3.3 幂函数 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦“幂函数”核心内容，引导学生理解幂函数概念、掌握图象特征与性质，学会比较幂值大小及解相关不等式。通过回顾指数函数等已有知识对比引入，搭建从具体函数到一般性质的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料设置分层跟踪训练适配不同学生需求，典例精析结合方法总结助学生掌握解题逻辑，培养逻辑推理素养。通过图象分析培养直观想象，课时小结与课后反思促进自主学习，助力学生系统掌握知识并提升数学思维能力。

3.3幂函数 【学习目标】 ①了解幂函数的概念； ②结合幂函数的图象，掌握它们的性质； ③能利用幂函数的单调性比较幂的大小； ④结合幂函数的图象，培养直观想象的核心素养； ⑤借助幂函数的性质，培养逻辑推理的核心素养. 【学习重点】 掌握幂函数定义判定、图象特征、幂值比大小、幂函数不等式与含参恒成立问题的通用解题方法 【学习难点】 结合幂函数定义域、奇偶性、单调性综合解抽象不等式，区分不同指数类型的转化规则并准确处理含参恒成立分离参数与对勾函数值域 一、核心知识梳理（必背必会） 1.幂函数的概念 （1）概念：一般地，函数________叫做幂函数，其中是________，是______. （2）特征：①系数为1；②底数是自变量；③指数是常数. 2.几种常见幂函数的性质 幂函数 性质 定义域 值域 单调性 奇偶性 过定点 图象特点 在第一象限内，当时，幂函数的指数越小，其图象越靠近____轴 3.知识拓展： （1）幂函数的奇偶性（互质） ①若为偶数，则幂函数为________函数； ②若为奇数，则当为奇数时，幂函数为__函数；当为偶数时，幂函数为__函数. （2）对勾函数：形如的函数 ①定义域；②值域____________________； ③单调递增区间：___________________；单调递减区间：___________________； ④图象： 二、典例精析 题型1 幂函数的定义及辨析 例1（1）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． （2）已知幂函数，则（    ） A．8 B．2 C．4 D． 方法总结：判断一个函数是幂函数 （1）关键点①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1； （2）常见变形：根式、分式要先转化为x的指数幂形式再判断. 题型2 幂函数图象及其应用 例2（1）已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 方法总结：解决幂函数图象问题应把握的原则 （1）指数为正图象单调递增，指数为负图象单调递减；指数大于1图象向下弯曲，指数在0到1之间图象向上弯曲； （2）在内，指数越大，图象越接近轴（指大图低）；在内，指数越大，图象越远离轴（指大图高）. （2）已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 方法总结： （1）设式求参：幂函数统一形式，代入已知点，利用指数运算求解。 （2）定性分析 ①定义域：为负数，；分数指数注意被开方数限制； ②奇偶性：根据指数特征判断奇偶性，确定图像关于y轴（偶）、关于原点（奇）对称还是不对称（非奇非偶）； 题型3 幂函数的性质及其应用 例3（1）1．比较下列各组数的大小． （1）；                                 （2）； （3）； 方法总结：比较幂值大小的方法 （1）若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，可构造幂函数，利用幂函数的单调性比较大小； （2）若底数、指数均不相同，则考虑用中间值比较大小，常见的中间值为0或1. （2）已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 方法总结：利用幂函数解不等式，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合考虑，求解步骤如下： （1）确定可以利用的幂函数； （2）借助幂函数的单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系； （3）解不等式（组）求参数范围，注意分类讨论思想的应用. 题型4 的图象与性质 例4．已知幂函数的定义域为全体实数R． (1)求的解析式； (2)若在上恒成立，求实数k的取值范围． 方法总结：二次型含参恒能成立问题，常采用分离参数转化为对勾函数最值问题求解. 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．下列函数中，图象关于原点对称且在单调递增的是（   ） A． B． C． D． 2．已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 3．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 4．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 5．已知幂函数为常数，则下列结论正确的是（     ） A．函数的图象都经过点 B．若，则 C．若，则函数为偶函数 D．若函数的图象经过点，则函数在其定义域上单调递增 6．已知幂函数为偶函数，且，，，则（　 　） A． B． C． D． 7．比较下列各组数的大小： （1）和； （2）和； （3），和． 8．已知幂函数的定义域为R． (1)求实数的值； (2)若定义在上的函数，求的最值． 【能力提升】（多数必做） 9．已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．已知，幂函数的图象关于轴对称，且与轴和轴无交点，则的值是___________ 12．已知幂函数的图像经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围． 【拓展拔高】（学有余力选做） 13．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．已知幂函数的图象经过点. (1)求实数的值，并用定义法证明在区间内是减函数. (2)函数是定义在R上的偶函数，当时，，求满足时实数的取值范围. 四、课时小结 （1）知识层面：理解幂函数定义，求解参数后务必校验定义域，掌握定义域、奇偶性、正区间单调性三大核心性质，能完成幂值大小比较。 （2）解题层面：依据幂函数奇偶与定义域对抽象不等式做等价转化，负指数奇函数需分类讨论，恒成立问题优先分离参数，区间含零点要单独处理并审慎判断等号取舍。 （3）思想方法方面：会运用等价转化、分类讨论、分离参数等数学思想分析问题。 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3幂函数 【学习目标】 ①了解幂函数的概念； ②结合幂函数的图象，掌握它们的性质； ③能利用幂函数的单调性比较幂的大小； ④结合幂函数的图象，培养直观想象的核心素养； ⑤借助幂函数的性质，培养逻辑推理的核心素养. 【学习重点】 掌握幂函数定义判定、图象特征、幂值比大小、幂函数不等式与含参恒成立问题的通用解题方法 【学习难点】 结合幂函数定义域、奇偶性、单调性综合解抽象不等式，区分不同指数类型的转化规则并准确处理含参恒成立分离参数与对勾函数值域 一、核心知识梳理（必背必会） 1.幂函数的概念 （1）概念：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. （2）特征：①系数为1；②底数是自变量；③指数是常数. 2.几种常见幂函数的性质 幂函数 性质 定义域 值域 单调性 增函数 在单调递减；在单调递增 增函数 增函数 在单调递减；在单调递减 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 过定点 图象特点 在第一象限内，当时，幂函数的指数越小，其图象越靠近轴 3.知识拓展： （1）幂函数的奇偶性（互质） ①若为偶数，则幂函数为非奇非偶函数； ②若为奇数，则当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数. （2）对勾函数：形如的函数 ①定义域；②值域； ③单调递增区间：；单调递减区间：； ④图象： 二、典例精析 题型1 幂函数的定义及辨析 例1（1）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 答案：C 思路分析：根据幂函数的定义，逐一分析选项，判断其是否符合幂函数的形式. 规范解答： 对于A：符合幂函数的形式，是幂函数，A错误； 对于B：符合幂函数的形式，是幂函数，B错误； 对于C：不符合幂函数的形式，不是幂函数，C正确； 对于D：符合幂函数的形式，是幂函数，D错误. （2）已知幂函数，则（    ） A．8 B．2 C．4 D． 答案：A 思路分析：先令系数，解出参数，得到函数解析式，再代入计算. 规范解答：由幂函数的定义，知，解得，所以，则. 方法总结：判断一个函数是幂函数 （1）关键点①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1； （2）常见变形：根式、分式要先转化为x的指数幂形式再判断. 题型2 幂函数图象及其应用 例2（1）已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 答案：D 思路分析：根据幂函数在第一象限图象增减、凹凸特征以及时图象越高幂指数越大的规律，判断四个指数的大小关系. 规范解答：幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，， 单调递增，向下弯曲，说明；单调递增，向上弯曲，说明； 单调递减，说明， 当时，图象越高指数越大，在上方，所以， 综上可知：. 方法总结：解决幂函数图象问题应把握的原则 （1）指数为正图象单调递增，指数为负图象单调递减；指数大于1图象向下弯曲，指数在0到1之间图象向上弯曲； （2）在内，指数越大，图象越接近轴（指大图低）；在内，指数越大，图象越远离轴（指大图高）. （2）已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 答案：A 思路分析：先设幂函数解析式，将已知点代入求出指数，再根据的正负判断函数定义域、奇偶性与图象特征，选出对应图像. 规范解答：设，由，得， 解得，所以， 的定义域为，是偶函数，在上单调递减， 所以图象的大致形状与选项A中的图象一致． 方法总结： （1）设式求参：幂函数统一形式，代入已知点，利用指数运算求解。 （2）定性分析 ①定义域：为负数，；分数指数注意被开方数限制； ②奇偶性：根据指数特征判断奇偶性，确定图像关于y轴（偶）、关于原点（奇）对称还是不对称（非奇非偶）； 题型3 幂函数的性质及其应用 例3（1）1．比较下列各组数的大小． （1）；                                 （2）； （3）； 思路分析：（1）借助幂函数的单调性比较函数值大小； （2）先将各值化为同指数，再构造幂函数，利用其单调性比较大小； （3）先区分正负，再利用中间值比较函数值大小. 规范解答： （1）因为函数在（0，＋∞）上单调递增，且1.7＞1.5＞1，所以， 即； （2）． 因为幂函数在（0，＋∞）上单调递减，且， 所以，即； （3）因为，所以． 方法总结：比较幂值大小的方法 （1）若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，可构造幂函数，利用幂函数的单调性比较大小； （2）若底数、指数均不相同，则考虑用中间值比较大小，常见的中间值为0或1. （2）已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 答案：A 思路分析：先设幂函数解析式，再应用过点求参数得出，最后应用单调性列式计算求解. 规范解答：设幂函数，代入点得，解得，故， 因为函数为偶函数，所以等价于， 因为函数在上单调递增，所以等价于， 平方化简得，解得解集为； 方法总结：利用幂函数解不等式，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合考虑，求解步骤如下： （1）确定可以利用的幂函数； （2）借助幂函数的单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系； （3）解不等式（组）求参数范围，注意分类讨论思想的应用. 题型4 的图象与性质 2．已知幂函数的定义域为全体实数R． (1)求的解析式； (2)若在上恒成立，求实数k的取值范围． 思路分析：（1）先解方程求出的可能取值；再结合定义域为筛选符合条件的，得到解析式。 (2) 恒成立问题，注意区间包含，要单独检验；时分离参数，转化为求函数最小值，小于该最小值. 规范解答： （1）因为为幂函数，所以，解得或， 又时，，定义域不为R，舍去， 所以，. （2）由（1）得，，在上恒成立， 即在上恒成立，即在上恒成立， 当时,，显然成立； 当x时，得在x时恒成立， 由对勾函数的性质得，在x时单调递减， 所以，所以， 所以实数k的取值范围为. 方法总结：二次型含参恒能成立问题，常采用分离参数转化为对勾函数最值问题求解. 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．下列函数中，图象关于原点对称且在单调递增的是（   ） A． B． C． D． 答案：D 解析：对于A：函数图象关于原点对称且在单调递减，A错误； 对于B：函数图象不关于原点对称，在单调递增，B错误； 对于C：函数图象不关于原点对称，在单调递增，C错误； 对于D：函数图象关于原点对称，在单调递增，D正确. 2．已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 答案：D 解析：由题意得，，则，则. 3．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 答案：D 解析：幂函数的定义：， 可知，，均不是幂函数，是幂函数. 4．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 答案：B 解析：因为幂函数的指数，所以在单调递减， 又因为定义域为，， 所以为偶函数，则在单调递增， 5．已知幂函数为常数，则下列结论正确的是（     ） A．函数的图象都经过点 B．若，则 C．若，则函数为偶函数 D．若函数的图象经过点，则函数在其定义域上单调递增 答案：D 解析：对于A：当时，，则无意义，A错误， 对于B：当时，，B错误， 对于C：当时，则且定义域为，，故函数为奇函数，C错误， 对于D：若函数的图象经过点，则，解得， 则在定义域上单调递增，D正确. 6．已知幂函数为偶函数，且，，，则（　 　） A． B． C． D． 答案：D 解析：为幂函数，所以，即， 因式分解得：，解得：或， 为偶函数，所以，， 因为，所以在单调递增，所以，，即得. 7．比较下列各组数的大小： （1）和； （2）和； （3），和． 【解析】（1）由于函数在上单调递减，即可得出； （2）由于幂函数在上为减函数，即可得出； （3）由于，，．即可得出． 解析：（1）由于函数在上单调递减，且； 所以 （2）∵幂函数在上为减函数， 所以，又 所以，即 （3），， ． ． 8．已知幂函数的定义域为R． (1)求实数的值； (2)若定义在上的函数，求的最值． 解析：（1）幂函数需要满足，解得或 当时，，其定义域为，不符合题意 当时，，符合题意，则 （2）由（1）得， 且易知在上单调递减，上单调递增 又因为，， 则时，的最小值为，最大值为 【能力提升】（多数必做） 9．已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 答案：D 得函数的定义域. 解析：是幂函数，设，将代入解析式， 得，即，解得. 故，则， 所以，所以， 所以函数的定义域是. 故选：D. 10．已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：ACD 解析：当，即时，，所以恒过定点，即， 代入得，的图像经过第一、三、四象限. 11．已知，幂函数的图象关于轴对称，且与轴和轴无交点，则的值是___________ 答案：或 【分析】根据幂函数图象的对称性和定义域的特征进行求解即可. 解析：因为幂函数的图象关于轴对称， 所以该幂函数是偶函数，设， 则有， 所以有为偶数， 幂函数的图象与轴和轴无交点， 所以， 因为， 所以当时，为偶数， 当时，不是偶数， 当时，为偶数， 综上所述：的值是或. 12．已知幂函数的图像经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围． 解析：（1）设，则有，解得， 故，即，则其定义域为； （2）由，则在上单调递减， 故有，即，即. 【拓展拔高】（学有余力选做） 13．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 答案：C 解析：因为函数在上单调递减，所以，又， 所以，因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数，不符合题意舍去，所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，，所以不等式可化为 或或， 所以或，所以的取值范围为. 14．已知幂函数的图象经过点. (1)求实数的值，并用定义法证明在区间内是减函数. (2)函数是定义在R上的偶函数，当时，，求满足时实数的取值范围. 解析：（1）证明：任取，且 ，， ，即 所以在区间内是减函数. （2）当时，，在区间内是减函数， 所以在区间内是减函数，在区间内是增函数， 又，所以等价于 函数是定义在R上的偶函数，则，解得：或 所以实数的取值范围是 四、课时小结 （1）知识层面：理解幂函数定义，求解参数后务必校验定义域，掌握定义域、奇偶性、正区间单调性三大核心性质，能完成幂值大小比较。 （2）解题层面：依据幂函数奇偶与定义域对抽象不等式做等价转化，负指数奇函数需分类讨论，恒成立问题优先分离参数，区间含零点要单独处理并审慎判断等号取舍。 （3）思想方法方面：会运用等价转化、分类讨论、分离参数等数学思想分析问题。 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $