专题3.3 勾股定理的简单应用『重点难点同步培优讲义』导图+知识梳理+15个题型讲练+难度分层练 共50题-2026-2027学年苏科版数学八年级上册同步培优精讲练

专题3.3 勾股定理的简单应用『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+15个题型讲练+难度分层练 共50题） 【苏科版数学新教材•八年级上册】 同学你好，该份讲义用于苏科版新教材八年级上册内容章节学习同步举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期中期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合苏科版八上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 3 知识点一 勾股定理的应用 3 知识点二 勾股定理逆定理的应用 3 知识点三 勾股定理及其逆定理的应用 3 考点讲练 真题汇总 4 题型一 勾股定理与网格问题 4 题型二 勾股定理与折叠问题 6 题型三 求旗杆高度(勾股定理的应用) 7 题型四 求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 8 题型五 求小鸟飞行距离(勾股定股定理的应用) 10 题型六 求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 11 题型七 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 12 题型八 解决航海问题(勾股定理的应用) 14 题型九 求河宽(勾股定理的应用) 16 题型十 求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 17 题型十一 判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 18 题型十二 判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 21 题型十三 选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 23 题型十四 求最短路径(勾股定理的应用) 25 题型十五 勾股定理逆定理的实际应用 27 优选真题 实战演练 29 【基础夯实】 29 【培优拔高】 39 知识点一 勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线(通常作垂线)，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解. 【技巧点拨】勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 知识点二 勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理 如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形。 ②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 【技巧点拨】勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 知识点三 勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决。 【技巧点拨】勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；，8,15,17等 ③用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）； （ 为正整数）； 题型一 勾股定理与网格问题 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，小方格都是边长为的正方形．求四边形的面积和周长（均精确到）． 【答案】四边形的面积为，周长约为 【分析】利用割补法求面积：把四边形的面积转化为个三角形的面积和，计算四边形的边长时利用勾股定理解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：由图可知，， 格点图形中每个小正方形的边长为， ，， ， 根据格点图形的特征，由勾股定理可得： ， ， ， ， 四边形的周长为：． 四边形的面积为，周长约为． 【变式训练】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上． (1)在方格纸中将向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到（点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点），请画出； (2)在（1）的条件下，在方格纸中画出以为直角边的等腰直角三角形（点在小正方形的顶点上）．连接，请直接写出线段的长． 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2)解：如上图，三角形即为所求； 或 【分析】（1）根据平移规则，画出即可； （2）分两种情况，点向左平移5个单位，再向下平移1个单位，得到点，连接得到等腰直角三角形，连接，勾股定理求出的长，点向左平移5个单位，再向下平移1个单位，得到点，连接得到等腰直角三角形，连接，勾股定理求出的长 即可. 题型二 勾股定理与折叠问题 【典例精讲】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用折叠的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠得， 设，则， ， ， ，在中，， ． 【变式训练】（25-26八年级下·云南曲靖·期末）如图，已知在长方形中，，，若把长方形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，则_______． 【答案】 【分析】利用折叠的性质，设，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，， 设，则， 在中，， ， 解得：，即． 题型三 求旗杆高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·云南德宏·期末）数学兴趣小组在郊外放风筝时，想要测量风筝离地面的垂直高度．假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直．小组成员测量了相关数据，并画出如下示意图，水平距离的长为80米，的长为100米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米（米）．求风筝离地面的垂直高度的长为多少米． 【答案】风筝离地面的垂直高度为米 【分析】在中，由勾股定理求得的长，再利用求解即可． 【详解】解：依题意得，，，， 在中，由勾股定理得 ， ∵， ∴， 答：风筝离地面的垂直高度为米． 【变式训练】（25-26八年级下·河北沧州·期末）某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米（米）的点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米（米）到达点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米； 则旗杆的高度为（     ） A．12米 B．12.6米 C．13米 D．13.6米 【答案】D 【分析】由题意可得米，米，米，则米，设绳子的长度为米，则米，米，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：米，米，米， ∴米， 设绳子的长度为米，则米，米， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 解得， ∴米， ∴旗杆的高度为米． 题型四 求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）一架长的梯子靠在墙壁上，梯子的底部离墙，如果梯子的顶部滑下，梯子的底部向外滑出多远？ 【答案】梯子的底部向外滑出 【分析】先利用勾股定理求梯子原先顶部的高度，然后求出梯子下滑后顶部的高度，最后利用勾股定理求出下滑后梯子底部到墙的距离即可解答本题． 【详解】解：如图，，，， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 即梯子的底部向外滑出． 【变式训练】（25-26八年级下·江西南昌·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度； (2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理算出斜边的长度，再把与竖直绳段相加，即可求出细绳整体总长度． （2）先根据物体上升高度求出变化后的竖直绳长，结合绳总长不变算出新斜边，再次用勾股定理求出滑块新的水平距离，用减去初始水平长度，得到滑块向左滑动的距离． 【详解】（1）解：由题意得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 答：绳子的总长度为． （2）由题意得：， ， 绳子的总长度为， ， 在中，由勾股定理得：， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 题型五 求小鸟飞行距离(勾股定股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·北京·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是． 【变式训练】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，问小鸟至少飞行_______米． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，构造直角三角形，利用数形结合的思想解答． 根据题意，作出合适的直角三角形，然后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：如图所示，    由题意可得，（米），米， ， （米）， 即小鸟至少飞行米， 故答案为：． 题型六 求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，由于大风，山坡上的树甲从点处被拦腰折断，其树顶端恰好落在树乙的根部处．已知树甲的部分主干水平线，树乙垂直水平线，经测量，树甲的根部与点的距离米，两棵树的根部距离米，两棵树的水平距离为12米，请根据以上数据，求树甲折断前的高度． 【答案】树甲折断前的高度是19米 【分析】根据勾股定理在中先求出长度，则长度可知，再在中利用勾股定理求出长度，则树甲折断前的高度为即可求解． 【详解】解：∵， ∴和是直角三角形， ∴在中，（米）， ∴（米）， ∵在中，（米）， ∴（米）． 答：树甲折断前的高度是19米． 【变式训练】（25-26八年级下·北京大兴·期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何．意思是：一根竹子高1丈（1丈尺），折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，求折断处离地面的高度是多少？若设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为________． 【答案】 【分析】根据勾股定理列出方程即可. 【详解】解：1丈尺， 设折断处离地面的高度为尺，则折断后竹子顶端到折断处的长度为 尺， 根据勾股定理，得. 题型七 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要 ； (2)如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 【答案】(1)18 (2) 【分析】（1）图①中搅拌棒竖直放置，圆柱的高为，即杯内搅拌棒长度为，题目要求长出杯口，两者相加即可解答； （2）当搅拌棒斜放，从杯口边缘到杯底对角时，杯内长度最大，当搅拌棒竖直放置时，杯内长度最小，据此求解即可； 【详解】（1）解：根据题意可得搅拌棒至少需要； （2）解：当搅拌棒竖直放置时，露在杯子外的长； 由勾股定理得，搅拌棒在杯子里面的部分最长为， 露在杯子外面的长； ． 【变式训练】（25-26八年级下·北京·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，求水池的深度（1丈等于10尺）． 【答案】12尺 【分析】设水池深度为尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：设水池深度为尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：水池的深度为12尺． 题型八 解决航海问题(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在海平面上，为灯塔，、为两个港口．其中港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里．港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里．一艘轮船从港口沿直线向港口运输货物，航行的平均速度为每小时海里． (1)求港口到港口的直线距离； (2)为保障航行的安全，灯塔将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为海里，在轮船从港口向港口航行的过程中，接收安全信号的时长不低于小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标准?请说明理由． 【答案】(1)海里 (2)本次航行符合安全标准，理由如下： 如图，过点作于， ∵海里，海里，海里，， ∴， ∴， 解得：， 设海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵航行的平均速度为每小时海里， ∴航行时长小时，满足安全标准． 【分析】（1）根据方位角的定义得出，海里，海里，利用勾股定理求出，即可得出答案； （2）过点作于，利用“等积法”求出，设海里，根据等腰三角形的性质及勾股定理求出海里，进而求出海里，根据时间距离速度，即可求出从到所用时间，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里， ∴，海里， ∵港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里， ∴，海里， ∴， ∴（海里）， ∴港口到港口的直线距离为海里． （2）解：本次航行符合安全标准，理由略 【变式训练】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，点是一港口，渔船从出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船同时从出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔船的距离为（     ）． A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】D 【分析】根据题意可得，，，，根据勾股定理求得即可． 【详解】解：渔船A从O出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船B同时从O出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海， ∴， 两小时后，海里，海里， 由勾股定理可得，（海里）． 题型九 求河宽(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·河南商丘·期中）我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据勾股定理列方程，先根据题意表示出长方形对角线的长度，再利用直角三角形勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设长方形田的宽为步，宽与对角线的和为步， 则对角线长为步， ∵长方形中长，宽，对角线构成直角三角形，符合勾股定理，且已知长为步， ∴根据勾股定理可得 ，C选项符合题意． 【变式训练】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 【答案】18米 【分析】可证明，则，据此利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：∵米，米，米， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， 又∵米， ∴米， ∴米， 答：点、之间的距离为18米． 题型十 求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·广东惠州·期末）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 【答案】(1)共需购买68平方米的地毯 (2)购买地毯需花费8160元 【分析】（1）求出台阶的水平宽，计算地毯长度，再计算地毯的面积即可； （2）用地毯的单价乘以面积求出购买地毯的费用． 【详解】（1）解：依题意图中直角三角形一直角边为，斜边为， 根据勾股定理另一直角边长，即台阶的水平宽为：， 则需购买地毯的长为， 因为地毯的宽则是台阶的宽4米， 所以面积是：． 故共需购买的地毯． （2）解：由地毯的价格为120 元， 则购买地毯的费用为：元， 故购买地毯需花费8160元． 【变式训练】（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 【答案】C 【分析】将台阶表面展开为长方形，利用勾股定理计算对角线长度即可． 【详解】将台阶面展开得到一个长方形， ∵ 每一级的长、宽、高分别为、、，且共有三级， ∴ 展开后长方形的长为，宽为， 根据勾股定理，蚂蚁爬行的最短路程为：． 题型十一 判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·四川凉山·期末）如图，有一辆卡车沿限速的路段由点向点行驶，，在该路段附近有一栋居民楼，与、两点的距离分别为、，卡车行驶过程中周围以内为受噪声影响区域． (1)求居民楼到的距离． (2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为，请问卡车是否超速行驶？并说明理由． 【答案】(1) (2)未超速，理由如下， 如图，，过点作于点， 在中，， ∴ ∵卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为， ∴卡车在该路段行驶过程中的速度为， ∴卡车未超速 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，进而根据等面积法，即可求解； （2），过点作于点，勾股定理求得，则，进而根据路程除以时间计算速度，即可求解． 【详解】（1）解：∵、，， ∴是直角三角形，且 设楼到的距离为， ∴ ∴ 【变式训练】（25-26八年级下·重庆南川·期末）如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 【答案】(1)外来车辆的平均速度为 (2)能成功在处拦截外来车辆，理由如下： 由题意得， 在中，由勾股定理，得， 由（1）可知， ， 外来车辆到达处所需的时间为． 安保人员的速度为， 安保人员达处所需的时间为， 能成功在处拦截外来车辆． 【分析】（1）过点作于点，由题意得，，，利用勾股定理在中，可得，在中，可得，从而求得，即可得出外来车辆的平均速度； （2）先利用勾股定理在中，可得，结合（1）可得，从而可以算出外来车辆及安保人员达处所需的时间，通过比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则，， 由题意得，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ， 速度为， 答：外来车辆的平均速度为； 题型十二 判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·湖北恩施·期中）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1) (2)海港C受台风影响， 理由如下：过点C作， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，， 海港C受台风影响； (3)海港C受台风影响的时间会持续． 【分析】（1）依据勾股定理求解即可； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：， ， ，， ； （2）略 （3）解：如图，当，时，正好影响C港口， ，， ， 台风的速度为， ， 答：海港C受台风影响的时间会持续． 【变式训练】（25-26八年级下·西藏·期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一个台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一处海港，且点C与A、B两点的距离分别为、，，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离． (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：海港C不会受到台风影响，理由如下： 在中，， ， ， 解得：， ∵ ∴海港C不会受到此次台风的影响． 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用等面积法求出，再与台风受影响区域半径比较即可． 【详解】（1）解：依题意得，在中，，，， ， 答：监测点A与监测点B之间的距离为； 题型十三 选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，某地一条公路旁有两个居民点，它们各自到公路的垂直距离分别为，公路上的两地相距．现准备在公路上修建一所医院E，因两地居民需求基本一致，考虑选择合适的地点建造，使得两地到医院的距离相等．试在图上确定医院E的建造位置，并求出该医院离A地的距离． 【答案】 该医院离A地的距离 【分析】作的垂直平分线与交于点，交于点，则点即为所作；连接，设，用勾股定理表示出，利用列出方程求值即可． 【详解】解：连接，作线段的垂直平分线，交于E，交于点，则点E就是医院的建造位置，图略，连接，设，则． ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得， 答：该医院离A地的距离． 【变式训练】（25-26八年级下·北京密云·期末）如图，在东西走向的和平街上有两个相距的快递投放点、，快递投放点的正北方向有一小区，小区到快递投放点的距离为． (1)求小区到快递投放点的距离． (2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点，新的投放点到小区与快递投放点的距离相等，求快递投放点、之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设，则，根据勾股定理列方程求解即可. 【详解】（1）解：∵小区A在快递投放点C的正北方向， ∴， ∴，， ∴， ∴小区A到快递投放点C的距离为； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴快递投放点B，D之间的距离为． 题型十四 求最短路径(勾股定理的应用) 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在长、宽、高的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点G处．试帮这只蚂蚁设计一条最佳路线，使其爬行的路程最短． 【答案】这只蚂蚁爬行的最佳路线是将长方体的左面上面展开，最短路径的长为． 【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和G点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离． 【详解】解：（1）如图： 由勾股定理得； （2）如图： 由勾股定理得； （3）如图： 由勾股定理得． ∵， ∴这只蚂蚁爬行的最佳路线是将长方体的左面上面展开，最短路径的长为． 【变式训练】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高为4，是上底的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到，则爬行的最短距离是________． 【答案】5 【分析】根据圆柱的性质、两点之间线段最短以及勾股定理解题． 【详解】解：如图，圆柱体的侧面展开图如下，蚂蚁从点出发，沿着线段爬行时，距离最短； 由题意知，，为圆柱体底面周长的一半，即， ∴， 即爬行的最短距离是． 题型十五 勾股定理逆定理的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级下·河北张家口·期末）图1是露营时用的天幕帐篷，搭天幕帐篷时，用天幕杆作为支撑，在点A处用绳子向地面固定，地面上的固定点为C，如图2所示，其中米，米，米（绳子始终处于紧绷状态，图中所有点都在同一平面内）． (1)通过计算判断此时是否与垂直； (2)由于风力增大，为了更稳固地固定帐篷，在点A处又增加一条绳子，与地面的固定点为点D（点D在的延长线上）．若米，求的长度． 【答案】(1)解：在中，，， ，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴； (2) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理解答即可； （2）在中，根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， 根据勾股定理得， ∴（米）， 即的长度为米． 【变式训练】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口三个半小时后分别位于点Q，R处，且相距70海里． (1)试判断的形状；并说明理由 (2)如果“远航”号沿北偏东方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？ 【答案】(1)解：是直角三角形，理由如下： 由题意知，（海里），（海里）， ∵， ∴， ∴是直角三角形． (2)北偏西 【分析】（1）根据“距离速度时间”求出的值，再利用勾股定理逆定理求出结果； （2）利用方向角求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ∵“远航”号沿北偏东50°方向航行， ∴， ∴， ∴“海天号”沿北偏西航行． 【基础夯实】 1．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，一个圆柱形食品盒高为10cm，底面圆的周长为12cm，点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，那么蚂蚁需要爬行的最短路程是（     ） A．13cm B． C．8cm D． 【答案】B 【分析】将圆柱侧面展开，构建直角三角形，确定两直角边的长度，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将圆柱侧面沿过点的母线展开，如图所示： ∵圆柱底面周长为，高为，点为对侧中点， ∴在展开图中，点到点的水平距离为底面周长的一半，即， 点到底面的垂直距离为高的一半，即， ∴由勾股定理，得蚂蚁爬行的最短路程为 ． 2．（25-26八年级下·吉林·期末）《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题目大意是：“如图，一根竹子高1丈（1丈尺），在点A处折断后竹子顶端点B触地，测得点B离竹子底端点C距离为3尺（即尺），问折断处离地面高为多少尺？”．设折断处离地面高为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得尺，尺，， 设高为尺，则尺， 由勾股定理得，即． 3．（25-26八年级下·广东江门·期末）公园里一根长方体石柱如图所示，若一只蚂蚁以的速度从点爬到点，最快需要多长时间（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况：①当把长方体沿正面和上面（或后面和下面）进行展开时，②当沿长方体的正面和右面（或后面和左面）进行展开时，利用勾股定理求出最短路径，进而可求出最快爬行的时间． 【详解】解：①当把长方体沿正面和上面（或后面和下面）进行展开时： 蚂蚁以的速度从点爬到点需要； ②当沿长方体的正面和右面（或后面和左面）进行展开时： ， 蚂蚁以的速度从点爬到点需要； ∵， ∴最快需要． 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在一棵树离地面10米高的处有两只猴子，在离树底20米的池塘边的处有水果．为了吃水果，一只猴子爬下树跑到处，另一只爬到树顶后直接跳到处（路径以直线计算），如果两只猴子所经过的路程相等，那么这棵树高为_________米． 【答案】15 【分析】设这棵树高米，即米，根据题意可得，米，米，从而可得米，再求出米，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：设这棵树高米，即米， 由题意得：，米，米， ∴米， ∵两只猴子所经过的距离相等， ∴，即， ∴（米）， 在中，，即， 解得， 即米， 答：这棵树高米． 5．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，，，，点D在上，将 沿直线翻折后，点的对称点恰好落在上，则线段的长为______． 【答案】5 【分析】先根据勾股定理，求得，接着利用折叠可得，，，最后在中利用勾股定理求得答案． 【详解】解：， ∴， ∴由翻折得，，， ∴，，， ∴， v即， 解得． 6．（26-27八年级上·浙江金华·开学考试）如图，的三边分别为，将沿折叠，使落在上，折痕的长为___________． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理的逆定理，即，判断出是直角三角形，设折叠后点与上的点重合．在中，根据勾股定理即可得到一个关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：， ， 是直角三角形． 设折叠后点与上的点重合，如图， 设，则，，，， ， 在中，， 解得， ． 7．（24-25八年级下·重庆·阶段检测）如图，圆柱形杯子的高为，底面周长为，在杯内壁（杯子的厚度忽略不计）离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为_____________．（假设蜂蜜不会下滑） 【答案】 20 【分析】将圆柱侧面展开为矩形，作点关于杯口上沿的对称点，连接即为最短路径，确定直角三角形的两条直角边长，利用勾股定理求解； 【详解】解：如图，将圆柱侧面展开，作点关于杯口上沿的对称点，连接， 由对称性可得， ， 线段的长即为蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离， 由题意得，，，， ， 在中，由勾股定理得． 8．（26-27八年级上·广东深圳·开学考试）综合探究： “在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”． 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是________； (2)若的三边的长分别为、、，请你利用构图法在图2中，画出符合题意的，并写出它的面积________． (3)已知，均为正实数，且，求的最小值． 小明同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长，通过分析，小明想到了构图法解决此问题，于是构造出图3，将问题转化为求线段的长，如图，，，，，，，则、的长分别表示为，．由于，当、、共线时，取等号，所以只要求出的长，就可以解决问题．请在图3中，求出的长，并说明理由．所以的最小值是________． (4)拓展应用：求代数式：（）的最小值． 【答案】(1) (2)如图，即为所求， ； 3 (3)的长为5，理由如下： 如图，过点C作交的延长线于点， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ，， ，， 在中，， 则的长为5； 5 (4)5 【分析】（1）根据构图法，用正方形的面积减去周围三角形的面积，即可求解； （2）利用构图法及勾股定理，画出，再计算出面积即可； （3）过点C作交的延长线于点，利用勾股定理即可求出的长；从而求出的最小值； （4）根据（3）的思路，构造图形，将代数式的最小值转化为求线段的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图， ， 则的面积是； （2）解：如图，即为所求， ， 则的面积是； （3）解： ， 当、、共线时，取得最小值，即的长为5， 的最小值是5； （4）解：如图，，，，，，，则、的长分别表示为，， 则（）的最小值即为的最小值，即的长， 如图，过点C作交的延长线于点， 同（3）可得，，， 在中，， 则（）的最小值为5． 9．（26-27八年级上·辽宁沈阳·开学考试）按要求作图 (1)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点，，均在小正方形的顶点上． ①在图中画出与关于直线成轴对称的； ②在直线上找一点，使得的周长最小； ③的面积为________ (2)如图，画出一个面积为的正方形． 【答案】(1)解：①如图，即为所求； ②如图，点即为所求； ③； (2)解：如图，正方形即为所求； 【分析】（1）①找点，描线，画出即可；②根据对称性得到，进而得到当三点共线时，的周长最小，连接交直线于点即可；③分隔法求出三角形的面积即可； （2）画一个边长为的正方形即可. 【详解】（1）解：①略； ②略； ③的面积； 10．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上． (1)画出，使与关于直线对称； (2)在直线上确定一点，使到、的距离之和最小，最小值为______，并在图中标出点（保留作图痕迹）； 【答案】(1)解：如图所示即为所求， (2)；如图，点P即为所求作的点 【分析】（1）利用轴对称的性质画出的对应点，再顺次连接即可； （2）连接，交直线于点，则点即为所求作的点，用勾股定理求出的长度即可； 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图， 由对称知， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小，且最小值为． 【培优拔高】 1．（2026·河南·模拟预测）如图，正方形中，点P，Q分别为，上一个动点，将正方形沿折叠，点的对应点始终落在上，已知，当点为中点时，的长为（     ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由正方形的性质得到，由中点的性质得到，，则，由折叠可得，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点为中点， ∴， 设，则， ∵折叠， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴． 2．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，在长方形中，，在上取一点，连接，，将沿翻折，使点落在点处，线段交于点，将沿翻折，使点的对应点落在线段上．若点恰好为线段的中点，则线段的值为（    ） A．22 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质和“”，易得，从而，再根据角之间的关系，可得，设，由线段之间的关系易求，，，，最后根据勾股定理，可得，，进而列出方程，求解即可． 【详解】解：由折叠知，，，，，，，，， 长方形，， ，，， 在和中， ， ， ， ，，， ，即， 设，则， 点恰好为线段的中点， ，， ， ，， 在中，， 在中，， 在中，， ，解得（负值已舍去）， ． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，三棱柱每个侧面都是长方形，其高为，底面为直角三角形，其直角边长分别为，，围绕三棱柱的侧面，从顶点A到顶点镶有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三棱柱的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理．将三棱柱侧面展开得出矩形，求出矩形对角线的长度即可． 【详解】解：如图为三棱柱的侧面展开图， ∵底面为直角三角形，其直角边长分别为，， ∴斜边长为， ∴，，， ∴， 故选：B． 4．（25-26八年级下·广东阳江·期末）如图，某市某海鲜配送站有一个长方体保温箱，长米，宽米，高米．工作人员要从箱底的点沿箱体表面，拉一根保温软管到箱顶的点，用来输送冷气．则这根软管的最短长度是________米． 【答案】 【分析】根据三种平面展开图，利用勾股定理计算的长度，再比较即可求解． 【详解】解：情况一：米，米， 米； 情况二：米，米， 米； 情况三：米，米， 米； ， 这根软管的最短长度是米． 5．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，河流2汇入河流1，已知两条河流的宽度都为4米，且相交所形成锐角为，在交汇处的左侧，、两地被两条河流隔开，经测量，地到河岸的距离米，地到河岸的距离米，且米，现规划在两条河上分别造一座桥，使得从地到地的路径最短，那么最短路径约为_________米．（河流1与河流2的两岸都是分别平行的，且两桥均与河岸垂直，取） 【答案】 【分析】本题考查利用平移变换解决最短路径问题．根据题意，将点沿垂直于河流的方向向下平移河宽米得到点，将点沿垂直于河流的方向向左上方平移河宽米得到点，连接，线段的长度即为除去两座桥长后的最短路径，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】如图，将点沿垂直于河岸的方向向下平移米得到点，则， 此时在河岸下方米处． 将点沿垂直于河流河岸的方向向左上方平移米得到点，则． 过点作河岸的垂线，过点作河岸的平行线，两线相交构造，延长交于点， 如图 依题意，两条河流相交所形成锐角为， 如图，设的延长线与河流2的岸边交于点，与河流2的岸边交于点， 则 ∵， ∴ ∴， ∴ （米）． （米）． 根据勾股定理，线段的长度为：（米）． 所以最短路径约为：（米）． 故答案为 6．（25-26八年级下·新疆吐鲁番·期末）如图，在一张矩形纸板上放着一根长方体木块．已知，，该木块的长与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达点需要爬行的最短路程是________． 【答案】 【分析】将木块展开，然后根据两点之间线段最短，利用勾股定理解答． 【详解】由题意可知，将木块展开，相当于是加上个正方形的边长， 展开后的矩形的长为，宽为． 最短路程为：． 7．（2026·北京顺义·二模）如图所示的网格是正方形网格，则_______°（点，，是网格线交点）． 【答案】45 【分析】本题考查正方形网格中的角度计算，解题核心是通过构造辅助线，利用勾股定理和等腰直角三角形的性质，求出相关角的度数，再计算差值． 【详解】解：如图所示，连接各格点， ，，， ， ，， ，， ， 8．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．如果用一根细线从顶点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达顶点B，那么所用细线最短需要多少厘米？如果从顶点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达顶点B，那么所用细线最短又需要多少厘米？绕3圈呢？绕n圈呢？（保留根号） 【答案】10厘米；厘米；厘米；厘米 【分析】将长方体展开，利用两点间距离最短，以及勾股定理进行求解即可. 【详解】解：如图，是长方体的侧面展开图， 根据题意可得，从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B时，最短距离为， （厘米）； 缠绕2圈，则长方形的长变为， （厘米）； 缠绕3圈，则长方形的长变为， （厘米）； 缠绕圈，则长方形的长变为， （厘米）. 9．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义：如果平面内一点到三角形三个顶点的距离中，最长距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的“和谐点”．例如：平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，如图1，当最大时，若，则点就是的“和谐点”． (1)如图2，为等边三角形，过点作的垂线，点在该垂线上，以为边在其右侧作等边，连接，证明点是的“和谐点”． (2)如图3，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若格点是的“和谐点”，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：连接， 和都是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 在中，， ， ∴点是的和谐点 (2)或或2 【分析】（1）根据和都是等边三角形，可得，同时，，可证明，得到，根据，所以在中，，用替换，得到，即可证明点是的“和谐点”． （2）如图3所示：①当最长时：可以找到一个点P，满足，可得到格点是的“和谐点”，此时；②当最长时，可以找到一个点P，满足，可得到格点是的“和谐点”，此时；③当最长时，可以找到一个点P，满足，可得到格点是的“和谐点”，此时． 【详解】（1）略． （2）解：如图3所示：①当最长时： 可以找到一个点P，此时， ， 所以，故； ②当最长时， 可以找到一个点P，此时， ， ， 所以，故； ③当最长时， 可以找到一个点P，此时， ， ， 所以，故， 所以的长为或或2． 10．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，点、是位于笔直河道两侧的两个工厂，工厂到河道的距离为，工厂到河道的距离为，是垂直于的地下管道，且交的延长线于点，经测量，，现准备在河边某处修一个污水处理厂，为使点到工厂、之间的距离之和最小，点需在线段上，求此时点到工厂和工厂的距离之和．（污水处理厂、工厂的大小和河道、地下管道的宽度均忽略不计） 【答案】 【分析】连接交于点，依题意，，，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点， 依题意，， 在中，，即为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 专题3.3勾股定理的简单应用『重点难点同步培优讲义』 (知识梳理+15个题型讲练+难度分层练共50题) 【苏科版数学新教材•八年级上册】 讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于苏科版新教材八年级上册内容章节学习同步举一反三知识讲练使用， 全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识，点； 3.优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压 轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.优选期中期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型， 强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合苏 科版八上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 目录指引内容知晓 知识梳理温故知新。 3 知识点一勾股定理的应用...·. 知识点二勾股定理逆定理的应用.·.··。 3 知识点三勾股定理及其逆定理的应用 3 考点讲练真题汇总.… 4 题型一勾股定理与网格问题.· ..4 题型二勾股定理与折叠问题。 ·…5 题型三求旗杆高度（勾股定理的应用）.·· 题型四求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 题型五求小鸟飞行距离（勾股定股定理的应用）·· .7 题型六求大树折断前的高度（勾股定理的应用)...8 题型七解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用）…8 第1页共24页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 题型八解决航海问题（勾股定理的应用）.·. 9 题型九求河宽（勾股定理的应用）...· 10 题型十求台阶上地毯长度（勾股定理的应用)… 11 题型十一判断汽车是否超速（勾股定理的应用）.· 12 题型十二判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 13 题型十三选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 14 题型十四求最短路径（勾股定理的应用）.。 15 题型十五勾股定理逆定理的实际应用... 16 优选真题实战演练.… 17 【基础夯实】 17 【培优拔高】 21 导图指引梳理脉络 1.勾股定理在实际生种的应用 2,勾股定理解拜“垂线段最短” 实际问题一建立直角三角形视型一利用勾股定理求解 点P在直线1外，PA⊥1，垂足为A,Q为直线1上不同于点入 例1①竹子折断问题 的得意二点 已知：竹子原高10尺，折断处离地3尺 因PA⊥1，所以△APQ为直角三角形 求：折断处离地面多高？ 根据勾般定理，得 解：设BC=x尺，则AB=10-尺。 最短问题 PQ:=PA+AQ. 基础应用 因为AQ>0,所以PQ-PA+AQ>PA日 解得x=4.55.折断处离地面4.55尺 所以PA<PQ,即垂线段PA最短， 例2接梯清动问题 已知：A0=2.4m,B0=1.8m,AC=0.4m 3.勾股定理在实标问题中的拓展应用 梯子下滑Q4m 第3章勾股定理 求：梯子底端B应向右滑动多少米？ 拓展应用 ()实际测量问题：测距、测高、测宽等 解：在R△AB0中，AB=√2.4+1.8=3m 3.3 (2)与方位，航行问题结合：利用直角三角形求距离 则0C=3-04=26m 在1△BCD中，CD=AC=0.4m 勾股定理 (3)领斜面、坡度问题：求斜坡长废或高度差。 BD=√2.6-0.4257m 放摇子底端B应向右滑动2.57m(结阑精确到Q1m 的简单应用 (4)面积问题：利用勾股定理及其逆定理构造直角三角形，进而求面积. 6.典型练习题（节选） 4,勾股定理的相关推论 已知：Rt△ABC中，∠C=90,斜边AB=C,两直角边AC=b,BC-a 勾股定理 判形米 被标有用 (1)AC+BC=AB,即2+b=c2 相关推论 引长度分别为√了.、乃，√区的三桑线量能地成三角影 0)起重机吊物体：BC=7,5m,AC=195m,求AB (②若斜边上的高CD=,把斜边分成AD=m,DB=， 且是直角三角形 (②航行问：两相同时离开港口。已知速度和向， 则炉= (们)求边长为2的等边三角形面积 求焉船相遇时能行方向。 (3)育蓝德：膜糯蠖角30，求塑料薄膜面积 b S=。=5(甲方单位) (精确到Q.1m2), (3)AB=m+n 5.勾股定理及其逆定理● 九的期专与门 云会限京 4)G2+2=方2+m2+m2=m+月 勾股定理 勾殿定理的逆定理 (④R1△AC中，∠C=90,AC=2BC=4, 5)阳△AC中，∠ACB=0. (⑤)=m 以A为一边作正方形ABDE,来阴影部分面积 如果直角三角形两直角边会如果三角形的三边长a,,© CD为料边AB上的高，CE为中线。 D=2,CE=5,求CD. 分别为a,b。斜边为t, 满足 7,思维方法总结 那么a2+=2 ,建思：把实际问题象为直角三角形 那么这个三角形是直角三角形 m阳△BC中，AB=20.AC=13,BC=11, ,访算能力：见话途用勾酸定理及其推论解决问题 (e最大)， 求点A到BC的距离 ·几何直现：借助的图形理解“垂线段最超 周探究三边与面积关系（如教材第8题） ·分类计论：据条件选择合适模型求解 第2页共24页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 知识梳理温故知新 知识点一勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题， 在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么， 以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股 定理进行求解， 【技巧点拨】勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形 和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角 形 知识点二勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a,b,c满足ad+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来 确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和+b与较长边的平方c2作比较， 若它们相等时，以α，b,c为三边的三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形。 ②定理中a,b,c及d+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a,b,c 满足+c2=b2,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三 角形是直角三角形 【技巧点拨】勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直 角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用 两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论 知识点三勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体.通常既要通过 逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的 解决。 【技巧点拨】勾股数 第3页共24页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即㎡+b2=c2中，a,b,c为正整数时， 称a,b,c为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25,8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数：m2-1,21,n+1（n≥2，n为正整数)；2n+1,2n2+22,2m2+2n+1 (n 为正整数)； 考点讲练真题汇总 题型一勾股定理与网格问题 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业)如图，小方格都是边长为1的正方形.求四边形ABCD 的面积和周长（均精确到0.1). 【变式训练】(25-26八年级下·辽宁沈阳·期末)如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度， △ABC的顶点和线段DE的端点均在小正方形的顶点上. (1)在方格纸中将△ABC向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到△FGH（点A的对应点是 点F,点B的对应点是点G,点C的对应点是点H),请画出△FGH; (2)在(1)的条件下，在方格纸中画出以DE为直角边的等腰直角三角形DEM(点M在小正方形的顶点上)，连 接HM,请直接写出线段HM的长 第4页共24页 2026-2027学年苏科版数学新教村八年级上册同步培优专题高效讲义 题型二勾股定理与折叠问题 【典例精讲】(25-26八年级下·云南玉溪·期中)如图，沿DE折叠直角三角形纸片ABC,使两个锐角顶 点B和C重合，AB=6,AC=8,求CE的长.设CE=x,则所列方程正确的是( R D C.3 A.x2+(8-x)2=62 B.62+x2=(8-x)2 C.62+(8-x)2=x2 D.x2+(6-x)2=82 【变式训练】(25-26八年级下·云南曲靖·期末)如图，己知在长方形ABCD中，AB=3,BC=5,若把 长方形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，则CF= G B 题型三求旗杆高度（勾股定理的应用） 【典例精讲】(25-26八年级下·云南德宏·期末)数学兴趣小组在郊外放风筝时，想要测量风筝离地面的 垂直高度.假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直.小组成员测量了相关数据，并画出如下示意图，水平距 离BC的长为80米，AB的长为100米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米(BE=1.6米)，求风筝离 地面的垂直高度AD的长为多少米. B E D 第5页共24页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 【变式训练】（25-26八年级下·河北沧州·期末)某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆AB的高 度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端A处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米(CF=3.5米)的E点处，此时手 上的绳子还剩0.5米： ②甲同学继续往后退1.5米(FH=1.5米)到达G点，此时手上的绳子刚好用完： ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米； 则旗杆AB的高度为( A.12米 B.12.6米 C.13米 D.13.6米 题型四求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 【典例精讲】(26-27八年级上·全国·课后作业)一架2.5m长的梯子靠在墙壁上，梯子的底部离墙0.7m, 如果梯子的顶部滑下0.4m,梯子的底部向外滑出多远？ 第6页共24页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 【变式训练】(25-26八年级下·江西南昌·期末)物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将 一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A,一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上.初始时，AC1BC, AC=80cm,BC=60cm.绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计， 绳子 绳子 B B B 图1 图2 (1)求初始状态下细绳的总长度： (2)如图2，若物体C竖直升高70cm,求此时滑块B向左滑动的距离. 题型五求小鸟飞行距离（勾股定股定理的应用） 【典例精讲】(25-26八年级下·北京·期中)如图，有一只喜鹊在一棵2m高的小树AB上觅食，它的巢 筑在与该树水平距离(BC)为12m的一棵大树CM上，大树高CM=8m,喜鹊的巢位于树项下方1m的D 处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为2/s,那么它要飞回巢中所需的时间至 少是( D A.6.5s B.6s C.5.5s D.5s 【变式训练】(25-26八年级上·宁夏银川·期中)如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相 距4米，一只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，问小鸟至少飞行一一一米. 第7页共24页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 题型六求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 【典例精讲】(25-26八年级下·陕西榆林·期末)如图，由于大风，山坡上的树甲从点A处被拦腰折断， 其树顶端恰好落在树乙的根部C处.已知树甲的部分主干AB⊥水平线CD,树乙垂直水平线CD,经测量，树 甲的根部B与点A的距离AB=4米，两棵树的根部距离BC=13米，两棵树的水平距离CD为12米，请根据 以上数据，求树甲折断前的高度 用 【变式训练】(25-26八年级下·北京大兴·期末)《九章算术》是我国古代数学的经典著作.书中有一个 “折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何.意思是：一根竹子高1丈（1丈 =10尺)，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，求折断处离地面的高度是多少？若设折断处离地面的 高度为x尺，则可列方程为 3尺 题型七解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 【典例精讲】(25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末)寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶.现用搪 瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为12cm,高为16cm.老师遇到了这样一个问题：搅 第8页共24页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部. 图① 图② (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口2cm才合适，请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少 需要cm; (2)如图②，老师新买的一根长为25cm的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为cm,你能求出h的取值 范围吗？ 【变式训练】(25-26八年级下·北京·期末)《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生 其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何.大意是：如图，水池底面的宽AB=1丈， 芦苇0C生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD=1尺.将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水 面平齐，即0C=0B,求水池的深度(1丈等于10尺). 题型八解决航海问题（勾股定理的应用） 【典例精讲】(25-26八年级下·云南玉溪·期中)如图，在海平面上，0为灯塔，A、B为两个港口.其中 港口A在灯塔0的北偏西25°方向上，距离灯塔60海里.港口B在灯塔0的北偏东65°方向上，距离灯塔80 海里.一艘轮船从港口A沿直线向港口B运输货物，航行的平均速度为每小时20海里. 第9页共24页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 E (1)求港口A到港口B的直线距离： (2)为保障航行的安全，灯塔0将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为50海里，在轮船从港口A向 港口B航行的过程中，接收安全信号的时长不低于1小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标 准？请说明理由. 【变式训练】(25-26八年级下·广东广州·期末)如图，点0是一港口，渔船A从0出发沿北偏东53°方向 以6海里/时的速度出海，渔船B同时从0出发沿南偏东37°方向以5海里/时的速度出海，两个小时后，两 艘渔船的距离为( ) 北 西 一东 南 B A.2W11海里 B.V61海里 C.3V11海里 D.261海里 题型九求河宽（勾股定理的应用） 【典例精讲】(25-26八年级下·河南商丘·期中)我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其 大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩.设 长方形田的宽为x步，则可列方程为( ) A.30+x=50-x B.302+(50-x)2=x2 C.302+x2=(50-x)2 D.x2+(50-x)2=302 第10页共24页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 【变式训练】(25-26八年级下·陕西西安·期中)如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分）， A、B两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得A、B间的距离，小明采用如下方法测量：在地面 上取一点C,使点C能直接到达点A和点B,在AB的延长线上取一点D,使得BD=12米.经测量AC=34米， CD=16米，CB=20米，请你计算点A、B之间的距离， 题型十求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 【典例精讲】(25-26八年级下·广东惠州·期末)某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长13m,高5m 的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为4m. 13m (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯： (2)若地毯的价格为120元/m2,则购买地毯需花费多少元？ 第11页共24页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 【变式训练】(25-26八年级下·青海西宁·期中)如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别 为20dm、3dm、2dm,A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食 物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是() 20 A.20 B.24 C.25 D.35 题型十一判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级下·四川凉山·期末)如图，有一辆卡车沿限速60km/h的路段由A点向B点 行驶，AB=500m,在该路段附近有一栋居民楼C,与A、B两点的距离分别为AC=400m、BC=300m, 卡车行驶过程中周围260m以内为受噪声影响区域. B (1)求居民楼C到AB的距离. (2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为14.4s,请问卡车是否超速行驶？并说明理由. 第12页共24页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 【变式训练】(25-26八年级下·重庆南川·期末)如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的 监控中心A到公路的垂直距离为1200米.一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶.用 红外线测距仪测得：此时车辆正在公路B处，距A处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的D处，距A处1300 米 西 B C公路东 (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心A到景观公路只有一条长为1500米的小路AC.监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当 外来车辆到达D处时，安保人员同时开车从A出发，沿小路AC进行拦截，若安保人员车速为30m/s,能否成 功在C处拦截外来车辆？请通过计算进行说明. 题型十二判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 【典例精讲】(25-26八年级下·湖北恩施·期中)某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害， 它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力.如图，有一台风中心沿东西 方向AB由点A行驶向点B,己知点C为一海港，当AC1BC时，A点到B,C两点的距离分别为1000km和600km, 以台风中心为圆心周围520m以内为受影响区域. A B (1)求BC; (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为100kmh,则台风影响该海港持续的时间有多长？ 第13页共24页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 【变式训练】(25-26八年级下·西藏·期中)台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为 半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力.如图，监测中心监测到一个台风中心沿监测点B与监 测点A所在的直线由东向西移动，己知点C为一处海港，且点C与A、B两点的距离分别为600km、800km: ∠ACB=90°，过点C作CE1AB于点E,以台风中心为圆心，半径为460km的圆形区域内为受影响区域. 北 →东 A E B (1)求监测点A与监测点B之间的距离. (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由。 题型十三选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 【典例精讲】(26-27八年级上·全国·课后作业)如图，某地一条公路旁有两个居民点C、D,它们各自 到公路的垂直距离CA、DB分别为10km、15km,公路上的A、B两地相距25km.现准备在公路上修建一所 医院B,因两地居民需求基本一致，考虑选择合适的地点建造，使得两地到医院的距离相等.试在图上确定 医院E的建造位置，并求出该医院离A地的距离. D B 第14页共24页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 【变式训练】(25-26八年级下·北京密云·期末)如图，在东西走向的和平街上有两个相距12的快递 投放点B、C,快递投放点C的正北方向有一小区A,小区A到快递投放点B的距离为13km. D 白和平街 B D (1)求小区A到快递投放点C的距离， (2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点D,新的投放点D到小区A与快递投放点B的距 离相等，求快递投放点B、D之间的距离. 题型十四求最短路径（勾股定理的应用） 【典例精讲】(26-27八年级上·全国·课后作业)如图，在长30cm、宽50cm、高40cm的长方体上，有 一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点G处.试帮这只蚂蚁设计一条最佳路线，使其 爬行的路程最短 G 40cm 50cm 30cm 第15页共24页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 【变式训练】(25-26八年级下·广东广州·期末)如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高AB为4，BC是上 底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到C,则爬行的最短距离是 题型十五勾股定理逆定理的实际应用 【典例精讲】(25-26八年级下·河北张家口·期末)图1是露营时用的天幕帐篷，搭天幕帐篷时，用天幕 杆AB作为支撑，在点A处用绳子向地面固定，地面上的固定点为C,如图2所示，其中AB=号米，BC=号 米，AC=3米（绳子始终处于紧绷状态，图中所有点都在同一平面内）· C 图1 图2 (1)通过计算判断此时AB是否与BC垂直： (2)由于风力增大，为了更稳固地固定帐篷，在点A处又增加一条绳子，与地面的固定点为点D(点D在BC 的延长线上)·若AD=4米，求CD的长度. 第16页共24页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 【变式训练】(25-26八年级下·辽宁大连·期末)如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、 “海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小 时航行12海里，它们离开港口三个半小时后分别位于点Q,R处，且相距70海里. NA 远航 海天 R E (1)试判断△RPQ的形状；并说明理由 (2)如果“远航”号沿北偏东50°方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？ 优选真题实战演练 【基础夯实】 1.(25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末)如图，一个圆柱形食品盒高为10cm,底面圆的周长为12Cm, 点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，那么蚂蚁需 要爬行的最短路程是( B A.13cm B.V61cm C.8cm D.2V34cm 第17页共24页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 2.(25-26八年级下·吉林·期末)《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵 地，去根三尺，问折者高几何？”题目大意是：“如图，一根竹子高1丈（1丈=10尺)，在点A处折断 后竹子顶端点B触地，测得点B离竹子底端点C距离为3尺（即BC=3尺），问折断处离地面高AC为多少 尺？”.设折断处离地面高AC为x尺，可列方程为( A.32+x2=(10+x)2 B.32+(10+x)2=x2 C.32+(10-x)2=x2 D.32+x2=(10-x)2 3.(25-26八年级下·广东江门·期末)公园里一根长方体石柱如图所示，若一只蚂蚁以2cm/s的速度从 点A爬到点B,最快需要多长时间( 30cm B 30cm/ 80cm A.57s B.50s C.47s D.40s 4.(25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测)如图，在一棵树CD离地面10米高的B处有两只猴子，在离树 底20米的池塘边的A处有水果.为了吃水果，一只猴子爬下树跑到A处，另一只爬到树顶D后直接跳到A处 (路径以直线计算)，如果两只猴子所经过的路程相等，那么这棵树高CD为 。米 D B 5.(26-27八年级上·四川达州·开学考试)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,BC=8,点D 在BC上，将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对称点E恰好落在AB上，则线段BD的长为 第18页共24页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 B E 6.(26-27八年级上·浙江金华·开学考试)如图，△ABC的三边分别为AC=8,BC=15,AB=17,将△ABC 沿AD折叠，使AC落在AB上，折痕AD的长为 B D 7.(24-25八年级下·重庆·阶段检测)如图，圆柱形杯子的高为15cm,底面周长为24cm,在杯内壁（杯 子的厚度忽略不计)离杯底2cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜 相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为 cm.(假设蜂蜜不会下滑) 蚂蚁A B蜂蜜 8.(26-27八年级上·广东深圳·开学考试)综合探究： “在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为V5、V1O、V13,求这个三角形的面积”. 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC (即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图1所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算 出它的面积.我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法 图1 图2 图3 (1)直接写出图1中△ABC的面积是 (2)若△DEF的三边的长分别为V5、VI7、2V2,请你利用构图法在图2中，画出符合题意的△DEF,并写 第19页共24页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 出它的面积 (3)已知a,b均为正实数，且a+b=3,求Va2+1+√b2+9的最小值， 小明同学发现Va2+1可看作两直角边分别为a和1的直角三角形的斜边长，√b2+9可看作两直角边分别是b 和3的直角三角形的斜边长，通过分析，小明想到了构图法解决此问题，于是构造出图3，将问题转化为求 线段CD的长，如图，AE=a,BE=b,AC=1,BD=3,AC L AB,BD1AB,则CE、DE的长分别表示 为Va2+1,Vb2+9.由于CE+ED≥CD,当C、D、E共线时，取等号，所以只要求出CD的长，就可以解 决问题.请在图3中，求出CD的长，并说明理由.所以Va2+1+v√b2+9的最小值是 (4)拓展应用：求代数式：Vx2+1+√(4-x)2+4(0≤x≤4)的最小值. 9.(26-27八年级上·辽宁沈阳·开学考试)按要求作图 (1)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A,B,C均在小正方形的顶点上. ①在图中画出与△ABC关于直线成轴对称的△A'B'C': ②在直线L上找一点P,使得△APC的周长最小； ③△ABC的面积为 (2)如图，画出一个面积为10的正方形. 第20页共24页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 10.(2026八年级上·全国·专题练习)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度， △ABC的三个顶点都在格点上. (1)画出△A1B1C1,使△A1B1C1与△ABC关于直线l对称： (2)在直线上确定一点P,使P到B、C的距离之和最小，最小值为一一一，并在图中标出点P(保留作图痕 迹)； 【培优拔高】 1.(2026·河南·模拟预测)如图，正方形ABCD中，点P,Q分别为AB,CD上一个动点，将正方形沿PQ 折叠，点D的对应点M始终落在BC上，己知AB=8,当点M为BC中点时，DQ的长为( ) A D B M A.3 B.4 C.5 D.6 2.（25-26八年级下·福建南平·期中)如图，在长方形ABCD中，AB=1,在BC上取一点E,连接AE,ED, 将△ABE沿AE翻折，使点B落在点B'处，线段EB'交AD于点F,将△ECD沿DE翻折，使点C的对应点C 落在线段EB'上.若点C'恰好为线段EB'的中点，则线段EF的值为( 第21页共24页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 B A.22 B.V62 C.@ 6 D.3v 4 3.(25-26八年级上·福建泉州·期末)如图，三棱柱每个侧面都是长方形，其高为5cm,底面为直角三 角形，其直角边长分别为3cm,4cm,围绕三棱柱的侧面，从顶点A到项点A'镶有一圈金属丝，则这圈金 属丝的长度至少为( A A.17cm B.13cm C.12cm D.V74cm 4.（25-26八年级下·广东阳江·期末)如图，某市某海鲜配送站有一个长方体保温箱，长AB=4米，宽 BC=1米，高BB'=2米.工作人员要从箱底的A点沿箱体表面，拉一根保温软管到箱顶的C'点，用来输 送冷气.则这根软管的最短长度是米. D' B B 5.(25-26八年级下·四川成都·期末)如图，河流2汇入河流1，已知两条河流的宽度都为4米，且相 交所形成锐角为30°，在交汇处的左侧，A、B两地被两条河流隔开，经测量，A地到河岸m的距离AC=2 米，B地到河岸m的距离BD=12米，且CD=10.8米，现规划在两条河上分别造一座桥，使得从A地到B 地的路径最短，那么最短路径约为 米.（河流1与河流2的两岸都是分别平行的，且两桥均与河 岸垂直，取V3≈1.7) 第22页共24页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 A 河流1 河流2 B 6.(25-26八年级下新疆吐鲁番期末)如图，在一张矩形纸板ABCD上放着一根长方体木块.己知AD=8dm, AB=12dm,该木块的长与AD平行，横截面是边长为1dm的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达点C需 要爬行的最短路程是 dm 7.(2026·北京顺义·二模)如图所示的网格是正方形网格，则∠ABC-∠ACB=_° (点A,B,C 是网格线交点)· B C 8.（26-27八年级上·全国·课后作业)如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm.如果用 根细线从顶点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达顶点B,那么所用细线最短需要多少厘米？如果从顶点A 开始经过4个侧面缠绕2圈到达项点B,那么所用细线最短又需要多少厘米？绕3圈呢？绕圈呢？（保留 根号) 6cm 1cm 3cm 第23页共24页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 9.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末)定义：如果平面内一点到三角形三个顶点的距离中，最长距 离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的“和谐点”.例如：平面内有一点P到△ABC 的三个顶点的距离分别为PA、PB、PC,如图1，当PC最大时，若PC2=PA2+PB2,则点P就是△ABC的“和 谐点”· B 图1 图2 图3 (1)如图2，△ABC为等边三角形，过点A作AB的垂线，点D在该垂线上，以CD为边在其右侧作等边△CDE, 连接AE,证明点A是△CDE的“和谐点”， (2)如图3，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点在格点上，若格点P是△ABC的“和谐 点”，请直接写出AP的长. 10.(25-26八年级下·陕西渭南·期末)如图，点A、B是位于笔直河道CD两侧的两个工厂，工厂A到河 道的距离AC为6km,工厂B到河道的距离BD为3km,BF是垂直于AC的地下管道，且BF交AC的延长线于点 F,经测量，BF=12km,现准备在河边某处修一个污水处理厂E,为使点E到工厂A、B之间的距离之和最 小，点E需在线段AB上，求此时点E到工厂A和工厂B的距离之和AE+BE.(污水处理厂、工厂的大小和河 道、地下管道的宽度均忽略不计) 第24页共24页 专题3.3 勾股定理的简单应用『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+15个题型讲练+难度分层练 共50题） 【苏科版数学新教材•八年级上册】 同学你好，该份讲义用于苏科版新教材八年级上册内容章节学习同步举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期中期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合苏科版八上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 3 知识点一 勾股定理的应用 3 知识点二 勾股定理逆定理的应用 3 知识点三 勾股定理及其逆定理的应用 3 考点讲练 真题汇总 4 题型一 勾股定理与网格问题 4 题型二 勾股定理与折叠问题 5 题型三 求旗杆高度(勾股定理的应用) 5 题型四 求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 6 题型五 求小鸟飞行距离(勾股定股定理的应用) 7 题型六 求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 8 题型七 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 8 题型八 解决航海问题(勾股定理的应用) 9 题型九 求河宽(勾股定理的应用) 10 题型十 求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 11 题型十一 判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 12 题型十二 判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 13 题型十三 选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 14 题型十四 求最短路径(勾股定理的应用) 15 题型十五 勾股定理逆定理的实际应用 16 优选真题 实战演练 17 【基础夯实】 17 【培优拔高】 21 知识点一 勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线(通常作垂线)，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解. 【技巧点拨】勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 知识点二 勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理 如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形。 ②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 【技巧点拨】勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 知识点三 勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决。 【技巧点拨】勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；，8,15,17等 ③用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）； （ 为正整数）； 题型一 勾股定理与网格问题 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，小方格都是边长为的正方形．求四边形的面积和周长（均精确到）． 【变式训练】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上． (1)在方格纸中将向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到（点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点），请画出； (2)在（1）的条件下，在方格纸中画出以为直角边的等腰直角三角形（点在小正方形的顶点上）．连接，请直接写出线段的长． 题型二 勾股定理与折叠问题 【典例精讲】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级下·云南曲靖·期末）如图，已知在长方形中，，，若把长方形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，则_______． 题型三 求旗杆高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·云南德宏·期末）数学兴趣小组在郊外放风筝时，想要测量风筝离地面的垂直高度．假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直．小组成员测量了相关数据，并画出如下示意图，水平距离的长为80米，的长为100米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米（米）．求风筝离地面的垂直高度的长为多少米． 【变式训练】（25-26八年级下·河北沧州·期末）某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米（米）的点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米（米）到达点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米； 则旗杆的高度为（     ） A．12米 B．12.6米 C．13米 D．13.6米 题型四 求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）一架长的梯子靠在墙壁上，梯子的底部离墙，如果梯子的顶部滑下，梯子的底部向外滑出多远？ 【变式训练】（25-26八年级下·江西南昌·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度； (2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 题型五 求小鸟飞行距离(勾股定股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·北京·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，问小鸟至少飞行_______米． 题型六 求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，由于大风，山坡上的树甲从点处被拦腰折断，其树顶端恰好落在树乙的根部处．已知树甲的部分主干水平线，树乙垂直水平线，经测量，树甲的根部与点的距离米，两棵树的根部距离米，两棵树的水平距离为12米，请根据以上数据，求树甲折断前的高度． 【变式训练】（25-26八年级下·北京大兴·期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何．意思是：一根竹子高1丈（1丈尺），折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，求折断处离地面的高度是多少？若设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为________． 题型七 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要 ； (2)如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 【变式训练】（25-26八年级下·北京·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，求水池的深度（1丈等于10尺）． 题型八 解决航海问题(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在海平面上，为灯塔，、为两个港口．其中港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里．港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里．一艘轮船从港口沿直线向港口运输货物，航行的平均速度为每小时海里． (1)求港口到港口的直线距离； (2)为保障航行的安全，灯塔将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为海里，在轮船从港口向港口航行的过程中，接收安全信号的时长不低于小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标准?请说明理由． 【变式训练】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，点是一港口，渔船从出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船同时从出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔船的距离为（     ）． A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 题型九 求河宽(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·河南商丘·期中）我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 题型十 求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·广东惠州·期末）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 【变式训练】（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 题型十一 判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·四川凉山·期末）如图，有一辆卡车沿限速的路段由点向点行驶，，在该路段附近有一栋居民楼，与、两点的距离分别为、，卡车行驶过程中周围以内为受噪声影响区域． (1)求居民楼到的距离． (2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为，请问卡车是否超速行驶？并说明理由． 【变式训练】（25-26八年级下·重庆南川·期末）如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 题型十二 判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·湖北恩施·期中）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【变式训练】（25-26八年级下·西藏·期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一个台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一处海港，且点C与A、B两点的距离分别为、，，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离． (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由． 题型十三 选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，某地一条公路旁有两个居民点，它们各自到公路的垂直距离分别为，公路上的两地相距．现准备在公路上修建一所医院E，因两地居民需求基本一致，考虑选择合适的地点建造，使得两地到医院的距离相等．试在图上确定医院E的建造位置，并求出该医院离A地的距离． 【变式训练】（25-26八年级下·北京密云·期末）如图，在东西走向的和平街上有两个相距的快递投放点、，快递投放点的正北方向有一小区，小区到快递投放点的距离为． (1)求小区到快递投放点的距离． (2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点，新的投放点到小区与快递投放点的距离相等，求快递投放点、之间的距离． 题型十四 求最短路径(勾股定理的应用) 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在长、宽、高的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点G处．试帮这只蚂蚁设计一条最佳路线，使其爬行的路程最短． 【变式训练】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高为4，是上底的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到，则爬行的最短距离是________． 题型十五 勾股定理逆定理的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级下·河北张家口·期末）图1是露营时用的天幕帐篷，搭天幕帐篷时，用天幕杆作为支撑，在点A处用绳子向地面固定，地面上的固定点为C，如图2所示，其中米，米，米（绳子始终处于紧绷状态，图中所有点都在同一平面内）． (1)通过计算判断此时是否与垂直； (2)由于风力增大，为了更稳固地固定帐篷，在点A处又增加一条绳子，与地面的固定点为点D（点D在的延长线上）．若米，求的长度． 【变式训练】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口三个半小时后分别位于点Q，R处，且相距70海里． (1)试判断的形状；并说明理由 (2)如果“远航”号沿北偏东方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？ 【基础夯实】 1．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，一个圆柱形食品盒高为10cm，底面圆的周长为12cm，点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，那么蚂蚁需要爬行的最短路程是（     ） A．13cm B． C．8cm D． 2．（25-26八年级下·吉林·期末）《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题目大意是：“如图，一根竹子高1丈（1丈尺），在点A处折断后竹子顶端点B触地，测得点B离竹子底端点C距离为3尺（即尺），问折断处离地面高为多少尺？”．设折断处离地面高为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·广东江门·期末）公园里一根长方体石柱如图所示，若一只蚂蚁以的速度从点爬到点，最快需要多长时间（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在一棵树离地面10米高的处有两只猴子，在离树底20米的池塘边的处有水果．为了吃水果，一只猴子爬下树跑到处，另一只爬到树顶后直接跳到处（路径以直线计算），如果两只猴子所经过的路程相等，那么这棵树高为_________米． 5．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，，，，点D在上，将 沿直线翻折后，点的对称点恰好落在上，则线段的长为______． 6．（26-27八年级上·浙江金华·开学考试）如图，的三边分别为，将沿折叠，使落在上，折痕的长为___________． 7．（24-25八年级下·重庆·阶段检测）如图，圆柱形杯子的高为，底面周长为，在杯内壁（杯子的厚度忽略不计）离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为_____________．（假设蜂蜜不会下滑） 8．（26-27八年级上·广东深圳·开学考试）综合探究： “在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”． 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是________； (2)若的三边的长分别为、、，请你利用构图法在图2中，画出符合题意的，并写出它的面积________． (3)已知，均为正实数，且，求的最小值． 小明同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长，通过分析，小明想到了构图法解决此问题，于是构造出图3，将问题转化为求线段的长，如图，，，，，，，则、的长分别表示为，．由于，当、、共线时，取等号，所以只要求出的长，就可以解决问题．请在图3中，求出的长，并说明理由．所以的最小值是________． (4)拓展应用：求代数式：（）的最小值． 9．（26-27八年级上·辽宁沈阳·开学考试）按要求作图 (1)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点，，均在小正方形的顶点上． ①在图中画出与关于直线成轴对称的； ②在直线上找一点，使得的周长最小； ③的面积为________ (2)如图，画出一个面积为的正方形． 10．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上． (1)画出，使与关于直线对称； (2)在直线上确定一点，使到、的距离之和最小，最小值为______，并在图中标出点（保留作图痕迹）； 【培优拔高】 1．（2026·河南·模拟预测）如图，正方形中，点P，Q分别为，上一个动点，将正方形沿折叠，点的对应点始终落在上，已知，当点为中点时，的长为（     ）    A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，在长方形中，，在上取一点，连接，，将沿翻折，使点落在点处，线段交于点，将沿翻折，使点的对应点落在线段上．若点恰好为线段的中点，则线段的值为（    ） A．22 B． C． D． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，三棱柱每个侧面都是长方形，其高为，底面为直角三角形，其直角边长分别为，，围绕三棱柱的侧面，从顶点A到顶点镶有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度至少为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·广东阳江·期末）如图，某市某海鲜配送站有一个长方体保温箱，长米，宽米，高米．工作人员要从箱底的点沿箱体表面，拉一根保温软管到箱顶的点，用来输送冷气．则这根软管的最短长度是________米． 5．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，河流2汇入河流1，已知两条河流的宽度都为4米，且相交所形成锐角为，在交汇处的左侧，、两地被两条河流隔开，经测量，地到河岸的距离米，地到河岸的距离米，且米，现规划在两条河上分别造一座桥，使得从地到地的路径最短，那么最短路径约为_________米．（河流1与河流2的两岸都是分别平行的，且两桥均与河岸垂直，取） 6．（25-26八年级下·新疆吐鲁番·期末）如图，在一张矩形纸板上放着一根长方体木块．已知，，该木块的长与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达点需要爬行的最短路程是________． 7．（2026·北京顺义·二模）如图所示的网格是正方形网格，则_______°（点，，是网格线交点）． 8．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．如果用一根细线从顶点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达顶点B，那么所用细线最短需要多少厘米？如果从顶点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达顶点B，那么所用细线最短又需要多少厘米？绕3圈呢？绕n圈呢？（保留根号） 9．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义：如果平面内一点到三角形三个顶点的距离中，最长距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的“和谐点”．例如：平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，如图1，当最大时，若，则点就是的“和谐点”． (1)如图2，为等边三角形，过点作的垂线，点在该垂线上，以为边在其右侧作等边，连接，证明点是的“和谐点”． (2)如图3，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若格点是的“和谐点”，请直接写出的长． 10．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，点、是位于笔直河道两侧的两个工厂，工厂到河道的距离为，工厂到河道的距离为，是垂直于的地下管道，且交的延长线于点，经测量，，现准备在河边某处修一个污水处理厂，为使点到工厂、之间的距离之和最小，点需在线段上，求此时点到工厂和工厂的距离之和．（污水处理厂、工厂的大小和河道、地下管道的宽度均忽略不计） 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null