3.4函数的应用（一）学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦函数的应用，引导学生掌握用函数模型解决实际问题的四步流程。通过课前预习回顾一次、二次、幂函数等基础，关联二次函数最值结论，课堂探究以个税模型、汽车速率里程等实际案例搭建从理论到应用的学习支架。 资料特色在于案例贴近现实，如个税计算、刹车距离等，培养学生用数学眼光观察现实世界。分步推导建模过程，注重逻辑判断如对称轴范围，发展数学思维，规范自变量范围标注与答语书写，提升数学语言表达能力，分层设计与易错提醒助力高效学习。

3.4　函数的应用（一） 学案 班级：＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿＿ 一、课前预习（阅读教材第 93—96 页，完成填空） 1．教材开头说：我们学习过的＿＿＿＿函数、＿＿＿＿函数、＿＿＿＿函数等都与现实世界有紧密联系。 2．用函数模型解决实际问题的四步是：＿＿＿＿→＿＿＿＿→＿＿＿＿→＿＿＿＿。 3．写出函数解析式后，一定要注明自变量的＿＿＿＿＿＿＿＿。 4．实际问题中出现"分档""超过……的部分"等说法时，通常要用＿＿＿＿函数来描述。 5．在速率—时间图象中，图象与横轴围成的图形的面积表示＿＿＿＿。 6．回忆 3.2 的结论：二次函数在给定区间上求最值，第一件事是算＿＿＿＿，再看它在不在＿＿＿＿内。 二、课堂探究 探究一　例 1　个税模型 （背景：个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数；应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－其他扣除。基本减除费用为每年 60000 元，小王的四项社保与公积金比例分别为 8％、2％、1％、9％，专项附加扣除 9600 元，其他扣除 560 元。3.1.2 例 8 已得 y 关于 t 的分段解析式。） （1）本题的三个量是＿＿＿、＿＿＿、＿＿＿，它们的关系链条是：＿＿→＿＿→＿＿。 （2）先把 t 用 x 表示： 　t＝x－＿＿＿＿－x×(＿＿＋＿＿＋＿＿＋＿＿)－＿＿＿＿－＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿＿。 （3）令 t＝0 得 x＝＿＿＿＿。所以当 0≤x≤＿＿＿＿时 t＝0；当 x＞＿＿＿＿时 t＝0.8x－70160。 （4）分段点换算（示范：由 0.8x－70160＝36000 得 x＝(36000＋70160)÷0.8＝132700）： 　t＝144000 对应 x＝＿＿＿＿＿；t＝300000 对应 x＝＿＿＿＿＿；t＝420000 对应 x＝＿＿＿＿＿。 （5）第（2）问：153600 落在哪一段？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　y＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿。 　答：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 探究二　例 2　读图与分段函数 （图 3.4－1：汽车在 [0，1)、[1，2)、[2，3)、[3，4)、[4，5] 内的平均速率分别为 50、80、90、75、65 km/h。） （1）读图：横轴表示＿＿＿＿，纵轴表示＿＿＿＿，图象分成＿＿段，每段都是＿＿＿＿线段。 （2）阴影部分的面积＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿。 　它的实际含义是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ （3）里程表读数（行驶前读数为 2004 km）： 　各段起点的读数：2004 →＿＿＿＿→＿＿＿＿→＿＿＿＿→＿＿＿＿。 　当 0≤t＜1 时，s＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 　当 1≤t＜2 时，s＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 　当 2≤t＜3 时，s＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 　当 3≤t＜4 时，s＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 　当 4≤t≤5 时，s＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 （4）在下面的空白处画出 s 关于 t 的图象。它与速率图有什么不同？ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 不同之处：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 探究三　练习 1　刹车距离 用模型 y＝ax² 描述刹车后滑行距离 y（m）与刹车时速率 x（km/h）的关系。速率 60 km/h 时滑行 20 m；限速 100 km/h 的路上，某车滑行 50 m，是否超速？ 第一步（建模）：由 20＝a×＿＿＿ 得 a＝＿＿＿＿，所以 y＝＿＿＿＿＿＿（＿＿＿＿）。 第二步（解模）：令 y＝50，得 x²＝＿＿＿＿，x＝＿＿＿＿≈＿＿＿＿。 第三步（还原）：因为＿＿＿＿＿＿＿，所以＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 探究四　练习 2　矩形广告牌 周长为 l m 的矩形广告牌，怎样设计面积最大？ 自变量：设一边长为 x m，则另一边长为＿＿＿＿＿ m，范围是＿＿＿＿＿＿＿。 面积 S＝＿＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（配方）。 对称轴 x＝＿＿＿，它在范围内吗？（　　） 所以当 x＝＿＿＿时 S 最大，最大值为＿＿＿＿＿。 答：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ★探究五　拔高（优生班课上完成，普通班选做） 要建造一个容积 1200 m³、深 6 m 的长方体无盖蓄水池，池壁造价 95 元/m²，池底造价 135 元/m²。设池底一边长 x m。 （1）池底面积＝1200÷6＝＿＿＿ m²，另一边长为＿＿＿＿＿ m。 （2）池底造价＝＿＿＿＿＿＿＿＿元；池壁面积＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿ m²，池壁造价＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿元。 （3）y＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（＿＿＿＿）。 （4）函数 x＋ 在＿＿＿＿＿上递减、在＿＿＿＿＿上递增，所以当 x＝＿＿＿＿时 y 最小，最小值约为＿＿＿＿＿元。 三、当堂检测（限时 4 分钟） 1．某电信公司月租 20 元，通话不超过 100 分钟的部分免费，超过的部分每分钟 0.2 元。某用户某月话费 32 元，则通话时间为（　　） 　A．60 分钟　　B．100 分钟　　C．160 分钟　　D．200 分钟 2．用一段长 40 m 的篱笆围成一个矩形菜园，菜园的最大面积是＿＿＿＿＿ m²。 3．某物体的运动路程 s（m）与时间 t（s）满足 s＝kt²，已知 t＝2 时 s＝8，求 t＝5 时的路程。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 四、课堂小结（自我梳理） 1．四步流程：＿＿＿＿→＿＿＿＿→＿＿＿＿→＿＿＿＿。 2．三类常用模型：＿＿＿＿函数（匀速、成本收入）、＿＿＿＿函数（面积、利润）、＿＿＿＿函数（成正比、成反比）。 3．看到"分档""超过……的部分"就想到＿＿＿＿函数。 4．写解析式一定要带＿＿＿＿＿＿＿＿；最后一行一定要写＿＿＿＿。 5．二次函数求最值，配方后要检查＿＿＿＿在不在＿＿＿＿内。 五、参考答案与解析 课前预习 1．一次、二次、幂；2．审题、建模、解模、还原；3．实际取值范围；4．分段；5．路程（对应量的累积量）；6．对称轴、给定区间。 探究一 （1）综合所得收入额 x、应纳税所得额 t、个税税额 y；链条 x → t → y。 （2）t＝x－60000－x×(8％＋2％＋1％＋9％)－9600－560＝0.8x－70160。 （3）x＝87700。当 0≤x≤87700 时 t＝0；当 x＞87700 时 t＝0.8x－70160。 （4）t＝144000 对应 x＝(144000＋70160)÷0.8＝267700；t＝300000 对应 x＝462700；t＝420000 对应 x＝612700。 （5）因为 132700＜153600≤267700，落在 y＝0.08x－9536 这一段， 　y＝0.08×153600－9536＝12288－9536＝2752。 　答：小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为 2752 元。 （完整解析式：0≤x≤87700 时 y＝0；87700＜x≤132700 时 y＝0.024x－2104.8；132700＜x≤267700 时 y＝0.08x－9536；267700＜x≤462700 时 y＝0.16x－30952；462700＜x≤612700 时 y＝0.2x－49460；612700＜x≤912700 时 y＝0.24x－73968；912700＜x≤1287700 时 y＝0.28x－110476；x＞1287700 时 y＝0.36x－213492。） 探究二 （1）时间 t（h）；平均速率 v（km/h）；5；水平。 （2）50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360。含义：汽车在这 5 h 内行驶的路程为 360 km。 （3）起点读数：2004 → 2054 → 2134 → 2224 → 2299。 　当 0≤t＜1 时 s＝50t＋2004；当 1≤t＜2 时 s＝80(t－1)＋2054；当 2≤t＜3 时 s＝90(t－2)＋2134； 　当 3≤t＜4 时 s＝75(t－3)＋2224；当 4≤t≤5 时 s＝65(t－4)＋2299。 （4）s 的图象是连续上升的折线，五段斜率依次为 50、80、90、75、65。 　不同之处：里程表读数是连续增加的，所以图象是相连的折线；速率是分段跳变的，所以速率图是五条互不相连的水平线段。 探究三 第一步：由 20＝a×60²＝3600a 得 a＝，所以 y＝（x＞0）。 第二步：令 y＝50 得 x²＝9000，x＝30≈94.9。 第三步：因为 94.9＜100，所以这辆车没有超速行驶。 （注意：不能用"60 对应 20，那 50 对应 60×50÷20＝150"这种正比例放大，模型是平方关系。） 探究四 另一边长 －x，范围 0＜x＜。 S＝x(－x)＝－x²＋x＝－(x－)²＋。 对称轴 x＝，在范围 (0，) 内。 所以当 x＝ 时 S 最大，最大值为 。 答：把广告牌设计成边长为 m 的正方形时面积最大，最大面积为 m²。 ★探究五 （1）200；。 （2）池底造价 200×135＝27000 元；池壁面积 2(x＋)×6＝12(x＋) m²，池壁造价 1140(x＋) 元。 （3）y＝27000＋1140(x＋)（x＞0）。 （4）x＋ 在 (0，10) 上递减、在 (10，＋∞) 上递增，所以当 x＝10≈14.1 时 y 最小， 　最小值 y＝27000＋1140×2×10＝27000＋22800≈59245（元）。 　答：把池底设计成边长约 14.1 m 的正方形时总造价最低，约为 5.92 万元。 当堂检测 1．C。当 0≤t≤100 时话费为 20 元；当 t＞100 时 y＝20＋0.2(t－100)。因为 32＞20，所以 t＞100， 　由 20＋0.2(t－100)＝32 得 t－100＝60，t＝160 分钟。选 A 是忘了把免费的 100 分钟加回去。 2．100。设一边长 x m，则另一边长 (20－x) m（周长 40 对应两边之和为 20），0＜x＜20， 　S＝x(20－x)＝－(x－10)²＋100，对称轴 x＝10 在范围内，最大面积 100 m²。 3．由 8＝k×2²＝4k 得 k＝2，所以 s＝2t²。t＝5 时 s＝2×25＝50 m。 课堂小结 1．审题、建模、解模、还原；2．一次、二次、幂（反比）；3．分段；4．自变量的实际范围、答语；5．对称轴、实际范围。 易错提醒 1．写解析式必须跟上自变量的实际范围，分段函数每段都要写。 2．"超过……的部分"要分段算，不能整体乘新单价。 3．单位要统一（元与万元、分钟与小时）再列式。 4．二次函数配方后要检查对称轴在不在实际范围内。 5．平方、立方关系不能按正比例放大。 6．最后一行写"答：……"，数字带单位，近似值用 ≈。 学科网（北京）股份有限公司 $