暑期预习讲义（第3讲）——反比例函数的应用 （模型梳理+题型精析+同步自测）- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

暑期预习讲义（第3讲）——反比例函数的应用（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】反比例函数应用核心基础（自学打底） 1 【题型 1】在实际情景中反比例关系辨析 2 【题型 2】在实际情景中列函数关系式 3 【题型 3】在实际情景中列函数关系式及取值范围 3 【知识点二】 四大基本模型（核心精讲） 4 【题型 4】反比例函数的应用——行程问题 5 【题型 5】反比例函数的应用——工程问题 6 【题型 6】反比例函数的应用——面积问题 7 【题型 7】反比例函数的应用——经济问题 9 【题型 8】反比例函数的应用——跨学科问题 11 二.同步自测 12 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 13 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 15 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 17 学习方法：先读概念→观察实例→记口诀→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】反比例函数应用核心基础（自学打底） 1. 反比例实际问题核心特征 在实际情境中，存在一个固定不变的总量，两个变量相互制约：一个变量增大，另一个变量随之均匀减小，且两个变量的乘积始终为定值，即可判定为反比例函数关系。 2. 三大函数模型精准区分（必考辨析） （1）正比例函数：比值一定（），同增同减，无固定基数； （2）一次函数：均匀增减（），有固定基数，线性变化； （3）反比例函数：乘积一定（），一增一减，非线性变化。 【题型 1】在实际情景中反比例关系辨析 【例题1】（2025九年级上·北京·专题练习）下面说法中错误的是（   ） A．平行四边形的面积一定，底和高成反比例 B．铺地面积一定，方砖的边长与所需的块数成反比例 C．一个圆的面积和它的半径不成比例 D．正方形的周长和它的边长成正比例 【变式1】（24-25七年级上·陕西榆林·期中）下面每组中的两种量成反比例关系的是（   ） A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．圆的半径和面积 C．一个人的身高与他的年龄 D．圆柱的体积一定，它的底面积和高 【变式2】（24-25七年级上·北京西城·期中）下列关系中，成反比例关系的是（    ） A．长方形的周长一定时，相邻两边的长 B．三角形面积一定时，它的底和高 C．机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间 D．一个人的跑步速度与他的体重 【变式3】（23-24八年级下·山东烟台·期末）下列问题中两个变量之间的关系不是反比例函数的是（    ） A．某人参加赛跑时，时间与跑步平均速度之间的关系 B．长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系 C．压强公式中，一定时，压强与受力面积之间的关系 D．三角形的一条边长一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系 3. 反比例应用题万能建模四步法（通用所有题型） （1）找定量：锁定题目中恒定不变的总量（总路程、总工作量、总面积、总经费等）； （2）设变量：根据题意设自变量x、因变量y，明确变量实际意义； （3）建模型：根据“变量乘积=定量”，列出解析式，标注取值范围； （4）验实际：结合生活实际取舍解，根据函数性质分析增减、最值、范围。 【题型 2】在实际情景中列函数关系式 【例题2】（24-25八年级下·全国·课后作业）写出下列问题中的函数表达式，并指出它们分别是什么函数，无需写出自变量取值范围． （1）三角形的面积S是常数时，它的底边长y与这条边上的高x之间的函数表达式为_______； （2）食堂存煤，可使用的天数t与平均每天的用煤量之间的函数表达式为_______； （3）用100元钱购买一批练习本，购买的数量y（本）与每本练习本的单价a（元）之间的函数表达式为_____； （4）某工厂今年产值为40万元，计划今后每年增加5万元，年产值y（万元）与年数x之间的函数表达式为______． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）写出下列各问题中的函数关系式，并指出它们是什么函数： （1）三角形的面积是常数时，它的某一边的长是该边上的高的函数； （2）百米赛跑中，某运动员的平均速度是他的成绩（跑完全程的时间）的函数． 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）分别写出下列函数的表达式，并判断它们是不是反比例函数（不用写出自变量的取值范围）． （1）当圆柱的体积是时，它的高（单位：）关于底面圆的面积（单位：）的函数． （2）玲玲用200元购买营养品送给妈妈，她所能购买的营养品的质量（单位：kg）关于营养品的售价（单位：元）的函数． 4. 实际问题专属取值规则 反比例实际应用中，时间、速度、数量、长度、效率等均为正数，因此自变量x>0，函数图象仅取第一象限单支曲线，无坐标轴交点。 【题型 3】在实际情景中列函数关系式及取值范围 【例题3】（25-26八年级上·新疆·阶段检测）一艘船计划装载吨货物，若以最快速度装船，需1小时完成． （1）写出装完货物所需的时间y（单位：小时）与装船速度x（单位：吨／小时）之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围： （2）若要求在至2小时之间（包括小时与2小时）装完这批货物，求装船速度的取值范围． 【变式1】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）某燃气公司计划在地下修建一个容积为（为定值，单位：）的圆柱形天然气储存室，已知储存室的底面积（单位：）与其深度（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）储存室的底面积（单位：）关于其深度（单位：m）的函数表达式为______； （2）受地形条件限制，储存室的深度需要满足，求储存室的底面积的取值范围． 【变式2】（2024·浙江杭州·一模）记面积为的平行四边形的一条边长为，这条边上的高线长为． （1）求关于的函数表达式，以及自变量的取值范围． （2）求当边长满足时，这条边上的高线长的取值范围． 【变式3】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图所示的曲线表示温度与时间 之间的函数关系，它是一个反比例函数的图象的一支，过点 ． （1）求该曲线相应的函数表达式和自变量的取值范围； （2）若，求自变量的取值范围． 【知识点二】 四大基本模型（核心精讲） 1. 行程问题模型（总路程固定） 模型公式：路程总和为定值，由，得：。 模型规律：路程固定，行驶速度越快，耗时越短；速度越慢，耗时越长，严格满足反比例增减规律。 【题型 4】反比例函数的应用——行程问题 【例题4】（25-26九年级上·广东佛山·期末）某新能源车企在测试一款新型电池时发现：充满电的车辆在标准测试场以不同速度匀速行驶时，车辆可行驶的时间会发生变化．大量测试后得到下表（不完整）： … 40 50 60 … … 15 12 10 … （1）变量、之间的关系恰好满足某一函数模型．请先判断函数类型（说明理由）再求其表达式． （2）一辆充满电的车辆，先以的速度在测试场行驶了2小时，再以速度行驶，若要剩余电量能支持以该速度行驶的时间不少于4小时，则的最大值是多少？ 【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间t（单位：min）与骑车速度v（单位：）之间的函数关系如图所示，一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需要在15分钟内赶到学校，那么他骑行的速度至少是（    ） A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.4 【变式2】（23-24九年级上·广西桂林·阶段检测）某段高架桥上车辆的行驶速度y（千米/时）与高架桥上每百米行驶车的数量x辆（x为正整数）的关系如图所示，当时，y与x成反比例，当车辆的行驶速度低于21千米/时，交通就会拥堵．为避免出现交通拥堵，高架桥上每百米行驶车的数应该满足的范围是_____． 【变式3】（23-24九年级上·四川成都·期末）受北京冬奥会影响，小勇爱上了滑雪运动．一天，小勇在滑雪场训练滑雪，他从滑雪道顶端匀速滑到终点．第一次用了秒；第二次比第一次速度提高了米秒，用了秒． （1）求小勇第一次训练的速度是多少米/秒？ （2）求所用时间秒与速度米秒的函数关系式；若要使所用时间不超过秒，则速度应不低于多少米/秒？ 2. 工程效率模型（总工作量固定） 模型公式：总工作量为定值，，得：。 模型规律：总工作量不变，工作效率越高、参与人数越多，完成工作的时间越短。 【题型 5】反比例函数的应用——工程问题 【例题5】（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）某工程队接到一项开挖水渠的工程，所需天数（单位：天）是每天完成的工程量（单位：）的反比例函数，其图象经过点．已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好天完成此项任务，则需要几台这样的挖掘机？ 【变式1】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）某项工作，一个人单独完成需10天．若m个人共同完成需n天，每人每天完成的工作量相同，选取数对，在坐标系中进行描点，下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·广西梧州·期末）某校开放周筹备期间，小杨接到一项任务：将一批纪念徽章分发给志愿者．他们发现，每天分发的数量与分发天数成反比例关系．已知如果每天分发50枚，则恰好按计划天数完成；如果每天分发75枚，则可以提前2天完成．则每天分发数量y（枚）与分发天数x（天）之间的函数关系式为_________ 【变式3】（23-24九年级上·辽宁大连·期末）一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6天. （1）在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与回填天数t之间有怎样的函数关系? （2）由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土? 3. 图形面积模型（总面积固定） 模型公式：矩形、三角形面积S为定值，矩形：；三角形：。 模型规律：面积固定的图形，一条边长越大，另一条对应边长越小，成反比例关系。 【题型 6】反比例函数的应用——面积问题 【例题6】（23-24八年级下·山西长治·期中）世界的面食之根就在山西．山西面食，不仅是中华民族饮食文化中的重要组成部分，也是世界饮食文化中的一朵奇葩．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点（如图）． （1）求与之间的函数表达式； （2）求的值，并解释它的实际意义； （3）某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过，求这根面条的总长度至少有多长． 【变式1】（2024-2025八年级上·上海宝山·期末）已知三角形面积一定，则它的底边a上的高h和底边a之间的函数关系图像大致为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山西运城·一模）山西地处黄河中游，是中国面食文化的发祥地，其中的面条文化至今已有两千多年的历史东汉称面条为“煮饼”．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度单位：是面条横截面面积单位：的反比例函数，当面条横截面面积为时，面条的总长度为，则当面条的总长度为时，面条横截面面积为______． 【变式3】（25-26九年级上·四川巴中·期末）综合与实践：社区花园的“智慧设计” 【背景材料】某社区有一块长为40米、宽为20米的矩形花园．社区计划对其进行改造，希望找到一种新的矩形花园的设计方案，使得新花园的周长是原花园的一半，同时面积也是原花园的一半．设新花园的长为米，宽为米．请你协助社区完成此项设计研究． （1）建立模型 根据题意，列出关于的函数关系式，并写出的取值范围： 关系式：①________；②________；的取值范围：________； （2）图象分析 ①请在如图所示的平面直角坐标系中，准确画出这两个函数的图象． ②根据所画的图象，说明是否存在满足条件的新矩形花园，如果存在，求出花园的长和宽；如果不存在，说明理由； （3）深入探究 ①对于长为、宽为（其中）的任意矩形，若存在一个新矩形，使其周长和面积均为原矩形的一半，则必须满足的条件是________； ②请利用①中的结论，为社区找一个存在这种“减半”矩形的原矩形例子（原矩形的长和宽均为正整数）． 4. 模型四：经济购物模型（总经费固定） 模型公式：总预算、总费用为定值，，得：。 模型规律：总钱数固定，商品单价越高，可购买数量越少，反之越多。 【题型 7】反比例函数的应用——经济问题 【例题7】（2024-2025九年级上·河北保定·期末）某学校要修建一个占地面积为64平方米的矩形体育活动场地，四周要建上高为1米的围挡．学校准备了可以修建45米长的围挡材料（可以不用完）．设矩形地面的边长米，米． （1）求关于的函数关系式（不写自变量的取值范围）； （2）能否建造米的活动场地？请说明理由； （3）若矩形地面的造价为1千元/平方米，侧面围挡的造价为0.5千元/平方米，建好矩形场地的总费用为80.4千元，求出的值．（总费用地面费用围挡费用） 【变式1】（2024-2025九年级上·河北保定·期末）某商城推出免利息分期付款购买电脑的活动，在活动期间王先生要购买一款标价为7999元的电脑，前期付款1999元，后期每个月付相同的金额，设后期每个月付款金额为（千元），付款月数（为正整数），选取5组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·湖南常德·阶段检测）某公司从2021年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表： 年度 投入技改资金（万元） 产品成本（万元/件） 2021 2.5 14.4 2022 3 12 2023 4 9 2024 4.5 8 按照这种变化规律，若2025年已投入资金5万元，预计2025年每件产品成本是_______万元 【变式3】（2024·吉林四平·二模）小明家购买一套商品房，首付45万元，剩余部分需贷款并按“等额本金”的形式偿还，即贷款金额按月分期还款，且每月偿还贷款金额数相同．若设每月偿还贷款金额y万元，x个月还清，且y是x的反比例函数，其图象如图所示． （1）求y与x的函数关系式； （2）若小明家计划每月偿还贷款金额不超过3000元，求至少需要多少个月还清？ 5.模型四：跨学科模型 模型核心原理：物理中大量公式满足两个变量乘积为常量，符合反比例函数\（xy=k\）形式，常见：压强、欧姆定律、密度、匀速做功、杠杆平衡等。 模型规律：物理定量不变，两个物理量一增一减，属于反比例关系，解题逻辑和实际应用题完全一致。 【题型 8】反比例函数的应用——跨学科问题 【例题8】（2026·广东汕头·三模）最近火爆全网，说明人工智能已经逐渐融入我们的生活．小明家餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间的关系如表： 地面所受压强 … … 接触面积 … … （1）求地面所受压强关于接触面积的函数表达式； （2）若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为，问这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为多少平方米？ 【变式1】（2026·广东河源·二模）/跨学科/在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图像如图所示．根据图像，下列结论正确的是（     ） A．该函数图像满足的表达式为 B．当振动弦长为时，振动频率为 C．当振动弦长时，振动频率 D．该函数图像与坐标轴有一个交点 【变式2】（2026·山东东营·模拟预测）在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关S后，移动滑动变阻器的滑片，电流I与电阻R成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点P的坐标为，则电源电压U为（提示：）________． 【变式3】（25-26八年级下·上海黄浦·期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度 是液体的密度 的反比例函数，其图像如图所示（），根据函数图像，回答下列问题： （1）写出浸液高度关于液体密度的反比例函数解析式 ； （2）当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度为 ； （3）若使用该密度计时，浸入溶液的高度不能低于（高度过低会导致密度计倾倒失效），求该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围． 二.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·广西南宁·三模）已知某物体的质量与其体积成反比例关系，即，当体积是时，质量为．则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东清远·期末）小明在英德某小区的房子装修时，发现一块地砖对地面的压力为，地砖对地面的压强与受力面积之间的函数关系式，则该函数图象位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）已知老李家距离鱼菜共生田地米，骑自行车从老李家匀速骑行到田地的速度（米/分钟）关于骑车时间（分钟）的函数图象为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·山西阳泉·期中）下列选项中，变量之间的关系属于反比例关系的是（  ） A．正方形的周长 C 与边长 ． B．汽车匀速行驶时，路程与行驶时间 ． C．某村的总耕地面积固定，人均耕地面积与该村总人数． D．圆的面积与半径． 5．（2025九年级·全国·专题练习）甲、乙两地相距，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（单位：h）与平均行驶速度x（单位：）之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）某工厂为了提高生产效率，采购了一批新的生产设备．其中用5000元购买单价是元/台的机器台，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·内蒙古通辽·二模）某农场灌溉农田时，水泵抽水的总功率为定值，抽水的效率（单位：）与抽水时间（单位：）成反比例函数关系，其函数图象如图所示，根据图象，当抽水时间时，抽水效率的值为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）盐城市学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述甲、丁两所学校情况的点，恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中，成绩优秀人数最多的学校是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．（2024·河南南阳·三模）根据物理学知识，压强就是单位面积上受到的压力，压强的计算公式为，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，在压力不变的情况下，某物体承受的压强P是它的受力面积S的反比例函数，其函数图象如图所示．下列说法错误的是（   ） A．P关于S的函数关系式为，； B．当时，物体所受的压强是； C．当时，受力面积是； D．压强随着面积的增大而增大． 10．（2024·山西临汾·一模）物理爱好者小明为了测试不溶于水且不吸水的“人造自由百变泥”的密度，他向一个圆柱体水杯中装入一定量的水，用电子测力计悬挂“人造自由百变泥”并使它的最下端与水面刚好接触，如图1所示．从此处匀速下放“人造自由百变泥”，直至浸没于水中并继续匀速下放但不与水杯的底部接触在“人造自由百变泥”下放过程中，测力计示数F与“人造自由百变泥”浸入水中深度h的关系如图2所示．当时，由此可知、“人造自由百变泥”的密度是（    ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·陕西榆林·二模）为建设美丽乡村，某村现要铺设一条村路，村民完成铺设所需时间（天）与平均每天的工作量（米/天）成反比例关系，函数图象如图所示．若村民计划用15天完成铺设，则平均每天的工作量是______米/天． 12．（25-26九年级上·山东临沂·期末）小明要把一篇文章录入电脑，所需时间与录入文字的速度（字/）之间的函数关系如图所示．如果小明要在内完成录入任务，那么他录入文字的速度至少为_____字/． 13．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，小伟用撬棍撬石头，已知阻力为，阻力臂为．根据杠杆原理，动力F与动力臂l的函数关系是______（用含l的式子表示）． 14．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）深中通道是一条连接深圳市和中山市的跨海通道，全长约24千米，集“桥、岛、隧、水下互通”于一体，是连接粤港澳大湾区的重要交通枢纽．汽车沿深中通道从深圳驶往中山，汽车行驶完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的函数关系式是___________． 15．（25-26九年级上·湖南常德·期中）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置．已知一款机器狗的最快移动速度与载重后总质量的函数表达式为，当其载重后总质量时，它的最快移动速度___________． 16．（2026·湖南长沙·三模）将一瓶氯化钠溶液加水稀释的过程中，氯化钠的浓度与溶液总体积之间满足反比例函数关系，其图象如图所示，当溶液总体积为时，氯化钠的浓度为_____． 17．（2026·湖北武汉·二模）武汉光谷作为国家自主创新示范区，高新企业数量连年攀升．经统计，光谷某高新产业园的入驻企业年均产值（单位：亿元）与园区投入的研发资金x（单位：千万元）近似满足反比例函数关系．已知当时，入驻企业年均产值随研发资金的增大而减小，请写出一个满足条件的m的值：______． 18．（2025·湖南·模拟预测）2025年湖南某城市引入了智能交通管理系统，该系统通过实时监控交通流量来优化信号灯的配时．假设某条主干道的交通流量Q（单位：辆/小时）与车辆的平均速度v（单位：千米/小时）之间的关系可以用反比例函数来描述．已知当车辆的平均速度为40千米/小时，交通流量Q为1200辆/小时．如果交通管理部门希望将交通流量控制在1000辆/小时以内，车辆的平均速度应至少达到_________千米/小时． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度与载重后总质量是反比例函数关系．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度． （1）求与之间的函数关系式． （2）当其载重后总质量时，求它的最快移动速度． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·山东泰安·期末）庆典气球需要安全且能飘升，氦气作为一种惰性气体，常被用于填充庆典气球．某次庆典活动，主办方需要5千克氦气来填充气球，已知氦气瓶的容量（升）跟压力P（标准大气压）之间成反比例关系，图示如图所示． （1）试确定P与V之间的函数表达式； （2）运输过程中，安全考虑，氦气瓶内气体不能超过120个标准大气压，氦气瓶容量要满足什么条件？ 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·全国·期末）越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，小李决定从家骑行去某古镇．当路程一定时，小李骑行的平均速度（单位：）与骑行时间成反比例关系．根据以往的骑行两地的经验，、的一些对应值如表： （1）根据表中的数据求小李骑行的平均速度与骑行时间之间的关系式； （2）当骑行速度为时，小李上午从家出发，请判断他能否在上午之前到达目的地，并说明理由． 22．（本小题满分10分）（2026·贵州遵义·二模）某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． （1）把一定质量的水放入底面积为的容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； （2）在（1）的条件下，实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围． （2026·贵州安顺·二模）图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． （1）将水从加热到需要________； （2）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （3）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 24．（本小题满分12分）（2026·广东广州·三模）某天 ，小芳在家通过某打车软件打车前往火车站搭乘当天 的动车．记汽车的行驶时间为 （单位： ），行驶的平均速度为 （单位： ）， ．根据经验， ， 的对应值如表： … 20 30 40 50 60 … 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2 （1）求平均速度 关于行驶时间 的函数解析式． （2）已知小芳从开始打车到上车用了 ，并且她想在动车出发前半小时到达火车站，若汽车的平均速度为 ，小芳能否在预定的时间内到达火车站？请说明理由． （3）若汽车到达火车站的行驶时间 满足 ，求平均速度 的范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第3讲）——反比例函数的应用（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】反比例函数应用核心基础（自学打底） 1 【题型 1】在实际情景中反比例关系辨析 2 【题型 2】在实际情景中列函数关系式 4 【题型 3】在实际情景中列函数关系式及取值范围 6 【知识点二】 四大基本模型（核心精讲） 9 【题型 4】反比例函数的应用——行程问题 9 【题型 5】反比例函数的应用——工程问题 13 【题型 6】反比例函数的应用——面积问题 16 【题型 7】反比例函数的应用——经济问题 21 【题型 8】反比例函数的应用——跨学科问题 25 二.同步自测 29 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 29 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 34 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 39 学习方法：先读概念→观察实例→记口诀→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】反比例函数应用核心基础（自学打底） 1. 反比例实际问题核心特征 在实际情境中，存在一个固定不变的总量，两个变量相互制约：一个变量增大，另一个变量随之均匀减小，且两个变量的乘积始终为定值，即可判定为反比例函数关系。 2. 三大函数模型精准区分（必考辨析） （1）正比例函数：比值一定（），同增同减，无固定基数； （2）一次函数：均匀增减（），有固定基数，线性变化； （3）反比例函数：乘积一定（），一增一减，非线性变化。 【题型 1】在实际情景中反比例关系辨析 【例题1】（2025九年级上·北京·专题练习）下面说法中错误的是（   ） A．平行四边形的面积一定，底和高成反比例 B．铺地面积一定，方砖的边长与所需的块数成反比例 C．一个圆的面积和它的半径不成比例 D．正方形的周长和它的边长成正比例 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，能熟记反比例函数的定义是解此题的关键． 根据反比例函数与正比例函数的定义进行判断即可． 解：A．当平行四边形的面积一定时，底与高成反比例，故原说法正确，不符合题意； B．当总面积一定时，方砖的边长的平方与所需的块数成反比例，故原说法错误，符合题意； C．圆的面积，可知圆的面积与半径的平方成正比，故原说法正确，不符合题意； D．正方形的周长边长（一定），所以正方形的周长与边长成正比例，故原说法正确，不符合题意． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级上·陕西榆林·期中）下面每组中的两种量成反比例关系的是（   ） A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．圆的半径和面积 C．一个人的身高与他的年龄 D．圆柱的体积一定，它的底面积和高 【答案】D 【分析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断． 两种相关联的量，若其比值一定，两种量成正比例；若其乘积一定，两种量成反比例，据此判断． 解：A、因为长方形的周长=（长+宽），长方形周长一定，是长和宽的和一定，所以长和宽不成比例，故此选项不符合题意； B、因为圆的面积半径2，所以圆的半径和面积不成反比例，故此选项不符合题意； C、一个人的身高和年龄虽然是相关联的两个量，但是它们的比值和乘积都不一定，所以不成比例，故此选项不符合题意； D、因为底面积×高=圆柱的体积（一定），乘积一定，所以底面积和高成反比例，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·北京西城·期中）下列关系中，成反比例关系的是（    ） A．长方形的周长一定时，相邻两边的长 B．三角形面积一定时，它的底和高 C．机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间 D．一个人的跑步速度与他的体重 【答案】B 【分析】本题考查了成反比例，理解成反比例关系的前提是两个变量乘积固定是解题的关键 根据成反比例的定义解答即可． 解：A、长方形的周长一定时，相邻两边的长不成反比例关系，故本选项不符合题意； B、三角形面积一定时，它的底和高成反比例关系，故本选项符合题意； C、机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间不成反比例关系，故本选项不符合题意； D、一个人跑步速度与它的体重，不成反比例关系，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式3】（23-24八年级下·山东烟台·期末）下列问题中两个变量之间的关系不是反比例函数的是（    ） A．某人参加赛跑时，时间与跑步平均速度之间的关系 B．长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系 C．压强公式中，一定时，压强与受力面积之间的关系 D．三角形的一条边长一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，对于两个变量，若它们的乘积一定，则这两个变量是反比例函数关系，据此可得答案． 解：A、由题意得，，则时间与跑步平均速度之间的关系是反比例函数，不符合题意； B、由题意得，，则长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系是反比例函数，不符合题意； C、由题意得，，则一定时，压强与受力面积之间的关是反比例函数，不符合题意； D、由题意得，（l为一边长，h为该边上的高），则l一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系不是反比例函数，符合题意； 故选：D 3. 反比例应用题万能建模四步法（通用所有题型） （1）找定量：锁定题目中恒定不变的总量（总路程、总工作量、总面积、总经费等）； （2）设变量：根据题意设自变量x、因变量y，明确变量实际意义； （3）建模型：根据“变量乘积=定量”，列出解析式，标注取值范围； （4）验实际：结合生活实际取舍解，根据函数性质分析增减、最值、范围。 【题型 2】在实际情景中列函数关系式 【例题2】（24-25八年级下·全国·课后作业）写出下列问题中的函数表达式，并指出它们分别是什么函数，无需写出自变量取值范围． （1）三角形的面积S是常数时，它的底边长y与这条边上的高x之间的函数表达式为_______； （2）食堂存煤，可使用的天数t与平均每天的用煤量之间的函数表达式为_______； （3）用100元钱购买一批练习本，购买的数量y（本）与每本练习本的单价a（元）之间的函数表达式为_____； （4）某工厂今年产值为40万元，计划今后每年增加5万元，年产值y（万元）与年数x之间的函数表达式为______． 【答案】 ，反比例函数 ，反比例函数 ，反比例函数 ，一次函数 【分析】本题主要考查了求函数表达式，一次函数和反比例函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数和反比例函数的定义． （1）根据三角形面积公式求出函数解析式，然后判断函数类型即可； （2）根据煤的总吨数平均每天的用煤量可使用的天数列出关系式，然后进行判断即可； （3）根据总钱数购买的数量每本练习本的单价列出关系式，然后进行判断即可； （4）根据年产值今年产值增加的数量列出关系式，然后进行判断即可． 解：（1）三角形的底边长y与这条边上的高x之间的函数表达式为，该函数为反比例函数； 故答案为：；反比例函数； （2）可使用的天数t与平均每天的用煤量之间的函数表达式为，该函数为反比例函数； 故答案为：；反比例函数； （3）购买的数量y（本）与每本练习本的单价a（元）之间的函数表达式为，该函数为反比例函数； 故答案为：；反比例函数； （4）年产值y（万元）与年数x之间的函数表达式为，该函数为一次函数． 故答案为：，一次函数． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）写出下列各问题中的函数关系式，并指出它们是什么函数： （1）三角形的面积是常数时，它的某一边的长是该边上的高的函数； （2）百米赛跑中，某运动员的平均速度是他的成绩（跑完全程的时间）的函数． 【答案】（1）函数关系式为，是反比例函数；（2）函数关系式为，是反比例函数 【分析】本题考查函数关系式的建立以及函数类型的判断： （1）根据三角形面积公式列函数关系式，再判断即可； （2）根据路程、速度和时间的关系列函数关系式，再判断即可． 解：（1）解：， ， 是常数且， 是常数且， 是的反比例函数． （2）解：， ， 是常数且， 是的反比例函数． 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）分别写出下列函数的表达式，并判断它们是不是反比例函数（不用写出自变量的取值范围）． （1）当圆柱的体积是时，它的高（单位：）关于底面圆的面积（单位：）的函数． （2）玲玲用200元购买营养品送给妈妈，她所能购买的营养品的质量（单位：kg）关于营养品的售价（单位：元）的函数． 【答案】（1），是反比例函数；（2），是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的定义； （1）根据圆柱体的体积底面积高列函数关系式，再结合反比例函数的定义进行判断，即可得到结论； （2）根据单价数量，可得和的关系式，接下来根据反比例函数的定义判断. 解：（1）解：由题意，得，是反比例函数． （2）解：由题意，得，是反比例函数． 4. 实际问题专属取值规则 反比例实际应用中，时间、速度、数量、长度、效率等均为正数，因此自变量x>0，函数图象仅取第一象限单支曲线，无坐标轴交点。 【题型 3】在实际情景中列函数关系式及取值范围 【例题3】（25-26八年级上·新疆·阶段检测）一艘船计划装载吨货物，若以最快速度装船，需1小时完成． （1）写出装完货物所需的时间y（单位：小时）与装船速度x（单位：吨／小时）之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围： （2）若要求在至2小时之间（包括小时与2小时）装完这批货物，求装船速度的取值范围． 【答案】（1），；（2）． 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，理解题意，根据题意求得函数解析式是关键． （1）由题意知，装完货物所需时间（小时）与装船速度（吨/小时）之间的函数关系是反比例函数关系，即可求得此关系式； （2）求出当时， 当时的值，即装船速度即可确定答案． 解：（1）解：由题意，， ∴， 若以最快速度装船，需1小时完成， 得，则， 故自变量x的取值范围为； （2）由题意得， 当时，代入得， 当时，代入得， ∴若要求在至2小时之间（包括小时与2小时）装完这批货物，装船速度的取值范围为． 【变式1】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）某燃气公司计划在地下修建一个容积为（为定值，单位：）的圆柱形天然气储存室，已知储存室的底面积（单位：）与其深度（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）储存室的底面积（单位：）关于其深度（单位：m）的函数表达式为______； （2）受地形条件限制，储存室的深度需要满足，求储存室的底面积的取值范围． 【答案】（1）；（2）储存室的底面积的取值范围为 解：（1）解：设， 将点代入解析式中得：， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵随的增大而减小， ∴当时，， 当时，， ∴当时，． 【变式2】（2024·浙江杭州·一模）记面积为的平行四边形的一条边长为，这条边上的高线长为． （1）求关于的函数表达式，以及自变量的取值范围． （2）求当边长满足时，这条边上的高线长的取值范围． 【答案】（1）（）；（2） 【分析】（1）由平行四边形的面积公式列出与的方程，进而求得结果； （2）根据反比例函数的性质进行解答． 解：（1）∵平行四边形的面积为， ∴，即； 自变量的取值范围． （2）当可得； 当可得； ∵， ∴当时，随的增大而减少， ∴的取值范围为． 【点拨】本题考查反比例函数的实际应用．掌握反比例函数的性质以及平行四边形的面积公式是解答本题的关键． 【变式3】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图所示的曲线表示温度与时间 之间的函数关系，它是一个反比例函数的图象的一支，过点 ． （1）求该曲线相应的函数表达式和自变量的取值范围； （2）若，求自变量的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用： （1）利用待定系数法求出函数解析式，再根据题意求出自变量的取值方向即可； （2）根据（1）所求可得C随t增大而减小，再求出当时，，据此可得答案． 解：（1）解：设曲线相应的函数表达式为， 把代入中得：， 解得， ∴曲线相应的函数表达式为； （2）解：∵在中，， ∴C随t增大而减小， 当时，， ∴当时，． 【知识点二】 四大基本模型（核心精讲） 1. 行程问题模型（总路程固定） 模型公式：路程总和为定值，由，得：。 模型规律：路程固定，行驶速度越快，耗时越短；速度越慢，耗时越长，严格满足反比例增减规律。 【题型 4】反比例函数的应用——行程问题 【例题4】（25-26九年级上·广东佛山·期末）某新能源车企在测试一款新型电池时发现：充满电的车辆在标准测试场以不同速度匀速行驶时，车辆可行驶的时间会发生变化．大量测试后得到下表（不完整）： … 40 50 60 … … 15 12 10 … （1）变量、之间的关系恰好满足某一函数模型．请先判断函数类型（说明理由）再求其表达式． （2）一辆充满电的车辆，先以的速度在测试场行驶了2小时，再以速度行驶，若要剩余电量能支持以该速度行驶的时间不少于4小时，则的最大值是多少？ 【答案】（1）变量与满足反比例函数关系，；（2） 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及反比例函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）由的值为定值，可得出变量、之间的关系满足反比例函数，结合，可求出关于的函数表达式； （2）根据满电续航为及可行驶的时间不少于4小时，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 解：（1）解：， 变量、之间的关系满足反比例函数， ， 函数表达式为； （2）解：该车充满电可行驶的总路程为， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为120． 答：的最大值是120． 【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间t（单位：min）与骑车速度v（单位：）之间的函数关系如图所示，一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需要在15分钟内赶到学校，那么他骑行的速度至少是（    ） A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.4 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而代入数据得出答案． 解：设，当时，， 解得：， 故与的函数表达式为：， 为了不迟到，需要在15分钟内赶到学校， ， 解得：， 他骑车的速度至是0.2． 故选：A． 【变式2】（23-24九年级上·广西桂林·阶段检测）某段高架桥上车辆的行驶速度y（千米/时）与高架桥上每百米行驶车的数量x辆（x为正整数）的关系如图所示，当时，y与x成反比例，当车辆的行驶速度低于21千米/时，交通就会拥堵．为避免出现交通拥堵，高架桥上每百米行驶车的数应该满足的范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，设反比例函数的解析式为∶，根据图象将代入，求出k的值，得出反比例函数的解析式，然后再代入y值，即可求出对应的x值，然后根据x为正整数即可求出x的范围． 解：设反比例函数的解析式为∶， 则将，代入得∶， 解得：， 故反比例函数的解析式为∶， 故当车速度为21千米/时，则， 解得∶， 故高架桥上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是∶， 故答案为∶ ． 【变式3】（23-24九年级上·四川成都·期末）受北京冬奥会影响，小勇爱上了滑雪运动．一天，小勇在滑雪场训练滑雪，他从滑雪道顶端匀速滑到终点．第一次用了秒；第二次比第一次速度提高了米秒，用了秒． （1）求小勇第一次训练的速度是多少米/秒？ （2）求所用时间秒与速度米秒的函数关系式；若要使所用时间不超过秒，则速度应不低于多少米/秒？ 【答案】（1）3米/秒；（2）v=；6米/秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及反比例函数的应用； （1）依据题意，根据两次滑雪路程相等，列出一元一次方程，解方程即可； （2）依据题意，求出从滑雪道顶端匀速滑到终点的路程，即可解决问题． 解：（1）解：由题意，设小勇第一次训练的速度是米秒， 则第二次训练的速度是米秒， ． 解得：， 答：小勇第一次训练的速度是米秒． （2）从滑雪道顶端匀速滑到终点的路程为：米， 小勇从滑雪道顶端匀速滑到终点的平均速度为米秒，所用时间为秒， ． 当要使所用时间不超过秒时，即， ． 要使所用时间不超过秒，则速度应不低于米秒． 2. 工程效率模型（总工作量固定） 模型公式：总工作量为定值，，得：。 模型规律：总工作量不变，工作效率越高、参与人数越多，完成工作的时间越短。 【题型 5】反比例函数的应用——工程问题 【例题5】（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）某工程队接到一项开挖水渠的工程，所需天数（单位：天）是每天完成的工程量（单位：）的反比例函数，其图象经过点．已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好天完成此项任务，则需要几台这样的挖掘机？ 【答案】需要台这样的挖掘机 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，求出反比例函数的解析式．设与的函数关系式为，将点代入求出该函数解析式，令，求出，即可求解． 解：设与的函数关系式为， 点在该函数图象上， ， ， 与的函数关系式为， 当时，， ， （台）． 答：需要台这样的挖掘机． 【变式1】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）某项工作，一个人单独完成需10天．若m个人共同完成需n天，每人每天完成的工作量相同，选取数对，在坐标系中进行描点，下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据工作量相同，建立等式解答即可． 本题考查了反比例函数的意义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 解：∵一个人完成需10天， ∴一人一天的工作量为， ∵m个人共同完成需n天， ∴一人一天的工作量为， ∵每人每天完成的工作量相同， ∴． ∴， ∴n是m的反比例函数， ∴选取数对，在坐标系中进行描点，则正确的是C． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·广西梧州·期末）某校开放周筹备期间，小杨接到一项任务：将一批纪念徽章分发给志愿者．他们发现，每天分发的数量与分发天数成反比例关系．已知如果每天分发50枚，则恰好按计划天数完成；如果每天分发75枚，则可以提前2天完成．则每天分发数量y（枚）与分发天数x（天）之间的函数关系式为_________ 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意是解题关键． 由每天分发数量与分发天数成反比例，设总徽章数为，根据两种分发情况列出方程，求解计划天数和，再写出函数关系式． 解：设总徽章数为枚，计划天数为天． 根据反比例关系，有． 当时，，即； 当时，，即． 由，解得． 则． 因此y与x的函数关系式为 ． 故答案为 【变式3】（23-24九年级上·辽宁大连·期末）一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6天. （1）在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与回填天数t之间有怎样的函数关系? （2）由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土? 【答案】（1）；（2）平均每天至少要回填30吨土 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据题意列出反比例函数解析式是解题关键. （1）首先根据题意可知总工作量为吨不变，故回填速度v与回填天数t之间为反比例关系，即，变形即可得出v关于t的函数关系式； （2）由得出，再将代入，即可求出v的取值范围． 解：（1）设总工作量为k吨，根据已知条件得， ∴v关于t的函数表达式为； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 那么平均每天至少要回填30吨土． 3. 图形面积模型（总面积固定） 模型公式：矩形、三角形面积S为定值，矩形：；三角形：。 模型规律：面积固定的图形，一条边长越大，另一条对应边长越小，成反比例关系。 【题型 6】反比例函数的应用——面积问题 【例题6】（23-24八年级下·山西长治·期中）世界的面食之根就在山西．山西面食，不仅是中华民族饮食文化中的重要组成部分，也是世界饮食文化中的一朵奇葩．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点（如图）． （1）求与之间的函数表达式； （2）求的值，并解释它的实际意义； （3）某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过，求这根面条的总长度至少有多长． 【答案】（1）；（2），且其表示的实际意义为面条的总长度为时，其横截面积为；（3） 【分析】本题考查了反比例函数的应用：正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法求反比例函数，即可作答． （2）依题意，把代入进行计算，即可作答． （3）依题意，把代入且结合反比例函数的图象性质进行分析，即可作答． 解：（1）解：设与之间的函数表达式为：， 将代入可得：， 与之间的函数表达式为； （2）解：点在反比例函数上， ， 解得：， ， 且其表示的实际意义为面条的总长度为时，其横截面积为； （3）解：当时， ， ， 随增大而减小， 当厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过时，这根面条的总长度至少为． 【变式1】（2024-2025八年级上·上海宝山·期末）已知三角形面积一定，则它的底边a上的高h和底边a之间的函数关系图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先写出三角形底边a上的高h与底边a之间的函数关系，再根据反比例函数的图象特点得出． 解：已知三角形的面积s一定， 则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系为，即； 该函数是反比例函数，且，； 故其图象只在第一象限． 故选：D． 【点拨】本题考查反比例函数的图象特点：反比例函数的图象是双曲线，与坐标轴无交点，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限． 【变式2】（2025·山西运城·一模）山西地处黄河中游，是中国面食文化的发祥地，其中的面条文化至今已有两千多年的历史东汉称面条为“煮饼”．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度单位：是面条横截面面积单位：的反比例函数，当面条横截面面积为时，面条的总长度为，则当面条的总长度为时，面条横截面面积为______． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是反比例函数的应用，解题关键是确定两个变量之间的函数关系并用待定系数法求出它们的关系式． 利用待定系数法得出反比例函数解析式，将代入反比例函数的关系式，即可得到面条横截面面积． 解：，， 设与之间的函数表达式为：， 将，代入可得：， ， 与之间的函数表达式为：， 当时，， 解得， 经检验，是分式方程的解， 即当面条的总长度为时，面条横截面面积为． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·四川巴中·期末）综合与实践：社区花园的“智慧设计” 【背景材料】某社区有一块长为40米、宽为20米的矩形花园．社区计划对其进行改造，希望找到一种新的矩形花园的设计方案，使得新花园的周长是原花园的一半，同时面积也是原花园的一半．设新花园的长为米，宽为米．请你协助社区完成此项设计研究． （1）建立模型 根据题意，列出关于的函数关系式，并写出的取值范围： 关系式：①________；②________；的取值范围：________； （2）图象分析 ①请在如图所示的平面直角坐标系中，准确画出这两个函数的图象． ②根据所画的图象，说明是否存在满足条件的新矩形花园，如果存在，求出花园的长和宽；如果不存在，说明理由； （3）深入探究 ①对于长为、宽为（其中）的任意矩形，若存在一个新矩形，使其周长和面积均为原矩形的一半，则必须满足的条件是________； ②请利用①中的结论，为社区找一个存在这种“减半”矩形的原矩形例子（原矩形的长和宽均为正整数）． 【答案】（1），，；（2）①见分析；②不存在，理由见分析；（3）①或；②原矩形长为米，宽为米，（答案不唯一） 【分析】（1）根据“新花园的周长是原花园的一半”，以及“新花园面积也是原花园的一半”建立关于的函数关系式，并求出的取值范围，即可解题； （2）①根据列表、描点、连线的步骤画出这两个函数的图象即可； ②根据所画的图象交点情况分析即可； （3）①设存在一个新矩形长为米，宽为米，使其周长和面积均为原矩形的一半，推出有解，结合一元二次方程根的判别式列不等式求解，即可解题； ②利用①中的结论，结合条件原矩形的长和宽均为正整数，找出存在这种“减半”矩形的原矩形即可． 解：（1）解：根据“新花园的周长是原花园的一半，”得：， 整理得，； 根据“新花园面积也是原花园的一半，”得：， 整理得，； ， 则的取值范围为； 故答案为：，，； （2）解：①根据题意列表如下： 0 10 20 30 30 0 40 20 结合表格数据画图如下： ②所画的图象无交点， 不存在满足条件的新矩形花园； （3）解：①设存在一个新矩形长为米，宽为米，使其周长和面积均为原矩形的一半， 由题意得：，整理得，； ，整理得，； 则，整理得， 则或， 或； 故答案为：或． ②由①题知，原矩形长为米，宽为米， 记其新矩形长为，宽为， 则 解得或， 当时，； 当时，； 长为米，宽为米的原矩形存在这种“减半”矩形（答案不唯一）． 【点拨】本题考查了求一次函数解析式，反比例函数解析式，画函数图象，根据图象交点情况求方程的解，一次函数与反比例函数综合，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于正确理解“减半”矩形的概念． 4. 模型四：经济购物模型（总经费固定） 模型公式：总预算、总费用为定值，，得：。 模型规律：总钱数固定，商品单价越高，可购买数量越少，反之越多。 【题型 7】反比例函数的应用——经济问题 【例题7】（2024-2025九年级上·河北保定·期末）某学校要修建一个占地面积为64平方米的矩形体育活动场地，四周要建上高为1米的围挡．学校准备了可以修建45米长的围挡材料（可以不用完）．设矩形地面的边长米，米． （1）求关于的函数关系式（不写自变量的取值范围）； （2）能否建造米的活动场地？请说明理由； （3）若矩形地面的造价为1千元/平方米，侧面围挡的造价为0.5千元/平方米，建好矩形场地的总费用为80.4千元，求出的值．（总费用地面费用围挡费用） 【答案】（1）；（2）不能， 理由：把代入，得 ． 周长为． ∴不能建造米的活动场地． （3）10或6.4 【分析】（1）根据矩形的面积是64平方米，即可得到，即； （2）把代入反比例解析式求出y，然后计算周长是否超过45即可得到答案； （3）根据题意列出总费用关于x的方程求解，然后检验周长是否超过45即可得到答案. 解：（1）∵矩形体育场占地面积为64平方米， ∴． （2）略 （3）活动场地造价为． 整理得， 解得，． 经检验，，均为原分式方程的解，且符合题意． 当时，总周长为； 当时，总周长为． 综上可得，的值为10或6.4． 【点拨】本题主要考查了反比例函数和分式方程的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 【变式1】（2024-2025九年级上·河北保定·期末）某商城推出免利息分期付款购买电脑的活动，在活动期间王先生要购买一款标价为7999元的电脑，前期付款1999元，后期每个月付相同的金额，设后期每个月付款金额为（千元），付款月数（为正整数），选取5组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用后期每个月分别付相同的数额，进而得出y与x的函数关系式． 解：由题意得，即， 故y是x的反比例函数，观察四个选项，只有选项D符合题意， 故选：D． 【点拨】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，正确理解题意是解题关键． 【变式2】（25-26九年级上·湖南常德·阶段检测）某公司从2021年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表： 年度 投入技改资金（万元） 产品成本（万元/件） 2021 2.5 14.4 2022 3 12 2023 4 9 2024 4.5 8 按照这种变化规律，若2025年已投入资金5万元，预计2025年每件产品成本是_______万元 【答案】7.2/ 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据表格中的数据得出产品成本与投入技改资金成反比例关系是解题关键．设产品成本与投入技改资金的函数关系式为，根据表中数据可知反比例函数的关系式为，把代入即可求出2025年每件产品成本． 解：由表格数据可知，，，，， 则产品成本与投入技改资金成反比例关系， 设产品成本与投入技改资金的函数关系式为， 当时，， ， 产品成本与投入技改资金的函数关系式为， 当时，， 即若2025年已投入资金5万元，预计2025年每件产品成本是7.2万元， 故答案为：7.2． 【变式3】（2024·吉林四平·二模）小明家购买一套商品房，首付45万元，剩余部分需贷款并按“等额本金”的形式偿还，即贷款金额按月分期还款，且每月偿还贷款金额数相同．若设每月偿还贷款金额y万元，x个月还清，且y是x的反比例函数，其图象如图所示． （1）求y与x的函数关系式； （2）若小明家计划每月偿还贷款金额不超过3000元，求至少需要多少个月还清？ 【答案】（1）；（2）至少需要200个月还清 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）将代入解析式求出的范围即可． 解：（1）解：设反比例函数解析式为， 点在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为：； （2）解：当万元时， 即，解得． 答：计划每月偿还贷款不超边3000元，则至少需要200个月还清． 5.模型四：跨学科模型 模型核心原理：物理中大量公式满足两个变量乘积为常量，符合反比例函数\（xy=k\）形式，常见：压强、欧姆定律、密度、匀速做功、杠杆平衡等。 模型规律：物理定量不变，两个物理量一增一减，属于反比例关系，解题逻辑和实际应用题完全一致。 【题型 8】反比例函数的应用——跨学科问题 【例题8】（2026·广东汕头·三模）最近火爆全网，说明人工智能已经逐渐融入我们的生活．小明家餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间的关系如表： 地面所受压强 … … 接触面积 … … （1）求地面所受压强关于接触面积的函数表达式； （2）若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为，问这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为多少平方米？ 【答案】（1）；（2）9.6×10-3 m2 【分析】（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系．设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为，利用待定系数法求解即可． （2）将代入求解即可． 解：（1）解：设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． 将代入， 得， ∴地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． （2）解：将代入时， 则， ∴当这段玻璃通道能承受的最大压强为时，这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为平方米． 【变式1】（2026·广东河源·二模）/跨学科/在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图像如图所示．根据图像，下列结论正确的是（     ） A．该函数图像满足的表达式为 B．当振动弦长为时，振动频率为 C．当振动弦长时，振动频率 D．该函数图像与坐标轴有一个交点 【答案】B 【分析】首先结合图像确定该反比例函数的解析式，然后结合反比例函数的图像与性质，逐一分析判断即可． 解：设弦的振动频率与振动弦长的函数关系为， 由图可知，该函数图像经过点，即， 解得， ∴该函数图像满足的表达式为，故选项A错误，不符合题意； 当振动弦长为时，振动频率，B选项正确，符合题意； ∵， ∴该函数图像在第一象限内，随的增大而减小， 当振动弦长时，振动频率， 故选项C错误，不符合题意； 该反比例函数的图像只会与坐标轴无限接近，不会与坐标轴相交， 故D选项错误，不符合题意． 【变式2】（2026·山东东营·模拟预测）在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关S后，移动滑动变阻器的滑片，电流I与电阻R成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点P的坐标为，则电源电压U为（提示：）________． 【答案】 【分析】根据题意可知电流与电阻满足反比例函数关系，已知函数图象经过点，将点的横纵坐标分别作为和的值代入公式，即可求出电源电压的值． 解：由题意可知，与的函数关系式为 函数图象经过点， ∴将点代入得： 电源电压为． 【变式3】（25-26八年级下·上海黄浦·期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度 是液体的密度 的反比例函数，其图像如图所示（），根据函数图像，回答下列问题： （1）写出浸液高度关于液体密度的反比例函数解析式 ； （2）当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度为 ； （3）若使用该密度计时，浸入溶液的高度不能低于（高度过低会导致密度计倾倒失效），求该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围． 【答案】（1）反比例函数解析式为；（2）；（3）该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围为 【分析】（1）设反比例函数的解析式为，观察图像，结合点计算出反比例函数的，即可得到答案； （2）把代入反比例函数的解析式中即可求解； （3）浸入溶液的高度不能低于，则，从而解得的取值范围． 解：（1）解：设反比例函数的解析式为，代入图像上点得， ∴； （2）解：∵，， 得； （3）解：由题意可知，，即，解得， 又， ∴， 答：该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围为． 二.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·广西南宁·三模）已知某物体的质量与其体积成反比例关系，即，当体积是时，质量为．则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：∵，当时，， ∴， 解得， ∴与的函数关系式为． 2．（25-26九年级上·广东清远·期末）小明在英德某小区的房子装修时，发现一块地砖对地面的压力为，地砖对地面的压强与受力面积之间的函数关系式，则该函数图象位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 结合实际问题中变量的取值范围判断函数图象所在象限即可． 解：∵ 受力面积， 由可得， ∵ 自变量，函数值， ∴ 该函数图象位于第一象限． 故选：A． 3．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）已知老李家距离鱼菜共生田地米，骑自行车从老李家匀速骑行到田地的速度（米/分钟）关于骑车时间（分钟）的函数图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象的判断，正确得出函数表达式是解题关键．根据题意得出，可判断速度（米/分钟）关于骑车时间（分钟）的函数图象为反比例函数图像，即为双曲线，根据A、D选项中点的坐标即可得答案． 解：∵老李家距离鱼菜共生田地米， ∴，即， ∴速度（米/分钟）关于骑车时间（分钟）的函数图象为反比例函数图像，即为双曲线， ∴B、C选项不符合题意， 在A选项中，时，，则，故不符合题意， 在D选项中，时，，则，故符合题意， 故选：D． 4．（25-26七年级上·山西阳泉·期中）下列选项中，变量之间的关系属于反比例关系的是（  ） A．正方形的周长 C 与边长 ． B．汽车匀速行驶时，路程与行驶时间 ． C．某村的总耕地面积固定，人均耕地面积与该村总人数． D．圆的面积与半径． 【答案】C 【分析】根据反比例关系指两变量乘积为常数，逐一判断解答即可． 本题考查了反比例关系，熟练掌握定义是解题的关键． 解：A. 正方形的周长 C 与边长 即，不是反比例关系，不符合题意． B. 汽车匀速行驶时，路程与行驶时间即，不是反比例函数，不符合题意． C. 某村的总耕地面积固定，人均耕地面积与该村总人数，，符合题意； D. 圆的面积与半径即，不符合题意， 故选：C． 5．（2025九年级·全国·专题练习）甲、乙两地相距，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（单位：h）与平均行驶速度x（单位：）之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断． 解：根据题意可知时间与行驶速度之间的函数关系式为， ∴函数图象大致是B． 故选：B． 【点拨】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据实际意义列出函数关系式从而判断它的图象类型，同时要注意自变量的取值范围． 6．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）某工厂为了提高生产效率，采购了一批新的生产设备．其中用5000元购买单价是元/台的机器台，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是从实际问题中整理出反比例函数模型． 根据题意可得，再整理可得与的函数关系式． 解：由题意可得：， 则， 故选：B． 7．（2026·内蒙古通辽·二模）某农场灌溉农田时，水泵抽水的总功率为定值，抽水的效率（单位：）与抽水时间（单位：）成反比例函数关系，其函数图象如图所示，根据图象，当抽水时间时，抽水效率的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出反比例函数解析式，再求出当时，对应的值． 解：抽水的效率（单位：）与抽水时间（单位：）成反比例函数关系， 设， 将点代入得，，解得， ， 当时，． 8．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）盐城市学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述甲、丁两所学校情况的点，恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中，成绩优秀人数最多的学校是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据反比例函数图象与性质求解即可得到结论． 解：根据题意可知，的值即为该校的成绩优秀人数． 描述甲、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， 甲、丁两所学校的的值相同，即成绩优秀人数相同． 描述乙学校情况的点在反比例函数图象上方，描述丙学校情况的点在反比例函数图象下方， 乙学校的的值最大，即成绩优秀人数最多． 9．（2024·河南南阳·三模）根据物理学知识，压强就是单位面积上受到的压力，压强的计算公式为，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，在压力不变的情况下，某物体承受的压强P是它的受力面积S的反比例函数，其函数图象如图所示．下列说法错误的是（   ） A．P关于S的函数关系式为，； B．当时，物体所受的压强是； C．当时，受力面积是； D．压强随着面积的增大而增大． 【答案】D 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，先求出反比例函数解析式，再利用函数解析式和函数图象分别进行解答即可． 解：把代入得到，， ∴P关于S的函数关系式为，， 故A正确； 当时，物体所受的压强是，故B正确； 当时，，解得，即受力面积是；故C正确； ∵， ∴在压力不变的情况下，某物体承受的压强随着面积的增大而减小，故D错误． 故选：D 10．（2024·山西临汾·一模）物理爱好者小明为了测试不溶于水且不吸水的“人造自由百变泥”的密度，他向一个圆柱体水杯中装入一定量的水，用电子测力计悬挂“人造自由百变泥”并使它的最下端与水面刚好接触，如图1所示．从此处匀速下放“人造自由百变泥”，直至浸没于水中并继续匀速下放但不与水杯的底部接触在“人造自由百变泥”下放过程中，测力计示数F与“人造自由百变泥”浸入水中深度h的关系如图2所示．当时，由此可知、“人造自由百变泥”的密度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，根据求出“人造自由百变泥”排开水的体积，根据物体浸没时排开液体的体积和自身的体积相等求出“人造自由百变泥”的体积，根据求出“人造自由百变泥”的质量，根据密度公式求出“人造自由百变泥”的密度． 解： 由可知，“人造自由百变泥”排开水的体积： ， “人造自由百变泥”浸没时排开液体的体积和自身的体积相等，则“人造自由百变泥”的体积， “人造自由百变泥”的质量：， 则“人造自由百变泥”的密度： 故选：A． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·陕西榆林·二模）为建设美丽乡村，某村现要铺设一条村路，村民完成铺设所需时间（天）与平均每天的工作量（米/天）成反比例关系，函数图象如图所示．若村民计划用15天完成铺设，则平均每天的工作量是______米/天． 【答案】40 【分析】设反比例函数解析式为，结合图象上的点求出，即可求解． 解：设反比例函数解析式为， 将点代入解析式得：， 解得：， 反比例函数解析式为， 当时，则，解得：， 即若村民计划用15天完成铺设，则平均每天的工作量是米/天． 12．（25-26九年级上·山东临沂·期末）小明要把一篇文章录入电脑，所需时间与录入文字的速度（字/）之间的函数关系如图所示．如果小明要在内完成录入任务，那么他录入文字的速度至少为_____字/． 【答案】175 【分析】先确定函数的解析式为，再代入求解即可． 解：设所需时间与录入文字的速度（字/）之间的函数解析式为， 根据题意，得, 解得， 故， 当时， ． 13．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，小伟用撬棍撬石头，已知阻力为，阻力臂为．根据杠杆原理，动力F与动力臂l的函数关系是______（用含l的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据动力×动力臂=阻力×阻力臂即可得函数关系式． 解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）深中通道是一条连接深圳市和中山市的跨海通道，全长约24千米，集“桥、岛、隧、水下互通”于一体，是连接粤港澳大湾区的重要交通枢纽．汽车沿深中通道从深圳驶往中山，汽车行驶完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的函数关系式是___________． 【答案】 【分析】本题考查了列反比例函数关系式． 根据路程、速度和时间的关系，时间等于路程除以速度． 解：由题意，路程，速度，时间， 根据公式，得． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·湖南常德·期中）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置．已知一款机器狗的最快移动速度与载重后总质量的函数表达式为，当其载重后总质量时，它的最快移动速度___________． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数的应用，将代入计算即可． 解：当 时，（m/s）． 故答案为 4． 16．（2026·湖南长沙·三模）将一瓶氯化钠溶液加水稀释的过程中，氯化钠的浓度与溶液总体积之间满足反比例函数关系，其图象如图所示，当溶液总体积为时，氯化钠的浓度为_____． 【答案】2 【分析】根据函数图象求出反比例函数的解析式，令，求解y． 解：已知氯化钠的浓度与溶液总体积之间满足反比例函数关系， ∴设y与x之间的函数解析式为， 由图象可得函数图象过点， ∴， 解得， ∴， 令，则， ∴当溶液总体积为时，氯化钠的浓度为． 17．（2026·湖北武汉·二模）武汉光谷作为国家自主创新示范区，高新企业数量连年攀升．经统计，光谷某高新产业园的入驻企业年均产值（单位：亿元）与园区投入的研发资金x（单位：千万元）近似满足反比例函数关系．已知当时，入驻企业年均产值随研发资金的增大而减小，请写出一个满足条件的m的值：______． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的性质，得到反比例函数的比例系数大于0，列出关于的不等式，求解得到的取值范围，任取范围内一个值即可． 解：对于反比例函数，当且时，随的增大而减小． 由题意得反比例函数的比例系数，因此可得不等式 移项得 系数化为得 任取一个满足条件的即可，例如． 18．（2025·湖南·模拟预测）2025年湖南某城市引入了智能交通管理系统，该系统通过实时监控交通流量来优化信号灯的配时．假设某条主干道的交通流量Q（单位：辆/小时）与车辆的平均速度v（单位：千米/小时）之间的关系可以用反比例函数来描述．已知当车辆的平均速度为40千米/小时，交通流量Q为1200辆/小时．如果交通管理部门希望将交通流量控制在1000辆/小时以内，车辆的平均速度应至少达到_________千米/小时． 【答案】48 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式．设，根据题意求出k，然后代入即可求得答案． 解：设， 由题可知，当时，， ∴， ∴当时，， 即交通管理部门希望将交通流量控制在1000辆/小时以内，车辆的平均速度应至少达到48千米/小时， 故答案为：48． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度与载重后总质量是反比例函数关系．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度． （1）求与之间的函数关系式． （2）当其载重后总质量时，求它的最快移动速度． 【答案】（1）；（2）它的最快移动速度． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据题意设出反比例函数解析式，利用已知条件求出比例系数，再代入求值． （1）根据题意设（）；将，代入，得，解得；故与之间的函数关系式为 . （2）将代入，得；故最快移动速度为． 解：（1）解：∵与成反比例函数关系， ∴设函数关系式为（）． 将，代入，得：， 解得， ∴与之间的函数关系式为． （2）解：当时，， 答：当载重后总质量时，它的最快移动速度为． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·山东泰安·期末）庆典气球需要安全且能飘升，氦气作为一种惰性气体，常被用于填充庆典气球．某次庆典活动，主办方需要5千克氦气来填充气球，已知氦气瓶的容量（升）跟压力P（标准大气压）之间成反比例关系，图示如图所示． （1）试确定P与V之间的函数表达式； （2）运输过程中，安全考虑，氦气瓶内气体不能超过120个标准大气压，氦气瓶容量要满足什么条件？ 【答案】（1）；（2）不低于200升 【分析】本题考查反比例函数的应用： （1）设，把代入，利用待定系数法求解； （2）计算时对应的V的值即可． 解：（1）解：设， 把代入上式得：， 解得， P与V之间的函数表达式为：； （2）解：当时，．     钢瓶的容积要求不低于200升． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·全国·期末）越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，小李决定从家骑行去某古镇．当路程一定时，小李骑行的平均速度（单位：）与骑行时间成反比例关系．根据以往的骑行两地的经验，、的一些对应值如表： （1）根据表中的数据求小李骑行的平均速度与骑行时间之间的关系式； （2）当骑行速度为时，小李上午从家出发，请判断他能否在上午之前到达目的地，并说明理由． 【答案】（1）；（2）不能，理由见分析 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）设关系式为，代入求出的值，即可得出答案； （2）代入到（1）中的关系式，求出对应的值，即可解答． 解：（1）解：∵小李骑行的平均速度（单位：）与骑行时间成反比例关系， ∴设关系式为， 代入，得， 解得， ∴小李骑行的平均速度与骑行时间之间的关系式为； （2）解：不能，理由如下： 当时，则， 解得， ∴当骑行速度为时，小李的骑行时间为， ∵上午从家出发到上午为，且， ∴他不能在上午之前到达目的地． 22．（本小题满分10分）（2026·贵州遵义·二模）某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． （1）把一定质量的水放入底面积为的容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； （2）在（1）的条件下，实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由待定系数法进行求解即可； （2）由反比例函数的性质，算出临界值，即可得出对应的取值范围； 解：（1）解：由题可知，设（）， 当时，，代入得， ∴， ∴． （2）解：已知且， ∵， ∴在第一象限内，随的增大而减小， 当时，； 当时，； ∴． （2026·贵州安顺·二模）图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． （1）将水从加热到需要________； （2）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （3）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】（1）5；（2）；（3） 【分析】（1）由时间=温差÷升温速度，求出加热至时间； （2）由（1）得当时，，因为降温过程为反比例函数，所以将代入中，求出，最后写出解析式； （3）分升温、降温两段，分别算出两段水温不低于时对应的起止时间，整理得，最后求总时长． 解：（1）解：升温总温差：， 用时：； （2）由（1）得停止加热点坐标为， ∵降温时，水温是通电时间的反比例函数， ∴设降温过程中，即时，水温关于通电时间的函数表达式为， 把代入中得：， 解得：， ∴在水温下降的过程中，水温关于通电时间的函数表达式为； （3）在升温段，即时， ∵水温从升到时所用时间为， ∴当时，水温不低于， 在降温段，即时， ∵当时，， ∴当时，水温不低于， 综上所述：当时，水温不低于， ∴水温不低于的时长为． 【点拨】升温阶段和降温阶段共用分界点是解题关键，把“温度不低于”转化为函数取值范围，分段求解自变量取值,再计算时长，是函数应用题常用方法． 24．（本小题满分12分）（2026·广东广州·三模）某天 ，小芳在家通过某打车软件打车前往火车站搭乘当天 的动车．记汽车的行驶时间为 （单位： ），行驶的平均速度为 （单位： ）， ．根据经验， ， 的对应值如表： … 20 30 40 50 60 … 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2 （1）求平均速度 关于行驶时间 的函数解析式． （2）已知小芳从开始打车到上车用了 ，并且她想在动车出发前半小时到达火车站，若汽车的平均速度为 ，小芳能否在预定的时间内到达火车站？请说明理由． （3）若汽车到达火车站的行驶时间 满足 ，求平均速度 的范围． 【答案】（1）；（2）不能， ∵从 到 总时间为 ， ，提前到达需要的半小时为 ， ∴可用于行驶的时间为 ， 当 时，所需行驶时间 ， ， 小芳不能在预定的时间内到达火车站； （3） 【分析】（1）根据表格数据判断 与 满足反比例关系，用待定系数法求出函数解析式，再结合 的限制得到自变量 的取值范围； （2）先计算出小芳可用于行驶的总时间，再求出平均速度为 时所需的行驶时间，比较后判断是否能按时到达； （3）利用反比例函数的性质，当 在给定范围内时，计算得到对应 的取值范围． 解：（1）观察表格数据可知 与 的乘积为定值， ∴设，     将 ， 代入得 ， 由题知 ， ∴ ， 解得 ， ∴平均速度 关于行驶时间 的函数解析式为 ； （2）略； （3）， ∴当 时， 随 的增大而减小， ∵ ， ， 即 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $