的中点， ，且. ，， ，∴四边形FGMN为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB，平面PAB； （2） 【解析】 【分析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，只需证明即可； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线AB的方向向量与面PCD的法向量，根据向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面PCD的一个法向量为， ，， 取，，. 设AB与平面PCD所成角为， 则， 即AB与平面PCD所成角的正弦值为. 17. 甲、乙参加射击选拔赛，规则如下：抽签决定首次射击方，两人轮流射击，射中目标者得1分，对方得0分，射不中目标者得0分，对方得1分，得分领先2分者胜出，选拔赛结束.射击的总次数为，设每次射击甲射中目标的概率为，乙射中目标的概率为，若射击2次甲胜出的概率为，各次射击结果独立. （1）求p； （2）求射击2次甲得分X的分布列及均值； （3）若甲胜出的概率为，证明：. 【答案】（1） （2）X的分布列为： X 0 1 2 （3） 由题意，射击的总次数为时甲胜出， 设此时甲总得分为，乙总得分为， 则，，所以甲胜出时必为偶数，令， 则 ， 由于，则时，， 且， 即. 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式求解即可； （2）由题意，X的取值为，进而求出对应的概率，再计算均值； （3）由题意，射击的总次数为时甲胜出，分析可得必为偶数，令，进而结合题意及等比数列的求和公式求证即可. 【小问1详解】 设射击2次甲胜出为事件， 则，解得. 【小问2详解】 由题意，X的取值为， 由题意， 而， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 则. 【小问3详解】 略 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）先求出导数，再求斜率结合点斜式写出切线方程； （2）先把恒成立问题通过参数分离转化为求最小值求出的最大值. 【小问1详解】 当时，， 因为 ，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 由题意，知对任意恒成立， 可知对任意恒成立． 设函数，只需． 对函数求导，得． 设函数，对函数求导，得， 所以函数在上单调递增． 又， 所以存在，使，即， 所以当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以， 所以．又，所以， 所以整数的最大值为2． 19. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为4． （1）求椭圆的方程； （2）设，是椭圆过原点的两条弦，且，求证：为定值； （3）在（2）的条件下，求的面积的取值范围． 【答案】（1） （2）若直线，其中一个斜率不存在， 可得： ， 若直线，斜率均存在， 设直线方程: ，， 联立 ，整理得 ，解得: ， 同理，设直线方程: ，， 联立 ，整理得 ，解得: ， 所以 ，， 由椭圆的对称性知， ，， 所以 ， 综上，为定值，且定值为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列出等式然后进行化简，即可求解； （2）当直线，其中一个斜率不存在时，可得为定值，当直线，斜率均存在时，设直线方程和直线方程，分别与椭圆方程联立求出，，由椭圆的对称性知，，进而得到的表达式即可证明； （3）当直线，其中一个斜率不存在时，可得，当直线，斜率均存在时，由（2）知和，则可得，令，换元后根据均值不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意，， 则，所以 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知若直线，斜率均存在， ，， ， 则， 令，则， 令，， ， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以， 所以，即， 若直线，其中一个斜率不存在，， 综上，的面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延吉市第三高级中学2026-2027学年度第一学期 高三年级9月诊断性考试数学学科试卷 命题人：丁婵娟 审题人：张钰佳 终审人：刘瑞 考生注意： 1、本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2、第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂写在答题卡对应的方框内；第Ⅱ卷请用黑色墨水签字笔在答题卡各题的答案区域内作答，超出答题区域的答案无效，在草稿纸上作答无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. 1 B. －1 C. D. 5. “”是“直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知二项式的展开式中所有项的系数和为32，若，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 7. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加高三毕业文艺汇演，若甲不站在两端，且甲和乙不相邻，则不同的排列方式共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 96种 8. 已知函数，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分． 9. 某种水果成熟后重量为左右，为了检测其品质，在一块水果园中，随机取出个水果，称得它们重量如下：206,200,198,205,200,200,202,,192,（单位：），重量在内的水果为优质水果，则（ ） A. 这个数据的第百分位数为 B. 这个数据的中位数与众数相等 C. 从这个水果中去掉最重的和最轻的，样本方差变大 D. 估计这块水果园中优质水果占 10. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 当或5时，最大 11. 如图，四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（ ） A. 四棱锥的外接球表面积为 B. 存在点，使得 C. 的最小值为 D. 点到直线的距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是双曲线：的一个焦点，则的渐近线方程为__________． 13. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则周长的最小值为___________． 14. 已知幂函数经过点，函数满足，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 16. 如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． （1）若分别为的中点，求证：平面PAB； （2）若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 17. 甲、乙参加射击选拔赛，规则如下：抽签决定首次射击方，两人轮流射击，射中目标者得1分，对方得0分，射不中目标者得0分，对方得1分，得分领先2分者胜出，选拔赛结束.射击的总次数为，设每次射击甲射中目标的概率为，乙射中目标的概率为，若射击2次甲胜出的概率为，各次射击结果独立. （1）求p； （2）求射击2次甲得分X的分布列及均值； （3）若甲胜出的概率为，证明：. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 19. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为4． （1）求椭圆的方程； （2）设，是椭圆过原点的两条弦，且，求证：为定值； （3）在（2）的条件下，求的面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $