精品解析：吉林省长春市三校2026届高三上学期第三学程联考数学试卷

长春市三校2026届高三上学期第三学程联考（12月） 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 下列说法不正确的是（ ） A. 命题p：，，则命题p的否定：， B. 若集合中只有一个元素，则 C. 若，，则 D. 已知集合，且，满足条件的集合N的个数为4 2. 设是两个不同的平面，，是异于的一条直线，则“”是“且”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知数列中，，，则（ ） A. 1 B. C. －1 D. －2 4. 已知双曲线的焦距为12，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知平面上不共线的四点，，，，满足，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面，，，且三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 在单项选择题中，每道题有ABCD四个选项，其中仅有一个选项正确．学生小张与小李两人对同一题在选项ABCD中随机选择一项．事件：两人选择都正确；事件：两人选择都错误；事件：至少有一人选择正确，则（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥 C. D. 8. 若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 设复数z满足（i为虚数单位），记为z的共轭复数，则（ ） A. B. 复数z的虚部为 C. D. 复数z在复平面内对应的点在第一象限 10. 已知，，，则下列结论成立的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知函数，则（ ） A. 的最大值是 B. 在上单调递增 C. D. 在上有两个零点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设为数列的前项和，若，，则______. 13. 已知，若圆上恰有四个点到直线的距离为1，则的取值范围是______. 14. 已知函数，在区间内任取两个实数，不等式恒成立，则实数的最大值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求C； （2）若、，在角C的平分线上取点D，且，判断点D是否在线段上？请说明理由. 16. 近年来，轻食作为餐饮的一种创新形态，广受消费者青睐．某公司为了获得轻食消费者行为数据，对一地区消费者进行抽样调查．统计其中300名消费者（表中3个年龄段的人数各100人）食用轻食的频数与年龄得到如下的频数分布表． 年龄 食用频数 25岁以下 （） 25岁到50岁 50岁及以上 （） 轻食低频消费者（每周次） 15 35 50 轻食中频消费者（每周2-3次） 55 45 40 轻食高频消费者（每周4-6次及以上） 30 20 10 （1）已知该地区25岁以下、25岁到50岁、50岁及以上三个年龄段的人数比例为，用频率估计概率，求从该地区随机抽取一人，其为高频消费者的概率． （2）从以上样本的轻食高频消费者（每周4-6次及以上）中，采用按比例分配的分层随机抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中年龄在25岁以下与25岁到50岁的人数分别为，，记，求的分布列与期望． 17. 如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，平面平面．． （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）若点在上，且． （i）当时，求到平面的距离： （ii）是否存在，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 18. 在数列中，. （1）求证：是等比数列； （2）若等比数列满足. （i）求的值； （ii）记数列的前项和为.若，求的值. 19. 已知函数. （1）若，求函数的单调递减区间； （2）若存在实数b，使得函数有三个不同的零点. ①求a的取值范围； ②若成等差数列，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市三校2026届高三上学期第三学程联考（12月） 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 下列说法不正确的是（ ） A. 命题p：，，则命题p的否定：， B. 若集合中只有一个元素，则 C. 若，，则 D. 已知集合，且，满足条件的集合N的个数为4 【答案】B 【解析】 【分析】利用命题的否定形式判断A；集合的子集关系判断B；不等式的性质判断C；集合的子集的个数判断D. 【详解】对于A，由全称命题的否定知，命题p：，，的否定为，，故A正确； 对于B，若集合中只有一个元素， 当时，，符合题意， 又，解得，也符合题意，故B不正确； 对于C，因为，， 所以，，则，故C正确. 对于D，由，故集合N的个数为，故D正确. 故选：B 2. 设是两个不同的平面，，是异于的一条直线，则“”是“且”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理和性质定理，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】当时，可能在内或者内，故不能推出且，所以充分性不成立； 当且时，设存在直线，且， 因为，所以，根据直线与平面平行的性质定理，可得，所以，即必要性成立， 故“”是“且”的必要不充分条件． 故选：A． 3. 已知数列中，，，则（ ） A. 1 B. C. －1 D. －2 【答案】D 【解析】 【分析】由题目所给的递推公式可得周期，从而可得答案. 【详解】因为，， 所以，，， 所以是以3为周期的数列， 所以. 故选：D. 4. 已知双曲线的焦距为12，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的焦距与标准方程，利用离心率的公式，可得答案. 【详解】因为双曲线的焦距为12，所以，解得， 又，所以该双曲线的离心率为. 故选：C. 5. 已知平面上不共线的四点，，，，满足，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件求得，进一步得到，根据向量的线性运算得，进一步得到，求比值运算即可求解. 【详解】由，得，即， 所以，所以， 因为，所以， 所以. 故选：A 6. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面，，，且三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定PC的中点O是鳖臑外接球的球心，结合外接球表面积得外接球半径，进而求得，再证明，进而结合勾股定理及基本不等式求得，再根据棱锥的体积公式即可求解. 【详解】在鳖臑中，四个面都为直角三角形，可知PC的中点O到四个顶点的距离都相等， 所以点O是鳖臑外接球的球心，三棱锥的外接球的表面积为， 则外接球半径，所以，又，所以， 而，则， 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以三棱锥的体积为， 则三棱锥的体积的最大值为. 故选：D 7. 在单项选择题中，每道题有ABCD四个选项，其中仅有一个选项正确．学生小张与小李两人对同一题在选项ABCD中随机选择一项．事件：两人选择都正确；事件：两人选择都错误；事件：至少有一人选择正确，则（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出事件的概率，即可判断选项C；根据对立事件及互斥事件的定义即可判断选项A，B；根据条件概率的定义即可判断选项D. 【详解】由条件得两人作答总共有种等可能的选法，设正确选项为A. 则事件：两人都选对（即都选A）共有 1 种选法，故 事件：两人都选错（即都从B、C、D中选）共有种选法，故 事件：至少一人选对等价于总的方法数减去两人都选错的方法数，即共有种选法，故. 对于A：因“至少一人对、一人错”的情况既不在也不在中，即，故与互为对立事件不成立，故A错误； 对于B：由条件得是的子集，即，即与不互斥，故B错误；  对于C：，即成立，故C正确；  对于D：由条件概率公式得：，故D错误. 故答案为：C. 8. 若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，解得：，不满足条件； 故，关于的不等式可得， 所以，即， 方程的两根为， 当时，不等式可化为，， 解集为：，不满足条件； 当时，不等式可化为， 当时，则，即，不等式的解集为：， 要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件； 当时，则，即，不等式的解集为空集， 当时，则，即，不等式的解集为， 要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：， 故实数的取值范围是：. 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 设复数z满足（i为虚数单位），记为z的共轭复数，则（ ） A. B. 复数z的虚部为 C. D. 复数z在复平面内对应的点在第一象限 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知计算出，根据复数模的计算公式求解判断A，根据复数的概念判断B，根据复数的加法和乘法计算判断C，根据复数的几何意义判断D. 【详解】因为，所以， 对于A：，A正确； 对于B：因为复数，所以复数的虚部为，B错误； 对于C：因为，所以，所以， 又，所以，C正确； 对于D：因为复数，所以复数在复平面内对应的点坐标为，在 第四象限，D错误； 故选：AC. 10. 已知，，，则下列结论成立的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，由“1”的代换结合基本不等式求解；对B，由利用基本不等式求解；对C，由，利用基本不等式求解判断；对D，作差，判断得解. 【详解】对于A，， 当且仅当时，取等号，故A正确； 对于B，，故， 当且仅当时，取等号，故B正确； 对于C，由， 可知，且，， ， 不等式取等号的条件是，即， 与题设矛盾，故的最小值大于2，故C错误； 对于D，， 故，最小值大于1，故D错误. 故选：AB. 11. 已知函数，则（ ） A. 的最大值是 B. 在上单调递增 C. D. 在上有两个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】利用三角函数的性质及诱导公式逐一判断即可求得结论. 【详解】对于A，由于，且，所以的最大值是，故A正确； 对于B，因为，所以在上不是单调递增的，故B错误； 对于C，由于，故 ，故C正确； 对于D，若，则，即，可得，，解得，，所以在上恰有个零点，故D错误. 故选：AC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设为数列的前项和，若，，则______. 【答案】27 【解析】 【分析】题中所给式子使用进行转化，得到数列第2项及以后各项的通项公式，用公式求即可． 【详解】由于，则， 所以， 所以. 故答案是：. 13. 已知，若圆上恰有四个点到直线的距离为1，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的几何性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】由圆的方程，可得圆心为，半径为3， 若圆上恰有四个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线的距离小于， 直线的一般式方程为， 则，解得， 则的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数，在区间内任取两个实数，不等式恒成立，则实数的最大值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】首先将去分母，将问题等价转化为是增函数，即在上恒成立，分离参数后构造函数即可求解. 【详解】. 不妨取，则， 所以，即， 亦即. 令， 则问题等价转化为是增函数. 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立. 令， 则， 因为二次函数在上单调递增， 所以当时，， 即，所以是增函数， 所以，即，所以实数的最大值为1. 故答案为：1. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求C； （2）若、，在角C的平分线上取点D，且，判断点D是否在线段上？请说明理由. 【答案】（1） （2）点D不在线段上，理由见解析 【解析】 【分析】（1）解三角形基本思想，边化角，利用正弦定理，将中的边化为对角的正弦，根据三角函数恒等式，进行整理化简，可得最后答案； （2）理由一：利用等面积法，计算出中角的角平分线的真实长度，与，进行比较，可得答案； 理由二：利用中角的余弦定理，计算出边的长，在根据等面积法，可计算出边的高，与，进行比较，可得答案. 【小问1详解】 由，及正弦定理可得， 又因为，所以， 即， 化简得， 因为，所以，即， 即，又，所以； 【小问2详解】 点D不在线段上.理由如下： 理由一：设为角平分线，E在上， （面积等量） 所以，所以D不在上 理由二：由（1）及，及余弦定理可得， ，所以， 设c边上的高为h，所以，即， 所以， 假设D在上，即为c边上的角平分线，则， 因为，即，这与矛盾， 所以点D不在线段上. 16. 近年来，轻食作为餐饮的一种创新形态，广受消费者青睐．某公司为了获得轻食消费者行为数据，对一地区消费者进行抽样调查．统计其中300名消费者（表中3个年龄段的人数各100人）食用轻食的频数与年龄得到如下的频数分布表． 年龄 食用频数 25岁以下 （） 25岁到50岁 50岁及以上 （） 轻食低频消费者（每周次） 15 35 50 轻食中频消费者（每周2-3次） 55 45 40 轻食高频消费者（每周4-6次及以上） 30 20 10 （1）已知该地区25岁以下、25岁到50岁、50岁及以上三个年龄段的人数比例为，用频率估计概率，求从该地区随机抽取一人，其为高频消费者的概率． （2）从以上样本的轻食高频消费者（每周4-6次及以上）中，采用按比例分配的分层随机抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中年龄在25岁以下与25岁到50岁的人数分别为，，记，求的分布列与期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析；期望为1 【解析】 【分析】（1）记从该地区中任抽一人，其年龄在25岁以下、25岁到50岁、50岁及以上分别为事件，，，其为高频消费者为事件B，利用全概率公式即可求解； （2）先利用分层抽样抽取在25岁以下与25岁到50岁的人数，求的所有可能取值，和其对应的概率，即可得的分布列与期望. 【小问1详解】 记从该地区中任抽一人，其年龄在25岁以下、25岁到50岁、50岁及以上分别为事件，，，其为高频消费者为事件B，则，，， 由表中数据估计概率，，， 所以， 即从该地区中任抽一人，其为高频消费者的概率为． 【小问2详解】 由表知，利用分层抽样的方法抽取的6人中，年龄在25岁以下与25岁到50岁的人数分别为3和2，依题意，的所有可能取值分别为0、1、2、3． 所以， ， ， ． 所以的分布列为： 0 1 2 3 P 所以的数学期望为． 17. 如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，平面平面．． （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）若点在上，且． （i）当时，求到平面的距离： （ii）是否存在，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）存在，或 【解析】 【分析】（1）由题可证得平面，且，所以可以点为坐标原点建立空间直角坐标系，根据面面角的向量求法，求得平面与平面夹角的余弦值； （2）（i）由点面距的向量求法，求得到平面的距离；（ii）假设存在满足题意，根据线面角的向量求法，求得的值. 【小问1详解】 由平面平面，平面平面，平面， 得平面. 因为，平面，所以． 又四边形为直角梯形且， 则，故两两垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 显然是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为， 则， 取，从而， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问2详解】 因为，所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，从而. （i）当时，， 从而到平面的距离为. （ii）假设存在满足题意，与平面所成角为， 则. 化简得，解得或． 故存在或，使得与平面所成角的正弦值为. 18. 在数列中，. （1）求证：是等比数列； （2）若等比数列满足. （i）求的值； （ii）记数列的前项和为.若，求的值. 【答案】（1）证明：因为，所以， 又，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，结合等比数列的定义即可证明； （2）（i）由（1）可得，求得，利用等比数列性质求得， 再验证即可求解； （ii）利用并项求和法求得，然后列方程求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由（1）可得，所以，所以， 则， 因为数列为等比数列，所以，即， 化简得，解得或，又，所以， 当时，，此时为定值，符合题意； （ii）由（i）可知， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 所以，易知，所以，所以为偶数， 因为，所以， 化简得，解得或（舍去），所以． 19. 已知函数. （1）若，求函数的单调递减区间； （2）若存在实数b，使得函数有三个不同的零点. ①求a的取值范围； ②若成等差数列，求证：. 【答案】（1）； （2）①； ②证明：，即，， 两式相加得， 即， 成等差数列，故，故， ， 故，即， 又，故， 故，即， ， 下面推导对数平均不等式，，， 只需证，即证， 令，只需证， 令，， 则恒成立， 故在上单调递增，又，故，证毕， ，又，故等号取不到， 所以，即， 所以，由①知，， 故，证毕. 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，令，求出函数递减区间； （2）①变形得到，故有3个不同的正根，令，则需有两个极值点，则需有两个不同的变号零点，令，求导，得到其单调性，结合函数走势，得到，得到答案； ②，，两式相加得，结合成等差数列， 变形得到，利用对数平均不等式和基本不等式得到，所以，由①知，，故，证毕. 【小问1详解】 ，定义域为， ， 令得， 故的单调递减区间为； 【小问2详解】 ①，即，故， 有三个不同的零点，故有3个不同的正根， 令，定义域为，则需有两个极值点， 则需有两个不同的变号零点， 令，则， 令得， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，，故当时，， 又时，， 故要想有两个不同的变号零点，需满足， 此时存在实数b，使得有3个不同的正根， a的取值范围为； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $