吉林省长春市三校2026届高三上学期第三学程联考数学试卷

长春市三校2026届高三上学期第三学程联考（12月） 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．下列说法不正确的是( ) A.命题,,则命题p的否定：, B.若集合中只有一个元素,则 C.若,,则 D.已知集合,且,满足条件的集合N的个数为4 2．设，是两个不同的平面，，m是异于l的一条直线，则“”是“且”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3．已知数列中,,,则( ) A.1 B. C. D. 4．已知双曲线的焦距为12,则该双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.2 5．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，满足，则( ) A. B. C. D. 6．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面，，，且三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为( ) A. B.2 C. D. 7．在单项选择题中，每道题有ABCD四个选项，其中仅有一个选项正确.学生小张与小李两人对同一题在选项ABCD中随机选择一项.事件M：两人选择都正确；事件N：两人选择都错误；事件T：至少有一人选择正确，则( ) A.M与N互为对立事件 B.M与T互斥 C. D. 8．若关于x的不等式有且只有一个整数解,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．设复数z满足（i为虚数单位），记为z的共轭复数，则( ) A. B.复数z的虚部为 C. D.复数z在复平面内对应的点在第一象限 10．已知,,,则下列结论成立的是( ) A.的最小值为4 B.的最小值为3 C.的最小值为2 D.的最小值为1 11．已知函数,则( ) A.的最大值是 B.在上单调递增 C. D.在上有两个零点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．设为数列的前n项和,若,,则______. 13．已知,若圆上恰有四个点到直线的距离为1,则b的取值范围是_______________. 14．已知函数，在区间内任取两个实数，，不等式恒成立，则实数a的最大值为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．（13分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求C. （2）若，，在角C的平分线上取点D，且，判断点D是否在线段AB上，请说明理由. 16．（15分）近年来,轻食作为餐饮的一种创新形态,广受消费者青睐．某公司为了获得轻食消费者行为数据,对一地区消费者进行抽样调查．统计其中300名消费者（表中3个年龄段的人数各100人）食用轻食的频数与年龄得到如下的频数分布表． 年龄 食用频数 25岁以下 （） 25岁到50岁 50岁及以上 （） 轻食低频消费者（每周次） 15 35 50 轻食中频消费者（每周2-3次） 55 45 40 轻食高频消费者（每周4-6次及以上） 30 20 10 (1)已知该地区25岁以下、25岁到50岁、50岁及以上三个年龄段的人数比例为,用频率估计概率,求从该地区随机抽取一人,其为高频消费者的概率． (2)从以上样本的轻食高频消费者（每周4-6次及以上）中,采用按比例分配的分层随机抽样抽取6人,再从这6人中随机抽取3人,记这3人中年龄在25岁以下与25岁到50岁的人数分别为X,Y,记,求的分布列与期望． 17．（15分）如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，平面平面，.，，. (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)若点E在上，且. （i）当时，求P到平面的距离： （ii）是否存在，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 18．（17分）在数列中，，. （1）求证：是等比数列； （2）若等比数列满足. （i）求的值； （ii）记数列的前n项和为.若，求i的值. 19．（17分）已知函数. (1)若,,求函数的单调递减区间； (2)若存在实数b,使得函数有三个不同的零点. ①求a的取值范围； ②若成等差数列,求证：. 长春市三校2026届高三上学期第三学程联考（12月） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A D C A D C B AC AB AC 12．答案：27 13．答案： 14．答案：1 15．答案：（1） （2）点D不在线段AB上.理由见解析 解析：（1）由及正弦定理， 得. 因为， 所以， 即， 化简得. 因为，所以， 即，亦即. 又，所以，. （2）点D不在线段AB上.理由如下： 理由一：设CE为角平分线，E在AB上. 由，得. 解得，所以点D不在线段AB上. 理由二：由余弦定理，得， 所以. 设c边上的高为h，则， 即，所以. 假设D在AB边上，则. 因为，所以，这与矛盾， 所以点D不在线段AB上. 16．答案：(1) (2)分布列见解析；期望为1 解析：(1)记从该地区中任抽一人,其年龄在25岁以下、25岁到50岁、50岁及以上分别为事件,,, 其为高频消费者为事件B,则,,, 由表中数据估计概率,,, 所以, 即从该地区中任抽一人,其为高频消费者的概率为． (2)由表知,利用分层抽样的方法抽取的6人中,年龄在25岁以下与25岁到50岁的人数分别为3和2, 依题意,的所有可能取值分别为0、1、2、3． 所以, , , ． 所以的分布列为： 0 1 2 3 P 所以的数学期望为． 17．答案：(1) (2)（i）；（ii）存在，或 解析：（1）由平面平面，平面平面， 平面，得平面. 因为，平面，所以，. 又四边形为直角梯形且， 则，故两两垂直. 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 显然是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为， 则， 取，，从而， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （2）因为，所以，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，，从而. （i）当时，，， 从而P到平面的距离为. （ii）假设存在满足题意，与平面所成角为， 则. 化简得，解得或. 故存在或，使得与平面所成角的正弦值为. 18．答案：（1）证明见解析 （2）（i）；（ii） 解析：（1）因为，所以， 又，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）（i）由（1）可得， 所以，所以， 则， 因为数列为等比数列，所以， 即，化简得， 解得或，又，所以， 当时，，此时为定值，符合题意； （ii）由（i）可知， 当i为偶数时，， 当i为奇数时， ， 所以，易知， 所以，所以i为偶数，因为， 所以， 化简得，解得或（舍去），所以. 19．答案：(1)； (2)①；②证明过程见解析 解析：(1),定义域为, , 令得, 故的单调递减区间为； (3)①,即,故, 有三个不同的零点,故有3个不同的正根, 令,定义域为,则需有两个极值点, 则需有两个不同的变号零点, 令,则, 令得, 令得,令得, 故在上单调递减,在上单调递增, 又,,故当时,, 又时,恒成立, 故要想有两个不同的变号零点,需满足, 此时存在实数b,使得有3个不同的正根, a的取值范围为； ②,即,, 两式相加得, 即, 成等差数列,故,故, , 故,即, 又,故, 故,即, , 下面推导对数平均不等式,,, 只需证,即证, 令,只需证, 令,, 则恒成立, 故在上单调递增,又,故,证毕, ,又,故等号取不到, 所以,即, 所以,由①知,, 故,证毕. 学科网（北京）股份有限公司 $