专题01 一元二次方程解法择优与配方法专项复习讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦一元二次方程解法择优与配方法专项，系统梳理一元二次方程定义（强调二次项系数a≠0）、配方法核心原理（转化思想）与六步解题步骤，以及直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法四大解法的特点及适用场景，构建从基础定义到解法择优的完整学习支架。 资料亮点在于通过5个易错辨析（如忘记化二次项系数为1、配方漏加常数等）强化运算能力，5类分层典例（含纯配方、解法择优、求最值等）培养推理意识与模型意识，结合中考真题与阶段检测题，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用能力。

重难点专题01 一元二次方程解法择优与配方法专项 （核心知识+5易错辨析+5典例精讲） 【知识点01】一元二次方程基础定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 一般形式：，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项，核心前提：a≠0，否则方程降为一次方程。 【知识点02】配方法核心原理与步骤 1. 原理：转化思想，通过恒等变形，将一元二次方程化为的完全平方形式，再利用直接开平方法降次求解，是推导公式法的基础。 2. 标准解题六步法（适用于所有一元二次方程） 一化：将方程化为一般形式，两边同时除以二次项系数，使二次项系数为1； 二移：将常数项移到方程右侧，含未知数的项留在左侧； 三配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，这是配方的关键步骤； 四整：左侧整理为完全平方式，右侧合并为常数； 五开：对等式两边直接开平方（注意正负双根）； 六解：解出两个一元一次方程的根，最终写出方程的解。 3. 根的判定：配方后若右侧常数，方程有两个不相等实数根；，方程有两个相等实数根；，方程无实数根。 【知识点03】四大解法核心特点与适用场景 苏科版教材四大解法：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法 直接开平方法：适用或型方程，步骤最简，无需整理复杂式子； 因式分解法：适用左边可十字相乘、提公因式、平方差/完全平方分解的方程，解题速度最快； 公式法：通用解法，适用于所有有实数根的一元二次方程，公式：； 配方法：基础核心方法，多用于求代数式最值、二次函数顶点、推导求根公式，常规解方程优先不选用。 易错1：忘记二次项系数化为1直接配方 错误示例：，直接加配方。 正确逻辑：必须先除以2，将二次项系数化为1后，再用一次项系数计算配方常数。 易错2：配方时只给左边加常数，右边漏加 配方属于等式恒等变形，左右两边必须同时加相同常数，否则等式不成立，是最常见失分点。 易错3：开平方遗漏负根 对开方时，只写，漏掉，导致少一个解。 易错4：忽略无实数根的情况 配方后右侧常数为负数时，仍强行开方求解，实际此时方程无实数根。 易错5：一次项系数为奇数时计算失误 一次项系数为奇数，一半为分数，平方计算易出错，需仔细通分运算，避免数值错误。 【题型一】纯配方法解方程（基础必考） 【例1】．（25-26九年级上·江苏南京·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（） A． B． C． D． 【例2】．（2026·江苏扬州·二模）用配方法解方程时，将原方程转化为的形式可得____． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏南京·期中）一元二次方程配方后可化为（　　） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）解方程：． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏·阶段检测）解方程：． 【题型二】二次项系数不为1的配方法解方程（高频） 【例3】．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【例4】．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）一元二次方程配方化为，则的值为______． 【例5】．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）解方程： （配方法） 【变式1】．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为______． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏·期末）阅读与思考 小明同学解一元二次方程的过程如下： 解：移项，得      ① 两边同除以2，得      ② 配方，得      ③ 即      ④     ∴或  ⑤     ∴，  ⑥ 小明解方程的方法是_________（填字母）A．直接开平方法，B．配方法，C．公式法，D．因式分解法． 他的求解过程从步骤_________（填序号）开始出现错误；请你写出正确的解答过程． 【变式3】．王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得．                第一步 二次项系数化为1，得．            第二步 配方，得．                第三步 因此．                        第四步 由此得或．                第五步 解得．                        第六步 (1)王明的解题过程从第______步开始出现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程． 【题型三】解法择优快速解题（选择填空提速） 【例6】．（25-26九年级下·江苏常州·期中）方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【例7】．（25-26九年级上·江苏宿迁·自主招生）已知某函数的图像关于直线对称，若自变量取和时对应的函数值相等，则的值为（   ） A．1 B． C． D．0或1 【例8】．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）关于的方程的根是，，（，，均为常数，），则关于的方程的根是_____________________． 【例9】．（24-25九年级上·江苏南京·期末）用配方法解一元二次方程，配方之后的方程是______． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）若关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的根是（　　） A．或1 B．或 C．或 D．1或3 【变式2】．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）若关于的方程（）的两根分别为，则关于的方程的两根分别为（   ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）有一元二次方程（）的两根分别是与，则这两根分别是______． 【变式4】．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1)； (2)． 【变式5】．（2026·江苏南京·一模）解方程： (1) (2) (3) 【题型四】配方法求代数式最值（重难点） 【例10】．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）若，则的最小值为______． 【例11】．（2026·江苏连云港·一模）设m，n为实数，且有最小值，则W的最小值为________． 【例12】．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）阅读理解：配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为，所以：就有最小值，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值．同样，因为，所以有最大值，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值． (1)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ； (2)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ． (3)如图，用的铝合金条制成“日”字形窗框，窗框的宽度和高各是多少时，窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）？ 【变式1】．（2026·江苏连云港·中考真题）若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 【变式2】．（2025九年级上·江苏·专题练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解：， 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： (1)若可配方成 (m，n为正整数)，则的值为 ； (2)已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 【变式3】．阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． （一）用配方法分解因式：． 解： ． （二）用配方法求代数式的最小值． 解： ， ， ≥－1． 即的最小值为． 请仿照以上例子解答下列问题： (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为_____；（直接写出结果） (2)用配方法分解因式：； (3)用配方法求代数式的最小值． 【变式4】．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”．理由：因为，再如，（，是整数），所以M也是“完美数”． [问题解决] （1）请你再写一个小于10的“完美数”______； （2）若二次三项式（是整数）是“完美数”，可配方成（，为常数），则的值为______； [问题探究] （3）已知（，是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值． [问题拓展] （4）已知实数x，y满足，求代数式的最小值． 【题型五】含参数一元二次方程配方问题（压轴基础） 【例13】．（25-26九年级上·江苏南通·期中）用配方法解一元二次方程得，则b的值为（    ） A． B． C．6 D．2 【例14】．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则n的值为___________． 【例15】．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）定义：如果关于x的一元二次方程（），有一个根是a，那么我们称这个方程为 “A方程”，如一元二次方程有一根为，所以此方程为“A方程”． (1)若关于x的一元二次方程是“A方程”，求k的值； (2)已知关于x的一元二次方程（）是“A方程”，求代数式的最小值． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，在用配方法解一元二次方程时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是、宽是x、面积是的矩形割补成一个正方形，则m的值是_______． 【变式3】．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）阅读理解： 对于一个关于x的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法，比如先令，然后移项可得，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子． 例：求的取值范围． 解：令，，. . ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的取值范围； (2)若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为，求a的值； 1. 配方法是一元二次方程的核心基础方法，核心逻辑是“化二次为一次”的降次转化思想，所有一元二次方程均可配方求解。 2. 配方法核心步骤：化1→移项→配方→整理→开方→求解，最关键易错点是两边同加配方常数、不遗漏负根、判断根的存在性。 3. 解方程优先择优，避免盲目配方；配方法的核心价值不在于快速解方程，而在于求最值、公式推导、拓展应用。 4. 解题核心原则：简单方程巧解（开平、分解），复杂方程稳解（公式），特殊题型专解（配方）。 一、单选题 1．用配方法解方程，变形后的结果正确的是（     ） A． B． C． D． 2．若，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 3．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则a的值为（    ） A． B．2 C． D．4 4．设方程的两个根为m、n，那么的值为（   ） A． B．1 C． D．2 5．已知关于的方程的解为，则方程的解为（　　） A． B． C． D． 6．将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式． 若，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 二、填空题 7．解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为______． 8．设方程的正根介于整数m与之间，则________． 9．关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是______． 10．若关于x的一元二次方程有实数根，，且，则n的取值范围是______． 三、解答题 11．解方程： (1) (2) 12．解方程： (1)； (2) 13．解下列方程． (1) (2) 14．用合适的方法解方程 (1)． (2)． (3)． 15．解下列方程 (1)； (2)（配方法）； (3)； (4)． 16．解下列方程： (1)； (2)（用配方法）； (3)； (4)（用公式法）． 17．配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些求最值的问题． 例如：，所以，即有最小值为1，此时． 再如：，所以，即有最大值为5，此时． (1)当_________时，代数式有最_________（填“大”或“小”）值，且为_________； (2)当_________时，代数式有最_________（填“大”或“小”）值，且为_________； (3)如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围的栅栏的总长是18m，栅栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题01 一元二次方程解法择优与配方法专项 （核心知识+5易错辨析+5典例精讲） 【知识点01】一元二次方程基础定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 一般形式：，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项，核心前提：a≠0，否则方程降为一次方程。 【知识点02】配方法核心原理与步骤 1. 原理：转化思想，通过恒等变形，将一元二次方程化为的完全平方形式，再利用直接开平方法降次求解，是推导公式法的基础。 2. 标准解题六步法（适用于所有一元二次方程） 一化：将方程化为一般形式，两边同时除以二次项系数，使二次项系数为1； 二移：将常数项移到方程右侧，含未知数的项留在左侧； 三配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，这是配方的关键步骤； 四整：左侧整理为完全平方式，右侧合并为常数； 五开：对等式两边直接开平方（注意正负双根）； 六解：解出两个一元一次方程的根，最终写出方程的解。 3. 根的判定：配方后若右侧常数，方程有两个不相等实数根；，方程有两个相等实数根；，方程无实数根。 【知识点03】四大解法核心特点与适用场景 苏科版教材四大解法：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法 直接开平方法：适用或型方程，步骤最简，无需整理复杂式子； 因式分解法：适用左边可十字相乘、提公因式、平方差/完全平方分解的方程，解题速度最快； 公式法：通用解法，适用于所有有实数根的一元二次方程，公式：； 配方法：基础核心方法，多用于求代数式最值、二次函数顶点、推导求根公式，常规解方程优先不选用。 易错1：忘记二次项系数化为1直接配方 错误示例：，直接加配方。 正确逻辑：必须先除以2，将二次项系数化为1后，再用一次项系数计算配方常数。 易错2：配方时只给左边加常数，右边漏加 配方属于等式恒等变形，左右两边必须同时加相同常数，否则等式不成立，是最常见失分点。 易错3：开平方遗漏负根 对开方时，只写，漏掉，导致少一个解。 易错4：忽略无实数根的情况 配方后右侧常数为负数时，仍强行开方求解，实际此时方程无实数根。 易错5：一次项系数为奇数时计算失误 一次项系数为奇数，一半为分数，平方计算易出错，需仔细通分运算，避免数值错误。 【题型一】纯配方法解方程（基础必考） 【例1】．（25-26九年级上·江苏南京·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，关键步骤是加上一次项系数一半的平方．使用配方法解一元二次方程，将方程化为完全平方形式． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即． 故选：C． 【例2】．（2026·江苏扬州·二模）用配方法解方程时，将原方程转化为的形式可得____． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】先移项，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：∵， 移项得， 配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得： ， 整理得． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏南京·期中）一元二次方程配方后可化为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先移项，再利用完全平方公式配方即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）解方程：． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．利用配方法解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏·阶段检测）解方程：． 【答案】； 【知识点】解一元二次方程——配方法 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， ∴， 直接开方得：， ∴； 【题型二】二次项系数不为1的配方法解方程（高频） 【例3】．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查的是利用配方法解一元二次方程．先把原方程化为：，再“两边同时加上一次项系数一半的平方”，从而可得答案． 【详解】解：， ， 配方得，即， 故选：A． 【例4】．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）一元二次方程配方化为，则的值为______． 【答案】4 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】将配方后的式子展开，对照形式可得结果． 【详解】解：， 展开得：， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能理解配方法是解此题的关键，解一元二次方程有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等． 【例5】．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）解方程： （配方法） 【答案】 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得； （2）解： 化为一般式得， ∵， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 【变式1】．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为______． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】对用配方法处理化为的形式即可． 【详解】解：进行移项得， 二次项系数化为1得， 配成完全平方式得，即， 因为用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式， 所以，，则； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的配方法等知识，灵活掌握一元二次方程的配方法过程是解题的关键． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏·期末）阅读与思考 小明同学解一元二次方程的过程如下： 解：移项，得      ① 两边同除以2，得      ② 配方，得      ③ 即      ④     ∴或  ⑤     ∴，  ⑥ 小明解方程的方法是_________（填字母）A．直接开平方法，B．配方法，C．公式法，D．因式分解法． 他的求解过程从步骤_________（填序号）开始出现错误；请你写出正确的解答过程． 【答案】B ③ 正确的解析过程如下： ， 移项得，， 等式两边同时除以2得，， 配方得，， 即， ∴或， ∴． 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握配方法是关键，运用配方法求解即可． 【详解】解：小明解方程的方法是配方法， 他的求解过程从步骤③开始出现错误． 【变式3】．王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得．                第一步 二次项系数化为1，得．            第二步 配方，得．                第三步 因此．                        第四步 由此得或．                第五步 解得．                        第六步 (1)王明的解题过程从第______步开始出现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程． 【答案】(1)二 (2) 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方． （1）由配方法解一元二次方程即可判断错误的步骤； （2）由配方法解一元二次方程即可得到答案； 【详解】（1）解题过程从第二步开始出现了错误，错误原因是系数化为1时，等式右边的-3未除以2， 故答案为：二； （2）． 移项，得：， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：， 因此， 由此得：或， 解得：． 【题型三】解法择优快速解题（选择填空提速） 【例6】．（25-26九年级下·江苏常州·期中）方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得，． 【例7】．（25-26九年级上·江苏宿迁·自主招生）已知某函数的图像关于直线对称，若自变量取和时对应的函数值相等，则的值为（   ） A．1 B． C． D．0或1 【答案】D 【知识点】因式分解法解一元二次方程、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了函数的图像与性质，解一元二次方程，由函数关于对称，自变量取和时对应的函数值相等，则，然后解方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵函数关于 对称，自变量取和时对应的函数值相等， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴或， 故选：． 【例8】．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）关于的方程的根是，，（，，均为常数，），则关于的方程的根是_____________________． 【答案】， 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】令，再利用换元法解一元二次方程即可． 【详解】解：令，则关于的方程可化为， ∵关于的方程的根是，， ∴关于的方程的根是，， ∴关于的方程的根是，，即，． 【例9】．（24-25九年级上·江苏南京·期末）用配方法解一元二次方程，配方之后的方程是______． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，按照配方法的步骤写出配方之后的方程即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）若关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的根是（　　） A．或1 B．或 C．或 D．1或3 【答案】C 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，先将代入一元二次方程得到，将方程可化为，则，再解方程即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为1， ∴，， ∴， ∷方程可化为， ∴， 解得，， 故选：C． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）若关于的方程（）的两根分别为，则关于的方程的两根分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题重点考查​一元二次方程的根与换元法的应用​，​理解整体代换思想，将视为一个整体变量​是解题的关键． 把方程中的看成一个新的未知数，则关于的方程的解等于关于x的一元二次方程的解，求解即可． 【详解】解：由题意得：关于的方程的解为：，， 解得：，， 故选：D． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）有一元二次方程（）的两根分别是与，则这两根分别是______． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了直接开方法解一元二次方程以及解一元一次方程，灵活运用一元二次方程的两根互为相反数是解题的关键．根据一元二次方程的解互为相反数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再将其分别代入与，中即可求出结论． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别是与， ∴， 解得：， ∴，． 故答案为：． 【变式4】．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、公式法解一元二次方程 【分析】（）利用直接开平方法解答即可求解； （）利用公式法解答即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即或， ，； （2）解：，，， ∴， ， ，． 【变式5】．（2026·江苏南京·一模）解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)，； (2)，； (3)无实数解 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——直接开平方法、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）先移项，再系数化为1，最后直接开平方即可． （2）先移项，再利用因式分解法即可求解． （3）利用根的判别式可确定该方程无实数解． 【详解】（1）解：， ， ， ∴，； （2）解：， 整理得， 因式分解得， ∴，， ∴； （3）解：， 整理得， ，，， ∵， ∴该方程无实数解． 【题型四】配方法求代数式最值（重难点） 【例10】．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）若，则的最小值为______． 【答案】 【知识点】配方法的应用 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式、配方法的应用、非负数的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．先根据已知等式用含的代数式表示，然后通过配方及非负数性质求解即可． 【详解】解：， ． 则． 的最小值为 故答案为： 【例11】．（2026·江苏连云港·一模）设m，n为实数，且有最小值，则W的最小值为________． 【答案】/ 【知识点】配方法的应用 【分析】把变形为，结合， ，从而可得，进而可得解． 【详解】解：由题意得： 又∵， ， ∴， ∴W的最小值为． 【例12】．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）阅读理解：配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为，所以：就有最小值，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值．同样，因为，所以有最大值，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值． (1)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ； (2)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ． (3)如图，用的铝合金条制成“日”字形窗框，窗框的宽度和高各是多少时，窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）？ 【答案】(1)，小， (2)，大， (3)当宽是，高是时，窗户的透光面积最大 【知识点】配方法的应用、不等式的性质 【分析】本题考查了配方法的应用及不等式的基本性质，熟练掌握配方法变形二次三项式及不等式的基本性质是解题的关键． （1）利用利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解； （2）先利用配方法将二次三项式变形，再利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解； （3）窗框的宽度为，则高度为，则，利用配方法变形二次三项式，再利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 当，即时，代数式有最小值， 故答案为：，小，； （2） ， ， ， ， 当，即时，代数式有最大值， 故答案为：，大，； （3）窗框的宽度为，则高度为， 窗户的透光面积 ， ， ， ， 当，即时，代数式有最大值，即窗户的透光面积最大为， 此时窗框的高为， 答：当宽是，高是时，窗户的透光面积最大． 【变式1】．（2026·江苏连云港·中考真题）若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 【答案】/ 【知识点】配方法的应用 【分析】利用已知条件对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再用配方法最小值即可． 【详解】解：，且都不为， ， ， 设则，原式， ， ，当时，原式取得最小值， 即的最小值为． 【变式2】．（2025九年级上·江苏·专题练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解：， 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： (1)若可配方成 (m，n为正整数)，则的值为 ； (2)已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 【答案】(1)9 (2)2025 【知识点】配方法的应用 【分析】本题主要考查了偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）将配方成的形式，即可得解； （2）转化为，从而原式化简得：，据此求解即可． 【详解】（1）解：由， ∵可配方成， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 当时，的最小值为2025． 【变式3】．阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． （一）用配方法分解因式：． 解： ． （二）用配方法求代数式的最小值． 解： ， ， ≥－1． 即的最小值为． 请仿照以上例子解答下列问题： (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为_____；（直接写出结果） (2)用配方法分解因式：； (3)用配方法求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】平方差公式分解因式、配方法的应用、求完全平方式中的字母系数、完全平方公式分解因式 【分析】（）根据完全平方公式解答即可； （）仿照（一）解答即可； （）仿照（二）解答即可； 本题考查了完全平方公式，配方法及因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵代数式是完全平方式， ∴， 即， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ， ∵， ∴， ∴ 即代数式的最小值是． 【变式4】．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”．理由：因为，再如，（，是整数），所以M也是“完美数”． [问题解决] （1）请你再写一个小于10的“完美数”______； （2）若二次三项式（是整数）是“完美数”，可配方成（，为常数），则的值为______； [问题探究] （3）已知（，是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值． [问题拓展] （4）已知实数x，y满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键． （1）根据“完美数”的定义判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值； （3）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义进而可以列式计算得解； （4）依据题意，由，则，从而，进而计算可以得解． 【详解】（1）4是“完美数”，理由：因为； 故答案为：答案不唯一； （2）， ，， ， 故答案为：12 （3）， 由题意得：， ； （4）由题意，， ，即 又， 当时，取最小值为4， 的最小值为 【题型五】含参数一元二次方程配方问题（压轴基础） 【例13】．（25-26九年级上·江苏南通·期中）用配方法解一元二次方程得，则b的值为（    ） A． B． C．6 D．2 【答案】C 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程−配方法，将一元二次方程配成的形式是解题关键． 根据配方法的结果，推出方程的标准形式，再与原方程比较系数求b． 【详解】∵配方法得， ∴， 展开得， 整理得． 原方程两边除以2得． 比较系数，得， ∴， ∴． 故选C． 【例14】．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则n的值为___________． 【答案】16 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法的运用，掌握一元二次方程配方法的计算是解题的关键． 找到一次项系数，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵用配方法将变为的形式， ∴， 故答案为：16． 【例15】．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）定义：如果关于x的一元二次方程（），有一个根是a，那么我们称这个方程为 “A方程”，如一元二次方程有一根为，所以此方程为“A方程”． (1)若关于x的一元二次方程是“A方程”，求k的值； (2)已知关于x的一元二次方程（）是“A方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)8 (2) 【知识点】配方法的应用、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的其他应用，新定义，配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把代入方程，即可求解； （2）把代入，可得得，再把代入进行计算，然后配方，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程是“A方程”， ∴该方程的一个根为， ∴， 解得：； （2）解：∵关于的一元二次方程是“方程”， ∴把代入，得： ∴； ∴ ， ∵， ∴当时，代数式有最小值，最小值为． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元二次方程——配方法、配方法的应用 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先利用配方法将一元二次方程化为，从而得到、的值，最后代入计算即可． 【详解】解： ，， ， 故选：C． 【变式2】．（23-24九年级上·江苏常州·期末）如图，在用配方法解一元二次方程时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是、宽是x、面积是的矩形割补成一个正方形，则m的值是_______． 【答案】3 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查的是解一元二次方程，用配方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴． 故答案为：3． 【变式3】．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）阅读理解： 对于一个关于x的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法，比如先令，然后移项可得，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子． 例：求的取值范围． 解：令，，. . ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的取值范围； (2)若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为，求a的值； 【答案】(1) (2)或 【知识点】配方法的应用、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）令，构造以x为主元的一元二次方程，利用根的判别式解答即可． （2）根据二次三项式（a为常数）的最小值为，得到，解答求a的值； 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，配方法的应用，解方程，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】（1）解：令， ∴， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵二次三项式（a为常数）的最小值为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴最小， 解得或． 1. 配方法是一元二次方程的核心基础方法，核心逻辑是“化二次为一次”的降次转化思想，所有一元二次方程均可配方求解。 2. 配方法核心步骤：化1→移项→配方→整理→开方→求解，最关键易错点是两边同加配方常数、不遗漏负根、判断根的存在性。 3. 解方程优先择优，避免盲目配方；配方法的核心价值不在于快速解方程，而在于求最值、公式推导、拓展应用。 4. 解题核心原则：简单方程巧解（开平、分解），复杂方程稳解（公式），特殊题型专解（配方）。 一、单选题 1．用配方法解方程，变形后的结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程-配方法，把方程的常数项移到等号右边后，在方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边化为完全平方式的形式，再用直接开方法求解．据此解答即可． 【详解】解：方程， 移项得：， 配方得：， 即， 故选：A． 2．若，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，由 得 ，代入 得到 ，利用配方法可得，即得，据此即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 可能取值为， 故选：． 3．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则a的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用，使用配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，从而确定a的值． 【详解】解：∵， 移项得， ∴， 即， ∴， 故a的值为2， 故选：B． 4．设方程的两个根为m、n，那么的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程根的定义与方程的求解．利用方程根的性质化简得到，求解方程得两根后计算出，再代入求出结果． 【详解】∵是方程的根， ∴，即． ∴． 解方程： 判别式， ∴， 得两根，， 故． ∴． 故选：A． 5．已知关于的方程的解为，则方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，掌握换元法解一元二次方程是解题的关键；把变形为，设，则原方程可转化为，与关于的方程的解相同，据此可求出，即可得解． 【详解】解：方程变形为， 设，则原方程可转化为， 关于的方程的解为， 或， 或， ， 故选：． 6．将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式． 若，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程，根据新定义，列出一元二次方程进行求解后，再进行乘法计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴； 故选C． 二、填空题 7．解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为______． 【答案】2026 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，从而确定参数a和b的值，再计算它们的和可得答案． 【详解】解： ， ∴， ∴， 故答案为：． 8．设方程的正根介于整数m与之间，则________． 【答案】3 【分析】先求出方程的正根，再估算正根的范围，即可得到整数的值． 【详解】解：得，， 可知方程的正根为． ， ， ， 则． 9．关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是______． 【答案】， 【分析】此题主要考查利用整体代换思想解方程．熟练掌握该知识点是关键；通过观察方程结构，可将第二个方程中的看作一个整体，则该整体的值应等于第一个方程的解，从而求出的值． 【详解】解：关于的方程的解是，，，均为常数，， 方程变形为， 即此方程中或， 解得或． 故答案为：，． 10．若关于x的一元二次方程有实数根，，且，则n的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，求不等式组的解集．利用因式分解法求出，，进而可得，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据直接开平方法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解得， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴． 12．解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，； （2）解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 13．解下列方程． (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的一般方法是解题的关键； （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项，得 配方，得， 即， ∴或， ∴，； （2）解：， 移项，得， 即， 因式分解，得， ∴或， ∴，． 14．用合适的方法解方程 (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用配方法求解即可； （3）利用公式法求解即可． 【详解】（1）（1）解： ，； （2）（2）解： ，； （3）（3）解：，， ，． 15．解下列方程 (1)； (2)（配方法）； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握直接开方法，配方法，因式分解法，公式法的计算是关键． （1）运用直接开方法求解即可； （2）运用配方法求解即可，配方时，找到一次项系数，注意符号的变化； （3）运用因式分解法求解即可； （4）确定的值，计算出，代入求根公式即可求解． 【详解】（1）解：， 移项得，， 直接开方得，， 移项得，， 系数化为1得，， 解得，，； （2）解：， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方得，， 配方得，， 直接开方得，， 移项得，， 解得，，； （3）解：， 移项化为一般式得，， 因式分解得，， ∴或， 解得，，； （4）解：， ，， ∴， 解得，，． 16．解下列方程： (1)； (2)（用配方法）； (3)； (4)（用公式法）． 【答案】(1) (2)， (3) (4)， 【分析】（1）直接运用直接开平方求解即可； （2）先配方，然后再运用直接开平方法求解即可； （3）先移项，然后再运用因式分解法求解即可； （4）直接运用公式法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ，即， ， ， ． （3）解： ， ， 或， ． （4）解： ∵， ∴， ∴， ∴， ． 17．配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些求最值的问题． 例如：，所以，即有最小值为1，此时． 再如：，所以，即有最大值为5，此时． (1)当_________时，代数式有最_________（填“大”或“小”）值，且为_________； (2)当_________时，代数式有最_________（填“大”或“小”）值，且为_________； (3)如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围的栅栏的总长是18m，栅栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)1，小，3 (2)，大，1 (3)矩形中垂直于墙的边的边长为时，矩形的面积最大为 【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键： （1）根据完全平方的非负性，进行求解即可； （2）利用配方法进行求解即可； （3）设矩形垂直于墙的边的边长为，根据矩形的性质，列出代数式，配方法求出最大值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当，即时，，值最小； 故答案为：1，小，3； （2）∵， ∵， ∴， ∴当，即时，有最大值为1； （3）设矩形垂直于墙的边的边长为，则另一边的边长为， ∴矩形的面积， ∴当时，矩形的面积最大为， ∴当矩形中垂直于墙的边的边长为时，矩形的面积最大为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $