专题1.2 一元二次方程的解法（5大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年苏科版九年级数学上学期

本讲义系统梳理一元二次方程的直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法四种核心解法，构建从基础降次（直接开平方法）到通用转化（配方法推导公式法），再到特定形式快速求解（因式分解法）及解法选择技巧的完整学习支架。 资料以分层题型（基础必考、培优高频、压轴素养）设计为特色，通过例题与变式题结合，培养学生运算能力与推理意识，配方法拓展应用及新定义题型发展创新意识。易错点总结助力学生查漏补缺，课中辅助教师分层教学，课后方便学生复习强化。

专题1.2 一元二次方程的解法 知识点1：直接开平方法   1. 定义：依据平方根的意义，直接通过开平方运算求解一元二次方程的方法，是最基础的降次解法，核心思想是将二次方程转化为一元一次方程求解。   2. 适用方程类型及求解规则 方程适用形式 取值条件 方程的解 （为常数） （为常数，）   3. 核心注意点：若常数项小于0，方程无实数根；开平方必须保留正负两个根，不可遗漏负根。 知识点2：配方法   1. 定义：通过配方将一元二次方程变形为（为常数）的完全平方形式，再利用直接开平方法求解的通用解法，适用于所有一元二次方程。   2. 标准解题步骤（一化、二移、三配、四开、五解）   （1）一化：方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1；   （2）二移：将常数项移到等号右侧，含未知数的项留在左侧；   （3）三配：等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式；   （4）四开：对变形后的完全平方式直接开平方；   （5）五解：化简计算，求出方程的两个实数根。   3. 拓展应用：可用于求二次代数式的最值、判断代数式正负、求解参数取值范围等。 知识点3：因式分解法   1. 定义：利用“若，则或”的原理，将一元二次方程整理为一边为0、另一边分解为两个一次因式乘积的形式，转化为两个一元一次方程求解。   2. 常用因式分解类型 方程形式 因式分解结果 方程的解   3. 易错核心规则：方程两边存在含未知数的相同因式时，不可直接约去，否则会丢失使因式为0的根。 知识点4：公式法   1. 求根公式推导：由配方法对一元二次方程一般形式变形推导得出。   2. 求根公式：当时，。   3. 根的判别式：式子为一元二次方程根的判别式，用于判断实数根情况：   （1）：方程有两个不相等的实数根；   （2）：方程有两个相等的实数根；   （3）：方程无实数根。   4. 解题步骤：化为一般形式→确定的值→计算判别式→代入公式求根。 知识点5：一元二次方程解法选择技巧   1. 具备形式，优先选直接开平方法，计算最简便；   2. 方程可整理为一边为0、左边易因式分解，优先选因式分解法；   3. 二次项系数为1、一次项系数为偶数，优先选配方法；   4. 系数复杂、含根号、无法简便求解，统一用公式法。 【基础必考题型】 【题型1】直接开平方法常规解方程 1.核心知识点 掌握直接开平方法的适用方程形式，理解平方根的正负双值性，能准确求解基础型平方结构一元二次方程，区分有实数根、无实数根的条件。 2.解题方法技巧 先将方程整理为纯平方等于非负数的标准形式，再双向开平方，拆分出两个一元一次方程；若整理后平方等于负数，直接判定无实数根，杜绝漏写负根。 【例题1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据非负数的性质，建立不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程可以用直接开平方法求解，， ∴， 解得． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：． 【答案】 【详解】解：， ， 或， 解得，． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·福建福州·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ∴ （2）解： ∴ 【变式题1-3】.（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）用直接开平方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程得方法和步骤是解答此题的关键． （1）先移项，然后直接开平方得，再解一元一次方程即可； （2）先变形得到，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】（1）解：， 移项得，， 开方得，， ∴，； （2）解：， 化简得，， 开方得，， ∴，． 【题型2】因式分解法解方程 1.核心知识点 掌握提公因式、平方差、完全平方公式三种基础因式分解方式，理解“乘积为0则因式为0”的降次原理，适配简单一元二次方程求解。 2.解题方法技巧 优先移项使方程右侧为0，观察左侧结构选择对应因式分解方法，分解完成后分别令两个一次因式为0，求解方程根，严禁直接约去含未知数的因式。 【例题2】.（2026九年级上·全国·专题练习）一元二次方程的两个根是（     ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， ∴方程的两个根为，． 【变式题2-1】.（25-26九年级上·北京·阶段检测）用适当方法解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ∴或 解得，． （2）解： 移项得 开平方得 解得，． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·北京西城·开学考试）用适当的方法解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ∴或， 解得； （2）解： ， ， ∴或， 解得． 【变式题2-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）用整式乘法的逆运算来进行因式分解，我们把这种方法叫作十字相乘法，即． 例如：分解因式时，，即： 这样我们就可以把分解为．试用十字相乘法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： 或 解得； （2）解： 或 解得； （3）解： 或 解得； （4）解： 或 解得． 【题型3】配方法基础配方变形 1.核心知识点 掌握二次项系数为1、不为1的二次三项式配方规则，熟记“一次项系数一半的平方”核心配方要点，能完成代数式与方程的基础配方变形。 2.解题方法技巧 二次项系数不为1时，先提取系数化为1，再进行配方；配方时等式两边同步加减对应常数，保证等式恒成立，精准匹配完全平方公式结构。 【例题3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法将二次三项式变形，结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）若将一元二次方程转化为的形式，则b的值为（     ） A．1 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【详解】解：， ， ， ，即b的值为10． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）填空： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 【答案】 1 1 【详解】解：（1） （2） （3） （4） 【变式题3-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）阅读下列解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：…① …② …③ 或…④ ，…⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤________（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)解：配方，得 ， 即， 移项，得 ， 两边开平方，得 ， 即，或， ∴，． 【分析】（1）步骤②中，等式左边加了1，没有同时减1，导致等式不成立； （2）按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 【题型4】判别式判断根的基础情况 1.核心知识点 熟记根的判别式的三种取值对应根的情况，能准确识别一元二次方程的参数，不含参数直接判断根的个数。 2.解题方法技巧 先将方程化为标准一般形式，精准提取含符号的，代入判别式计算，根据结果正负、零直接判定实数根情况，无需解方程。 【例题4】.（25-26八年级下·北京房山·期末）关于方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题通过计算一元二次方程的判别式的值，根据判别式的意义判断根的情况． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴， 根据判别式的意义，当时，方程有两个相等的实数根， ∴该方程有两个相等的实数根． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）关于的一元二次方程中，，则该方程的根的情况是（     ） A．两实数根之和为1 B．两实数根之积为1 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】C 【分析】先计算根的判别式，结合判断判别式的符号，即可确定方程根的情况，即可得出答案． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ∴， ， ，即， 该方程没有实数根． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·广西百色·期末）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据判别式与0的大小关系判断根的情况，一元二次方程中，判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴该一元二次方程没有实数根． 【变式题4-3】.（25-26八年级·全国·暑假作业）下列方程，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有实数根，计算各选项的判别式即可得出结论． 【详解】解：A、，，故方程无实数根； B、，，故方程无实数根； C、，，故方程有实数根； D、，，故方程无实数根． 【题型5】公式法综合解方程 1.核心知识点 熟练运用求根公式求解各类一元二次方程，掌握含根号、分数系数方程的化简方法，结合判别式预判方程根的存在性。 2.解题方法技巧 复杂方程先去分母、去括号、整理为一般形式，再计算判别式，时代入公式，最后对根式结果彻底化简，保证根的最简形式。 【例题5】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，，那么______，______，______． 【答案】 1 3 【分析】题目给出的根符合一元二次方程求根公式的形式，对比对应位置系数即可求解． 【详解】解：一元二次方程的求根公式为， 题目给出的两根可写为， 将两式对应位置对比，可得 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，代入得， ∴． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)方程无实数根 【分析】（1）根据一元二次方程的一般形式，分别找出二次项系数，一次项系数和常数项，根据判别式的值判断出该方程有两个不相等的实数根，再利用公式法求解即可； （2）先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别找出方程的二次项系数，一次项系数和常数项，根据判别式的值判断出该方程有两个不相等的实数根，再利用公式法求解即可； （3）先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别找出方程的二次项系数，一次项系数和常数项，根据判别式的值判断出该方程无实数根． 【详解】（1）解：， 由方程可得：，，， ∵， ∴， 即，； （2）解： ， 将原方程化为一般形式，得， 由方程一般形式可得：，，， ∵， ∴， 即，； （3）解：， 将原方程化为一般形式，得， 由方程一般形式可得：，，， ∵， ∴该方程无实数根． 【变式题5-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ∴, ∴， ∴， 解得：； （2）解： ， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先找出，，并判断的正负，再代入公式求解即可； （2）先找出，，并判断的正负，再代入公式求解即可． 【详解】（1）解：，，，且， ∴，即，． （2）解：∵，，，且， ，即，． 【培优高频题型】 【题型6】含参数方程根的情况判定 1.核心知识点 结合根的判别式与一元二次方程定义（），根据方程根的个数条件，求解参数的取值范围或具体值。 2.解题方法技巧 先列出判别式不等式或等式，求解参数范围，再二次校验二次项系数不为0的隐藏条件，剔除增根，保证符合一元二次方程定义。 【例题6】.（26-27九年级上·全国·课后作业）关于的一元二次方程有实数根，则整数的最小值是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义得到二次项系数不为，结合方程有实数根得到根的判别式大于等于，求出的取值范围，即可确定整数的最小值． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，且， 解得，且， 整数的最小值为． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·北京西城·开学考试）若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程无实数根的条件为判别式小于0，只需通过判别式列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴判别式， 展开整理得， 解得， 因此的取值范围是． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）已知关于的一元二次方程． (1)求证：对于任意非零实数，该方程总有两个实数根； (2)若此方程有两个不等实根，且均为整数，求整数的值． 【答案】(1)证明： ． 方程总有两个实数根 (2)整数的值为． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式证明即可； （2）用分解因式法求出一元二次方程的两个根分别为：，，根据方程的两个根均为整数可得，再根据方程有两个不相等的实数根确定的值． 【详解】（1）略 （2）解：方程可化为， 解得：，， 方程两根均为整数， 为整数，即为整数， 整数， 当时，可得：， ， 当时，， ，故舍去， 整数的值为． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有实数根； (2)若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 【答案】(1) 证明：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵任意实数的平方都大于等于，即， ∴， ∴此方程总有实数根． (2) 【分析】（1）通过计算一元二次方程的判别式，证明判别式恒大于等于，即可证明方程总有实数根； （2）先因式分解求出方程的两个根，再根据方程有两个互不相等的负整数根，且为整数的条件，排除不符合的情况，得到的值； 【详解】（1）略 （2）解：对， 因式分解得， ∴或， 解得，， ∵方程有两个互不相等的负整数根，且为整数， ∴是负整数， ∴或， 当时，，此时两根相等，不符合题意，舍去； 当时，，两根为和，是两个互不相等的负整数根，符合题意； ∴． 【题型7】换元法解复杂一元二次方程 1.核心知识点 运用整体换元思想，将高次、复合型方程中的重复整体替换为新未知数，转化为常规一元二次方程求解，体现转化数学思想。 2.解题方法技巧 找准方程中重复的整体结构进行换元，求解新方程后回代还原原未知数，检验根的有效性，舍去不符合题意的增根。 【例题7】.（26-27九年级上·全国·课后作业）阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设 那么原方程可化为， 解得， 当时，，，； 当时，，，， 故原方程的解为． 上述解题过程中，将原方程中某个多项式视为整体，并用另一个未知数替换这个整体，从而把高次方程化为低次方程，实现降次的目的，这种解方程的方法称为“换元法”． 解答问题：请用换元法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，将原方程化为一元二次方程，解得的值，再代回即可解答； （2）设，将原方程化为一元二次方程，解得的值，再代回即可解答． 【详解】（1）解：设， 原方程可化为， ， ，， 当时，， 经检验，是原方程的根； 当时，， 经检验，是原方程的根； 故原方程的解为． （2）解：设， 原方程可化为 ，， ， ， 舍去， 当时，，， 故原方程解为． 【变式题7-1】.（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：． 请借助整体思想完成： (1)计算． (2)，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式变形为，再将看成一个整体，利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）把看成一个整体，利用平方差公式计算，最后解方程即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， ． 令， ， ． 又，即， ， ． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）【阅读材料】 解方程：， 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则， 于是原方程可转化为： ， 解得：，． 当时，，所以； 当时，，所以， 所以原方程有四个根：，，，， 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)在解方程时，若设，则原方程可转化为______，解得原方程的根为______； (2)若 ，则______； (3)参照上面解题的思想方法解方程： ． 【答案】(1) ，， (2) (3) 【分析】（）直接代入得关于的方程，即可得到结果； （）设，则原方程可转化为，的方程得出，即可求解； （）设，则原方程可转化为，求出，即可得出关于的方程，然后解关于的分式方程，即可求解． 【详解】（1）解：设，代入原方程直接替换，得转化后的方程：， 因式分解得， 解得； 时，，即， 因式分解得， 解得或， 时，， 判别式，无实根， ∴原方程的根为； （2）解：设，由平方非负性得， 原方程可化为， 展开得， ， 结合得，即； （3）解：设， 原方程转化为：， ， 解得， ∴， 两边乘得， 解得， 检验：时分母， ∴是原方程的解． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·浙江金华·期中）若关于x的一元二次方程的两根为，则关于x的一元二次方程的解为______ 【答案】 【分析】将所求方程变形为关于的一元二次方程，结合原方程的根，即可求出所求方程的解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 设，则方程化为， 由已知得，一元二次方程的两根为，， 即或 分别解得，． 【压轴素养题型】 【题型8】配方法定值与最值应用 1.核心知识点 利用配方法将二次代数式化为的顶点式，结合平方的非负性，求解代数式最大值、最小值，确定参数取值。 2.解题方法技巧 根据二次项系数正负判断最值类型，系数为正有最小值、系数为负有最大值；配方后结合平方非负性确定最值，反向推导参数值。 【例题8】.（26-27九年级上·全国·课后作业）我们知道：，所以． 解答下列问题： (1)填空： 设，则． 所以，A______B；（填“”“”或“”） (2)已知，请判断的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)2；1； (2)．理由如下： ， ． ， 即， ． 【分析】（1）根据差值比较法比较两式大小即可； （2）求出，据此得出结论即可； 【详解】（1）解：设， 则． 所以，； （2）略 【变式题8-1】.（25-26八年级上·山西临汾·阶段检测）阅读材料： 形如的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： ， ， 即的最小值为-1． 问题解决： (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为___________； (2)用配方法分解因式：； (3)用配方法求代数式的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3)最小值为1 【分析】本题考查了完全平方公式、利用配方法因式分解、求最值等知识点熟练掌握配方法是解题关键． （1）根据完全平方公式即可解答； （2）利用配方法把配凑成，然后利用完全平方公式和平方差公式分解即可； （3）将配凑成，利用完全平方公式及其非负性求解即可． 【详解】（1）解：∵代数式是完全平方式， ∴， ∴， ∴，解得：或． 故答案为：或． （2）解： ． （3）解：， ， ， 的最小值为1． 【变式题8-2】.（2026·安徽芜湖·一模）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，由____①_____可知，当时，有最小值，最小值是_____②_____．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_____③_____＝____④_____ 【项目解决】 (2)当分别为的三边长，且满足时，c的取值范围是__⑤_____； (3)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_____⑥_____． 【答案】(1)；；； (2) (3) 【分析】（1）根据配方法进行配方即可； （2）把化为，再进一步求解即可； （3）由，结合，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：由可知，当时，有最小值，最小值是． 配方法也可以对一些多项式进行因式分解， 例如：分解因式，原式. （2）解：， ， ， ，， ，， ∵， ∴． （3）解：∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为. 【变式题8-3】.（25-26八年级下·江苏扬州·期中）阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 根据以上材料，利用多项式的配方法解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当x为何值时，多项式有最值？判断是最大值还是最小值，并求出这个最值． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最小值，最小值为 【分析】（1）仿照题干所给方法计算即可得出结果； （2）利用配方法将所求式子变形为，再结合，即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴当时，多项式有最小值，最小值为． 【题型9】新定义情境方程求解 1.核心知识点 读懂数学新定义规则，迁移一元二次方程解法、判别式知识，解决创新性定义题型，培养阅读理解与知识迁移素养。 2.解题方法技巧 拆解新定义核心规则，将陌生题型转化为常规一元二次方程问题，结合对应解法求解，严格遵循定义限制条件验证结果。 【例题9】.（25-26九年级上·陕西榆林·期中）定义新运算：对于任意实数m、n都有．例如：．根据以上定义解决问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）直接根据新运算得到一元二次方程，解方程即可求解； （2）根据新运算可得，再解出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 整理得， 解得； （2）解：∵，， ∴， 整理得， 开方得， 解得：． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据新定义的运算规则，将整理为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等实数根时判别式大于，求解得到的取值范围． 【详解】解：∵定义运算， ∴， ∵， ∴， 即， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 【变式题9-2】.（25-26九年级下·山东淄博·期末）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式的值是________________． 【答案】 【分析】根据“同族二次方程”的定义得到，进而可得方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， 解得， ． 【变式题9-3】.（25-26九年级下·山东烟台·期中）对于任意4个实数定义一种新的运算，例如：，则关于的方程的根的情况为（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无实数根 【答案】C 【分析】本题考查新定义运算与一元二次方程根的判别式，先根据新定义运算整理出关于x的一元二次方程，再计算根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况即可. 【详解】解：根据新运算的定义，得 整理得 ∵ ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根； 易错点 1、直接开平方法解方程时，忽略平方根的正负双值性，只保留正根，遗漏负根；平方项右侧为负数时，未判定无实数根强行求解。 2、因式分解法解方程时，直接约去方程两边含未知数的公因式，导致丢失有效根；移项时符号出错，未将方程右侧化为0直接分解。 3、配方法解题时，二次项系数不为1未先化1，或配方时只在左侧加常数、右侧漏加，导致等式不成立。 4、公式法求解时，提取参数遗漏正负符号；未先计算判别式，对无实根的方程强行代入公式计算。 5、含参数题型中，利用判别式求范围时，忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐藏条件，导致参数范围出错。 重点 1、熟练掌握直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法四种解法的解题步骤，能规范求解各类一元二次方程。 2、精准掌握根的判别式的应用，能不解方程判断根的情况，根据根的条件求解参数的值与取值范围。 3、掌握四种解法的择优技巧，能根据方程结构快速选择最优解法，提升运算准确性与解题速度。 4、掌握配方法的拓展应用，能求解二次代数式的最值、判断代数式正负，解决基础代数拓展问题。 难点 1、复杂方程的灵活求解：换元法、含绝对值方程的分类讨论求解，对整体思想、分类讨论思想的综合运用。 2、代数与几何综合问题：结合三角形边长性质，利用方程根的性质探究几何参数，融合多知识点综合解题。 3、新定义创新题型：快速迁移新知，将陌生情境转化为常规一元二次方程问题，灵活运用解法与判别式解题。 4、含参数方程的综合探究：结合判别式、方程的根、代数式最值，多条件联立求解参数，规避隐藏限制条件。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各选项方程整理为的形式，若，方程有两个不相等的实数根；若，方程有两个相等的实数根；若，方程无实数根；据此逐项判断即可． 【详解】解：A、，移项，得， ∵， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意； B、，移项，得， ∵， ∴此方程有两个不相等的实数根，故该选项符合题意； C、，系数化为，得， ∵， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意； D、， ∵， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意． 2．若关于的方程的一个根为，则方程的另一个根为（     ） A．3 B．9 C． D． 【答案】A 【分析】先根据方程的根，求得，再利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：把代入，得， 解得． 原方程为， 移项得. 开平方，得． 方程的另一个根为． 3．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式得到不等式，联立求出参数取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 二、填空题 4．在一元二次方程中，其根的判别式的值是______． 【答案】64 【分析】先把原方程整理为一元二次方程一般形式，确定的值后代入计算即可． 【详解】解：将原方程移项，整理为一般形式， 可得，，， ． 5．填空： （1）；横线内应依次填入：_________ 、___________； （2）；横线内应依次填入：_________、___________； （3）；横线内应依次填入：__________、___________． 【答案】 4 2 10（或） 5（或） 3（或） （或） 【分析】根据完全平方公式的结构特征，对比等式两边系数即可求解． 【详解】略 6．用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据配方法，在方程两边加上一次项系数一半的平方，对左边配方后即可求出的值． 【详解】解：原方程为，一次项系数为，其一半的平方为， 方程两边同时加，可得， 由完全平方公式整理左边，得， 要求方程化为的形式， ． 三、解答题 7．选择合适的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解：， ，． （2）解：，，， ， ， ，． （3）解：， ， ， ， ，． 8．阅读材料，并解答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解：． ，……① ，……② ，……③ ……④ 或． ． 问题： (1)佳佳解方程的方法是______； A．直接开平方法        B．配方法 (2)上述解答过程中，从第____________步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是____________； (3)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)B (2)②；等号右边没有加9 (3)解：． 移项，得， 配方，得， 即， ， 或， ． 【详解】（1）解：佳佳解方程的方法是配方法； （2）解：上述解答过程中，从第②步开始出现了错误，发生错误的原因是等号右边没有加9． （3）略 9．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：直接开平方法： ， ∴，． （2）解：公式法： ， ∴， ∴，． （3）解：因式分解法： ， ∴，． （4）解：移项，平方差公式： ， ， ， 或， ∴，． 10．已知关于x的方程．求证：无论m为何值，方程总有实数根． 【答案】证明：当时，方程为， 此时方程有解，解为； 当时，， 此时方程有实数根． 综上所述，不论m为何值时，方程总有实数根． 【分析】分两种情况：当时或当时，分别进行证明即可． 【详解】略 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 一元二次方程的解法 知识点1：直接开平方法   1. 定义：依据平方根的意义，直接通过开平方运算求解一元二次方程的方法，是最基础的降次解法，核心思想是将二次方程转化为一元一次方程求解。   2. 适用方程类型及求解规则 方程适用形式 取值条件 方程的解 （为常数） （为常数，）   3. 核心注意点：若常数项小于0，方程无实数根；开平方必须保留正负两个根，不可遗漏负根。 知识点2：配方法   1. 定义：通过配方将一元二次方程变形为（为常数）的完全平方形式，再利用直接开平方法求解的通用解法，适用于所有一元二次方程。   2. 标准解题步骤（一化、二移、三配、四开、五解）   （1）一化：方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1；   （2）二移：将常数项移到等号右侧，含未知数的项留在左侧；   （3）三配：等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式；   （4）四开：对变形后的完全平方式直接开平方；   （5）五解：化简计算，求出方程的两个实数根。   3. 拓展应用：可用于求二次代数式的最值、判断代数式正负、求解参数取值范围等。 知识点3：因式分解法   1. 定义：利用“若，则或”的原理，将一元二次方程整理为一边为0、另一边分解为两个一次因式乘积的形式，转化为两个一元一次方程求解。   2. 常用因式分解类型 方程形式 因式分解结果 方程的解   3. 易错核心规则：方程两边存在含未知数的相同因式时，不可直接约去，否则会丢失使因式为0的根。 知识点4：公式法   1. 求根公式推导：由配方法对一元二次方程一般形式变形推导得出。   2. 求根公式：当时，。   3. 根的判别式：式子为一元二次方程根的判别式，用于判断实数根情况：   （1）：方程有两个不相等的实数根；   （2）：方程有两个相等的实数根；   （3）：方程无实数根。   4. 解题步骤：化为一般形式→确定的值→计算判别式→代入公式求根。 知识点5：一元二次方程解法选择技巧   1. 具备形式，优先选直接开平方法，计算最简便；   2. 方程可整理为一边为0、左边易因式分解，优先选因式分解法；   3. 二次项系数为1、一次项系数为偶数，优先选配方法；   4. 系数复杂、含根号、无法简便求解，统一用公式法。 【基础必考题型】 【题型1】直接开平方法常规解方程 1.核心知识点 掌握直接开平方法的适用方程形式，理解平方根的正负双值性，能准确求解基础型平方结构一元二次方程，区分有实数根、无实数根的条件。 2.解题方法技巧 先将方程整理为纯平方等于非负数的标准形式，再双向开平方，拆分出两个一元一次方程；若整理后平方等于负数，直接判定无实数根，杜绝漏写负根。 【例题1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·福建福州·期末）解方程： (1)； (2) 【变式题1-3】.（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）用直接开平方法解方程： (1)； (2)． 【题型2】因式分解法解方程 1.核心知识点 掌握提公因式、平方差、完全平方公式三种基础因式分解方式，理解“乘积为0则因式为0”的降次原理，适配简单一元二次方程求解。 2.解题方法技巧 优先移项使方程右侧为0，观察左侧结构选择对应因式分解方法，分解完成后分别令两个一次因式为0，求解方程根，严禁直接约去含未知数的因式。 【例题2】.（2026九年级上·全国·专题练习）一元二次方程的两个根是（     ）． A．， B．， C．， D．， 【变式题2-1】.（25-26九年级上·北京·阶段检测）用适当方法解下列方程 (1) (2) 【变式题2-2】.（26-27九年级上·北京西城·开学考试）用适当的方法解方程 (1)； (2)． 【变式题2-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）用整式乘法的逆运算来进行因式分解，我们把这种方法叫作十字相乘法，即． 例如：分解因式时，，即： 这样我们就可以把分解为．试用十字相乘法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型3】配方法基础配方变形 1.核心知识点 掌握二次项系数为1、不为1的二次三项式配方规则，熟记“一次项系数一半的平方”核心配方要点，能完成代数式与方程的基础配方变形。 2.解题方法技巧 二次项系数不为1时，先提取系数化为1，再进行配方；配方时等式两边同步加减对应常数，保证等式恒成立，精准匹配完全平方公式结构。 【例题3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法将二次三项式变形，结果是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）若将一元二次方程转化为的形式，则b的值为（     ） A．1 B．8 C．9 D．10 【变式题3-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）填空： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）阅读下列解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：…① …② …③ 或…④ ，…⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤________（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 【题型4】判别式判断根的基础情况 1.核心知识点 熟记根的判别式的三种取值对应根的情况，能准确识别一元二次方程的参数，不含参数直接判断根的个数。 2.解题方法技巧 先将方程化为标准一般形式，精准提取含符号的，代入判别式计算，根据结果正负、零直接判定实数根情况，无需解方程。 【例题4】.（25-26八年级下·北京房山·期末）关于方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式题4-1】.（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）关于的一元二次方程中，，则该方程的根的情况是（     ） A．两实数根之和为1 B．两实数根之积为1 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 【变式题4-2】.（25-26八年级下·广西百色·期末）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式题4-3】.（25-26八年级·全国·暑假作业）下列方程，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【题型5】公式法综合解方程 1.核心知识点 熟练运用求根公式求解各类一元二次方程，掌握含根号、分数系数方程的化简方法，结合判别式预判方程根的存在性。 2.解题方法技巧 复杂方程先去分母、去括号、整理为一般形式，再计算判别式，时代入公式，最后对根式结果彻底化简，保证根的最简形式。 【例题5】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，，那么______，______，______． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【变式题5-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程． (1)； (2)． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程： (1)； (2)． 【培优高频题型】 【题型6】含参数方程根的情况判定 1.核心知识点 结合根的判别式与一元二次方程定义（），根据方程根的个数条件，求解参数的取值范围或具体值。 2.解题方法技巧 先列出判别式不等式或等式，求解参数范围，再二次校验二次项系数不为0的隐藏条件，剔除增根，保证符合一元二次方程定义。 【例题6】.（26-27九年级上·全国·课后作业）关于的一元二次方程有实数根，则整数的最小值是______． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·北京西城·开学考试）若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围为________． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）已知关于的一元二次方程． (1)求证：对于任意非零实数，该方程总有两个实数根； (2)若此方程有两个不等实根，且均为整数，求整数的值． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有实数根； (2)若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 【题型7】换元法解复杂一元二次方程 1.核心知识点 运用整体换元思想，将高次、复合型方程中的重复整体替换为新未知数，转化为常规一元二次方程求解，体现转化数学思想。 2.解题方法技巧 找准方程中重复的整体结构进行换元，求解新方程后回代还原原未知数，检验根的有效性，舍去不符合题意的增根。 【例题7】.（26-27九年级上·全国·课后作业）阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设 那么原方程可化为， 解得， 当时，，，； 当时，，，， 故原方程的解为． 上述解题过程中，将原方程中某个多项式视为整体，并用另一个未知数替换这个整体，从而把高次方程化为低次方程，实现降次的目的，这种解方程的方法称为“换元法”． 解答问题：请用换元法解下列方程： (1)； (2)． 【变式题7-1】.（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：． 请借助整体思想完成： (1)计算． (2)，求的值． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）【阅读材料】 解方程：， 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则， 于是原方程可转化为： ， 解得：，． 当时，，所以； 当时，，所以， 所以原方程有四个根：，，，， 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)在解方程时，若设，则原方程可转化为______，解得原方程的根为______； (2)若 ，则______； (3)参照上面解题的思想方法解方程： ． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·浙江金华·期中）若关于x的一元二次方程的两根为，则关于x的一元二次方程的解为______ 【压轴素养题型】 【题型8】配方法定值与最值应用 1.核心知识点 利用配方法将二次代数式化为的顶点式，结合平方的非负性，求解代数式最大值、最小值，确定参数取值。 2.解题方法技巧 根据二次项系数正负判断最值类型，系数为正有最小值、系数为负有最大值；配方后结合平方非负性确定最值，反向推导参数值。 【例题8】.（26-27九年级上·全国·课后作业）我们知道：，所以． 解答下列问题： (1)填空： 设，则． 所以，A______B；（填“”“”或“”） (2)已知，请判断的大小关系，并说明理由． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·山西临汾·阶段检测）阅读材料： 形如的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： ， ， 即的最小值为-1． 问题解决： (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为___________； (2)用配方法分解因式：； (3)用配方法求代数式的最小值． 【变式题8-2】.（2026·安徽芜湖·一模）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，由____①_____可知，当时，有最小值，最小值是_____②_____．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_____③_____＝____④_____ 【项目解决】 (2)当分别为的三边长，且满足时，c的取值范围是__⑤_____； (3)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_____⑥_____． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·江苏扬州·期中）阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 根据以上材料，利用多项式的配方法解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当x为何值时，多项式有最值？判断是最大值还是最小值，并求出这个最值． 【题型9】新定义情境方程求解 1.核心知识点 读懂数学新定义规则，迁移一元二次方程解法、判别式知识，解决创新性定义题型，培养阅读理解与知识迁移素养。 2.解题方法技巧 拆解新定义核心规则，将陌生题型转化为常规一元二次方程问题，结合对应解法求解，严格遵循定义限制条件验证结果。 【例题9】.（25-26九年级上·陕西榆林·期中）定义新运算：对于任意实数m、n都有．例如：．根据以上定义解决问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式题9-2】.（25-26九年级下·山东淄博·期末）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式的值是________________． 【变式题9-3】.（25-26九年级下·山东烟台·期中）对于任意4个实数定义一种新的运算，例如：，则关于的方程的根的情况为（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无实数根 易错点 1、直接开平方法解方程时，忽略平方根的正负双值性，只保留正根，遗漏负根；平方项右侧为负数时，未判定无实数根强行求解。 2、因式分解法解方程时，直接约去方程两边含未知数的公因式，导致丢失有效根；移项时符号出错，未将方程右侧化为0直接分解。 3、配方法解题时，二次项系数不为1未先化1，或配方时只在左侧加常数、右侧漏加，导致等式不成立。 4、公式法求解时，提取参数遗漏正负符号；未先计算判别式，对无实根的方程强行代入公式计算。 5、含参数题型中，利用判别式求范围时，忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐藏条件，导致参数范围出错。 重点 1、熟练掌握直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法四种解法的解题步骤，能规范求解各类一元二次方程。 2、精准掌握根的判别式的应用，能不解方程判断根的情况，根据根的条件求解参数的值与取值范围。 3、掌握四种解法的择优技巧，能根据方程结构快速选择最优解法，提升运算准确性与解题速度。 4、掌握配方法的拓展应用，能求解二次代数式的最值、判断代数式正负，解决基础代数拓展问题。 难点 1、复杂方程的灵活求解：换元法、含绝对值方程的分类讨论求解，对整体思想、分类讨论思想的综合运用。 2、代数与几何综合问题：结合三角形边长性质，利用方程根的性质探究几何参数，融合多知识点综合解题。 3、新定义创新题型：快速迁移新知，将陌生情境转化为常规一元二次方程问题，灵活运用解法与判别式解题。 4、含参数方程的综合探究：结合判别式、方程的根、代数式最值，多条件联立求解参数，规避隐藏限制条件。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 2．若关于的方程的一个根为，则方程的另一个根为（     ） A．3 B．9 C． D． 3．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 二、填空题 4．在一元二次方程中，其根的判别式的值是______． 5．填空： （1）；横线内应依次填入：_________ 、___________； （2）；横线内应依次填入：_________、___________； （3）；横线内应依次填入：__________、___________． 6．用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 三、解答题 7．选择合适的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 8．阅读材料，并解答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解：． ，……① ，……② ，……③ ……④ 或． ． 问题： (1)佳佳解方程的方法是______； A．直接开平方法        B．配方法 (2)上述解答过程中，从第____________步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是____________； (3)请写出正确的解答过程． 9．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．已知关于x的方程．求证：无论m为何值，方程总有实数根． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $