专题25.3 实际问题与一元二次方程『重点难点同步培优讲义』（导图知识卡片+知识梳理+11个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共58题）-2026-2027学年人教版数学九年级上册同步高效培优精讲义

专题25.3 实际问题与一元二次方程『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+11个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共58题） 【人教版数学新教材•九年级上册（解析版）】 同学你好，本套讲义针对2026年人教版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 列一元二次方程解应用题 2 知识点二 常见相关问题的数量关系及表示方法 3 题型讲练 4 题型一 传播问题(一元二次方程的应用) 4 题型二 增长率问题(一元二次方程的应用） 5 题型三 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 7 题型四 数字问题(一元二次方程的应用) 8 题型五 营销问题(一元二次方程的应用) 10 题型六 动态几何问题(一元二次方程的应用) 12 题型七 工程问题(一元二次方程的应用) 14 题型八 行程问题(一元二次方程的应用) 17 题型九 图表信息题(一元二次方程的应用) 19 题型十 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 20 题型十一 其他问题(一元二次方程的应用) 21 中考真题演练 24 难度分层训练 33 【基础夯实】 33 【培优拔高】 38 知识点一 列一元二次方程解应用题 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 要点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 知识点二 常见相关问题的数量关系及表示方法 题型1：增长率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 题型2：面积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 题型3：数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 题型4：利润（利息）问题 利息问题 (1)概念： 　　本金：顾客存入银行的钱叫本金. 　　利息：银行付给顾客的酬金叫利息. 　　本息和：本金和利息的和叫本息和. 　　期数：存入银行的时间叫期数. 　　利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式: 　　利息=本金×利率×期数 　　利息税=利息×税率 　　本金×(1+利率×期数)=本息和 　　本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 利润(销售)问题 　　利润(销售)问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数 　　 题型5：比赛统计问题 比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ． 题型6：传播问题 传播问题： ，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数． 题型一 传播问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患流感，若每轮传染中，平均一人传染人，根据题意，可列方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列出方程即可． 【详解】解：∵初始有人患流感，每轮平均人传染人， ∴第一轮传染后总患病人数为， ∵第二轮中每名患者传染人， ∴第二轮新增患病人数为，两轮后总患病人数为， ∵两轮后共有人患流感， ∴可列方程． 【变式训练1】（25-26八年级下·山东东营·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 【答案】9 【分析】设每个支干长出x个小分支，主干为1个，支干为个，小分支为个，根据总数是91列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴每个支干长出9个小分支． 【变式训练2】（25-26八年级下·安徽淮北·期中）经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 【答案】52人 【分析】设每轮传染中平均每人传染人，根据题意列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染人，根据题意得， 解得（舍去）， 第一轮传染后患流感的人数共有（人）， 答：第一轮传染后患流感的人数共有52人． 题型二 增长率问题(一元二次方程的应用） 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）某银行经过两次降息，使一年期存款的年利率由降至，平均每次降息的百分率是多少（结果写成的形式，其中a保留小数点后两位）？ 【答案】平均每次降息的百分率约为 【分析】假设出未知数，根据题意列出方程，然后求解． 【详解】解：设平均每次降息的百分率是，由题意得， ， 解得，（舍去）， ∴， ∴平均每次降息的百分率约为． 【变式训练1】（26-27九年级上·全国·课后作业）青山村所种水稻某年平均每公顷产，两年后平均每公顷产．求这两年水稻每公顷产量的年平均增长率（结果写成的形式，其中a保留小数点后两位）． 【答案】 这两年水稻每公顷产量的年平均增长率约为. 【分析】设年平均增长率为，结合初始产量与两年后产量的等量关系列一元二次方程求解． 【详解】解：设这两年水稻每公顷产量的年平均增长率为， 根据题意，得， 整理得， 解得，， ∵年平均增长率为正数， ∴不符合题意，舍去， ∴年平均增长率为， 答：这两年水稻每公顷产量的年平均增长率约为． 【变式训练2】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定第一个月到第三个月的增长次数为，结合月平均增长率列方程． 【详解】解：∵第一个月新建个充电桩，月平均增长率为， ∴第二个月新建充电桩个数为， ∴第三个月新建充电桩个数为， ∵第三个月新建个充电桩， ∴可列方程为． 题型三 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，把小圆形场地的半径增加，得到大圆形场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比为．求小圆形场地的半径． 【答案】小圆形场地的半径为． 【详解】解：设小圆半径为，则大圆半径为． 根据题意得， 解得（舍去），， 答：小圆形场地的半径为． 【变式训练1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，矩形的两条邻边，，上是否存在点，使得为直角？ 【答案】存在点，使得为直角，此时或 【分析】在和中，利用勾股定理分别表示出和，再根据列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 设，则， 在中，， 在中，， 若为直角，则有， ∴， 整理得， 解得或， ∵，， ∴存在点，使得为直角，此时或． 【变式训练2】（26-27九年级上·河南·阶段检测）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位通过平移可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 题型四 数字问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）一个两位数，十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换后得到的两位数的平方，所得数值比原来的两位数大138，则原来的两位数为_______． 【答案】31 【分析】设原来两位数的个位数字为，根据数位表示法表示出原两位数和交换后的新两位数，根据题意给出的等量关系列一元二次方程，结合数字的性质舍去不合理的解即可得到结果． 【详解】解：设原来两位数的个位数字为，则十位数字为， 原来的两位数为，交换个位和十位后的新两位数为， 根据题意可得， 解得（舍去），， ， 十位数字为， 原来的两位数为． 【变式训练1】（26-27九年级上·全国·课后作业）（1）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是_______； （2）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，则这三个数分别是___________． 【答案】 98 8，9，10或 【分析】（1）设个位数字为x，则得十位数字为，根据个位数字与十位数字的乘积等于72，列出一元二次方程，求解即可； （2）设三个连续整数里中间的整数为x，则可表示出两边的整数，列出方程即可求解． 【详解】解：（1）设个位数字为x，则得十位数字为， 由题意得， 整理得， 解得（舍去）， 则十位数字为，所求的两位数为98； （2）设三个连续整数里中间的整数为x，则较小的整数为，较大的整数为， 由题意得， 整理得， 解得， 所以三个连续整数分别为8，9，10或． 【变式训练2】（25-26八年级下·安徽亳州·期中）在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝．欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世时的年龄为（    ） A．36岁 B．38岁 C．40岁 D．42岁 【答案】A 【分析】根据诗句给出的数量关系找到等量关系，列一元二次方程求解，再结合“而立之年督东吴”的条件对根进行取舍即可得到答案． 【详解】解：设这位风流人物去世年龄的十位数字为，则个位数字为，年龄可表示为． ∵个位平方与寿符， ∴可得方程 整理得， 解得，． 又∵而立之年督东吴，说明年龄超过30岁，时年龄为25岁，不符合题意舍去， ∴，个位数字为，年龄为岁． 题型五 营销问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（2026九年级上·全国·专题练习）某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个．调查表明：这种台灯的售价每上涨元，其月销售量就减少个． 要实现每月元的销售利润目标，且售价不能低于元/个． (1)求这种台灯的定价； (2)商场应进货多少个？ 【答案】(1) 元 (2) 个 【分析】（1）设每个台灯涨价元，由“总利润单件商品利润销售量”列方程即可求出台灯的定价，注意题目的限制条件； （2）将台灯定价代入销售量代数式求出进货数量． 【详解】（1）解：设每个台灯涨价元，则售价为元，销量为 个，每个利润为元， 根据题意，得 或 当 时，售价为，不合题意； 当 时，售价为，符合题意． 台灯的定价为元． （2）解：当台灯的定价为元时，月销售量为（个）， 商场应进货个． 【变式训练1】（2026九年级上·全国·专题练习）某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个．售价每上涨元，月销售量就减少个．要实现每月元的销售利润，且售价不能低于元，则台灯的定价应为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元或元 【答案】C 【分析】根据“总利润 =单件利润 销售量”建立方程，求解后根据题目限制条件对根进行取舍． 【详解】解：由题意，设台灯的定价应为元（）． 销售单价上涨了元． 因为售价每上涨元，月销售量就减少个， 所以月销售量减少了个， 月销售量为：， 要实现每月元的销售利润， 可得， 整理方程得，， 因式分解得：， 解得：， ． ，不符合题意，舍去． 因此，台灯的定价应为元． 【变式训练2】（2026九年级上·全国·专题练习）某商场一款品牌服装平均每天可以售出10件，每件盈利40元．商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：每件服装每降价1元，平均每天就可以多售出2件．如果需要盈利700元，同时尽可能让利于顾客，那么每件降价多少元？ 【答案】 元 【分析】设每件降价元，则每件盈利元，每天售出件，根据总利润每件的利润销售量建立方程求解即可． 【详解】解：设每件降价元，则每件盈利元，每天售出件， 由题意得 整理得， 解得或， ∵ 尽可能让利于顾客， ∴， 答：每件降价元． 题型六 动态几何问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 【答案】(1)； (2)或4时，的面积为 【分析】（1）根据点P、Q运动的速度，表示出、即可； （2）利用两点运动的速度表示出的长，进而表示出的面积；把代入，解方程可得结论． 【详解】（1）解：∵，点从点出发，以的速度沿运动， ∴； ∵点从点出发，以的速度沿运动， ∴； （2）解：由题意得：，，， ∴； 由题意得：， 解得：或， ∴或4时，的面积为． 【变式训练1】（25-26八年级下·安徽亳州·期中）在中，，，，点P，Q都从点C出发，点P以的速度沿向A运动，点Q从点C出发，以的速度沿向B运动，两点同时出发，设运动时间为 ． (1)当时，求长． (2)当的面积为时，求t的值． (3)当时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，，，根据勾股定理求解即可； （2）根据题意，，由列方程求解即可； （3）根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， ， ； （2）解：，，， ，， ， ； （3）解：由勾股定理，可得， 解得或， ， ． 【变式训练2】（25-26八年级下·安徽淮南·期中）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】设运动时间为，根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为，其中，则，, ， 的面积为， ， 解得：或， 即当的面积为时，运动时间为或． 题型七 工程问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米． (1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ (2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值． 【答案】(1)300 (2)5 【分析】（1）设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解； （2）由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，根据题意可得小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意得： ， 解得：， 答：小型设备的使用时间为300小时； （2）解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时， 根据题意得：小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）． 即m的值为5． 【变式训练1】（25-26九年级上·重庆渝北·期末）列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 【答案】(1)360个；240个 (2)80 【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的实际应用： （1）设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个，根据题意列分式方程，解方程即可． （2）先根据（1）中结论求出工人总数，再根据该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，列一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个． 根据题意，得． 化为整式方程，得， 解方程，得． 经检验，是原方程的解． 则． 答：每名工人每日加工甲种腊肉礼盒360个，每名工人每日加工乙种腊肉礼盒240个． （2）解：工人总数为：（人）． 根据题意，得． 整理得． 解得，（舍去）． 答：的值为80． 【变式训练2】（2023·辽宁鞍山·一模）某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【答案】6 【分析】本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，正确的找出等量关系列出方程是解题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，在本题中“开工后每天比原计划多栽2棵”和“提前4天完成任务”，就是两个相等关系．根据题目所要解决的问题，选择第二个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 【详解】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需的天数为，实际每天栽棵树棵，实际完成任务所需的天数为， 依题意列方程得： ， 整理得： 解方程得：（舍去） 故原计划每天栽6棵桂花树． 题型八 行程问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（2026·甘肃兰州·中考真题）一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将代入，得， 两边同时乘以，得， 移项，得， 开平方，得， ∵， ∴，解得． 【变式训练1】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．根据题意可得，令得到关于t的方程，求出t的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， 当时，， 整理得：， 解得：（舍去）， 此时， 即此时飞机的滑行速度． 故选：C 【变式训练2】（24-25八年级下·上海·期中）是一条东西方向的道路，是一条南北方向的道路，这两条道路相交于点．小明和小丽分别从十字路口点处同时出发，小丽沿着以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中点处，古树与、的距离分别为3千米和2千米．问离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等． 【答案】小时 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意，假设小明看作点，小丽看作点，再过分别作、的垂线，两人与这棵古树的距离恰好相等，也就是，在直角三角形中利用勾股定理列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设两人离开路口时间为，小明看作点，小丽看作点， 千米，千米 两人与这棵古树的距离恰好相等，则 根据题意处与、的距离分别为3千米和2千米 如图，过点作 ， 在中，，即 在中，，即 解得（舍去）， 答：离开路口后经过小时，两人与这棵古树的距离恰好相等． 题型九 图表信息题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（23-24九年级上·全国·单元测试）一名跳水运动员进行跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员起跳后的运动时间和运动员距离水面的高度满足关系：，那么他最多有多长时间完成规定动作？(结果保留根号) 【答案】 【分析】由题意可得，把函数值h=5直接代入关系式即可求得t的值，注意负值舍去． 【详解】解：由题意可知，将h=5代入关系式中， 得到：， 整理即：． 解得：，(负值舍去)， 答：运动员完成动作的时间最多不超过秒． 【变式训练1】（24-25九年级上·广东中山·阶段检测）如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    【答案】最小数为8，最大数为18 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为， ∴， 解得（舍去）． 故最小数为8，最大数为18． 【变式训练2】（26-27九年级上·全国·课后作业）某电池厂2026年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：从2月份到4月份，该厂家电池产量的月平均增长率为，从折线统计图获取2月份的产量是180万节，4月份的产量是461万节， 依题意得：． 题型十 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）个人参加聚会，每两人都握次手，所有人共握手次，共有多少人？ 【答案】共有人 【分析】先推导总握手次数与人数的关系式，再结合总握手次列方程求解． 【详解】解：根据题意可知，每个人需要跟其余个人握手，且每一次握手会被重复计算次， 可得，即， 解得或（不合题意，舍去）， 故共有人． 【变式训练1】（23-24九年级上·广东汕头·期中）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据x个队参赛，每队与其余个队各赛1场，每两队仅赛1场，总场数为36，列出方程即可． 【详解】解：设有x个队参赛，根据题意可列方程为： ， 整理得：． 【变式训练2】（26-27九年级上·全国·课后作业）为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都要比赛一场），计划安排28场比赛，则参赛的足球队个数为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】解：设参赛的足球队个数为个， 由题意得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 题型十一 其他问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·单元复习）定义：平面直角坐标系中，点、若满足，其中为常数，且，则称点与点互为“阶点”，例如点与点互为“阶点”． (1)若抛物线的顶点与点互为“阶点”，求的值； (2)对于动点（），若抛物线上只存在一个点与点互为“阶点”，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把抛物线转化成顶点式，得到顶点坐标，根据“阶点”定义，代入两点坐标得到方程，解一元一次方程即可求出． （2）设与点互为“阶点”的这一点为，根据“阶点”定义，整理得到关于的一元二次方程，根据“只存在一个点”等价于方程只有个实数解，即判别式，解关于的一元二次方程，得到的值． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为，                 由题意，得：， 解得：； （2）解：设与点互为“阶点”的这一点为， 根据“阶点”的定义可得：， 整理得：，                                 ∵只存在一个点与点互为“阶点”， ∴， 解得或． 【变式训练1】（25-26八年级下·浙江台州·期末）芯片是我国“十五五”核心攻关项目，场效应晶体管（管）是基本单元．管饱和区工作电流（单位：）由栅源电压（单位：）调节控制，满足公式：，其中和为常数，．已知某S型管满足，某R型管满足． (1)当时， A，当时， V． (2)只要控制管电流相同，不同型号的管就可以串联一起同时在饱和区工作，现将该和两型号管串联在饱和区工作，若两款管的安全电压都为， ①将型管调整为，通过计算判断该型管是否安全工作； ②在两款管都正常串联在饱和区工作的前提下，判断和的关系，并说明理由． 【答案】(1)1；5 (2)①R型管安全工作， 当S型时，， S和R两型号管电流相同， ． 由公式， 可得， 解得，（舍去）． ∵两款MOS管的安全电压都为， ∴R型MOS管在安全电压范围内，即安全工作． ②，理由如下： ∵S和R两型号管电流相同， ，即． ∵两款MOS管的安全电压都为， ，，即，． 化简可得， 可得． 【分析】（1）将已知数据代入题干公式即可解答； （2）①计算电流，根据和两型号管电流相同，代入相关公式，解方程即可解答； ②根据题意可得，化简可得答案． 【详解】（1）解：当时，A； 当时，可得， 解得（负数舍去）， 则当时，V； 【变式训练2】（25-26八年级下·浙江台州·期末）小健为了科学健身，依次采用慢跑、快跑、核心力量训练的健身模式，每次健身总时长60分钟．慢跑平均每分钟消耗热量6千卡，快跑平均每分钟消耗热量12千卡，核心力量训练时，第一分钟消耗千卡，后续每分钟比前一分钟多消耗千卡． (1)小健在某次健身时，其中核心力量训练时长为t分钟（t为整数），则最后一分钟消耗的热量是__________（用含t的代数式表示）千卡，t分钟总消耗热量是__________（用含t的代数式表示）千卡． 提示：若一列数，，…，，满足，则． (2)小健在某次健身中，慢跑时长为快跑时长的3倍，他在本次训练中，总消耗热量是否有可能达到380千卡？若能，请写出慢跑、快跑及核心力量训练的时长，若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)总消耗热量不可能达到380千卡 【分析】（1）根据题意，列出代数式即可； （2）设快跑时长为x分钟，则慢跑时长为分钟，核心力量训练时长为t分钟，则总消耗热量为千卡，根据题意，可得，令总消耗热量为380千卡，列出一元二次方程，根据解的情况，即可求解． 【详解】（1）解：由题可知，第t分钟消耗的热量是：千卡； t分钟总消耗热量是：千卡； （2）解：总消耗热量不可能达到380千卡，理由如下： 设快跑时长为x分钟，则慢跑时长为分钟，核心力量训练时长为t分钟，（其中x、t均为整数）， 则总消耗热量为：千卡， 根据题意可列方程，，则， 则总消耗热量为：千卡， 当总消耗热量为380千卡时，，整理可得，， 则，即方程没有实数根， 总消耗热量不可能达到380千卡． 【真题演练1】（2025·天津宁河·中考真题）如图，正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿边向终点运动，动点从点同时出发，以的速度沿边，向终点运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有以下结论： ①当时，； ②当时，的最大面积是； ③的面积可以是．其中，正确结论的个数是（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】对于①，分别计算出和即可；对于②，表示出和，用正方形的面积减去三个直角三角形的面积求出，，由二次函数的性质可得，当时，取得最大值；分段讨论，当时，，解得，当时，，解得． 【详解】解：对于①：∵， ∴点的运动路程为，， ∵， ∴点在边上， ∴， ∴，故①正确； 对于②：当时，点在边上，如图， 由题意可知，，， ∴，， ∴， ， ， ， ， ∵该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值，故②错误； 对于③：当时，由②可知，， ∴， 整理，得， 解得或（与题设矛盾，舍去）； 当时，如图， 根据题意，， ∴， ∴， 解得，符合题意， ∴当或时，的面积是，故③正确； 综上，正确的结论有2个． 【真题演练2】（2025·河北邯郸·中考真题）如图，，，，，在边上取点P，使得与相似，这样的P点共有2个，则m满足的条件是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．分、两种情况利用相似三角形的性质分别列比例得到关于的一元二次方程，再利用根的判别式求解即可． 【详解】解：设，则 情形①， 则，即 解得：； 情形②， ∴，即 ∴， ∴， ∵与相似，这样的P点共有2个， 当①成立时，则②中只有唯一的一个解， 即，解得： 当②有两个解时（即情形②有两个点），则①中的解与②中的一个解相同， 即是的解， ∴ 解得：（负值舍去） 综上所述，或， 故选：A． 【真题演练3】（2025·重庆巴南·中考真题）如果一个四位自然数，满足右边的数字总比左边的数字大，且满足百位数字与十位数字之和等于个位数字与千位数字之和，那么称这个四位数为“登高数”．例如：，满足，且，所以2345是“登高数”；，其中，所以2355不是“登高数”．则最大的四位“登高数”是__________；对于一个“登高数”，先交换其千位和个位数字，再交换十位和百位得到新数，规定：．当为整数时，则满足条件的的最大值与最小值的差为__________． 【答案】 6789 2178 【分析】根据“登高数”的定义可直接求得最大的四位“登高数”，再根据数位表示法表示出和，化简后根据为整数得到的值，再结合和列举所有符合条件的，即可求出最大值与最小值的差. 【详解】解：根据“登高数”定义，要得到最大的四位“登高数”，需满足，且， 当千位数，则，，，不存在符合条件的， 因此最大为，此时，取，，满足，且， 因此最大的四位“登高数”是； 设“登高数”，则， ∴ ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵为整数， ∴是的倍数， ， ∴， ∴，即， ∵，， ∴或或， 当时，符合条件的为； 当时，符合条件的为； 当时，符合条件的为； 当时，不存在符合条件的； ∴满足条件的中，最小值为，最大值为，差值为. 【真题演练4】（2025·安徽合肥·中考真题）如图，在中，，，，，垂足为．甲虫由点以的速度沿向点爬行，同时乙虫由点以的速度沿向点爬行，当乙虫到达目的地点时，甲乙两虫停止爬行． （1）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形． （2）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形的面积等于． 【答案】 5 或 7 或 6+ 【分析】（1）设运动x秒时，甲虫所在位置为点P，乙虫所在位置为点Q，根据题意，得，，根据题意，分和时，两种情况求解即可． （2）利用分类思想，解方程计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 设运动x秒时，甲虫所在位置为点P，乙虫所在位置为点Q， 根据题意，得，， 当即时，点P在线段上，连接， 此时 ， ∵甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形， ∴， ∴， 解得； 当即时，此时点P在线段上， ∴ ， ∵甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形， ∴， ∴， 解得；不满足范围，舍去， 综上所述，在秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形． （2）设运动x秒时，甲虫所在位置为点P，乙虫所在位置为点Q，根据题意，得，， 当点P在上时，此时 ， 根据题意，得， 即 ， 解得，； 当点P在上时，此时 ， 根据题意，得， 即 ， 整理，得， 解得， 故，（时间不能为负，舍去）； 此时， 综上所述，在5秒或7秒或秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形的面积等于． 【真题演练5】（2025·浙江宁波·中考真题）如图，在中，，，．有一动点P从B点出发，在射线方向移动，速度是．在P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发，在射线方向移动，速度是．若设P出发后时间为t秒． (1)用含t的代数式分别表示线段的长度，并写出相应的t的取值范围． (2)连接，求使面积为时相应的t的值． (3)问是否存在这样的时间t，使平分或者的外角？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)当时， 的面积为 (3)存在，或 【分析】（1）根据题意得出时，，当时，，当时，，当时，，即可求解； （2）分两种情况分析：当P在线段 上时，当P在延长线上时，作出相应图形，然后利用面积建立方程求解即可； （3）分两种情况分析：当平分时，当平分的外角时，利用角平分线的性质及全等三角形的判定和性质、勾股定理解三角形求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：∵， 动点P从B点出发，在射线方向移动，速度是， ∴， ∴时，， 当时，， ∴ ∵P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发， ∴当时，， 当时，， ∴； （2）根据题意得：点 P在线段上时，;当点P在延长线上时，， 的面积 ， ①当P在线段 上时： ， 整理得： ， ， ∴方程无实数根； ②当P在延长线上时： ， 整理得：， 解得： ∵此时P在延长线上， ∴,即 舍去，符合题意； 答：当时， 的面积为； （3）存在， 当平分时，过点P作 于点D，如图所示： ∵平分 ， 在 中，， ， ∵， ， ， ∵， ∴， ∵ ∴， 解得：，符合题意； 当平分的外角时，过点P作 于点D，如图所示： 同理得， ，， ， ∵ ∴， 解得：，符合题意； 综上可得：或． 【基础夯实】 1．（26-27九年级上·北京·期中）某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3000万元，预计2024年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据增长率问题的公式列式即可．增长率问题的公式：，其中a是增长前的量，b是增长后的量，x是增长率，n是增长的次数． 【详解】解：教育经费的年平均增长率为x， 根据题意，得：． 2．（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这项实验，若设每人每次能教会名同学，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以每节课后会做总人数为下一节课的传播基数，累加各阶段人数列方程． 【详解】解：∵初始会做人数为1，每人每节课教会名同学． ∴第一节课后总会做人数为． ∴第二节课新增会做人数为． ∵总会做人数为49． ∴可列方程． 3．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如：的方程的一个正数解，方法为：如图1，将四个长为x，宽为的长方形纸片（面积均为14）拼成一个大正方形，得到大正方形的面积为：，边长，可依据求得是方程的一个正数解．小明按此方法解关于x的方程时，构造出类似的图形，如图2，已知正方形的面积为24，小正方形的面积为8，则方程的正数解为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出，，求出，得出大正方形的面积为，即可得出边长为，根据，求出x的值即可． 【详解】解：∵关于x的方程，则，， ∴，， ∴，（负值舍去）， 即， 则， ∴原方程为：， ∴大正方形的面积为， ∴边长为， ∴， ∴． 4．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）某数学小组共有若干人，元旦时每个人各送一张自己制作的贺卡给组内其他人，全组一共送了72张贺卡，则这个数学小组共有__________人． 【答案】 【分析】设小组人数为，每个人给除自身外的成员送贺卡，总贺卡数等于人数乘以每人送出的贺卡数，列一元二次方程求解后舍去不合题意的负解即可． 【详解】解：设这个数学小组共有人， ∵每个人需要给组内除自己以外的人送贺卡， ∴总贺卡数可表示为， 据此列方程，得 ， 整理，得 ， 解得，． ∵人数不能为负数， ∴舍去， 即这个数学小组共有人． 5．（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）新世纪百货某款童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价2元，那么平均每天就可多售出5件．要想平均每天销售这种童装的盈利为1400元，则每件童装应降价________元． 【答案】12或20 【分析】设每件童装降价元，分别表示出降价后每件的盈利和每天的总销售量，根据总盈利等于每件盈利乘以销售量列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设每件童装应降价元， ∵ 降价后每件盈利为元，每降价元多售出件， 因此降价元后每天多售出件，总销售量为件， 根据总盈利为元，列方程得：， 解得，，两个解均符合实际意义， 因此每件童装应降价12元或20元． 6．（2026九年级上·全国·专题练习）一条直线上有n个点，共可以构成15条线段，则________． 【答案】 【分析】根据题意，得，解方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 整理，得， 解得， 点的个数不能为负数， 故舍去， 故． 7．（2026九年级上·全国·专题练习）某商品2022年每件进价为125元，2024年每件进价为80元，则这种商品每件进价的年平均下降率为________． 【答案】 【分析】设这种商品每件进价的年平均下降率为x，根据商品2022年每件的进价为125元，经过两次降价后，2024年每件的进价为80元列出方程求解即可． 【详解】解：设这种商品每件进价的年平均下降率为x， ， 解得或（不合题意，舍去）． ∴这种商品每件进价的年平均下降率为． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）2022年我国快递业务量是亿件，2024年增至亿件，这两年的年平均增长率是多少（结果写成的形式，其中a保留小数点后一位）？ 【答案】 这两年的年平均增长率约为 【分析】设年平均增长率为，根据2022年快递业务量乘的平方等于2024年快递业务量列方程求解 【详解】解：设这两年的年平均增长率为， 根据题意，得 整理得 ∵年平均增长率为正数， ∴ 解得 答：这两年的年平均增长率约为 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？ 【答案】 应邀请6支球队参加比赛. 【详解】解：设邀请支球队参加比赛， 依题意得， ， 或(不合题意，舍去)． 答：应邀请6支球队参加比赛． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）图是南宋数学家杨辉研究的垛积问题中“圭垛”的示意图，其问题如下：今有圭垛一堆．上一束，底宽八束．问共几束． (1)你能解决这个问题吗？ (2)如果将这个“圭垛”继续堆积下去，即第n行有n束…你能发现从上往下数前多少行的束数的和是300吗？（提示：．） 【答案】(1)总共36束 (2)从上往下数前24行的束数的和是300 【分析】（1）列式计算解决问题即可； （2）由题意得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 答：总共36束； （2）解：由题意得：， 解得：（不合题意，舍去），， 答：从上往下数前24行的束数的和是300． 【培优拔高】 1．（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）把一张矩形纸片按照如图所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图或所示的正方形．若矩形纸片的长为，宽为，四边形的面积等于四边形面积的倍，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先表示出四边形的面积和四边形面积，然后根据四边形的面积等于四边形面积的倍列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，四边形的面积， 四边形面积， 四边形的面积等于四边形面积的倍， ， 整理得 设， ， 解得或（舍去）， ． 2．（2026·河南洛阳·三模）如图，在平行四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿运动．设点P的运动时间为t，在此运动过程中，当时，t的值为（     ） A．1.5 B．3 C．1.5或3 D．3或4 【答案】C 【分析】由题意易得，，，，则有，，由题意可分当时，当时，且满足，然后分类画出图形进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，，， ∴，， 由题意可分： 当时，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 此时，解得：； 当时，且满足，分别过点A、P作， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理可得， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述：t的值为1.5或3． 3．（2026·天津南开·三模）如图，在边长为的正方形中，点E在边上，且，动点P从点C出发，以的速度沿边向终点D运动；动点Q从点D同时出发，以的速度沿边，边，向终点B运动．连接和，设运动的时间为．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③只有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】分别表示出， 等线段长，根据平行线的判定判断①；根据三角形面积公式列出函数关系式，利用二次函数性质求最值判断②；分段讨论Q的位置，列方程求解判断③． 【详解】解：∵正方形边长为， ，P的速度为，Q的速度为， ∴ ，， 当时，Q在上，； 当时，Q在上，； ①如图：当时，P在上，，则 ，Q走过的路程为，此时Q在上，， ∵， ∴不垂直于，即不平行于，故①错误； ②如图：当时，Q在上，； ∵， ∴，即P在E右侧； ∴， ∴， ∵， ∴当时，的最大面积为，故②正确； ③当时，由②可得， 令，解得或（不符合题意舍去）； 当时，Q在上，的高为8，， ∴， 令，解得或． ∴满足条件的t值有，5，7，共3个，故③错误． 综上，正确的结论只有②，个数为1． 4．（26-27九年级上·北京西城·开学考试）如图，将面积为1的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为___________． 【答案】 【分析】根据无缝拼接的图形面积不变，可求出正方形的边长，再根据拼接方式找出相等的线段，设，再将其他线段表示出来，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的面积为， ∴正方形的面积为，则正方形的边长为； 如图所示， ， 正方形上方两个三角形由和组成， 下方梯形由四边形和四边形组成， ∵是等腰三角形，且， ∴， 设， 则, ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， 则． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示，线段的长为1．线段上的点C满足关系式；线段上的点D满足关系式；…．如果线段上的点E也满足上述规律，那么线段的长度等于___________． 【答案】 【分析】由题意得出线段的长度，同理得到线段的长度，据此求解即可． 【详解】解：设线段的长度为x， ∵， ∴， 解得：(负值舍去)， ∴； 同理：， 同理：． 6．（2026·江苏无锡·中考真题）在四边形中，，，，，，点在四边形内．如图1，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，，则______（填“存在”或“不存在”）点，使得；如图2，将点向右平移个单位长度，得到点（点仍在该四边形内）．，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，．若存在点，，使得，则的取值范围是____． 【答案】 存在 【分析】连接，过点作，分别交，于点，，求梯形的面积，可得三角形的面积，进而确定点的轨迹并算出点到的距离；通过分析临界情况利用梯形面积公式根据题意列方程，求解即可得出的取值范围． 【详解】解：如图，在图1中连接，过点作，分别交，于点，， ∵在四边形中，，， ∴四边形是直角梯形， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 当时， ， 在中， ， ∴点到的距离为， ∴存在点，使得， 此时点的轨迹为线段（不包括端点），且与间的距离为； 如图，在图2中考虑临界情况，当点在上的点处，点在上的点处时，设， 若，则， 解得， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 7．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）数学兴趣小组发现：一个正整数的立方可以写成若干个连续奇数的和，例如：，，，…．他们进一步研究其中连续奇数中的最小奇数的规律时又发现：，，，…． （1）如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是_______； （2）如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是，则的值为_______． 【答案】 【分析】（1）按照题中规律将写成若干个连续奇数的和即可得到答案； （2）由题中规律得到将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是，结合题中已知条件列一元二次方程求解即可． 【详解】解：（1）由题中规律可得 ， 如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是 （2）由题意可得规律为， 将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是， 则， ， 为正整数， 和是相邻的两个正整数，则由可知，． 8．如图，四边形中，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接，设运动时间为t秒（）． (1)连接　　,　　,(用含t的代数式表达)，当　　时，四边形为平行四边形； (2)将沿翻折，得到．在运动过程中，是否存在某时刻t，使四边形为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)设四边形的面积为y，求y与t的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在， (3) (4)存在， 【分析】（1）由知，从而得，根据四边形为平行四边形知，据此列出方程求解可得； （2）由沿翻折得，知，据此得时有四边形为菱形，从而列出关于t的方程，解之可得； （3）由可得，利用得到y与之间的关系式； （4）将四边形和三角形的面积表示出来，使，可得，解一元二次方程求出t的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， 解得：， ∴当时，四边形为平行四边形； （2）解：存在， 理由如下：∵将沿翻折得， ∵， ∴当时有四边形为菱形， ∴， 解得， ∴，使四边形为菱形． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； （4）解：存在， 理由如下：当时， ， ∴， 解得：， 又∵时D、M重合不能形成四边形， ∴秒时有四边形与面积相等． 9．（2026·江苏南通·模拟预测）如图：在直角坐标系中，长方形中，，，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度移动，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度运动，设点的运动时间为秒． (1)如图1，当为何值时，的面积为； (2)当是的角平分线时，求出此时点的坐标； (3)当为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）用含的式子表示三角形底与高，代入面积公式列方程，舍去负根即可求出的值； （2）利用长方形对边平行得到，结合角平分线条件推导出，得到，用表示，在中利用勾股定理列出关于的方程求解，即可得到点坐标； (3)先写出三点坐标，借助平面内两点距离公式写出、、三条边长代数式，分、、三类情况列方程求解，舍去不符合实际运动意义的根，即可得到所有符合条件的的值． 【详解】（1）解：如图，由题意得，， ， 当的面积为时， ，解得或（不合题意，舍去）， 即当时，的面积为； （2）解：如图， ∵四边形是长方形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得或， 即或， ∴此时点的坐标为或； （3）解：由题意得，，， ∴，，， 是等腰三角形，可分三种情况讨论： ①，则 ， 解得或（不合题意，舍去）； ②，则 ， 解得或； ③，则 ， 解得或（不合题意，舍去）； 综上，或或或． 10．（25-26九年级上·广东茂名·期末）如图，在矩形中，，，分别以、所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系，是边上的一个动点（不与、重合），反比例函数（＞）的图象经过点且与边交于点，连接． (1)连接，若的面积为，则________； (2)连接，与是否平行？请说明理由； (3)是否存在点，使得点关于的对称点在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)结论： 理由：连接，如图，设，则， ∴， 则，， ， ， 又， ， ， ； (3) 【分析】（1）求出，代入函数解析式即可求出答案； （2）连接，证明，则，即可证明结论； （3）假设存在点满足条件．设，，则，，，．作，垂足为；证明，则，得到，由勾股定理得，，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点E，E在边上，如图， 所以E的横坐标为4， 设, 面积为3， ， 代入，得 则； （2）略 （3）假设存在点满足条件．设，则， 则，，，． 作，垂足为； 在矩形中，， 由折叠可知，， ∴， ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴， ， 由勾股定理得，， ， 解这个方程得，（舍去），， ∴满足条件的点存在，的坐标为 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 专题25.3实际问题与一元二次方程『重点难点同步培优讲义』 (知识梳理+11个题型讲练+中考真题演练+难度分层练共58题) 【人教版数学新教材九年级上册（原卷版）】 山进义简介」 同学你好，本套讲义针对2026年人教版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲 义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度 分层练等五大部分！题日新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最 新题日，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习， 章节巩固，期中期木强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ ■山且录导航 回a 思维导图… 2 知识梳理.· 2 知识点一列一元二次方程解应用题...· ..2 知识点二常见相关问题的数量关系及表示方法.·.。 ……3 题型讲练…………… 题型一传播问题（一元二次方程的应用）... …4 题型二增长率问题（一元二次方程的应用） 题型三与图形有关的问题（一元二次方程的应用） ..5 题型四数字问题（一元二次方程的应用） 题型五营销问题（一元二次方程的应用）..· ……7 题型六动态几何问题（一元二次方程的应用）.. ..8 题型七工程问题（一元二次方程的应用）.·.. 题型八行程问题（一元二次方程的应用）.... 10 题型九图表信息题（一元二次方程的应用） 11 题型十握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） .12 题型十一其他问题（一元二次方程的应用）.。 13 中考真题演练.· 14 难度分层训练...... 16 第1页共22页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【基础夯实】 16 【培优拔高】 18 思维导图 ★1.实际问题与一元二次方程 ©4.教材典型例题提炼 中等量关系的数学型，运用 心核心思想 例1.几何问题（三边长） 一元二次方程可以解决很多问题 把实际问题中的 直角三角形三边长x,x+1,x+2,x为正整数. Q2.解应用题的一般步骤 等量关系转化为 由勾股定理：x2+(x+1=(x+2),解得x=3或x▣-1（舍去）。 元二次方程 三边长：3,4,5， ①审题：理解题意，找出已知量与未知量，明确问题 通过解方程求出 ②设未如数：合理设出未知数，用字母表示相关量 问题的解。 例2.面积问题（矩形面积） ③找等量关系：分析数量关系，列出方程。 矩形周长40m,面积96m,求长和宽. ④解方程：求出未知数的值 设矩形一边长为xm则邻边长为20一xm. ⑤检验与答题：检验结果是否符合题意，写出答案 由面积公式：x(20-)=96,解得x=12或x=8 长为12m,宽为8m. ◇3.列一元二次方程解决实际问题的常见类型 例3.传播问题 几何图形问题涉及面积。周长。边长等，利用图形公式建立等量关系 25.3 两轮传染后共有121人被传染，平均每人传染了多少人7 ·长方形：面积S■ab,周长C=2(a+b) 实际问题与 设平均每人传染了x人，由题意得1+x+x(1+)=121, 解得x=10或x=-12(舍去)，平均每人传染10人. 则2=x2+y2 元二次方程 例4.经济问题 增长津问题求增长率（成下降率）： 增长量 原来的置×100%. 甲种成本10000元/斤，年平均下降率22.5%： 乙种成本12000元/斤，年平均下降率22.5%， 传播问题传播人数=每轮每人传染的人数×轮数等建立等量关系 设甲种成本年平均下降率为工，两年后两种成本相等 列方程：10000(1-x=12000(1-x,解得x=0.225或1.775（舍去）. 套问题总份数×每份数=总数：或根据总数列方程 下降率约为22.5%. 经济问题总价=单价×数量：利润=售价一成本： 根据等量关系列方程求解。 ★6.重要公式与结论总结 ①勾最定理（直角三角形）：c2=2+b. Q5.活动探究问题提炼 ⑤传播问题（平均每人传染x人） ②矩形：面积S=ab,周长C=2(a+b), 两轮传染人数：1+x+x(1+x)=121 ax+br+c=0 正方形：面积S=2,周长C=4a. 活动1（公因式法）：若ac≠0且+b+C=0,则方程组{b+Cx+a=0有一个公共解x=1 ⑥总场数（单循环赛）：(n一1) 2+ar+b=0, 活动2（线段分：若a+b+=名+名+是则a=b= ⑦配套问题（总数关系）： 下降率■ 减少量×100%， 总份数×每份数=总数 活动3（场数问圈）：设单辐环社奏总场敏似-）=300。解得n=1土12可 原来的量 由于#为正整数，=20,即有20支球队 ·设未知数要明确。单位要统一 心解题关键 知识梳理 知识点一列一元二次方程解应用题 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系 2.解决应用题的一般步骤： 审（审题目，分清已知量、未知量、等量关系等）；设（设未知数，有时会用未知数表示相关的量）； 列（根据题目中的等量关系，列出方程）； 解（解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰）； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答（写出答案，切忌答非所问） 要点诠释：列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 第2页共22页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 三是正确求解方程并检验解的合理性， 知识点二常见相关问题的数量关系及表示方法 题型1：增长率问题 列一元二次方程解决增长（降低）率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降 低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次 (1)增长率问题： 平均增长率公式为I+x)”=b(a为原来数，×为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为a(1-x)”=b(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 题型2：面积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图 形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程， 题型3：数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千 位…，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、…，数位上的数字只能是0、 1、2、…、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数 字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数， 个位上数为a,十位上数为b,百位上数为c,则这个三位数可表示为：100c+10b+a (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x,则另两个数分别为x-1,x+1. 几个连续偶数（或奇数）中，相邻两个偶数（或奇数）相差2. 如：三个连续偶数（奇数），设中间一个数为x,则另两个数分别为x-2,x+2 题型4：利润（利息）问题 利息问题 （1)概念： 本金：顾客存入银行的钱叫本金 第3页共22页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 利息：银行付给顾客的酬金叫利息 本息和：本金和利息的和叫本息和， 期数：存入银行的时间叫期数 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率 (2)公式 利息=本金×利率×期数 利息税=利息×税率 本金×(1+利率×期数)=本息和 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和（收利息税时） 利润（销售）问题 利润（销售）问题中常用的等量关系： 利润=售价-进价（成本） 总利润=每件的利润×总件数 利润率= 价或本*10%，标价打折数=售价 利润 10 进价×1+利润率)=标价×打折数 10 题型5：比赛统计问题 比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环. 题型6：传播问题 传播问题： a(+x)”=A,a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最 终的人数， 题型进练 题型一传播问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】(26-27九年级上·陕西西安·开学考试)有一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患 流感，若每轮传染中，平均一人传染x人，根据题意，可列方程是( 第4页共22页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 A.1+x+x2=64 B.x(x+1)=64 C.(1+x)2=64 D.2x(x+1)=64 【变式训练1】(25-26八年级下·山东东营·期末)某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长 出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出一一个小分支. 【变式训练2】(25-26八年级下·安徽准北·期中)经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后， 共有169人患上流感.按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 题型二增长率问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)某银行经过两次降息，使一年期存款的年利率由1.75% 降至1.50%，平均每次降息的百分率是多少（结果写成a%的形式，其中a保留小数点后两位）？ 【变式训练1】(26-27九年级上·全国·课后作业)青山村所种水稻某年平均每公顷产15000kg,两年后 平均每公顷产18000kg.求这两年水稻每公顷产量的年平均增长率（结果写成a%的形式，其中a保留小数 点后两位)· 【变式训练2】(26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测)为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智 能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了432个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的 月平均增长率为x,根据题意，列出方程为( ) A.300(1+2x)=432 B.300(1+x2)=432 C.300(1+x)2=432 D.300(1-x)2=432 题型三与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，把小圆形场地的半径增加5m,得到大圆形场地， 大圆形场地与小圆形场地的面积比为9：4.求小圆形场地的半径 第5页共22页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【变式训练1】(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，矩形ABCD的两条邻边AD=1,CD=4,AB 上是否存在点E,使得∠DEC为直角？ 4 【变式训练2】(26-27九年级上·河南·阶段检测)如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m, 宽为22m.停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2.求车道的宽度（单位：m).设停 车场内车道的宽度为xm,根据题意所列方程为( 40米 入口 停车位 22米 个车道 宽度 出口 A.(40-2x)(22-x)=520 B.(40-x)(22-2x)=520 C.(40-x)(22-x)=520 D.(40-x)(22+x)=520 题型四数字问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业)一个两位数，十位数字比个位数字大2，把这个两位数 的个位数字和十位数字交换后得到的两位数的平方，所得数值比原来的两位数大138，则原来的两位数为 【变式训练1】(26-27九年级上·全国·课后作业)(1)一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位 数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是_一一一； 第6页共22页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 (2)三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，则这三个数分别是 【变式训练2】(25-26八年级下·安徽毫州·期中)在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发， 谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝.欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流人 物.而立之年督东吴，早逝英年两位数.十位恰小个位三，个位平方与寿符.”则这位风流人物去世时的 年龄为( A.36岁 B.38岁 C.40岁 D.42岁 题型五营销问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】(2026九年级上·全国·专题练习)某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月 能售出600个.调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量就减少10个.要实现每月10000元 的销售利润目标，且售价不能低于60元/个. (1)求这种台灯的定价： (2)商场应进货多少个？ 【变式训练1】(2026九年级上·全国·专题练习)某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每 月能售出600个.售价每上涨1元，月销售量就减少10个.要实现每月10000元的销售利润，且售价不 能低于60元，则台灯的定价应为( A.50元 B.60元 C.80元 D.50元或80元 【变式训练2】(2026九年级上·全国·专题练习)某商场一款品牌服装平均每天可以售出10件，每件盈 利40元.商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利.经市场调查发现：每件服装每降价1元， 平均每天就可以多售出2件.如果需要盈利700元，同时尽可能让利于顾客，那么每件降价多少元？ 第7页共22页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 题型六动态几何问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲(25-26九年级下黑龙江大庆期中)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm.点 P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动.当点Q到达 点C时，P、Q两点同时停止运动.设动点运动的时间为t(S). B→Q (1)BP=cm,BQ=cm(用含t的代数式表示) (2)则当t为何值时，△PBQ的面积为8cm2. 【变式训练1】(25-26八年级下·安徽毫州·期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=18cm,BC=16cm, 点P,Q都从点C出发，点P以1cm/s的速度沿CA向A运动，点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向B 运动，两点同时出发，设运动时间为ts(0<t<8). (1)当t=1s时，求PQ长. (2)当△PCQ的面积为6cm2时，求t的值. (3)当PQ=3√5cm时，求t的值. 第8页共22页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【变式训练2】(25-26八年级下·安徽准南·期中)如图，在△ABC中，AC=50m,BC=40m,∠C=90°， 点P从点A出发，以2m/s的速度沿AC边向点C匀速运动，同时另一点Q从点C出发，以3m/s的速度沿射线CB 匀速运动，当△PCQ的面积为300m2时，运动时间为（ P C B A.6s或8s B.8s或10s C.5s或20s D.3s或10s 题型七工程问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑” 工程.该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米， 大型设备每小时铺设路面60米。 (1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多号，当这个工程 完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ (2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000 米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同 时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了(150+2m) 小时，求m的值. 第9页共22页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【变式训练1】(25-26九年级上·重庆渝北·期末)列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉 礼盒数量的1.5倍.某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加 工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个. (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增.该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种 腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲 种腊肉礼盒比以前增加2m个.已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求m的值. 【变式训练2】(2023·辽宁鞍山·一模)某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多 栽2棵，结果提前4天完成任务.问原计划每天栽多少棵？ 题型八行程问题（一元二次方程的应用）】 【典例精讲】(2026·甘肃兰州·中考真题)一辆汽车的行驶距离s关于行驶时间t的函数关系式是s=(t+ 9)2-兰.若汽车行驶40m,则行驶时间是（ A.20s B.21s C.22s D.23s 【变式训练1】(24-25九年级上·四川绵阳·期末)已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v(单 位：m/s)与滑行时间t(单位：s)之间满足一次函数关系v=-3t+60.而滑行距离s=D·t,=0+ 其中vo是初始速度，v是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了450m,则此时飞机的滑行速度 )m/s. A.10 B.20 C.30 D.10或30 第10页共22页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【变式训练2】(24-25八年级下·上海·期中)11是一条东西方向的道路，2是一条南北方向的道路，这 两条道路相交于点0.小明和小丽分别从十字路口0点处同时出发，小丽沿着1以4千米/时的速度由西向东 前进，小明沿着2以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中点P处，古树与1、2的距离 分别为3千米和2千米.问离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等， 12 P 题型九图表信息题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（23-24九年级上·全国·单元测试)一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练，在正常情况 下，运动员必须在距水面5m以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误.假设 运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员距离水面的高度m)满足关系：=10+2.5t-5t2,那么他最多 有多长时间完成规定动作？（结果保留根号） 第11页共22页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【变式训练1】(24-25九年级上·广东中山·阶段检测)如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边 形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是144，请求出最小数与最大数分别是多少. 日一二三四五六 12345 678901112 131415161六1819 20212223242526 2728293031 【变式训练2】(26-27九年级上·全国·课后作业)某电池厂2026年1~5月份的电池产量如图所示.设 从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x,根据题意可得方程为( 产量（万节） 500F 461 400F 368 442 300 200上 137 100F 180 0 1月2月3月4月5月月份 A.180(1-x)2=461 B.180(1+x)2=461 C.368(1-x)2=137 D.368(1+x)2=442 题型十握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业)n个人参加聚会，每两人都握1次手，所有人共握手10 次，共有多少人？ 【变式训练1】(23-24九年级上·广东汕头·期中)在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一 场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意可列方程为( A.x(x+1)=36B.x(x-1)=36 C.x(x+1)=36×2D.x(x-1)=36×2 第12页共22页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【变式训练2】(26-27九年级上·全国·课后作业)为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛， 赛制为单循环形式（每两个队之间都要比赛一场），计划安排28场比赛，则参赛的足球队个数为( A.6 B.7 C.8 D.9 题型十一其他问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·单元复习)定义：平面直角坐标系x0y中，点P(a,b)、Q(c,d)若满 足c-a=k(d-b),其中k为常数，且k≠0，则称点P与点Q互为“阶点”，例如点(2,3)与点(-1,4)互为 “-3阶点”. (1)若抛物线y=x2+2x+c的顶点与点(1，-2)互为“4阶点”，求c的值； (②)对于动点P(化，2-)(t≠0)，若抛物线y=x2+3x+1上只存在一个点与点P互为“t阶点”，求t的 值. 【变式训练1】(25-26八年级下·浙江台州·期末)芯片是我国“十五五”核心攻关项目，M0S场效应晶 体管(MOS管)是基本单元.MOS管饱和区工作电流I(单位：A)由栅源电压U(单位：V)调节控制，满 足公式：I=k(U-b)2,其中k和b为常数，U≥0.己知某S型MOS管满足I1=(U1-2)2,某R型MOS管 满足12=4(U2-1)2. (1)当U1=3V时，11=_A,当12=4A时，U2=_V. (2)只要控制MOS管电流相同，不同型号的MOS管就可以串联一起同时在饱和区工作，现将该S和R两型 号MOS管串联在饱和区工作，若两款MOS管的安全电压都为2~20V, ①将S型MOS管U1调整为10V,通过计算判断该R型MOS管是否安全工作； ②在两款MOS管都正常串联在饱和区工作的前提下，判断U1和U,的关系，并说明理由. 第13页共22页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【变式训练2】(25-26八年级下·浙江台州·期末)小健为了科学健身，依次采用慢跑、快跑、核心力量 训练的健身模式，每次健身总时长60分钟.慢跑平均每分钟消耗热量6千卡，快跑平均每分钟消耗热量12 千卡，核心力量训练时，第一分钟消耗31千卡，后续每分钟比前一分钟多消耗02千卡， (1)小健在某次健身时，其中核心力量训练时长为t分钟(t为整数)，则最后一分钟消耗的热量是 (用含t的代数式表示)千卡，t分钟总消耗热量是 （用含t的代数式表示)千卡. 提示：若一列数a1,a2,…,an,满足a2-a1=a3-a2=…=an-a-1,则a1ta2十…十an=a+加 (2)小健在某次健身中，慢跑时长为快跑时长的3倍，他在本次训练中，总消耗热量是否有可能达到380千 卡？若能，请写出慢跑、快跑及核心力量训练的时长，若不能，请说明理由， 倡山中考真题演练 【真题演练1】(2025天津宁河中考真题)如图，正方形ABCD的边长为6cm,动点M从点B出发，以1cm/s 的速度沿边BA向终点A运动，动点N从点B同时出发，以2Cm/s的速度沿边BC,CD向终点D运动，规定其中 一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为ts.当t=2s时，点M,N的位置如图 所示.有以下结论： A M B N ①当t=4s时，BM=DN; ②当0<t≤3时，△DMW的最大面积是16cm2; ③△DMW的面积可以是14Cm2.其中，正确结论的个数是(). A.0 B.1 C.2 D.3 第14页共22页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【真题演练2】(2025·河北邯郸·中考真题)如图，∠A=∠B=90°，AB=m,AD=2,BC=3,在 边AB上取点P,使得△PAD与△PBC相似，这样的P点共有2个，则m满足的条件是() A.m=2V6或m=5B.m=5 C.m>2v6 D.2V6<m<5 【真题演练3】(2025·重庆巴南·中考真题)如果一个四位自然数，满足右边的数字总比左边的数字大， 且满足百位数字与十位数字之和等于个位数字与千位数字之和，那么称这个四位数为“登高数”，例如：= 2345,满足2<3<4<5，且2+5=3+4，所以2345是“登高数”；n=2355,其中2<3<5=5， 所以2355不是“登高数”.则最大的四位“登高数”是 ;对于一个“登高数”m=abca,先交 换其千位和个位数字，再交换十位和百位得到新数m'=dcba,规定：F(m)=m+m+2.当F(m)为整数时， 121 则满足条件的m的最大值与最小值的差为 【真题演练4】(2025安徽合肥中考真题)如图，在Rt△A0B中，∠A0B=90°，0A=60cm,OB=80cm, OC1AB,垂足为C.甲虫由点A以3cm/s的速度沿AB向点B爬行，同时乙虫由点C以2cm/s的速度沿CO向 点0爬行，当乙虫到达目的地点O时，甲乙两虫停止爬行. B (1)则在 秒时，甲、乙两虫所在位置与点C组成的三角形是等腰三角形 (2)则在 秒时，甲、乙两虫所在位置与点C组成的三角形的面积等于105cm2. 【真题演练5】(2025·浙江宁波·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=6cm,BC=8cm.有 -动点P从B点出发，在射线BC方向移动，速度是2cm/s.在P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发， 在射线AC方向移动，速度是1cm/s.若设P出发后时间为t秒， A C (1)用含t的代数式分别表示线段AQ、PC的长度，并写出相应的t的取值范围. (2)连接AP、PQ,求使△APQ面积为3cm时相应的t的值. 第15页共22页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 (3)问是否存在这样的时间t,使AP平分∠BAC或者∠BAC的外角？如果存在，请求出t的值；如果不存在， 请说明理由. 山难度分层训练 【基础夯实】 1.(26-27九年级上·北京·期中)某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3000 万元，预计2024年投入5000万元.设教育经费的年平均增长率为x,根据题意，下面所列方程正确的是 ( A.3000(1+x2)=5000 B.3000x2=5000 C.3000(1+x)2=5000 D.3000(1-x)2=5000 2.(26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测)一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他 教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这项实验， 若设每人每次能教会x名同学，则可列方程为( A.1+x(x+1)=49 B.1+x+x2=49 C.1+x+x(x+1)=49 D.1+2x=49 3.(26-27九年级上·广东深圳·开学考试)《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如：x(x-5)=14 的方程的一个正数解，方法为：如图1，将四个长为x,宽为(x一5)的长方形纸片（面积均为14）拼成一个 大正方形ABCD,得到大正方形的面积为：14×4+25=81，边长AB=9,可依据AB=x+(x-5)=9求 得x=7是方程x(x-5)=14的一个正数解.小明按此方法解关于x的方程x(x-m)=n(n>0)时，构造 出类似的图形，如图2，已知正方形EG1H的面积为24，小正方形的面积为8，则方程的正数解为( 第16页共22页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 B A.x=V2+2V3 B.x=V2+V10 C.x=4+V10 D.x=5v2 4.(26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测)某数学小组共有若干人，元旦时每个人各送一张自己制作的 贺卡给组内其他人，全组一共送了72张贺卡，则这个数学小组共有 人 5.（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测)新世纪百货某款童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为 了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施.经市场调查发现：如果每件童装降价2元， 那么平均每天就可多售出5件，要想平均每天销售这种童装的盈利为1400元，则每件童装应降价 元 6.(2026九年级上·全国·专题练习)一条直线上有n个点，共可以构成15条线段，则n= 7.(2026九年级上·全国·专题练习)某商品2022年每件进价为125元，2024年每件进价为80元，则 这种商品每件进价的年平均下降率为 8.（26-27九年级上·全国·课后作业)2022年我国快递业务量是1105.8亿件，2024年增至1750.8亿件， 这两年的年平均增长率是多少（结果写成a%的形式，其中a保留小数点后一位）？ 9.(26-27九年级上·全国·课后作业)要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛， 应邀请多少支球队参加比赛？ 第17页共22页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 10.(26-27九年级上·全国·课后作业)图是南宋数学家杨辉研究的垛积问题中“圭垛”的示意图，其问 题如下：今有圭垛一堆.上一束，底宽八束.问共几束 O ●● ●●●●●● 00000 (1)你能解决这个问题吗？ (2)如果将这个“圭垛”继续堆积下去，即第n行有n束…你能发现从上往下数前多少行的束数的和是300 吗？（提示：1+2+3+…+0m-2)+0m-1)+n=n0m+1).) 【培优拔高】 1.(25-26八年级下·河北邢台·阶段检测)把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角 三角形，四个直角三角形可拼成如图②或③所示的正方形.若矩形纸片的长为m,宽为n,四边形EFGH的 面积等于四边形ABCD面积的2倍，则”=( D C A B 9 m ① ② ③ A.243 2 B.1+3 c.2-f 2 2 D. 2 2.(2026·河南洛阳·三模)如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，AB=6cm,BC=12cm.点P 从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B运动.设点P 的运动时间为t,在此运动过程中，当PQ=CD时，t的值为( 第18页共22页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 A.1.5 B.3 C.1.5或3 D.3或4 3.(2026·天津南开·三模)如图，在边长为8cm的正方形ABCD中，点E在边CD上，且DE=2cm,动 点P从点C出发，以1cm/s的速度沿边CD向终点D运动：动点Q从点D同时出发，以2cm/s的速度沿边DA, 边AB,向终点B运动.连接EQ和PQ,设运动的时间为ts.有下列结论： ①当t=5s时，PQ∥BC; ②当0≤t≤4时，△EPQ的最大面积为9cm2; ③t只有两个不同的值满足△EPQ的面积为4cm2. 其中，正确结论的个数是( ) D E B A.0 B.1 C.2 D.3 4.(26-27九年级上·北京西城·开学考试)如图，将面积为1的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块 图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为 5.(26-27九年级上全国课后作业)如图所示，线段AB的长为1.线段AB上的点C满足关系式AC2=BC·AB: 线段AC上的点D满足关系式AD2=CD·AC:·.如果线段AD上的点E也满足上述规律，那么线段AE的长 度等于」 B 6.(2026·江苏无锡·中考真题)在四边形ABCD中，AD II BC,∠ABC=90°，AD=3,AB=4,BC=5, 点P在四边形ABCD内.如图1，PB,PD将该四边形分成两部分，面积分别记作S1,S2,则_一（填“存 第19页共22页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 在”或“不存在”)点P,使得S1=S2；如图2，将点P向右平移m(m>0)个单位长度，得到点Q(点Q仍 在该四边形内).PB,PQ,QD将该四边形分成两部分，面积分别记作S1,S2,若存在点P,Q,使得S1=S2, 则m的取值范围是_一一· D D S S2 P O S2 B B 图1 图2 7.(25-26八年级下·安徽毫州·期末)数学兴趣小组发现：一个正整数的立方可以写成若干个连续奇数 的和，例如：23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19，….他们进一步研究其中连续奇数中 的最小奇数的规律时又发现：23=1×2+1+5,33=2×3+1+9+11， 43=3×4+1+15+17+19,…. (1)如果将53写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是 (2)如果将n3写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是73，则n的值为 8.如图，四边形ABCD中，AD II BC,∠ADC=90°，AD=8,BC=CD=6,点M从点D出发，以每秒2 个单位长度的速度向点A运动，同时，点W从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动.当其中 一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.过点N作NP1AD于点P,连接AC交NP于点Q,连接MQ, 设运动时间为t秒(0<t<4). 第20页共22页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 N-B N<B (1)连接AN,CP,BN=DM=,(用含t的代数式表达)，当t=时，四边形ANCP为平行四边 形： (2)将△AQM沿AD翻折，得到△AKM.在运动过程中，是否存在某时刻t,使四边形AQMK为菱形，若存在， 求出t的值；若不存在，请说明理由. (3)设四边形DMQC的面积为，求y与t的函数关系式： (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使四边形DMQC的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出t的 值；若不存在，请说明理由： 9.(2026·江苏南通·模拟预测)如图：在直角坐标系中，长方形0ABC中，0A=10,OC=5,点D从点 C出发，沿射线C0方向以每秒2个单位长的速度移动，点E从点0出发，沿射线0A方向以每秒1个单位长的 速度运动，设点E的运动时间为t秒， yA A 图1 备用图 (1)如图1，当t为何值时，△CDE的面积为1： (2)当CE是∠OEB的角平分线时，求出此时点E的坐标： (3)当t为何值时，△CDE是等腰三角形？ 第21页共22页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 10.(25-26九年级上·广东茂名·期末)如图，在矩形0ABC中，0A=4,0C=6,分别以0A、0C所在 直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y=(k >0)的图象经过点D且与边BA交于点E,连接DE: B A A 备用图 (1)连接0E,若△E0A的面积为3，则k= (2)连接CA,DE与CA是否平行？请说明理由： (3)是否存在点D,使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由. 第22页共22页 专题25.3 实际问题与一元二次方程『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+11个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共58题） 【人教版数学新教材•九年级上册（原卷版）】 同学你好，本套讲义针对2026年人教版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 列一元二次方程解应用题 2 知识点二 常见相关问题的数量关系及表示方法 3 题型讲练 4 题型一 传播问题(一元二次方程的应用) 4 题型二 增长率问题(一元二次方程的应用） 5 题型三 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 5 题型四 数字问题(一元二次方程的应用) 6 题型五 营销问题(一元二次方程的应用) 7 题型六 动态几何问题(一元二次方程的应用) 8 题型七 工程问题(一元二次方程的应用) 9 题型八 行程问题(一元二次方程的应用) 10 题型九 图表信息题(一元二次方程的应用) 11 题型十 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 12 题型十一 其他问题(一元二次方程的应用) 13 中考真题演练 14 难度分层训练 16 【基础夯实】 16 【培优拔高】 18 知识点一 列一元二次方程解应用题 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 要点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 知识点二 常见相关问题的数量关系及表示方法 题型1：增长率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 题型2：面积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 题型3：数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 题型4：利润（利息）问题 利息问题 (1)概念： 　　本金：顾客存入银行的钱叫本金. 　　利息：银行付给顾客的酬金叫利息. 　　本息和：本金和利息的和叫本息和. 　　期数：存入银行的时间叫期数. 　　利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式: 　　利息=本金×利率×期数 　　利息税=利息×税率 　　本金×(1+利率×期数)=本息和 　　本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 利润(销售)问题 　　利润(销售)问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数 　　 题型5：比赛统计问题 比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ． 题型6：传播问题 传播问题： ，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数． 题型一 传播问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患流感，若每轮传染中，平均一人传染人，根据题意，可列方程是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级下·山东东营·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 【变式训练2】（25-26八年级下·安徽淮北·期中）经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 题型二 增长率问题(一元二次方程的应用） 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）某银行经过两次降息，使一年期存款的年利率由降至，平均每次降息的百分率是多少（结果写成的形式，其中a保留小数点后两位）？ 【变式训练1】（26-27九年级上·全国·课后作业）青山村所种水稻某年平均每公顷产，两年后平均每公顷产．求这两年水稻每公顷产量的年平均增长率（结果写成的形式，其中a保留小数点后两位）． 【变式训练2】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 题型三 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，把小圆形场地的半径增加，得到大圆形场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比为．求小圆形场地的半径． 【变式训练1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，矩形的两条邻边，，上是否存在点，使得为直角？ 【变式训练2】（26-27九年级上·河南·阶段检测）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 题型四 数字问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）一个两位数，十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换后得到的两位数的平方，所得数值比原来的两位数大138，则原来的两位数为_______． 【变式训练1】（26-27九年级上·全国·课后作业）（1）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是_______； （2）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，则这三个数分别是___________． 【变式训练2】（25-26八年级下·安徽亳州·期中）在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝．欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世时的年龄为（    ） A．36岁 B．38岁 C．40岁 D．42岁 题型五 营销问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（2026九年级上·全国·专题练习）某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个．调查表明：这种台灯的售价每上涨元，其月销售量就减少个． 要实现每月元的销售利润目标，且售价不能低于元/个． (1)求这种台灯的定价； (2)商场应进货多少个？ 【变式训练1】（2026九年级上·全国·专题练习）某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个．售价每上涨元，月销售量就减少个．要实现每月元的销售利润，且售价不能低于元，则台灯的定价应为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元或元 【变式训练2】（2026九年级上·全国·专题练习）某商场一款品牌服装平均每天可以售出10件，每件盈利40元．商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：每件服装每降价1元，平均每天就可以多售出2件．如果需要盈利700元，同时尽可能让利于顾客，那么每件降价多少元？ 题型六 动态几何问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 【变式训练1】（25-26八年级下·安徽亳州·期中）在中，，，，点P，Q都从点C出发，点P以的速度沿向A运动，点Q从点C出发，以的速度沿向B运动，两点同时出发，设运动时间为 ． (1)当时，求长． (2)当的面积为时，求t的值． (3)当时，求t的值． 【变式训练2】（25-26八年级下·安徽淮南·期中）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型七 工程问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米． (1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ (2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值． 【变式训练1】（25-26九年级上·重庆渝北·期末）列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 【变式训练2】（2023·辽宁鞍山·一模）某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 题型八 行程问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（2026·甘肃兰州·中考真题）一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 【变式训练2】（24-25八年级下·上海·期中）是一条东西方向的道路，是一条南北方向的道路，这两条道路相交于点．小明和小丽分别从十字路口点处同时出发，小丽沿着以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中点处，古树与、的距离分别为3千米和2千米．问离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等． 题型九 图表信息题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（23-24九年级上·全国·单元测试）一名跳水运动员进行跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员起跳后的运动时间和运动员距离水面的高度满足关系：，那么他最多有多长时间完成规定动作？(结果保留根号) 【变式训练1】（24-25九年级上·广东中山·阶段检测）如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    【变式训练2】（26-27九年级上·全国·课后作业）某电池厂2026年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程为（     ） A． B． C． D． 题型十 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）个人参加聚会，每两人都握次手，所有人共握手次，共有多少人？ 【变式训练1】（23-24九年级上·广东汕头·期中）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】（26-27九年级上·全国·课后作业）为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都要比赛一场），计划安排28场比赛，则参赛的足球队个数为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型十一 其他问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·单元复习）定义：平面直角坐标系中，点、若满足，其中为常数，且，则称点与点互为“阶点”，例如点与点互为“阶点”． (1)若抛物线的顶点与点互为“阶点”，求的值； (2)对于动点（），若抛物线上只存在一个点与点互为“阶点”，求的值． 【变式训练1】（25-26八年级下·浙江台州·期末）芯片是我国“十五五”核心攻关项目，场效应晶体管（管）是基本单元．管饱和区工作电流（单位：）由栅源电压（单位：）调节控制，满足公式：，其中和为常数，．已知某S型管满足，某R型管满足． (1)当时， A，当时， V． (2)只要控制管电流相同，不同型号的管就可以串联一起同时在饱和区工作，现将该和两型号管串联在饱和区工作，若两款管的安全电压都为， ①将型管调整为，通过计算判断该型管是否安全工作； ②在两款管都正常串联在饱和区工作的前提下，判断和的关系，并说明理由． 【变式训练2】（25-26八年级下·浙江台州·期末）小健为了科学健身，依次采用慢跑、快跑、核心力量训练的健身模式，每次健身总时长60分钟．慢跑平均每分钟消耗热量6千卡，快跑平均每分钟消耗热量12千卡，核心力量训练时，第一分钟消耗千卡，后续每分钟比前一分钟多消耗千卡． (1)小健在某次健身时，其中核心力量训练时长为t分钟（t为整数），则最后一分钟消耗的热量是__________（用含t的代数式表示）千卡，t分钟总消耗热量是__________（用含t的代数式表示）千卡． 提示：若一列数，，…，，满足，则． (2)小健在某次健身中，慢跑时长为快跑时长的3倍，他在本次训练中，总消耗热量是否有可能达到380千卡？若能，请写出慢跑、快跑及核心力量训练的时长，若不能，请说明理由． 【真题演练1】（2025·天津宁河·中考真题）如图，正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿边向终点运动，动点从点同时出发，以的速度沿边，向终点运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有以下结论： ①当时，； ②当时，的最大面积是； ③的面积可以是．其中，正确结论的个数是（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【真题演练2】（2025·河北邯郸·中考真题）如图，，，，，在边上取点P，使得与相似，这样的P点共有2个，则m满足的条件是（    ） A．或 B． C． D． 【真题演练3】（2025·重庆巴南·中考真题）如果一个四位自然数，满足右边的数字总比左边的数字大，且满足百位数字与十位数字之和等于个位数字与千位数字之和，那么称这个四位数为“登高数”．例如：，满足，且，所以2345是“登高数”；，其中，所以2355不是“登高数”．则最大的四位“登高数”是__________；对于一个“登高数”，先交换其千位和个位数字，再交换十位和百位得到新数，规定：．当为整数时，则满足条件的的最大值与最小值的差为__________． 【真题演练4】（2025·安徽合肥·中考真题）如图，在中，，，，，垂足为．甲虫由点以的速度沿向点爬行，同时乙虫由点以的速度沿向点爬行，当乙虫到达目的地点时，甲乙两虫停止爬行． （1）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形． （2）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形的面积等于． 【真题演练5】（2025·浙江宁波·中考真题）如图，在中，，，．有一动点P从B点出发，在射线方向移动，速度是．在P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发，在射线方向移动，速度是．若设P出发后时间为t秒． (1)用含t的代数式分别表示线段的长度，并写出相应的t的取值范围． (2)连接，求使面积为时相应的t的值． (3)问是否存在这样的时间t，使平分或者的外角？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【基础夯实】 1．（26-27九年级上·北京·期中）某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3000万元，预计2024年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是(     ) A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这项实验，若设每人每次能教会名同学，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如：的方程的一个正数解，方法为：如图1，将四个长为x，宽为的长方形纸片（面积均为14）拼成一个大正方形，得到大正方形的面积为：，边长，可依据求得是方程的一个正数解．小明按此方法解关于x的方程时，构造出类似的图形，如图2，已知正方形的面积为24，小正方形的面积为8，则方程的正数解为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）某数学小组共有若干人，元旦时每个人各送一张自己制作的贺卡给组内其他人，全组一共送了72张贺卡，则这个数学小组共有__________人． 5．（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）新世纪百货某款童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价2元，那么平均每天就可多售出5件．要想平均每天销售这种童装的盈利为1400元，则每件童装应降价________元． 6．（2026九年级上·全国·专题练习）一条直线上有n个点，共可以构成15条线段，则________． 7．（2026九年级上·全国·专题练习）某商品2022年每件进价为125元，2024年每件进价为80元，则这种商品每件进价的年平均下降率为________． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）2022年我国快递业务量是亿件，2024年增至亿件，这两年的年平均增长率是多少（结果写成的形式，其中a保留小数点后一位）？ 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？ 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）图是南宋数学家杨辉研究的垛积问题中“圭垛”的示意图，其问题如下：今有圭垛一堆．上一束，底宽八束．问共几束． (1)你能解决这个问题吗？ (2)如果将这个“圭垛”继续堆积下去，即第n行有n束…你能发现从上往下数前多少行的束数的和是300吗？（提示：．） 【培优拔高】 1．（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）把一张矩形纸片按照如图所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图或所示的正方形．若矩形纸片的长为，宽为，四边形的面积等于四边形面积的倍，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河南洛阳·三模）如图，在平行四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿运动．设点P的运动时间为t，在此运动过程中，当时，t的值为（     ） A．1.5 B．3 C．1.5或3 D．3或4 3．（2026·天津南开·三模）如图，在边长为的正方形中，点E在边上，且，动点P从点C出发，以的速度沿边向终点D运动；动点Q从点D同时出发，以的速度沿边，边，向终点B运动．连接和，设运动的时间为．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③只有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（26-27九年级上·北京西城·开学考试）如图，将面积为1的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为___________． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示，线段的长为1．线段上的点C满足关系式；线段上的点D满足关系式；…．如果线段上的点E也满足上述规律，那么线段的长度等于___________． 6．（2026·江苏无锡·中考真题）在四边形中，，，，，，点在四边形内．如图1，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，，则______（填“存在”或“不存在”）点，使得；如图2，将点向右平移个单位长度，得到点（点仍在该四边形内）．，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，．若存在点，，使得，则的取值范围是____． 7．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）数学兴趣小组发现：一个正整数的立方可以写成若干个连续奇数的和，例如：，，，…．他们进一步研究其中连续奇数中的最小奇数的规律时又发现：，，，…． （1）如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是_______； （2）如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是，则的值为_______． 8．如图，四边形中，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接，设运动时间为t秒（）． (1)连接　　,　　,(用含t的代数式表达)，当　　时，四边形为平行四边形； (2)将沿翻折，得到．在运动过程中，是否存在某时刻t，使四边形为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)设四边形的面积为y，求y与t的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； 9．（2026·江苏南通·模拟预测）如图：在直角坐标系中，长方形中，，，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度移动，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度运动，设点的运动时间为秒． (1)如图1，当为何值时，的面积为； (2)当是的角平分线时，求出此时点的坐标； (3)当为何值时，是等腰三角形？ 10．（25-26九年级上·广东茂名·期末）如图，在矩形中，，，分别以、所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系，是边上的一个动点（不与、重合），反比例函数（＞）的图象经过点且与边交于点，连接． (1)连接，若的面积为，则________； (2)连接，与是否平行？请说明理由； (3)是否存在点，使得点关于的对称点在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull