第二章 有理数的运算 单元小测 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

浙教版七年级上册 · 第2章 有理数的运算 · 单元小测 浙教版七年级上册 第2章《有理数的运算》单元小测 （知识点梳理 + 单元测试卷 + 参考答案及解析） 班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 得分：__________ 第一部分 知识点梳理 本章知识结构 知识模块 主要内容 学习要求 有理数的加法 加法法则；加法交换律、结合律 熟练运算 有理数的减法 减法法则：减去一个数等于加上它的相反数 熟练运算 有理数的乘法 乘法法则；倒数；乘法运算律 熟练运算 有理数的除法 除法法则；乘除混合运算 熟练运算 有理数的乘方 乘方的意义；幂的符号规律 理解、会算 混合运算 运算顺序；简便运算 熟练运算 近似数与科学记数法 精确度；a×10n 的形式 会表示、会判断 知识点1 有理数的加法 加法法则 (1) 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； (2) 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得 0； (3) 一个数同 0 相加，仍得这个数。 运算律：加法交换律 a+b=b+a；加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)。 借助数轴可以直观理解加法：计算 (+5)+(-3)，可以看作从原点出发，先向右移动 5 个单位，再向左移动 3 个单位，最终停在表示 2 的点，所以 (+5)+(-3)=2。 图2-1 用数轴表示 (+5)+(-3)=2 技巧：多个数相加时，常把正数与负数分别结合、把互为相反数的数结合、把和为整数的数结合，使计算简便。 知识点2 有理数的减法 减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。即 a-b=a+(-b)。 加减混合运算可以统一成加法，再省略加号和括号，写成“代数和”的形式，如 (-3)-(+5)+(-2)-(-7)=-3-5-2+7。 【例1】计算：(-8)-(-12)+(-5)。 解：原式=-8+12-5=4-5=-1。 知识点3 有理数的乘法 乘法法则与倒数 (1) 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘都得 0。 (2) 几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数有偶数个时积为正，有奇数个时积为负。 (3) 乘积是 1 的两个数互为倒数。0 没有倒数。如 的倒数是 。 运算律：乘法交换律 ab=ba；乘法结合律 (ab)c=a(bc)；分配律 a(b+c)=ab+ac。 知识点4 有理数的除法 除法法则 (1) 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。即 （b≠0）。 (2) 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数都得 0；0 不能作除数。 【例2】计算：。 解：原式。 注意：乘除混合运算要按从左到右的顺序进行，先把除法统一成乘法，再确定符号、计算绝对值。 知识点5 有理数的乘方 乘方的意义 (1) 求 n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 an 中，a 叫做底数，n 叫做指数，an 读作“a 的 n 次方”或“a 的 n 次幂”。 (2) 符号规律：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何正整数次幂都是 0。 (3) 重点辨析：(-3)2=(-3)×(-3)=9，底数是 -3；而 -32=-(3×3)=-9，底数是 3。同理 ，而 。 知识点6 有理数的混合运算 运算顺序 (1) 先算乘方，再算乘除，最后算加减； (2) 同级运算，按从左到右的顺序进行； (3) 如有括号，先算小括号里面的，再算中括号，最后算大括号里面的。 【例3】计算：-22+(-3)×[(-4)2÷8-1]。 解：原式=-4+(-3)×[16÷8-1]=-4+(-3)×1=-4-3=-7。 知识点7 近似数与科学记数法 核心概念 (1) 把一个大于 10 的数表示成 a×10n 的形式（其中 1≤a<10，n 是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。n 等于原数的整数位数减 1。如 3 080 000=3.08×106。 (2) 与实际完全符合的数叫做准确数，与实际接近的数叫做近似数。近似数与准确数的接近程度用精确度表示，一般用四舍五入法取近似数。 (3) 判断精确到哪一位，看近似数最后一位数字所在的数位。如 2.30 精确到百分位；3.6 万精确到千位（3.6 万=36 000，6 在千位上）。 本章易错点提醒 ① 减法转化为加法时，被减数不变，减号变加号，减数变为它的相反数，两处都要变。 ② -an 与 (-a)n 不同，要看清底数；分数的乘方要加括号。 ③ 乘除混合运算必须从左到右依次进行，不能先算后面的乘法，如 6÷2×3=9 而不是 1。 ④ 使用分配律时，括号内每一项都要乘到，且不要漏掉符号。 ⑤ 带“万”“亿”的近似数判断精确度时，要先还原成原数再看最后一位数字所在的数位。 第二部分 单元小测 （考试时间：45 分钟 满分：100 分） 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1. 计算 -3+5 的结果是（ ） A. 2 B. -2 C. 8 D. -8 2. 计算 (-2)-(-7) 的结果是（ ） A. -9 B. 9 C. 5 D. -5 的倒数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式的计算结果为负数的是（ ） A. (-3)2 B. -(-3) C. |-3| D. -32 5. 某市常住人口约为 12 800 000 人，将 12 800 000 用科学记数法表示为（ ） A. 12.8×106 B. 0.128×108 C. 1.28×107 D. 1.28×106 6. 近似数 3.06 万精确到（ ） A. 百分位 B. 百位 C. 千位 D. 万位 7. 计算 的结果是（ ） A. 8 B. C. D. -8 8. 若 a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，则 2(a+b)-3cd 的值是（ ） A. -3 B. 3 C. 0 D. -1 9. 下列运算正确的是（ ） A. -22=4 B. (-1)2025=-1 C. D. (-3)3=-9 10. 有理数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列式子成立的是（ ） 第10题图 A. a+b<0 B. a-b>0 C. ab>0 D. 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11. 计算：-6+(-4)=__________。 12. 计算：__________。 13. 某日最高气温是 5 ℃，最低气温是 -3 ℃，这天的温差是__________℃。 14. (-2)3 的底数是__________，计算结果是__________。 15. 将 3.1415 精确到 0.01，所得近似数是__________。 16. 若 |a+2|+(b-3)2=0，则 ab 的值是__________。 17. 定义一种新运算：a△b=a×b-a+b，则 (-3)△2=__________。 18. 观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，…，按此规律，1+3+5+…+99=__________。 三、解答题（本大题共 5 小题，共 46 分） 19.（12 分）计算： (1) (-8)+10-(-2)+(-5)； ； ； 。 20.（8 分）用简便方法计算： ； 。 21.（8 分）一辆出租车某天下午在一条东西方向的公路上营运，规定向东为正，向西为负，这天下午的行车里程（单位：千米）依次如下： +15，-3，+14，-11，+10，-12，+4，-15，+16，-17 (1) 将最后一名乘客送到目的地时，出租车在出发点的什么方向？距出发点多远？ (2) 若汽车耗油量为每千米 0.1 升，这天下午共耗油多少升？ (3) 在营运过程中，出租车离出发点最远时是多少千米？ 22.（8 分）某粮库新进 30 袋大米，每袋标准质量为 50 千克。超过标准的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重记录如下： 与标准质量的差/千克 -1.5 -1 0 +0.5 +1 +2 袋数 3 5 8 6 4 4 (1) 这 30 袋大米中，最重的一袋比最轻的一袋重多少千克？ (2) 这 30 袋大米的总质量是多少千克？ 23.（10 分）如图，数轴上点 A 表示的数为 -4，点 B 表示的数为 8。 第23题图 (1) 求 A，B 两点之间的距离； (2) 动点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度向右运动；同时动点 Q 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向左运动。几秒后 P，Q 两点相遇？相遇点表示的数是多少？ (3) 在 (2) 的条件下，几秒后 P，Q 两点相距 3 个单位长度？ 第三部分 参考答案及解析 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D C B D A B D 1. 【答案】A 【解析】-3 与 5 异号，|5|>|-3|，取正号，用 5-3=2，所以 -3+5=2。 2. 【答案】C 【解析】减去一个数等于加上它的相反数：(-2)-(-7)=(-2)+7=5。 3. 【答案】B 【解析】乘积是 1 的两个数互为倒数。，所以 的倒数是 。 【易错】求倒数时符号不变，不要与相反数混淆。 4. 【答案】D 【解析】(-3)2=9；-(-3)=3；|-3|=3；-32=-9。只有 D 项结果为负数。 【易错】-32 的底数是 3，表示 32 的相反数。 5. 【答案】C 【解析】12 800 000 是 8 位整数，n=8-1=7；a=1.28 满足 1≤a<10，所以 12 800 000=1.28×107。 【易错】A 项中 12.8 不满足 1≤a<10；B 项中 0.128 也不满足；D 项指数错误。 6. 【答案】B 【解析】3.06 万=30 600，最后一位数字 6 在百位上，所以近似数 3.06 万精确到百位。 【方法】带单位“万”的近似数，先还原为原数，再看末位数字所在的数位。 7. 【答案】D 【解析】原式。三个负因数，积为负；绝对值为 ，所以结果为 -8。 8. 【答案】A 【解析】a，b 互为相反数，则 a+b=0；c，d 互为倒数，则 cd=1。所以原式=2×0-3×1=-3。 【方法】整体代入，不必求出 a，b，c，d 的具体值。 9. 【答案】B 【解析】A 项：-22=-4，错误；B 项：-1 的奇次幂为 -1，正确；C 项：，错误；D 项：(-3)3=-27，错误。 10. 【答案】D 【解析】由数轴得 a<0<b，且 |a|<|b|。 A 项：异号两数相加取绝对值较大的数的符号，a+b>0，错误；B 项：a<b，所以 a-b<0，错误；C 项：异号两数相乘得负，ab<0，错误；D 项：异号两数相除得负，，正确。 二、填空题 11. 【答案】-10 【解析】同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加：-(6+4)=-10。 12. 【答案】 【解析】异号得负，，所以结果为 。 13. 【答案】8 【解析】温差=最高气温-最低气温=5-(-3)=5+3=8（℃）。 14. 【答案】-2；-8 【解析】(-2)3 的底数是 -2，指数是 3，(-2)3=(-2)×(-2)×(-2)=-8。 15. 【答案】3.14 【解析】精确到 0.01 即精确到百分位，看千分位上的数字 1，1<5，舍去，得 3.14。 16. 【答案】-8 【解析】因为 |a+2|≥0，(b-3)2≥0，且它们的和为 0，所以 a+2=0，b-3=0，即 a=-2，b=3。 所以 ab=(-2)3=-8。 【方法】几个非负数的和为 0，则每个非负数都等于 0。 17. 【答案】-1 【解析】按定义：(-3)△2=(-3)×2-(-3)+2=-6+3+2=-1。 18. 【答案】2500 【解析】从 1 开始的连续 n 个奇数之和等于 n2。1，3，5，…，99 共有 (99+1)÷2=50 个奇数，所以和为 502=2500。 三、解答题 19. 【答案】(1) -1；(2) 12；；(4) -8 【解析】(1) 原式=-8+10+2-5=(10+2)+(-8-5)=12-13=-1。（3 分） (2) 原式。（3 分） (3) 原式。（3 分） (4) 原式。（3 分） 【易错】第 (3) 题中 -14=-1，而不是 1；第 (2) 题使用分配律时，括号内每一项都要与 -24 相乘，注意符号。 20. 【答案】(1) -1799；(2) 25 【解析】(1) 原式。（4 分） (2) 原式。（4 分） 【方法】把接近整数的带分数拆成“整数±分数”，或逆用分配律提出公共因数，都能简化计算。 21. 【答案】(1) 东方 1 千米；(2) 11.7 升；(3) 26 千米 【解析】(1) 15-3+14-11+10-12+4-15+16-17=(15+14+10+4+16)-(3+11+12+15+17)=59-58=1（千米）。 所以出租车在出发点东方 1 千米处。（3 分） (2) 总路程为各次里程的绝对值之和：59+58=117（千米），耗油 117×0.1=11.7（升）。（3 分） (3) 每次行驶后离出发点的位置依次为：15，12，26，15，25，13，17，2，18，1（千米），所以最远时离出发点 26 千米。（2 分） 【易错】求耗油量时要用路程的绝对值之和，而不是代数和。 22. 【答案】(1) 3.5 千克；(2) 1505.5 千克 【解析】(1) 最重的一袋比标准多 2 千克，最轻的一袋比标准少 1.5 千克，2-(-1.5)=3.5（千克）。（3 分） (2) 与标准质量的差的总和：(-1.5)×3+(-1)×5+0×8+0.5×6+1×4+2×4=-4.5-5+0+3+4+8=5.5（千克）。 总质量：50×30+5.5=1505.5（千克）。（5 分） 23. 【答案】(1) 12；(2) 4 秒，相遇点表示 4；(3) 3 秒或 5 秒 【解析】(1) AB=8-(-4)=12。（2 分） (2) P，Q 相向而行，每秒共靠近 2+1=3 个单位长度，相遇时间为 12÷3=4（秒）。此时点 P 运动了 2×4=8 个单位长度，表示的数为 -4+8=4。（4 分） (3) 分两种情况：①相遇前相距 3 个单位长度，两点共走了 12-3=9 个单位长度，时间为 9÷3=3（秒）；②相遇后相距 3 个单位长度，两点共走了 12+3=15 个单位长度，时间为 15÷3=5（秒）。所以 3 秒或 5 秒后 P，Q 相距 3 个单位长度。（4 分） 【点评】数轴上的动点问题要画图分析，特别注意“相遇前”和“相遇后”两种情况。 附一：双向细目表 题号 题型 考查知识点 分值 难度 1 选择题 有理数加法法则 3 易 2 选择题 有理数减法法则 3 易 3 选择题 倒数 3 易 4 选择题 乘方的意义与符号 3 易 5 选择题 科学记数法 3 易 6 选择题 近似数的精确度 3 中 7 选择题 乘除混合运算 3 中 8 选择题 相反数、倒数的整体代入 3 中 9 选择题 乘方运算辨析 3 中 10 选择题 数轴与运算符号判断 3 中 11 填空题 加法法则 3 易 12 填空题 乘法法则 3 易 13 填空题 减法的实际应用 3 易 14 填空题 底数与幂 3 易 15 填空题 四舍五入取近似数 3 易 16 填空题 非负数的性质 3 中 17 填空题 新定义运算 3 中 18 填空题 规律探究 3 较难 19 解答题 有理数混合运算 12 中 20 解答题 简便运算 8 中 21 解答题 正负数的实际应用 8 中 22 解答题 统计中的有理数运算 8 中 23 解答题 数轴动点问题 10 较难 附二：错题反思表 错题题号 涉及知识点 错误原因 正确思路 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $