专题3.4 勾股定理（章节复习）『重点难点同步培优讲义』导图+知识梳理+22个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共54题-2026-2027学年苏科版数学八年级上册

专题3.4 勾股定理（章节复习）『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+22个题型讲练+难度分层练 共54题） 【苏科版数学新教材•八年级上册】 同学你好，该份讲义用于苏科版新教材八年级上册内容章节学习同步举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期中期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合苏科版八上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 3 考点讲练 真题汇总 5 题型一 用勾股定理解三角形 5 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 6 题型三 勾股定理的证明方法 7 题型四 以弦图为背景的计算题 9 题型五 用勾股定理构造图形解决问题 11 题型六 勾股定理与无理数 13 题型七 勾股树(数)问题 13 题型八 判断三边能否构成直角三角形 14 题型九 在网格中判断直角三角形 15 题型十 利用勾股定理的逆定理求解 17 题型十一 勾股定理与网格问题 18 题型十二 勾股定理与折叠问题 19 题型十三 求旗杆高度(勾股定理的应用) 21 题型十四 求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 22 题型十五 求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 23 题型十六 求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 25 题型十七 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 26 题型十八 解决航海问题(勾股定理的应用) 27 题型十九 判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 29 题型二十 选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 32 题型二十一 求最短路径(勾股定理的应用) 34 题型二十二 勾股定理逆定理的实际应用 35 优选真题 实战演练 36 【基础夯实】 36 【培优拔高】 39 知识点 重点归纳 常见易错点 勾股定理 1.文字语言： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 注意：勾股定理的使用条件——必须是直角三角形，其他三角形是不能使用的！ 并且要确定好哪条边是斜边 2.图形语言： 3.符号语言: 勾股定理验证 方法1： 方法2： 勾股定理的验证方法采用拼图的方式，基本思想都是利用两种不同的方式表示同一图形的面积，建立等式，化简之后得到 方法3： 方法4： 常见应用 应用1：求解三角形中未知边长； 应用2：网格中绘制无理数长度线段； 应用3：数轴上绘制无理数的点； 应用4：解决实际问题中的长度问题； 应用5：求解一些最值问题； 应用6：求解一些立体几何中的长度问题； 勾股定理逆定理 1.文字语言： 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 我们习惯是用表示直角边，表示斜边，但真正到习题或考试中不一定表示直角边，不一定表示斜边 例如： 此时化简后为： 所以表示斜边 2.图形语言： 3.符号语言: 勾股定理与逆定理关系 正确理解二者的关系 勾股数 1.概念： 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数； 注意：，，要成为勾股数必须满足两个条件： 条件1：满足; 条件2：，，必须是正整数; 这里最易被忽略的是条件2，千万要注意！ 2.常用勾股数：如；；；等 3. 用含字母的代数式表示组勾股数： （为正整数）； 　（为正整数） （，为正整数）. 勾股定理解决问题步骤 1. 将实际问题抽象出几何图形，建立数学模型； 2. 确定所求线段所在的直角三角形； 能找到就直接用勾股定理解题，若找不到就添加辅助线构造直角三角形； 3. 根据勾股定理，列方程求解。 关键在找到直角三角形，设出适当的未知量，表示出三边长。 题型一 用勾股定理解三角形 【典例精讲】（25-26八年级下·重庆巫山·期末）已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（     ） A．13 B．15 C．17 D．20 【答案】A 【分析】因为直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，所以代入两条直角边的数值，计算平方和后开平方即可得到斜边长． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴斜边长为. 【变式训练】（25-26八年级下·云南曲靖·期末）在中，，，， __________． 【答案】13 【分析】已知直角三角形两条直角边的长度，直接用勾股定理计算斜边的长度即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ，， ． 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例精讲】（2026·浙江·模拟预测）如图，在中，，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若图中阴影部分（）面积为定值，则下列式子也是定值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过分析正方形的边长与三角形边长的关系，利用平行线间距离相等将阴影部分的面积用表示，再结合勾股定理判断各选项是否为定值． 【详解】解：∵ 以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别为、、， ∴ ，，， ∵ 在中，， ∴ ， ∴ ， ∵ 点为以为边的正方形上与点相邻的顶点， ∴ ，且， 又∵ ， ∴ ， ∴ 点B到直线的距离等于， ∴ ， ∵ 的面积为定值， ∴ 为定值， ∵ ， ∴ 为定值． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在四边形中，，分别以、、、为边向外作四个正方形，面积分别为、、、，若，，，则长为___． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据正方形的面积公式和勾股定理可得：，又因为，可得，即可求出的长度． 【详解】解：，，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 题型三 勾股定理的证明方法 【典例精讲】（25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测）我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则，据此可判断A；小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则，据此可判断B；C选项中的图形不能证明勾股定理；中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去个直角三角形面积，则，据此可判断D． 【详解】解：A、大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积等于， ， ， ， 故该选项能证明勾股定理，不符合题意； B、小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则小正方形的面积等于， ， ， ，故该选项能证明勾股定理，不符合题意； C、选项中的图形不能证明勾股定理，符合题意； D、中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去个直角三角形面积，则中间等腰直角三角形的面积为， ， ， ，故该选项能证明勾股定理，不符合题意． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，2个全等的直角三角形与1个小直角梯形恰好拼成1个大直角梯形，这个图形能证明勾股定理．请你写出证明过程． 【答案】 证明：如图．， ， ， ． 【分析】本题考查了面积法证明勾股定理等知识，解决问题的关键是表示同一个图形的面积用两种不同计算方法． 根据列出关系式，进而得出结论． 题型四 以弦图为背景的计算题 【典例精讲】（25-26八年级下·福建南平·期末）手工课上，同学们以“赵爽弦图”为原型制作传统风格装饰画．边长为的大正方形画框由四个全等的直角三角形彩纸和中间的小正方形拼接而成，结构如图所示．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边长为． (1)若小正方形的边长为，，求大正方形的边长c； (2)若小正方形的面积为，且，求一个直角三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据小正方形边长得到，结合联立求出、的值，再利用勾股定理计算斜边； （2）由小正方形面积得，展开得到式子①，将展开得到式子②，两式相减求出，最后根据直角三角形面积公式计算面积。 【详解】（1）解：因为已知小正方形的边长为， 所以小正方形的边长为， 因为， 得， 因为， 所以， 所以． （2）解：因为小正方形的面积为， 所以，即①， 因为，即②， ，得， 所以． 所以直角三角形的面积为：． 【变式训练】（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，“赵爽弦图”是我国著名数学家赵爽创制的，它以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中，阴影部分的面积是49，，则大正方形的边长是______． 【答案】13 【分析】根据正方形面积公式求出阴影部分边长为7，结合图形得出与的数量关系，求出的长，再利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：阴影部分的面积是49， 中间小正方形的边长为， 由图可知，中间小正方形的边长等于， ， ， ， 在中，，由勾股定理得： ， 大正方形的边长是13． 题型五 用勾股定理构造图形解决问题 【典例精讲】（2026·贵州遵义·二模）《九章算术》是古代东方数学代表作，这是国际学术界已公认的史实．其第九章《勾股》有一题的大意是：如图，假设推开双门（和），门边缘点，距门槛为1尺，且双门间隙为2寸，则门宽是____尺．（1尺10寸） 【答案】 【分析】取的中点，过点作的垂线，设寸，根据题意，可得寸，寸，再根据勾股定理，列出方程求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，过点作的垂线，垂足为， 设寸， 由题可知，，尺寸，寸， 寸，寸， 寸， 在中，， ， 解得， 寸尺， 则门宽是尺． 【变式训练】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，有一块四边形草地，其中，，，，求这块草地的面积． 【答案】 【分析】连接，根据勾股定理，可求，再求两个直角三角形的面积，相加即可． 【详解】解：连接， 由题可知，和是直角三角形， 根据勾股定理，可得， ，，， ，解得， 则四边形的面积为： （）， 则这块草地的面积为． 题型六 勾股定理与无理数 【典例精讲】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，数轴上的点表示的数是________． 【答案】 【详解】解：由图可知， 即数轴上的点表示的数是． 【变式训练】（25-26七年级下·山西阳泉·期末）我们知道“实数与数轴上的点是一一对应的”．张华同学作了如下操作：以单位长度为边长画一个正方形（如图），以数字所在点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴的正半轴交于点A，则点A表示的实数为______． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出正方形对角线的长，确定圆的半径，再根据圆心位置和点的方向确定点表示的数即可． 【详解】解： 正方形的边长为1， 对角线长， 圆心表示的数为，半径为，且点在圆心的右侧， 点表示的实数为，即． 题型七 勾股树(数)问题 【典例精讲】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）下列各组数为勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A、，，不是正整数，故不是勾股数； B、，，，故不是勾股数； C、，且，，均为正整数，故是勾股数； D、，，不是正整数，故不是勾股数． 【变式训练】（25-26七年级下·山东济南·期末）若，，是勾股数，则的值是________． 【答案】 【分析】勾股数是满足勾股定理的正整数.需分两种情况讨论，分别为是最长边，是最长边，利用勾股定理计算后，根据勾股数的定义筛选结果即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当为最长边时，由勾股定理得， 不是完全平方数，不是正整数，不符合勾股数定义，舍去； 当为最长边时，由勾股定理得 ， ，是正整数，符合勾股数定义． 题型八 判断三边能否构成直角三角形 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）设三角形的三边长分别等于下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形．若是，指出哪一条边所对的角是直角． (1)12，16，20； (2)1.5，2，2.5． 【答案】(1)该三角形是直角三角形，长为20的边所对的角是直角． (2)该三角形是直角三角形，长为2.5的边所对的角是直角． 【分析】此题主要考查的知识点是勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三条边满足：两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形，最长边所对的角就是直角，据此解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，长为20的边所对的角是直角． （2）∵，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，长为2.5的边所对的角是直角． 【变式训练】（26-27八年级上·全国·课后作业）试判断由下列三边围成的三角形是不是直角三角形： (1)三边长分别为； (2)三边长之比为． 【答案】(1)不是直角三角形 (2)是直角三角形 【分析】（1）先根据确定最长边，再用勾股定理的逆定理验证较短两边平方和与最长边平方是否相等； （2）根据边长比例设出三边长度，结合勾股定理的逆定理判断． 【详解】（1）解：， ， ∴， ∴， 又， ， ， ∴最长边为， ， ， 又∵当时，， ， 该三角形不是直角三角形； （2）解：设三边长分别为、、， ，， ， 该三角形是直角三角形． 题型九 在网格中判断直角三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 【变式训练】（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段检测）如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：________（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握知识点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：由图，得 ，，， ∵， 即， ∴三条线段不能组成直角三角形． 故答案为：不能． 题型十 利用勾股定理的逆定理求解 【典例精讲】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理进行解答即可； （2）根据勾股定理的逆定理求出．再根据即可求出答案． 【详解】（1）解：在中，，，． ． （2）解：在中，，，， ，． ． ． ． 【变式训练】（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为______． 【答案】 【分析】由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，由作图可知，，再结合等面积法求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， 是直角三角形，， 由作图可知，， ， ． 题型十一 勾股定理与网格问题 【典例精讲】（2026·陕西商洛·三模）如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，经过一次平移后得到，点B的对应点的位置如图所示，则平移距离为________． 【答案】 【分析】在网格中以为斜边构建直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，以为斜边构建直角三角形， 平移距离． 【变式训练】（2026·浙江温州·二模）如图，点A，B，C，D，M，P，Q都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．若将点M分别与点A，B，C，D连接，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将线段进行平移，平移以后利用勾股定理求出三角形的各个边，利用勾股定理的逆定理进行判断求解． 【详解】解：如图所示， A、由方格纸知：可平移到与重合，此时：，， ∴与不垂直，不符合题意； B、可平移至与重合，此时与不垂直，不符合题意； C、可平移至与重合，此时： ， ， ∴，符合题意； D、可平移至与重合， ∴，与题意不符． 题型十二 勾股定理与折叠问题 【典例精讲】（2026·黑龙江佳木斯·三模）在中，，，，，点D在上，将沿对折，点C刚好落在上的E点，则的长（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠得出，，，设，则，根据勾股定理得出，即可求出结果即可． 【详解】解：在中，，，，根据题意得： ，，， 则， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即． 【变式训练】（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，，将折叠，使点C 与点A重合，得折痕，则的周长等于_______． 【答案】7 【分析】根据勾股定理，可得的长，根据翻折的性质，可得与的关系，根据三角形的周长公式，可得答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理，得， 由翻折的性质，得． 的周长． 题型十三 求旗杆高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）为了测量旗杆的高度，小明设计了如图所示的测量方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米． (1)请利用小明设计的方案，计算旗杆的高度； (2)小明查阅旗杆设计图纸，发现测量的结果与设计高度有一点误差，你认为产生误差的原因是什么？（至少写出一条） 【答案】(1)旗杆的高度为12米 (2)测量长度有误差（答案不唯一） 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键： （1）设旗杆的高度为，根据勾股定理进行求解即可； （2）根据可能产生误差的原因，作答即可． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为， 由勾股定理，得：， 解得； 答：旗杆的高度为12米； （2）解：产生误差的原因可能是测量长度有误差（答案不唯一）． 【变式训练】（25-26八年级上·上海松江·期末）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度为．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出的长度为．则旗杆的高度为______m． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，由①得，绳子的长度比旗杆的高度多，设旗杆的高度为，则绳子的长度为，在中，由勾股定理得，列出方程，并解方程即可得到答案． 【详解】解：由①得，绳子的长度比旗杆的高度多， 设旗杆的高度为，则绳子的长度为， 在中，，， 由勾股定理得：，则， 整理得：， 解得：， ∴旗杆的高度为， 故答案为：． 题型十四 求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·福建厦门·期中）梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图1所示，该零件内有两个小滑块，，由一根连杆连接，滑块，分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动，滑块大小忽略不计，零件图的集成几何图，如图2所示，开始时，滑块距点厘米，滑块距点厘米， (1)求的长； (2)当滑块向下滑厘米至点处时，滑块滑动到点的位置，则的长为多少厘米？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）先求出，根据勾股定理求出，最后利用，即可求解． 【详解】（1）解： ，，， ； （2） ，， ， ，， ， ． 【变式训练】（25-26八年级下·天津·阶段检测）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于时，如果梯子顶端下滑（即），那么梯子的底端向右滑动___________． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出的长，再根据梯子的长度不变求出的长，根据即可求出结果． 【详解】解：在，，， 根据勾股定理得：， ， ， ， ， ． 题型十五 求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作于，连接，由题意得：，，，求出，最后由勾股定理计算即可，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于，连接， 由题意得：，，， ， ． 即：无人机飞行的最短距离为． 【变式训练】（24-25八年级上·四川达州·阶段检测）公园内有两棵树，相距，一棵树高为，另一棵树高为，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另 一棵树的顶端，小鸟至少要飞（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，两点之间线段最短，解题的关键是从实际问题中抽象出几何图形．画出图形，表示高的树，表示高的树，两棵树间距离，根据两点间线段最短可知，小鸟至少要飞的距离等于的长，过作于点，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意画图如下：其中，，， 两点间线段最短， 题目所求即为的长， 过作于点， 则， 由勾股定理得：， 故选：C． 题型十六 求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·重庆北碚·期末）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈等于十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，设竹子折断处离地面的高度为x尺，根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺， 由勾股定理得：， 故选：A． 【变式训练】（25-26八年级上·上海虹口·期末）如图，一棵树（树干与地面垂直）原来高，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶与树根的距离为，则这棵树断裂处点离地面的高度的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，设，则，根据勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意设，则， 在中，，即， 解得； 故答案为：． 题型十七 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·山东滨州·期中）已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是和．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，则铅笔的长是_________． 【答案】/厘米 【分析】由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径的平方；第二个笔筒中：直径的平方；因直径相等，列方程即可求解． 【详解】解：设铅笔长度为，由题意得，， 解得，， 故铅笔的长为． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，露在水面的鱼线长为，钓鱼者把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，若的长为，则钓鱼竿的长为（    ）m    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意列出方程是解题关键．根据题意设，利用钓鱼竿长度不变得出方程求解，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， 故选：B． 题型十八 解决航海问题(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．近日，美国、日本、菲律宾等国在南海地区联合军演，如图，我军巡逻舰队在点处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点处有可疑目标正在以16海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，向我领海区域行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点处将其追上，并进行驱赶，则我军巡逻舰队的航行速度为多少海里/小时？ 【答案】34海里/小时 【分析】先根据平行线的性质求得，并推得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，根据题意，得，，， 因为， 所以， 所以， 因为， 故， 故我军巡逻舰队的航行速度为（海里/小时）； 【变式训练】（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以海里时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距海里，乙船的速度是 （    ） A．海里时 B．海里时 C．海里时 D．海里时 【答案】C 【分析】根据已知判定为直角，根据路程公式求得的长．再根据勾股定理求得的长，从而根据公式求得其速度． 【详解】解：如图， 甲的速度是海里时，时间是小时， 海里． ，， ． 海里， 海里． 乙船也用小时， 乙船的速度是40海里时． 题型十九 判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·江西景德镇·期中）如图，，在距离点米的处有一学校，一重型卡车沿道路ON方向行驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响． (1)请你判断学校是否会受到卡车噪声影响．为什么？ (2)若卡车的行驶速度是24千米每小时，求卡车沿途给学校带来噪声影响的时间． 【答案】(1)影响； (2)． 【分析】本题主要考查了勾股定理得实际应用，三线合一定理，勾股定理， （1）过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度；比较的长度是否小于40米，即可得出结论； （2）如详解图形所示，当时，则卡车在段对学校有影响，根据勾股定理可求得的长度． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度．    ∵， ∴， 又∵，， ∴． ∵ ∴学校会处在卡车的噪声影响范围内． （2）解：如图所示，在上取两点C、D，连接，当时，则卡车在段对学校有影响． ∵，， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． 卡车速度为 24 千米/时，折合为米/秒。 ∴影响时间为：． 答：卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为． 【变式训练】（25-26八年级上·四川·期中）据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线的方向以的速度移动，已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：，，．问： (1)海港C会不会受到台风的影响？ (2)若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？ 【答案】(1) 解：海港受台风影响． 理由：如图，过点作于点， 因为，，，, 所以是直角三角形．, 由三角形面积相等可得：， 即， 所以． 因为以台风中心为圆心周围以内(包括)为受影响区域，所以海港受台风影响． (2)受台风影响的时间为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积公式以及点到直线的距离在实际问题中的应用，解题的关键是通过计算海港到台风移动路径的最短距离判断是否受影响，再结合勾股定理求出台风影响的路径长度，进而计算持续时间． （1）通过勾股定理逆定理判断为直角三角形，利用面积法求出C到的距离，比较与的大小，确定海港是否受影响； （2）以C为圆心、为半径作圆，交于E、F，利用勾股定理求出的长度，得到的距离，再根据速度公式计算台风影响的持续时间． 【详解】（1）略 （2）如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 所以，因， 所以． 因为台风中心移动的速度为， ， 所以受台风影响的时间为． 题型二十 选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·暑假作业）如图，某学校（点）到公路（直线）的距离为300米，到公交站（点）的距离为500米，现要在公路边上建一个商店（点），使之到学校及到车站的距离相等，求商店与车站之间的距离． 【答案】米 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，过点作于点，如图所示，在中，由勾股定理求出米，设米，则米，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案．根据题意，构造直角三角形，运用勾股定理求解是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 在中，，，，则由勾股定理可得米， 设米，则米， 在中，，，，，则由勾股定理可得，即， ，解得， 则商店与车站之间的距离为米． 【变式训练】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离为，喷泉的供水点在小路上．现要为喷泉铺设两条互相垂直的供水管道和，已铺管道长为，长为，供水点到的距离是． (1)请判断供水管道与是否符合铺设要求； (2)求的长及的长． 【答案】(1) 解：符号要求，理由如下： 在中，，，， ，， ， 是直角三角形，， ，符合要求； (2)，． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据勾股定理的逆定理判定与是否垂直即可； （2）根据等面积法求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）略 （2）， ， ， ， ， ，，， ， ， 在中，， 由勾股定理得：． 题型二十一 求最短路径(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在一个长为 ，宽为 的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为 的正方形，一只蚂蚁从点处爬过木块到达点处需要走的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理解决最短距离问题，将长方体木块拉伸，结合两点间距离及勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可得，如图所示， ∴， ∴最短路程是：． 【变式训练】（25-26八年级下·山西大同·期中）一个圆柱形饮料罐底面周长为，高为．一只蚂蚁从底面圆周上的点处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______． 【答案】 【分析】蚂蚁爬行的最短路径长度为圆柱侧面展开图对角线的长度． 【详解】解：该圆柱形饮料罐底面周长为，高为， 如下图，其侧面展开图长为，宽为， 由勾股定理得，其侧面展开图对角线长为， 蚂蚁爬行的最短路径长度为 ． 题型二十二 勾股定理逆定理的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么慢船沿什么方向航行？ 【答案】慢船沿南偏西方向航行 【分析】根据三角形的三边长，可知，得，从而得出答案． 【详解】解：由题意知，海里，海里，海里， ∵，， ∴， ∴， ∵快船沿北偏西方向航行， ∴慢船沿南偏西方向航行． 【变式训练】（25-26八年级下·广西贺州·期中）校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在AC的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，回答以下问题： (1)求的度数； (2)求出，两点间的距离． 【答案】(1) (2)15米 【分析】（1）根据勾股定理逆定理求解即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：米，米，米， ， 是直角三角形，且， ； （2）解：米， 在中，由勾股定理得， 米， ，两点间的距离为米． 【基础夯实】 1．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，，过点A作直线，点B在直线l上，，以点O为圆心，以长为半径作弧，与的延长线交于点C，则点C表示的实数是（     ） A． B． C．7 D．29 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出的长，则可得到的长，据此可得答案． 【详解】解：在中，， 根据勾股定理得， ∴ ，故点C表示的实数是． 2．（26-27九年级上·云南曲靖·开学考试）如图，将一根长的吸管放进一个底面直径为，高为的圆柱形空水杯中，则吸管在杯口外的长度不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算吸管在杯内长度的最小值和最大值，从而确定杯外长度的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设吸管在杯内的长度为，在杯口外的长度为，则， 当吸管竖直放置时，取最小值，此时取最大值； 当吸管倾斜放置，底端与杯底边缘接触，顶端与杯口相对边缘接触时，取最大值，由勾股定理得，此时取最小值； ∴， ∴吸管在杯口外的长度不可能是． 3．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，若，，，则的周长为_________． 【答案】 7 【分析】利用勾股定理求出 的长，根据折叠的性质得到 ，从而将 的周长转化为 求解． 【详解】 解：∵，，， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴的周长 ． 4．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图，在中，，分别以为边向外部作正方形，甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23，则的长为___________． 【答案】7 【分析】由正方形的面积公式得到，据此由勾股定理可得答案． 【详解】解：∵甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23， ∴， 在中，， ∴由勾股定理得， ∴或（舍去）． 5．（25-26八年级下·辽宁朝阳·期末） 如图，在四边形中，，，，且． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质可知，根据勾股定理的逆定理可证，再根据角之间的关系求出的度数； （2）根据即可求出结果． 【详解】（1）解：如下图所示，连接， ，， ， 在中，， 在中， ，   ， ， ；     （2）解： ． 【培优拔高】 1．（26-27八年级上·福建福州·开学考试）如图，在中，，，，、是斜边上两点，且，，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，（     ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【答案】C 【分析】先分析为等腰直角三角形，根据已知条件构造全等三角形，得出，再利用，得出，设未知量并列方程，根据勾股定理求出的值，计算面积即可． 【详解】解：根据题意可知，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ，，， ， ，， 在和中 ，， ， ，， ， ， 设，， ， 又， 在中，， 解得， ． 2．（25-26七年级下·山东济南·期末）在等边三角形中，平分，，分别为边，上的点，且．若的最小值为，则等边三角形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作的平行线，在平行线上截取线段，容易证明，则，从而得到，结合线段公理可得当、、三点共线时，取得最小值，因此．容易判断是等腰直角三角形，使用勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，过点作的平行线，在平行线上截取线段， ∵是等边三角形，平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，当、、三点共线时，取得最小值， ∵的最小值为， ∴， 在中，， ∴， 解得． 3．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在长方形纸片中，点为边上一点，将长方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交于点．若，，，则线段的长为__________． 【答案】 【分析】由折叠的性质得出，，，，，由勾股定理求出，进而得出，证明，由全等三角形的性质得出，， 由线段的和差关系得出，，设，则， 由勾股定理得出，代入求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知：，，，，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 即． 4．（25-26八年级下·陕西宝鸡·期末）如图在中，其中，，于点D，点E，点F分别在线段，上，且满足，则最小值是________． 【答案】 【分析】过点A作的平行线，在该平行线上取点G，使得，连接，证得，利用逆等线模型可得出，即当点B，，G三点共线时有最小值，最后通过勾股定理即可求得结果． 【详解】解：如图，过点A作的平行线，在该平行线上取点G，使得，连接， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即当点B，，G三点共线时有最小值， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴最小值是． 5．（26-27八年级上·浙江金华·开学考试）如图，是正内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，连结． （1）的度数为___________； （2）的面积___________． 【答案】 【分析】根据三角形的旋转性质得到为等边三角形，再根据手拉手模型证得，最后根据勾股定理逆定理解得是直角三角形，从而得出答案；再多次利用旋转的性质求出的面积，进而求解． 【详解】解：（1）如图所示，连接， ∵线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴为等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， 在中，， ∴是直角三角形，， ∴． （2）如图所示，过点作交于点， ∵是等边三角形， ∴，， 则， ， 由（1）知， ∴； 将线段以点为旋转中心逆时针旋转， 同理可求得； 将线段以点为旋转中心逆时针旋转， 同理可求得， ∴， 则． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 专题3.4勾股定理（章节复习）『重点难点同步培优讲义』 (知识梳理+22个题型讲练+难度分层练共54题) 【苏科版数学新教材•八年级上册】 讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于苏科版新教材八年级上册内容章节学习同步举一反三知识讲练使用， 全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识，点； 3.优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压 轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.优选期中期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型， 强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合苏 科版八上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 目录指引内容知晓 知识梳理温故知新. 3 考点讲练真题汇总.… 。。。。。。。 5 题型一用勾股定理解三角形..· ..5 题型二以直角三角形三边为边长的图形面积 ..5 题型三勾股定理的证明方法... .....6 题型四以弦图为背景的计算题.… 6 题型五用勾股定理构造图形解决问题 题型六勾股定理与无理数.. 题型七勾股树（数）问题. 题型八判断三边能否构成直角三角形.· 9 题型九在网格中判断直角三角形 …9 题型十利用勾股定理的逆定理求解…10 第1页共23页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 题型十一勾股定理与网格问题 10 题型十二勾股定理与折叠问题.... 11 题型十三求旗杆高度（勾股定理的应用）.....· 12 题型十四求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 13 题型十五求小鸟飞行距离（勾股定理的应用). 13 题型十六求大树折断前的高度（勾股定理的应用)……….14 题型十七解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用），.. ...14 题型十八解决航海问题（勾股定理的应用）.·...。 15 题型十九判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 16 题型二十选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 17 题型二十一求最短路径（勾股定理的应用） 18 题型二十二勾股定理逆定理的实际应用.. 19 优选真题实战演练.· 20 【基础夯实】 ...........................20 【培优拔高】 ，,，,，,，，， 导图指引梳理脉络 1m==■ 1.文字语言 1文字语言： 直角三角形两直角边a、b的平方利 如里三角影的三边h 满足a2+b=c2 注意： 等于斜边C的平方。 都么这个三角形是直角三角形 角边。夷宗刻边。每 2图形语吉： B 2图影语言： 真正到习最或考试中 a、b不一定表示直角边 1.勾股定理 4.勾定理 0 c不一定表示斜边 逆定理 例如：(a+ba-bj=c A h 此时化简后为： 3.符号语言： 3,符号语言： a2-b2=c2 在Rt△ABC中，∠C=90 在△ABC中，若三边长ab.c满足：d+b=C 即+2= ,△ABC是直角三角形，且亡对的角为直角. 所以a表示斜边 法 法》 幻定理→+b= 5.勾骰定理与 a 勾股逆定理 正璃理解二者的关系 逆定理关系 2勾股定理 b 第3章 直角三角形的性质 验证 勾股定理 上数 直角三角形的判定 法3 勾般定理的脸证方法 果用拼图的方式 1,概念 基本思想都是 注意：d.b.c要成为 能够构成直角三角形的三边长的三个正型数称为句板数 勾股敬必须满足 利两种不的方式 表示同一图形的面积 6.勾股数 即d+=2中，a。bc为正整数时，称a.b,c为一组如毅数 西个多件： 2常用勾服数：如3,4.5：6,8,10：5,12,13：7,24,25等 条件1：足a+=己 建立等式，化简之后 得到+=2 ,用含字母的代敏式表示厅组勾酸数： 应再1：求解三角形中未知边长： 2-12九2+1(n之2，为正整数)： 应用2：网格中绘制无理数长度线段 2n+1,2r2+2m,2m2+2n+1(n为正整数)： 这里最易被题感的是 条件2，干万要注票日 应用3：数轴上绘制无理数的点： m2-,2mn,m2+2(m>,m。n为正整数】 应用4：解决实际问题中的长度问是 3常见应用 峦用5：求解一些最值问题： 应用6：求解一些立体几何中的长度问题 ①将实际问题抽象出几何图形， ②确定所求线段所在的直角三角形； ③根据勾股定理，列方程求解。 、勾股定理解决问题步黑 建立数学横型： 能找到就直接用勾股定理解题， 若找不到就添加辅助线构造直角三角形： 第2页共23页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 知识梳理温故知新 知识点 重点归纳 常见易错点 1.文字语言： 直角三角形两直角边瓜b的平方和等于斜边c的平方. 2.图形语言： 注意：勾股定理的使用条 B 秩 一一必须是直角三角 形，其他三角形是不能使 勾股定理 a 用的！ A C b 并且要确定好哪条边是斜 3.符号语言： 边 在Rt△ABC中，∠C=90° .a2+b2=c2 方法1： 方法2： 勾股定理的验证方法采用 a 拼图的方式，基本思想都 是利用两种不同的方式表 示同一图形的面积，建立 勾股定理 等式，化简之后得到 验证 方法3： 方法4： a2+b2=c2 应用1：求解三角形中未知边长； 应用2：网格中绘制无理数长度线段； 应用3：数轴上绘制无理数的点； 常见应用 应用4：解决实际问题中的长度问题； 应用5：求解一些最值问题； 应用6：求解一些立体几何中的长度问题； 第3页共23页 2026-2027学年苏科版数学新教村八年级上册同步培优专题高效讲义 1.文字语言： 我们习惯是用a,b表示直 如果三角形的三边长b、c,满足a+b=c2,那么这个 角边，c表示斜边，但真正 三角形是直角三角形. 到习题或考试中a,b不一 2.图形语言： 定表示直角边，c不一定表 勾股定理 示斜边 逆定理 b 例如：(a+b)(a-b)=c2 3.符号语言： 此时化简后为： 在△ABC中，若三边长a,b,c满足： a2-b2=c2 a2+b2=c2 即b2+c2=a2 .,△ABC是直角三角形，且c对的角为直角。 所以a表示斜边 B 勾股定理 勾股定理 a a2+b2=c2 与逆定理 勾股逆定理 正确理解二者的关系 A 关系 b 直角三角形的性质 形 数 直角三角形的判定 1.概念： 注意：a,b,c要成为勾 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股 股数必须满足两个条件： 数，即a2+b2=c2中，a,b,c为正整数时，称a,b,c 条件1：满足a2+b2=c2: 为一组勾股数； 条件2：a,b,c必须是 2.常用勾股数：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 正整数： 勾股数 3.用含字母的代数式表示n组勾股数： 这里最易被忽略的是条件 n2-1,2n,n2+1(n≥2，n为正整数)； 2,千万要注意！ 2n+1,22+2n,2n2+2n+1(n为正整数) 2-n2,2,2+n2（m>n,m,n为正整数). 勾股定理 1.将实际问题抽象出几何图形，建立数学模型； 关键在找到直角三角形， 解决问题 2. 确定所求线段所在的直角三角形： 设出适当的未知量，表示 第4页共23页 2026-2027学年苏科版数学新教村八年级上册同步培优专题高效讲义 步骤 能找到就直接用勾股定理解题，若找不到就添加辅助线 出三边长。 构造直角三角形； 3. 根据勾股定理，列方程求解。 昌考点讲练真题汇总 题型一用勾股定理解三角形 【典例精讲】（25-26八年级下·重庆巫山·期末)已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边 长为( A.13 B.15 C.17 D.20 【变式训练】(25-26八年级下·云南曲靖·期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5,BC=12,AB= 题型二以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例精讲】（2026·浙江·模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以△ABC的三边为边 长向外侧作正方形，面积分别记为S1,S2,S3,若图中阴影部分（△ABD)面积为定值，则下列式子也是 定值的是( S C B S A.S1+S2+S3 B.S1+S2-S3 C.S1-S2+S3 D.S2-2S1+S3 【变式训练】(25-26八年级上·江苏扬州·期末)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，分 别以AB、BC、CD、AD为边向外作四个正方形，面积分别为S1、S2、S3、S4,若AC=6,S1+S3=30,S2-4=4, 则AD长为一- 第5页共23页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 D S4 B 1 题型三勾股定理的证明方法 【典例精讲】(25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测)我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给 出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法.下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是 ) b A. B. a D b 【变式训练】(25-26八年级下·全国·课后作业)如下图，2个全等的直角三角形与1个小直角梯形恰好 拼成1个大直角梯形，这个图形能证明勾股定理.请你写出证明过程. C 题型四以弦图为背景的计算题 【典例精讲】(25-26八年级下·福建南平·期末)手工课上，同学们以“赵爽弦图”为原型制作传统风格 装饰画.边长为c的大正方形ABCD画框由四个全等的直角三角形彩纸和中间的小正方形拼接而成，结构如 图所示.设直角三角形的两条直角边长分别为a,b(a>b),斜边长为c. 第6页共23页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 B (1)若小正方形的边长为1，a+b=3,求大正方形的边长c (2)若小正方形的面积为4，且(a+b)2=34,求一个直角三角形的面积. 【变式训练】（25-26八年级下·安微马鞍山·期末)如图，“赵爽弦图”是我国著名数学家赵爽创制的， 它以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形 组成.在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中∠ABC=90°，阴影部分的面积是 49,AB=5,则大正方形ACDE的边长是 题型五用勾股定理构造图形解决问题 【典例精讲】(2026·贵州遵义·二模)《九章算术》是古代东方数学代表作，这是国际学术界己公认的 史实.其第九章《勾股》有一题的大意是：如图，假设推开双门(AD和BC),门边缘点D,C距门槛AB为1 尺，且双门间隙CD为2寸，则门宽AB是尺.(1尺=10寸) B 第7页共23页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 【变式训练】(25-26七年级上·山东烟台·期中)如图，有一块四边形草地ABCD,其中∠B=∠D=90°， AB=15m,BC=20m,CD=7m,求这块草地的面积. B 题型六勾股定理与无理数 【典例精讲】(25-26八年级下·广东广州·期末)如图，数轴上的点A表示的数是」 0 3A 【变式训练】(25-26七年级下·山西阳泉·期末)我们知道“实数与数轴上的点是一一对应的”.张华同 学作了如下操作：以单位长度为边长画一个正方形（如图），以数字一1所在点为圆心，正方形的对角线为 半径画弧，与数轴的正半轴交于点A,则点A表示的实数为一一· -2 题型七勾股树（数）问题 【典例精讲】（25-26八年级下·陕西榆林·期末)下列各组数为勾股数的是( ) A.0.6,0.8,1 B.9,10,11 C.7,2425 D.V5,V12,V13 【变式训练】(25-26七年级下·山东济南·期末)若6，a,10是勾股数，则a的值是 第8页共23页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 题型八判断三边能否构成直角三角形 【典例精讲】(26-27八年级上·全国·课后作业)设三角形的三边长分别等于下列各组数，试判断各三角 形是不是直角三角形.若是，指出哪一条边所对的角是直角， (1)12,16,20: (2)1.5,2,2.5. 【变式训练】(26-27八年级上·全国·课后作业)试判断由下列三边围成的三角形是不是直角三角形： (1)三边长分别为m2+n2、mn、m2-n2(m>n>0): (2)三边长之比为1：1：V2. 题型九在网格中判断直角三角形 【典例精讲】(25-26八年级上·河南郑州·期中)如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点A, B,C构成一个三角形，则这个三角形是() --- A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上都不对 【变式训练】(25-26八年级上·江西鹰潭·阶段检测)如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格 中，有三条线段a,b,c(线段端点都在格点上)，以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答： (填“能”或“不能”)· 第9页共23页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 a b 题型十利用勾股定理的逆定理求解 【典例精讲】(25-26八年级下·广东广州·期末)如图，在四边形ABCD中，AB=6,BC=10,CD=15, AD=17,∠CAB=90°. (1)求AC的长： (2)求四边形ABCD的面积. 【变式训练】(25-26八年级下·广东梅州·期中)如图，在△ABC中，AB=8,AC=6,BC=10,根据 尺规作图痕迹，线段AD的长为一· B 题型十一勾股定理与网格问题 【典例精讲】(2026·陕西商洛·三模)如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，△ABC经过一次 平移后得到△A'B'C,点B的对应点B的位置如图所示，则平移距离为_一一 第10页共23页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 B' A 【变式训练】(2026·浙江温州·二模)如图，点A,B,C,D,MP,Q都是方格纸中的格点（即小正方 形的顶点)，若将点M分别与点A,BC,D连接，则下列选项正确的是( ) A M B D A.AM⊥PQ B.BM⊥PQ C.CM 1PQ D.DM⊥PQ 题型十二勾股定理与折叠问题 【典例精讲】(2026·黑龙江佳木斯·三模)在△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,AB=10,点D 在BC上，将△ACD沿AD对折，点C刚好落在AB上的B点，则CD的长( ) B A.4 B.3 c.5 D.6 【变式训练】(25-26八年级下·安徽阜阳·期中)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm,AC=5cm, 将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE,则△ABE的周长等于Ccm 第11页共23页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 题型十三求旗杆高度（勾股定理的应用） 【典例精讲】(25-26八年级上·河南平顶山·期末)为了测量旗杆的高度，小明设计了如图所示的测量方 案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳 子底端距离打结处约3米. 63米 9米 (1)请利用小明设计的方案，计算旗杆的高度： (2)小明查阅旗杆设计图纸，发现测量的结果与设计高度有一点误差，你认为产生误差的原因是什么？（至 少写出一条) 【变式训练】(25-26八年级上·上海松江·期末)某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间 测量校园内旗杆的高度.第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段 在地面拉直后记作QE,用皮尺量出Q的长度为3m.第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地 面上的点F处，用皮尺量出QF的长度为9m.则旗杆的高度为m. 注：线段PO表 示旗杆，PO垂 直地面于点Q 图① 图② 第12页共23页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 题型十四求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 【典例精讲】(25-26八年级下·福建厦门·期中)梦想科技小组在实践课上制作机器人的件如图1所示， 该零件内有两个小滑块A,B,由一根连杆连接，滑块A,B分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动，滑块大 小忽略不计，零件图的集成几何图，如图2所示，开始时，滑块A距0点30厘米，滑块B距0点15厘米， B B 图1 图2 (1)求AB的长； (2)当滑块A向下滑13厘米至点A'处时，滑块B滑动到点B'的位置，则BB'的长为多少厘米？ 【变式训练】(25-26八年级下·天津·阶段检测)如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于AB 时，A0=2.4m,B0=0.7m如果梯子顶端下滑0.4m(即AC=0.4m),那么梯子的底端B向右滑动 m. A B D 题型十五求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 【典例精讲】(24-25七年级上·山东东营·期中)如图，小明操纵无人机从树尖A飞向旗杆顶端C,已知 树高5m,旗杆高21m,树与旗杆之间的水平距离为12m,则无人机飞行的最短距离为多少？ B D 第13页共23页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 【变式训练】（24-25八年级上·四川达州·阶段检测)公园内有两棵树，相距24m,一棵树高为26m, 另一棵树高为16m,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞( ) A.42m B.40m C.26m D.24m 题型十六求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 【典例精讲】(25-26八年级上·重庆北碚·期末)如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高 一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈等于十尺），虫伤有病， 一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，设竹子折断处离地面的高度为x尺，根 据题意，下面所列方程正确的是() A.x2+32=(10-x)2 B.x2+32=102 B.C.x2-32=(10-x)2 D.x2+(10-x)2=32 【变式训练】(25-26八年级上·上海虹口·期末)如图，一棵树（树干与地面垂直）原来高10m,在一 次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶C与树根A的距离AC为6m,则这棵树断裂处点B离地面的高度AB 的长为 题型十七解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 【典例精讲】(25-26八年级下·山东滨州·期中)已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别 是8cm和12cm.将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm, 则铅笔的长是 12 【变式训练】(25-26八年级上·安徽宿州·期中)如图，露在水面的鱼线BC长为3m,钓鱼者把鱼竿AC 第14页共23页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 提起到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C长为4m,若BB'的长为1m,则钓鱼竿AC的长为( m C A B ⊙ A.4 B.5 C.6 D.7 题型十八解决航海问题（勾股定理的应用） 【典例精讲】(25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中)海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段.近日， 美国、日本、菲律宾等国在南海地区联合军演，如图，我军巡逻舰队在点A处巡逻，突然发现在南偏东50° 方向距离15海里的点B处有可疑目标正在以16海里/小时的速度沿南偏西40°方向行驶，向我领海区域行驶， 我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，并进行驱赶，则我军巡逻舰队的航行速度为多 少海里/小时？ 东 By东 第15页共23页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 【变式训练】(25-26八年级下·山东德州·期中)如图，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以30海里/ 时的速度沿北偏东35°方向航行，乙船沿南偏东55°方向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若 C,B两岛相距100海里，乙船的速度是( 北 359 A Dx东 55 B A.20海里/时 B.30海里/时 C.40海里/时 D.50海里/时 题型十九判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 【典例精讲】(25-26八年级上·江西景德镇·期中)如图，∠M0N=45°，在距离0点32V2米的A处有一 学校，一重型卡车P沿道路OW方向行驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响. A M (1)请你判断学校A是否会受到卡车噪声影响.为什么？ (2)若卡车的行驶速度是24千米每小时，求卡车P沿途给学校A带来噪声影响的时间. 第16页共23页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 【变式训练】（25-26八年级上·四川·期中)据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10 月5日在广东徐闻第一次登陆.如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线AB的方向以20km/h 的速度移动，己知距台风中心250km的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：BC= 400km,AC=300km,AB=500km.问： B (1)海港C会不会受到台风的影响？ (②)若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？ 题型二十选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 【典例精讲】(24-25七年级下·全国·暑假作业)如图，某学校(A点)到公路（直线）的距离为300米， 到公交站(D点)的距离为500米，现要在公路边上建一个商店(C点)，使之到学校A及到车站D的距离相 等，求商店C与车站D之间的距离. C 第17页共23页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 【变式训练】（24-25八年级下·山东青岛·期中)如图，某小区的两个喷泉A,B位于小路AC的同侧，两 个喷泉之间的距离AB为25m,喷泉的供水点M在小路AC上.现要为喷泉铺设两条互相垂直的供水管道AM 和BM,已铺管道AM长为20m,BM长为15m,供水点M到AB的距离是MN. M B (1)请判断供水管道AM与BM是否符合铺设要求： (2)求MN的长及AN的长， 题型二十一求最短路径（勾股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级下·安徽阜阳·期中)如图，在一个长为24m,宽为16m的矩形草地上放 着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为2m的正方形，一只蚂蚁从点 A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是()m A.813 B.2V233 C.4W65 D.34 【变式训练】(25-26八年级下·山西大同·期中)一个圆柱形饮料罐底面周长为3cm,高为2cm.一只 蚂蚁从底面圆周上的点A处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点B处.则蚂蚁爬行的最短路径长度为 cm. 第18页共23页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 题型二十二勾股定理逆定理的实际应用 【典例精讲】(25-26八年级下·云南昆明·期中)如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船 同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船 分别位于点A,B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西50°方向航行，那么慢船沿什么方向航行？ 【变式训练】(25-26八年级下·广西贺州·期中)校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知 识测量池塘两端A,B之间的距离，他们的操作过程如下：①沿AB延长线的方向，在池塘边的空地上选点C, 使BC=6米；②在AC的一侧选点D,恰好使BD=8米，CD=10米；③测得AD=17米.请根据他们的 操作过程，回答以下问题： (1)求∠ABD的度数； (2)求出A,B两点间的距离， 第19页共23页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 优选真题实战演练 【基础夯实】 1.(26-27八年级上·四川达州·开学考试)如图，0A=5,过点A作直线l10A,点B在直线1上，AB=2, 以点O为圆心，以OB长为半径作弧，与OA的延长线交于点C,则点C表示的实数是( B -1012345 A.√21 B.V29 C.7 D.29 2.(26-27九年级上·云南曲靖·开学考试)如图，将一根长18cm的吸管放进一个底面直径为5cm,高 为12cm的圆柱形空水杯中，则吸管在杯口外的长度不可能是( ) A.7cm B.6cm C.5.5cm D.5cm 3.(2026江苏徐州中考真题)如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在点B处，若∠C=90°，AB=5cm, BC=3cm,则△BCD的周长为 cm. D B 4.(25-26八年级下·陕西商洛·期中)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB,BC为边向外部 作正方形，甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23，则AC的长为 第20页共23页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 甲 5.(25-26八年级下·辽宁朝阳·期末)如图，在四边形ABCD中，AB=BC=3,CD=5,AD=V7, 且∠B=90°. D B C (1)求∠BAD的度数： (2)求四边形ABCD的面积. 【培优拔高】 1.(26-27八年级上·福建福州·开学考试)如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=∠ACB=45°，BC=12, D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，DE=5,过点A作AF1AD,垂足是A,过点C作CF1BC,垂足是 C,交AF于点F,连接EF,S△cBF=( D E A.5 B.5.5 C.6 D.6.5 第21页共23页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同步培优专题高效讲义 2.(25-26七年级下·山东济南·期末)在等边三角形ABC中，AD平分∠BAC,M,N分别为边AD,AB 上的点，且AM=BN.若CM+CN的最小值为3V2,则等边三角形ABC的边长为( B A.3V2 B.2 C.2V2 D.3 3.(25-26七年级下·山东济南·期末)如图，在长方形纸片ABCD中，点E为边BC上一点，将长方形纸片 ABCD沿过点E的直线折叠，使点B落在边CD上的点B'处，点A落在点A'处，折痕EF交AD于点F.若AD=9, CD=7,BE=5,则线段AF的长为 D B E B 4.(25-26八年级下·陕西宝鸡·期末)如图在△ABC中，其中AB=AC=3V7,∠BAC=55°，CD1AB 于点D,点E,点F分别在线段AC,CD上，且满足AE=CF,则BE+AF最小值是 D 5.(26-27八年级上·浙江金华·开学考试)如图，P是正△ABC内一点，PA=3,PB=4,PC=5,将线 段PA以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AP1,连结P1C. P B (1)∠APB的度数为 第22页共23页 2026-2027学年苏科版数学新教材八年级上册同培优专题高效讲义 (2)△BPC的面积 第23页共23页 专题3.4 勾股定理（章节复习）『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+22个题型讲练+难度分层练 共54题） 【苏科版数学新教材•八年级上册】 同学你好，该份讲义用于苏科版新教材八年级上册内容章节学习同步举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期中期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合苏科版八上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 3 考点讲练 真题汇总 5 题型一 用勾股定理解三角形 5 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 5 题型三 勾股定理的证明方法 6 题型四 以弦图为背景的计算题 6 题型五 用勾股定理构造图形解决问题 7 题型六 勾股定理与无理数 8 题型七 勾股树(数)问题 8 题型八 判断三边能否构成直角三角形 9 题型九 在网格中判断直角三角形 9 题型十 利用勾股定理的逆定理求解 10 题型十一 勾股定理与网格问题 10 题型十二 勾股定理与折叠问题 11 题型十三 求旗杆高度(勾股定理的应用) 12 题型十四 求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 13 题型十五 求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 13 题型十六 求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 14 题型十七 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 14 题型十八 解决航海问题(勾股定理的应用) 15 题型十九 判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 16 题型二十 选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 17 题型二十一 求最短路径(勾股定理的应用) 18 题型二十二 勾股定理逆定理的实际应用 19 优选真题 实战演练 20 【基础夯实】 20 【培优拔高】 21 知识点 重点归纳 常见易错点 勾股定理 1.文字语言： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 注意：勾股定理的使用条件——必须是直角三角形，其他三角形是不能使用的！ 并且要确定好哪条边是斜边 2.图形语言： 3.符号语言: 勾股定理验证 方法1： 方法2： 勾股定理的验证方法采用拼图的方式，基本思想都是利用两种不同的方式表示同一图形的面积，建立等式，化简之后得到 方法3： 方法4： 常见应用 应用1：求解三角形中未知边长； 应用2：网格中绘制无理数长度线段； 应用3：数轴上绘制无理数的点； 应用4：解决实际问题中的长度问题； 应用5：求解一些最值问题； 应用6：求解一些立体几何中的长度问题； 勾股定理逆定理 1.文字语言： 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 我们习惯是用表示直角边，表示斜边，但真正到习题或考试中不一定表示直角边，不一定表示斜边 例如： 此时化简后为： 所以表示斜边 2.图形语言： 3.符号语言: 勾股定理与逆定理关系 正确理解二者的关系 勾股数 1.概念： 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数； 注意：，，要成为勾股数必须满足两个条件： 条件1：满足; 条件2：，，必须是正整数; 这里最易被忽略的是条件2，千万要注意！ 2.常用勾股数：如；；；等 3. 用含字母的代数式表示组勾股数： （为正整数）； 　（为正整数） （，为正整数）. 勾股定理解决问题步骤 1. 将实际问题抽象出几何图形，建立数学模型； 2. 确定所求线段所在的直角三角形； 能找到就直接用勾股定理解题，若找不到就添加辅助线构造直角三角形； 3. 根据勾股定理，列方程求解。 关键在找到直角三角形，设出适当的未知量，表示出三边长。 题型一 用勾股定理解三角形 【典例精讲】（25-26八年级下·重庆巫山·期末）已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（     ） A．13 B．15 C．17 D．20 【变式训练】（25-26八年级下·云南曲靖·期末）在中，，，， __________． 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例精讲】（2026·浙江·模拟预测）如图，在中，，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若图中阴影部分（）面积为定值，则下列式子也是定值的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在四边形中，，分别以、、、为边向外作四个正方形，面积分别为、、、，若，，，则长为___． 题型三 勾股定理的证明方法 【典例精讲】（25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测）我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，2个全等的直角三角形与1个小直角梯形恰好拼成1个大直角梯形，这个图形能证明勾股定理．请你写出证明过程． 题型四 以弦图为背景的计算题 【典例精讲】（25-26八年级下·福建南平·期末）手工课上，同学们以“赵爽弦图”为原型制作传统风格装饰画．边长为的大正方形画框由四个全等的直角三角形彩纸和中间的小正方形拼接而成，结构如图所示．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边长为． (1)若小正方形的边长为，，求大正方形的边长c； (2)若小正方形的面积为，且，求一个直角三角形的面积． 【变式训练】（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，“赵爽弦图”是我国著名数学家赵爽创制的，它以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中，阴影部分的面积是49，，则大正方形的边长是______． 题型五 用勾股定理构造图形解决问题 【典例精讲】（2026·贵州遵义·二模）《九章算术》是古代东方数学代表作，这是国际学术界已公认的史实．其第九章《勾股》有一题的大意是：如图，假设推开双门（和），门边缘点，距门槛为1尺，且双门间隙为2寸，则门宽是____尺．（1尺10寸） 【变式训练】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，有一块四边形草地，其中，，，，求这块草地的面积． 题型六 勾股定理与无理数 【典例精讲】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，数轴上的点表示的数是________． 【变式训练】（25-26七年级下·山西阳泉·期末）我们知道“实数与数轴上的点是一一对应的”．张华同学作了如下操作：以单位长度为边长画一个正方形（如图），以数字所在点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴的正半轴交于点A，则点A表示的实数为______． 题型七 勾股树(数)问题 【典例精讲】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）下列各组数为勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式训练】（25-26七年级下·山东济南·期末）若，，是勾股数，则的值是________． 题型八 判断三边能否构成直角三角形 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）设三角形的三边长分别等于下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形．若是，指出哪一条边所对的角是直角． (1)12，16，20； (2)1.5，2，2.5． 【变式训练】（26-27八年级上·全国·课后作业）试判断由下列三边围成的三角形是不是直角三角形： (1)三边长分别为； (2)三边长之比为． 题型九 在网格中判断直角三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【变式训练】（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段检测）如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：________（填“能”或“不能”）． 题型十 利用勾股定理的逆定理求解 【典例精讲】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【变式训练】（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为______． 题型十一 勾股定理与网格问题 【典例精讲】（2026·陕西商洛·三模）如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，经过一次平移后得到，点B的对应点的位置如图所示，则平移距离为________． 【变式训练】（2026·浙江温州·二模）如图，点A，B，C，D，M，P，Q都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．若将点M分别与点A，B，C，D连接，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 题型十二 勾股定理与折叠问题 【典例精讲】（2026·黑龙江佳木斯·三模）在中，，，，，点D在上，将沿对折，点C刚好落在上的E点，则的长（     ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，，将折叠，使点C 与点A重合，得折痕，则的周长等于_______． 题型十三 求旗杆高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）为了测量旗杆的高度，小明设计了如图所示的测量方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米． (1)请利用小明设计的方案，计算旗杆的高度； (2)小明查阅旗杆设计图纸，发现测量的结果与设计高度有一点误差，你认为产生误差的原因是什么？（至少写出一条） 【变式训练】（25-26八年级上·上海松江·期末）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度为．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出的长度为．则旗杆的高度为______m． 题型十四 求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·福建厦门·期中）梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图1所示，该零件内有两个小滑块，，由一根连杆连接，滑块，分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动，滑块大小忽略不计，零件图的集成几何图，如图2所示，开始时，滑块距点厘米，滑块距点厘米， (1)求的长； (2)当滑块向下滑厘米至点处时，滑块滑动到点的位置，则的长为多少厘米？ 【变式训练】（25-26八年级下·天津·阶段检测）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于时，如果梯子顶端下滑（即），那么梯子的底端向右滑动___________． 题型十五 求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为多少？ 【变式训练】（24-25八年级上·四川达州·阶段检测）公园内有两棵树，相距，一棵树高为，另一棵树高为，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另 一棵树的顶端，小鸟至少要飞（      ） A． B． C． D． 题型十六 求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·重庆北碚·期末）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈等于十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，设竹子折断处离地面的高度为x尺，根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·上海虹口·期末）如图，一棵树（树干与地面垂直）原来高，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶与树根的距离为，则这棵树断裂处点离地面的高度的长为_____． 题型十七 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·山东滨州·期中）已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是和．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，则铅笔的长是_________． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，露在水面的鱼线长为，钓鱼者把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，若的长为，则钓鱼竿的长为（    ）m    A．4 B．5 C．6 D．7 题型十八 解决航海问题(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．近日，美国、日本、菲律宾等国在南海地区联合军演，如图，我军巡逻舰队在点处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点处有可疑目标正在以16海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，向我领海区域行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点处将其追上，并进行驱赶，则我军巡逻舰队的航行速度为多少海里/小时？ 【变式训练】（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以海里时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距海里，乙船的速度是 （    ） A．海里时 B．海里时 C．海里时 D．海里时 题型十九 判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·江西景德镇·期中）如图，，在距离点米的处有一学校，一重型卡车沿道路ON方向行驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响． (1)请你判断学校是否会受到卡车噪声影响．为什么？ (2)若卡车的行驶速度是24千米每小时，求卡车沿途给学校带来噪声影响的时间． 【变式训练】（25-26八年级上·四川·期中）据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线的方向以的速度移动，已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：，，．问： (1)海港C会不会受到台风的影响？ (2)若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？ 题型二十 选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·暑假作业）如图，某学校（点）到公路（直线）的距离为300米，到公交站（点）的距离为500米，现要在公路边上建一个商店（点），使之到学校及到车站的距离相等，求商店与车站之间的距离． 【变式训练】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离为，喷泉的供水点在小路上．现要为喷泉铺设两条互相垂直的供水管道和，已铺管道长为，长为，供水点到的距离是． (1)请判断供水管道与是否符合铺设要求； (2)求的长及的长． 题型二十一 求最短路径(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在一个长为 ，宽为 的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为 的正方形，一只蚂蚁从点处爬过木块到达点处需要走的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级下·山西大同·期中）一个圆柱形饮料罐底面周长为，高为．一只蚂蚁从底面圆周上的点处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______． 题型二十二 勾股定理逆定理的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么慢船沿什么方向航行？ 【变式训练】（25-26八年级下·广西贺州·期中）校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在AC的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，回答以下问题： (1)求的度数； (2)求出，两点间的距离． 【基础夯实】 1．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，，过点A作直线，点B在直线l上，，以点O为圆心，以长为半径作弧，与的延长线交于点C，则点C表示的实数是（     ） A． B． C．7 D．29 2．（26-27九年级上·云南曲靖·开学考试）如图，将一根长的吸管放进一个底面直径为，高为的圆柱形空水杯中，则吸管在杯口外的长度不可能是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，若，，，则的周长为_________． 4．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图，在中，，分别以为边向外部作正方形，甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23，则的长为___________． 5．（25-26八年级下·辽宁朝阳·期末） 如图，在四边形中，，，，且． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【培优拔高】 1．（26-27八年级上·福建福州·开学考试）如图，在中，，，，、是斜边上两点，且，，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，（     ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 2．（25-26七年级下·山东济南·期末）在等边三角形中，平分，，分别为边，上的点，且．若的最小值为，则等边三角形的边长为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在长方形纸片中，点为边上一点，将长方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交于点．若，，，则线段的长为__________． 4．（25-26八年级下·陕西宝鸡·期末）如图在中，其中，，于点D，点E，点F分别在线段，上，且满足，则最小值是________． 5．（26-27八年级上·浙江金华·开学考试）如图，是正内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，连结． （1）的度数为___________； （2）的面积___________． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null