3.3幂函数导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.3 幂函数 高中数学·必修第一册（人教A版2019）教案（教师版·详案） ◆ 教学设计说明（课前必读） 【课时】 建议 1 课时。前半段：幂函数概念（例1）+ 五个常用函数图像与性质填表（例2）；后半段：幂值比大小（例3）、系数求参（例4）、综合（例5）。若内容偏多，例5 改课后选做。 【重难点】 重点：幂函数的概念判定、五个常用幂函数的图像与性质、利用单调性比大小。难点：① 严格区分幂函数与指数函数（y=x^α 与 y=a^x）；② 幂值比大小先统一到"同一幂函数在相应区间"再用单调；③ 系数求参时"系数为1"是幂函数必要条件。 【分层策略】 普通班：判幂函数+填表+同函数比大小+求简单解析式；重点班：+系数求参+跨函数用"中间值1"搭桥比大小；清北班：+定义域约束下的不等式求解+逆向求解析式。 【板书 】左：幂函数定义 y=x^α（三要素：系数1、底数x、指数常数）；中：五个常用函数图像与性质表（定义域/值域/奇偶/单调）；右：比大小步骤、例4 系数求参。 【衔接】3.1 已定义函数；3.2 单调性/奇偶性是研究幂函数图像的利器（如 y=x^(−1) 的奇偶与两段单调）；第四章指数、对数函数与幂函数并称"三类基本初等函数"，本章为后续打底。 【学习目标】（对标数学核心素养） • 1. 了解幂函数的概念，能准确判断一个函数是否为幂函数。（数学抽象） • 2. 掌握五个常用幂函数 y=x、y=x²、y=x³、y=x^(1/2)、y=x^(−1) 的图像与性质。（直观想象、数学运算） • 3. 会利用幂函数的单调性比较幂值大小、求幂函数的解析式。（数学运算、逻辑推理） • 4. 体会"从特殊到一般"的研究路径：先画五个特例，再归纳指数 α 对图像的影响。（逻辑推理） 【强调】 幂函数的唯一形式是 y=x^α：系数必须为 1，底数是自变量 x，指数 α 是常数。凡不满足这三条的都不是幂函数（如 y=2^x 是指数函数，y=(x+1)² 底数不是 x）。 一、新知引入（约6分钟） 【问题1·找共性】观察 y=x、y=x²、y=x³、y=x^(1/2)、y=x^(−1) 的表达式，它们能用"自变量 x 的 α 次幂"统一表示吗？试着写出的共同形式：y = ____。 【问题2·长什么样】在坐标系中画出上述五个函数的图像（或观察教材图），它们都经过哪个定点？在第一象限的"升/降"有规律吗？ 【问题3·易混对比】y=2^x、y=(x+1)²、y=2x 也是"x 的幂"吗？为什么它们不算幂函数？（提示：看系数、底数、指数分别是什么） 【师生活动】 问题1 从特例抽象出 y=x^α；问题2 用图像建立"过定点、第一象限升降"直觉；问题3 通过反例（指数型、平移型、系数型）精准锁定幂函数三要素。 【设计意图 】用学生已会的具体函数反推一般定义，并用反例排除易混对象，降低概念混淆。 【讲解·如何讲清】 幂函数与指数函数的区别要讲透：幂函数是"底变指不变"（x^α，x 动、α 定），指数函数是"底不动指变"（a^x，a 定、x 动）。一句话区分就不会混。 二、知识梳理（约14分钟，学生先填，教师再讲） （一）幂函数的概念 1. 定义：一般地，函数 y = ____ 叫做幂函数，其中 x 是 ____（自变量），α 是 ____（常数）。 2. 三个要素：系数必须为 ____；底数必须是 ____；指数必须是 ____。 3. 易混判定：① y=2x（系数不为1，____）；② y=2^x（底数是常数、指数是自变量，是 ____ 函数）；③ y=(x+1)²（底数是 x+1 不是 x，____）。 【重点】 判定幂函数的固定三步：一查系数是否等于1；二查底数是否就是自变量 x；三查指数是否为常数。三步全满足才是幂函数。 【易错】 ① 把 y=2^x 误当幂函数（本质是指数函数）；② 把 y=x²+1、y=(x+1)² 当幂函数（多了常数项或底数变了）；③ 认为带"指数"就是幂函数。 （二）五个常用幂函数的图像与性质（先填表，再对照教材图） 函数 定义域 值域 奇偶性 单调性 y=x ℝ ℝ 奇 在 ℝ 上递增 y=x² ℝ [0,+∞) 偶 在 (−∞,0] 减，[0,+∞) 增 y=x³ ℝ ℝ 奇 在 ℝ 上递增 y=x^(1/2) [0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶 在 [0,+∞) 上递增 y=x^(−1) {x|x≠0} {y|y≠0} 奇 在 (−∞,0) 减，在 (0,+∞) 减 【重点】 y=x^(−1) 的两个单调区间之间用"和/或"连接，绝不能用"∪"——它在整个定义域上并不单调递减（两支点之间会"跳"）。 【易错】① 把 y=x² 的递减区间误写成 (−∞,0)（漏了端点 0 可取到，应为 (−∞,0]）；② 认为 y=x^(−1) 在 {x|x≠0} 上单调递减（错，两段分别递减、整体不单调）；③ 漏掉 y=x^(1/2) 的定义域 [0,+∞)。 （三）幂函数在第一象限的性质（二级结论） 1. 所有幂函数的图像都经过定点 ____；当 α>0 时还经过定点 ____。 2. 单调性：当 α>0 时，幂函数在 (0,+∞) 上 ____；当 α<0 时，幂函数在 (0,+∞) 上 ____。 3. 比大小法则：同底不同指或同指不同底，先统一到 ____ ，再用该函数在对应区间的 ____；若不是同一幂函数，可用中间值（如 ____）搭桥比较。 【讲解·如何讲清】 α 的符号是"总开关"：α>0 图像过原点且第一象限上升；α<0 图像不过原点、靠近 y 轴"高"、靠近 x 轴"低"，第一象限下降。记住这个规律比死记五个图更管用。 【对应练习】 讲完概念→做例1、训练1~2；讲完五个图→做例2、训练3~5；讲完比大小→做例3、变式2、训练6~8。 三、典型例题（约18分钟） 例1（基础·概念判定）判断下列各函数是否为幂函数，并说明理由：(1) y=x³；(2) y=2x；(3) y=x^(1/2)；(4) y=(x+1)²；(5) y=1/x；(6) y=x^(−1)。 【讲评要点】 (1)(3)(5)(6) 是幂函数：(5) 即 x^(−1)、(6) 即 x^(−1)，都形如 x^α 且系数为1。(2) 系数 2≠1，不是；(4) 底数是 x+1 不是 x，不是。 【对应练习】 做分层训练1、2。 例2（基础·求解析式）已知幂函数 f(x) 的图像过点 (2, √2)，求 f(x) 的解析式，并计算 f(3) 的值。 【讲评要点】 设 f(x)=x^α，代入 (2,√2) 得 2^α=√2=2^(1/2)，故 α=1/2，f(x)=x^(1/2)；f(3)=3^(1/2)=√3。 【讲解·如何讲清】 "图像过点"就是"点的坐标满足解析式"，把指数 α 当成待定系数解出来即可。注意把 √2 写成 2^(1/2) 再比指数。 【对应练习】 做分层训练3、4。 例3（提高·比大小）比较下列各组值的大小，并说明理由：(1) 0.7^(1/2) 与 0.8^(1/2)；(2) 0.7^(−1) 与 0.8^(−1)；(3) (−0.5)³ 与 (−0.6)³。 【讲评要点】 (1) 构造 f(x)=x^(1/2)，在 [0,+∞) 上递增，0.7<0.8 ⇒ 0.7^(1/2)<0.8^(1/2)；(2) 构造 f(x)=x^(−1)，在 (0,+∞) 上递减，0.7<0.8 ⇒ 0.7^(−1)>0.8^(−1)；(3) 构造 f(x)=x³，在 ℝ 上递增，−0.5>(−0.6) ⇒ (−0.5)³>(−0.6)³。 【易错】 比大小前先确认"用的是哪个幂函数、在哪一区间"，单调性方向搞反是常见错。负数底数要选在 ℝ 上单调的幂函数（如 x³），不能套 x^(1/2)。 【对应练习】 做分层训练6、7。 例4（提高·系数求参）已知 f(x)=(m²−3m+3)x^(m²−2m−2) 是幂函数，且在 (0,+∞) 上递减，求实数 m 的值。 【讲评要点】 幂函数系数必为1：m²−3m+3=1 ⇒ m²−3m+2=0 ⇒ m=1 或 m=2。m=1 时指数=−3<0，在 (0,+∞) 递减；m=2 时指数=−2<0，也递减。故 m=1 或 m=2。 【讲解·如何讲清】 "是幂函数"先逼出系数为1（解 m），再代入看指数符号是否满足"递减"条件筛选。两步缺一不可。 【对应练习】 做分层训练8、9。 例5（拓展·清北）已知幂函数 f(x)=x^α 在 (0,+∞) 上递减，且 f(4)=1/2，求 f(x) 的解析式，并解不等式 f(2x−1)>f(x+1)。 【讲评要点】 由 f(4)=4^α=1/2=2^(−1)=4^(−1/2) ⇒ α=−1/2，f(x)=x^(−1/2)，定义域 (0,+∞)。f(2x−1)>f(x+1) 需 2x−1>0、x+1>0 且因递减 2x−1<x+1 ⇒ x>1/2、x>−1、x<2，综合得 1/2<x<2。 【讲解·如何讲清】 含幂函数的不等式先定定义域，再用单调性"脱 f"：递减时 f(a)>f(b) ⇔ a<b（且 a,b 都在定义域）。 【对应练习】 做分层训练10、11、12。 四、变式探究（约5分钟） 【变式1】若幂函数 f(x) 过点 (3,9)，求 f(x) 的解析式及 f(2) 的值。 【变式2】比较 (1/2)^(−1) 与 (1/3)^(−1) 的大小。 【探究】指数 α>0 与 α<0 时，幂函数在 (0,+∞) 上的单调性和所过定点有何不同？用一句话归纳规律。 【探究】 变式1：设 x^α 过 (3,9) ⇒ 3^α=9=3² ⇒ α=2，f(x)=x²，f(2)=4；变式2：f(x)=x^(−1) 在 (0,+∞) 递减，1/2>1/3 ⇒ (1/2)^(−1)<(1/3)^(−1)；探究：α>0 过 (0,0) 与 (1,1)、第一象限升；α<0 只过 (1,1)、不过原点、第一象限降。 【师生活动】 变式1 巩固"过点求解析式"；变式2 用单调比大小；探究题归纳 α 符号的总规律，形成可迁移的结论。 五、分层训练（课堂/课后均可，约4分钟布置） 【选题说明】 普通班保底判幂函数+填表+同函数比大小+简单解析式；重点班加系数求参+跨函数用中间值1搭桥；清北班加定义域约束不等式+逆向求解析式。 【普通班】基础巩固（人人过关） 1. 下列函数中是幂函数的有 ____（填序号）：① y=x³；② y=2x；③ y=x²+1；④ y=1/x；⑤ y=(2x)²。 2. 幂函数 y=x² 的奇偶性是 ____，在 (0,+∞) 上 ____。 3. 已知幂函数过点 (4,2)，则该幂函数 f(x)=____，f(9)=____。 4. 比较大小：0.3^(1/2) ____ 0.5^(1/2)（填 < 或 >）。 5. 幂函数 y=x^(−1) 的定义域是 ____，其图像在第 ____、____ 象限。 【重点班】能力提升（+做） 6. 已知 f(x)=(k²−k−1)x^(k²−2k−3) 是幂函数且在 (0,+∞) 上递减，求 k 的值。 7. 比较大小并说明理由：(1) 0.5^(−1) 与 0.4^(−1)；(2) 1.2² 与 1.3²。 8. 已知幂函数 f(x)=x^α 过点 (2,8)，求 f(x) 并判断其奇偶性。 9. 若幂函数 y=x^α 的图像过 (1,1) 且在第一象限递减，则 α 的取值范围是 ____。 【清北班】拓展挑战（+做） 10. 已知 f(x)=(m²−m−1)x^(m²−2m+3) 是幂函数，且在 (0,+∞) 上递增，求 m 的值并写出解析式。 11. 已知幂函数 f(x)=x^α 在 (0,+∞) 上递减，解不等式 f(x−1)>f(2−x)。 12. 设 f(x) 是幂函数，且 f(2)=√2，则 f(8)=____（先求解析式再填）。 【对应练习·闭环】 例1↔训练1、2；例2↔训练3、4；例3↔训练6、7；例4↔训练8、9；例5↔训练10、11、12。 六、课堂小结（约2分钟） 1. 概念：幂函数唯一形式 y=x^α（系数1、底数x、指数常数）；三步判定法。 2. 五个常用幂函数的图像与性质（表）：y=x / x² / x³ / x^(1/2) / x^(−1)。 3. 比大小：同函数用单调；异函数用中间值1搭桥。α 符号是单调性的总开关。 4. 思想：从特殊（五个特例）到一般（α 的影响）；数形结合。 【流程】 闭卷默写幂函数定义与五函数性质表；教师补全板书——定义+三要素+五函数表+比大小步骤。 【板书设计】 左：幂函数定义 y=x^α 与三要素；中：五函数定义域/值域/奇偶/单调表；右：例4 系数求参、例5 脱 f 解不等式。 七、课后作业（分层布置） ● 普通班：课本 P97 练习 1~3；分层训练 1~5。 ● 重点班：课本练习全做；分层训练 1~9，整理"幂函数与指数函数混淆"错题 2 道。 ● 清北班：课本练习全做 + 分层训练 1~12，另做"α 对图像影响"探究题 1 道。 【反思】 下节课前抽测：①口述幂函数定义与判定三步；②画五个常用幂函数图像并说性质；③比大小 0.8^(−1) 与 0.9^(−1)。第三章 3.1~3.3 收官后，第四章进入指数、对数函数——幂函数、指数、对数并称三类基本初等函数。 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·必修第一册（人教A版2019）学案（学生版） 班级：_________ 姓名：_________ 日期：_________ 3.3 幂函数 【学习目标】 • 1. 了解幂函数的概念，能准确判断一个函数是否为幂函数。（数学抽象） • 2. 掌握五个常用幂函数 y=x、y=x²、y=x³、y=、y= 的图像与性质。（直观想象、数学运算） • 3. 会利用幂函数的单调性比较幂值大小、求幂函数的解析式。（数学运算、逻辑推理） • 4. 体会"从特殊到一般"的研究路径：先画五个特例，再归纳指数 α 对图像的影响。（逻辑推理） 一、新知引入 【问题1·找共性】观察 y=x、y=x²、y=x³、y=、y=的表达式，它们能用"自变量 x 的 α 次幂"统一表示吗？试着写出的共同形式：y = ____。 【问题2·长什么样】在坐标系中画出上述五个函数的图像（或观察教材图），它们都经过哪个定点？在第一象限的"升/降"有规律吗？ 【问题3·易混对比】y=、y=(x+1)²、y=2x 也是"x 的幂"吗？为什么它们不算幂函数？（提示：看系数、底数、指数分别是什么） 我的发现： 二、知识梳理 （一）幂函数的概念 1. 定义：一般地，函数 y = ____ 叫做幂函数，其中 x 是 ____（自变量），α 是 ____（常数）。 2. 三个要素：系数必须为 ____；底数必须是 ____；指数必须是 ____。 3. 易混判定：① y=2x（系数不为1，____）；② y=（底数是常数、指数是自变量，是 ____ 函数）；③ y=(x+1)²（底数是 x+1 不是 x，____）。 （二）五个常用幂函数的图像与性质（先填表，再对照教材图） 函数 定义域 值域 奇偶性 单调性 y=x y=x² y=x³ y= y= （三）幂函数在第一象限的性质 1. 所有幂函数的图像都经过定点 ____；当 α>0 时还经过定点 ____。 2. 单调性：当 α>0 时，幂函数在 (0,+∞) 上 ____；当 α<0 时，幂函数在 (0,+∞) 上 ____。 3. 比大小法则：同底不同指或同指不同底，先统一到 ____ ，再用该函数在对应区间的 ____；若不是同一幂函数，可用中间值（如 ____）搭桥比较。 三、典型例题 例1.判断下列各函数是否为幂函数，并说明理由：(1) y=x³；(2) y=2x；(3) y=；(4) y=(x+1)²；(5) y=；(6) y=。 例2.已知幂函数 f (x) 的图像过点 (2, )，求 f (x) 的解析式，并计算 f (3) 的值。 例3.比较下列各组值的大小，并说明理由：(1) 与 ；(2)与；(3) (−0.5)³ 与 (−0.6)³。 例4.已知 f (x)=(m²−3m+3)是幂函数，且在 (0,+∞) 上递减，求实数 m 的值。 例5.已知幂函数 f (x)=在 (0,+∞) 上递减，且 f (4)=，求 f (x) 的解析式，并解不等式 f (2x−1)>f (x+1)。 四、变式探究 【变式1】若幂函数 f (x) 过点 (3,9)，求 f (x) 的解析式及 f (2) 的值。 【变式2】比较 与 的大小。 【探究】指数 α>0 与 α<0 时，幂函数在 (0,+∞) 上的单调性和所过定点有何不同？用一句话归纳规律。 五、分层训练 基础巩固（人人过关） 1. 下列函数中是幂函数的有 ____（填序号）：① y=x³；② y=2x；③ y=x²+1；④ y=；⑤ y=(2x)²。 2. 幂函数 y=x² 的奇偶性是 ____，在 (0,+∞) 上 ____。 3. 已知幂函数过点 (4,2)，则该幂函数 f (x)=____，f (9)=____。 4. 比较大小： ____ （填 < 或 >）。 5. 幂函数 y= 的定义域是 ____，其图像在第 ____、____ 象限。 能力提升（+做） 6.已知 f (x)=(k²−k−1) 是幂函数且在 (0,+∞) 上递减，求 k 的值。 7. 比较大小并说明理由：(1) 与 ；(2) 1.2² 与 1.3²。 8. 已知幂函数 f (x)=过点 (2,8)，求 f (x) 并判断其奇偶性。 9. 若幂函数 y=的图像过 (1,1) 且在第一象限递减，则 α 的取值范围是 ____。 拓展挑战（+做） 10.已知 f(x)=(m²−m−1)是幂函数，且在 (0,+∞) 上递增，求 m 的值并写出解析式。 11. 已知幂函数 f (x)=在 (0,+∞) 上递减，解不等式 f (x−1)>f (2−x)。 12. 设 f (x) 是幂函数，且 f (2)=，则 f (8)=____。 六、课堂小结 我的疑问与收获： 七、课后作业 学科网（北京）股份有限公司 $