3.4函数的应用（一）学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.4　函数的应用（一）

学案

班级：＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿＿

一、课前预习（阅读教材第 93—96 页，完成填空）

1．教材开头说：我们学习过的＿＿＿＿函数、＿＿＿＿函数、＿＿＿＿函数等都与现实世界有紧密联系。

2．用函数模型解决实际问题的四步是：＿＿＿＿→＿＿＿＿→＿＿＿＿→＿＿＿＿。

3．写出函数解析式后，一定要注明自变量的＿＿＿＿＿＿＿＿。

4．实际问题中出现"分档""超过……的部分"等说法时，通常要用＿＿＿＿函数来描述。

5．在速率—时间图象中，图象与横轴围成的图形的面积表示＿＿＿＿。

6．回忆 3.2 的结论：二次函数在给定区间上求最值，第一件事是算＿＿＿＿，再看它在不在＿＿＿＿内。

二、课堂探究

探究一　例 1　个税模型

（背景：个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数；应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－其他扣除。基本减除费用为每年 60000 元，小王的四项社保与公积金比例分别为 8％、2％、1％、9％，专项附加扣除 9600 元，其他扣除 560 元。3.1.2 例 8 已得 y 关于 t 的分段解析式。）

（1）本题的三个量是＿＿＿、＿＿＿、＿＿＿，它们的关系链条是：＿＿→＿＿→＿＿。

（2）先把 t 用 x 表示：

　t＝x－＿＿＿＿－x×(＿＿＋＿＿＋＿＿＋＿＿)－＿＿＿＿－＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿＿。

（3）令 t＝0 得 x＝＿＿＿＿。所以当 0≤x≤＿＿＿＿时 t＝0；当 x＞＿＿＿＿时 t＝0.8x－70160。

（4）分段点换算（示范：由 0.8x－70160＝36000 得 x＝(36000＋70160)÷0.8＝132700）：

　t＝144000 对应 x＝＿＿＿＿＿；t＝300000 对应 x＝＿＿＿＿＿；t＝420000 对应 x＝＿＿＿＿＿。

（5）第（2）问：153600 落在哪一段？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

　y＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿。

　答：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

探究二　例 2　读图与分段函数

（图 3.4－1：汽车在 [0，1)、[1，2)、[2，3)、[3，4)、[4，5] 内的平均速率分别为 50、80、90、75、65 km/h。）

（1）读图：横轴表示＿＿＿＿，纵轴表示＿＿＿＿，图象分成＿＿段，每段都是＿＿＿＿线段。

（2）阴影部分的面积＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿。

　它的实际含义是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

（3）里程表读数（行驶前读数为 2004 km）：

　各段起点的读数：2004 →＿＿＿＿→＿＿＿＿→＿＿＿＿→＿＿＿＿。

　当 0≤t＜1 时，s＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

　当 1≤t＜2 时，s＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

　当 2≤t＜3 时，s＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

　当 3≤t＜4 时，s＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

　当 4≤t≤5 时，s＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

（4）在下面的空白处画出 s 关于 t 的图象。它与速率图有什么不同？

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

 

 

 

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

不同之处：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

探究三　练习 1　刹车距离

用模型 y＝ax² 描述刹车后滑行距离 y（m）与刹车时速率 x（km/h）的关系。速率 60 km/h 时滑行 20 m；限速 100 km/h 的路上，某车滑行 50 m，是否超速？

第一步（建模）：由 20＝a×＿＿＿ 得 a＝＿＿＿＿，所以 y＝＿＿＿＿＿＿（＿＿＿＿）。

第二步（解模）：令 y＝50，得 x²＝＿＿＿＿，x＝＿＿＿＿≈＿＿＿＿。

第三步（还原）：因为＿＿＿＿＿＿＿，所以＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

探究四　练习 2　矩形广告牌

周长为 l m 的矩形广告牌，怎样设计面积最大？

自变量：设一边长为 x m，则另一边长为＿＿＿＿＿ m，范围是＿＿＿＿＿＿＿。

面积 S＝＿＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（配方）。

对称轴 x＝＿＿＿，它在范围内吗？（　　）

所以当 x＝＿＿＿时 S 最大，最大值为＿＿＿＿＿。

答：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

★探究五　拔高（优生班课上完成，普通班选做）

要建造一个容积 1200 m³、深 6 m 的长方体无盖蓄水池，池壁造价 95 元/m²，池底造价 135 元/m²。设池底一边长 x m。

（1）池底面积＝1200÷6＝＿＿＿ m²，另一边长为＿＿＿＿＿ m。

（2）池底造价＝＿＿＿＿＿＿＿＿元；池壁面积＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿ m²，池壁造价＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿元。

（3）y＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（＿＿＿＿）。

（4）函数 x＋ 在＿＿＿＿＿上递减、在＿＿＿＿＿上递增，所以当 x＝＿＿＿＿时 y 最小，最小值约为＿＿＿＿＿元。