江苏省泰州中学2025-2026学年高三上学期期末考试数学试题

2025-2026学年江苏省泰州中学高三上学期期末考试 数学试题 命题人：孙娟 审题人：许志城 时间：120分钟 满分：150分 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 3. 由曲线围成图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 4. 已知为等比数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 5. 已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 6. 已知，都是第二象限角，且，，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 7. 设，分别为双曲线（）的左右焦点，过的直线交双曲线右支于两点，若，则双曲线的离心率可以是（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 8.若函数在区间恰有2个零点，则的取值范围是（　　） A． B．， C．， D．， 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列结论正确的有　　 A．公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种 B．展开式的系数和为0 C．若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等。 D．若是随机变量，则 【答案】BCD 10. 如图，圆台上下底面半径分别为1和2，P，Q分别为上下底面圆周上的点，为圆台的轴截面且，则（ ） A. 为母线 B. C. D. 平面与平面的夹角等于30° 【答案】BCD 11. 已知函数，过点作曲线的切线交轴于点，过点作曲线的切线交轴于点，依此类推，得到，，则（ ） A. 数列是等差数列 B. 当且时， C. D. 记的面积为，则 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.从1,3,5,7中任取两个数字，从0,2,4,6中任取两个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四位数． 【答案】756 13. 设函数，若，则的取值集合为 ． 【答案】 14. 已知为抛物线上两个不同的动点，且满足，则的最小值为 。 【答案】6 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知双曲线的离心率为2，焦距为4.过右焦点且斜率为的直线与双曲线右支相交于，两点。 （1）求的取值范围； （2）若，求的值. 【解析】 16. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若，的面积，求的值. 【解析】 解：（1）由已知得， 即，由正弦定理，可得， 而在△中，， 所以， 即， 整理得， 又，，所以， 则，所以； （2）由已知，，则， 由三角形的面积公式，已知，， 则，即， 又由正弦定理，可得， 而，， 所以， 解得． 17. ．某工厂采购了甲、乙两台新型机器，现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计如下： 零件直径 （单位：厘米） ， ， ， ， ， 零件个数 10 25 30 25 10 （Ⅰ）经统计，零件的直径服从正态分布，，据此估计这批零件直径在区间，内的概率； （Ⅱ）以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间，内的零件个数为，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的2倍，且甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件，若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率． 参考数据：若随机变量，则，，． 【解答】解：（1）由题意， 得． （2）由题意，随机抽取一个零件，直径在区间，的概率为， 故由题意满足二项分布故， ， ， ， 故的分布列为 0 1 2 3 4 27 的数学期望为； （3）设事件为“从这批零件中随机抽取一件来自甲机器生产”，事件为“从这批零件中随机抽取一件为次品”则为“从这批零件中随机抽取一件来自乙机器生产”， 由题意，， 则（A） ， ，故从这批零件中随机抽取一件，若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率为． 18．如图，在四面体中，，． （1）求证：； （2）已知点在平面内，直线平面，，过点作平面分别与棱、、、交于点、、、,且四边形为平行四边形． （ⅰ）求证：三棱锥为正三棱锥; （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】 （1）证明：取中点，连接，，因为， 所以三角形为等腰三角形，故， 因为，所以三角形为等腰三角形，故， 因为，，， 所以平面， 又因为平面， 所以有． （2）（ⅰ）由题有，由（1）知， 故平面， 所以平面和平面是同一平面，所以点在平面内， 过点作线段于点， 由知三角形为等腰三角形， 所以为中点，在线段的垂直平分线上， 又由于在线段的垂直平分线上， 所以为△的外心，由余弦定理有， 故，故由圆心角性质知， 所以△为等边三角形，为△的中心， 所以点在底面的投影为底面中心，故由正棱锥定义有为正三棱锥， （ⅱ）由于，故， 同理可得，，两两垂直． 以为原点，，，方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，， 由题有，且， 因此平面，平面， 设平面的一个法向量为， 则，取， 故所求正弦值即为． 19. 已知函数. （1）若函数在点处的切线过点，求a的值； （2）试给出a的一个整数值，使存在唯一的极值点，并说明理由； （3）若存在，使不等式对任意的成立，求b的最小值. 【解析】 【小问1详解】 由题可知， 切点，斜率， 切线方程：， 代入，解得：. 小问2详解】 取，存在唯一的极值点在存在唯一的变号零点， 当时，记， 又， 所以在存在唯一的变号零点， 当时，，无零点， 故在存在唯一的变号零点. 【小问3详解】 恒成立 ，下面研究 的最大值． 当 时， 由（2）知存在唯一的 使得 ， 且 在 上单调递增， 上单调递减，即 ， 当 时， 若 ，则 ，当 时， ， 当 时， ，而 ， 若 ，则 ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ，而 ， 结合知 ， 所以 ， 因为与是对应关系，故存在实数满足不等式恒成立， 即满足存在实数，使，即， 记， 有，当时，单调递减， 当时，单调递增，即， 故的最小值为，此时. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省泰州中学高三上学期期末考试 数学试题 命题人：孙娟 审题人：许志城 时间：120分钟 满分：150分 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 由曲线围成图形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知为等比数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 5. 已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，都是第二象限角，且，，则（ ） A. B. 1 C. D. 7. 设，分别为双曲线（）的左右焦点，过的直线交双曲线右支于两点，若，则双曲线的离心率可以是（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 8.若函数在区间恰有2个零点，则的取值范围是（　　） A． B．， C．， D．， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列结论正确的有　　 A．公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种 B．展开式的系数和为0 C．若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等。 D．若是随机变量，则 10. 如图，圆台上下底面半径分别为1和2，P，Q分别为上下底面圆周上的点，为圆台的轴截面且，则（ ） A. 为母线 B. C. D. 平面与平面的夹角等于30° 11. 已知函数，过点作曲线的切线交轴于点，过点作曲线的切线交轴于点，依此类推，得到，，则（ ） A. 数列是等差数列 B. 当且时， C. D. 记的面积为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.从1,3,5,7中任取两个数字，从0,2,4,6中任取两个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四位数． 13. 设函数，若，则的取值集合为 ． 14. 已知为抛物线上两个不同的动点，且满足，则的最小值为 。 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知双曲线的离心率为2，焦距为4.过右焦点且斜率为的直线与双曲线右支相交于，两点。 （1）求的取值范围； （2）若，求的值. 16. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若，的面积，求的值. 17. ．某工厂采购了甲、乙两台新型机器，现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计如下： 零件直径 （单位：厘米） ， ， ， ， ， 零件个数 10 25 30 25 10 （Ⅰ）经统计，零件的直径服从正态分布，，据此估计这批零件直径在区间，内的概率； （Ⅱ）以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间，内的零件个数为，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的2倍，且甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件，若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率． 参考数据：若随机变量，则，，． 18．如图，在四面体中，，． （1）求证：； （2）已知点在平面内，直线平面，，过点作平面分别与棱、、、交于点、、、,且四边形为平行四边形． （ⅰ）求证：三棱锥为正三棱锥; （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知函数. （1）若函数在点处的切线过点，求a的值； （2）试给出a的一个整数值，使存在唯一的极值点，并说明理由； （3）若存在，使不等式对任意的成立，求b的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $