导数提高题型训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

导数复习 题型一：切线几何意义 1.过点M1,0)且与曲线y=x3-x相切的直线的方程为 2.已知点P是曲线y=x2-3lnx上任一点，则P到直线x+y+ 0的距离的最小值是() 3 B.7V2 c.3v2 4 2 3.已知f(x)=e-1(e为自然对数的底数)，g(x)=lnx+1,请写出f(x)与gx)的一条公切线的方 程 第1页共11页 题型二：导数单调性应用 4已函数f八)=e一0产在区同Q+切)上单调端塔，则a的最大值为(） B.e2 C.e D、 e2 5.已知数小-horr在区同 存在单调递减区间，则a的取值范围是() A.[1,+o） B.(1,+o C.（-0,1 D.（-0,l 6.若函数f(x)=2x2-x在定义域内的区间(k-1,k+1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是( 2别 第2页共11页 7已知看数g到-写”-号r+2x+1,者g)在1,2内不单调，则实数口的取值箱同是 题型三：三次函数最值问题 8设f=吉-方-2x+1,当-2.到时，f<m恒成立，则实数m的取值箱周是() e(m)引 9害有数到=行式+在区何（口-a+到内存在最小值，则实数a的眼值定同是(） A[-5, B.（-5,1 C.[-2,1 D.（-2,1 第3页共11页 10函数=x-x在区间(aa+列内存在最小值，则实数a的取值范围是() A(-3,2) B.[-3,2) c.[-1,2) D.（-1,2) 题型四：构造函数 1已知定义拔为R的奇函数y=f)的导函数为y=川x,当x≠0时，(+f国<0，若 a=f(1),b=-3f(-3),c=2f(2),则a，,b,C的大小关系正确的是(） A.a<b<c B.b<c<a C.a<c<b D.c<a<b 12.已知函数f(x)的导函数为f'(x),若f(x)+f(x)>2,f(0)=5,则不等式f(x)-3e>2的 解集为 第4页共11页 13.已知a,b,c∈1，+o,且a-lna-1=e1,b-lnb-2=e2,c-lnc-4=e4,其中e是自然对数 的底数，则() A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<b<a 题型五：单调性讨论 14.已知函数fx)=x+alnx,a∈R) (1)当a=-1时，求y=f(x)过原点(0,0的切线方程： (2)讨论fx)的单调性 第5页共11页 l5.已知函数fx=ae2x+a-2)e-xa∈R. (1)当a>0时，求函数f(x的极值； 16.已知fx)=xe2x,其中x>0,a>0. (1)当a=1时，求f(x)的极值； (2)求f(x)在区间2,4上的最大值g(a). 第6页共11页 l7.已知f(x=ax-lnx,aeR. (1)若gx)=∫(x)+x2在1,3上单调递减，求a的取值范围： (2)是否存在实数a,使fx)在区间(0，的最小值是5，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理 由. 题型六：极值、极值点 18.若函数f(x=2x3-3a+1x2+6ax的极小值点为1，则() A.a>1 B.a<1 C.a≥1 D.a≤1 第7页共11页 19.若m为函数f(x=m(x-m)(n-x)(其中m≠0)的极小值点，则() A.m>n>0 B.m<n<0 C.mnzm2 D.mn<m2 己知函数f(x)=。+m+山©+2(m∈R有两个极值点，则实数m的取值范围为( A.(0,+oo】 (o] c(m 第8页共11页 21若新数小=则x-e一+ x有三个极值点，则m的取值范围是 题型七：导数综合应用 22已知函数f✉)=ar+br2-2,且当x=2时，函数f八)取得极值为名 (1)求fx的解析式： (2)若关于x的方程∫(x)+6x+m=0在[-2,0]上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围. 第9页共11页 23.某校高二年级学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，某学生准备做一个体积为54r的圆 柱形模型，当模型的表面积最小时，其底面半径为 24.己知函数f(x)=lnx+bx+c,g(x)=kx2+2,f(x)在x=1处取得极大值1. (1)求b和c的值： (2)当x∈L,+0)时，曲线=f(x)在曲线y=g(x)的上方，求实数k的取值范围. 第10页共11页 导数复习 题型一：切线几何意义 1. 过点且与曲线相切的直线的方程为___________. 【答案】或 【详解】设切点为，对函数求导得，则切线斜率为， 所以，曲线在点处的切线方程为， 因为切线过点，则有，整理可得， 即， 当时，切线斜率为，切线方程为，即； 当时，切线斜率为，切线方程为，即. 故答案为：或. 2. 已知点是曲线上任一点，则到直线的距离的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】设，因为，则，由题有， 解得或（舍），所以， 此时到直线的距离为， 故选：B. 3．已知（e为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程 . 【答案】或(写出一条直线即可) 【解析】设公切线与相切于点，与相切于点， ，，则公切线斜率， 公切线方程为或， 整理得或， 所以，即， ，解得或， 公切线方程为或. 题型二：导数单调性应用 4. 已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】由已知可得， 因为在上单调递增， 所以即在上恒成立， 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，所以， 即的最大值为. 故选：C 5．已知函数在区间存在单调递减区间,则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题,, 因为,则若函数在区间存在单调递减区间, 即在上有解, 即存在,使得成立, 设,则, 当时,, 所以,即, 6. 若函数在定义域内的区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由函数可知函数定义域为，且. 令，可得；令，可得， 即函数在区间上单调递减；在区间上单调递增. 因为函数在定义域内的区间上不是单调函数， 所以，解得：. 故选：B 7. 已知函数，若在内不单调，则实数的取值范围是______________． 【答案】 【详解】由，得， 因为在内不单调，所以在内有实数根且无重根. 若在内有且只有一个实数根，的图象如图， 则， 即，显然不等式无解； 若在内有两个不相等的实数根，的图象如图， 则，即，解得. 综上，实数的取值范围是 故答案为：． 题型三：三次函数最值问题 8. 设，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】当时，恒成立等价于， 所以，当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减，， 所以，即. 故选：A. 9. 若函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】由，令，可得或， 由得：或，由得：， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值， 令，解得或， 若函数在内存在最小值，则，得． 故选：C 10. 函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【详解】，则， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 因， 则当在内存在最小值时，有得， 则实数的取值范围是.故选：C. 题型四：构造函数 11. 已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 详解】设，则， 因为当时，，所以当时,，即； 当时,，即； 所以在上单调递增，在上单调递减； 又函数为奇函数，所以，因此， 故函数为偶函数， 所以，，， 因为在上单调递减，所以， 故. 故选：B 12. 已知函数的导函数为，若，，则不等式的解集为__________. 【答案】## 【详解】构造函数，则该函数的定义域为，且， 所以，，则函数在上为增函数， 由可得，即，解得. 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 13. 已知，且，，，其中是自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】由题意可得，，， 令，则， 因为当时，单调递增， 所以，即， 令，则， 因为当时，，所以在上单调递增， 又因为且， 所以， 故选：A 题型五： 题型五：单调性讨论 14. 已知函数. （1）当时，求过原点的切线方程； （2）讨论的单调性. 【答案】（1） （2）答案见解析 【小问1详解】 由题意知，的定义域为，则， 当时，，设切点为，则切线方程为 ，即， 又因为切线过，代入切线方程得， 即，解得，所以切线方程为. 【小问2详解】 ， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，令，得， 所以，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上所述，①当时，在上单调递增； ②当时，在上单调递减，在上单调递增. 15. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； 【解析】 ，， 令，得， 令，可得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，极小值为，无极大值. 16．已知，其中． (1)当时，求的极值； (2)求在区间上的最大值． 【解析】（1）当时，，， 则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故有极大值，无极小值； （2），， 当时，恒成立，故， 即在上单调递减，故； 当时，令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 即； 当时，恒成立，故， 即在上单调递增，即； 综上所述，. 17. 已知，． （1）若在上单调递减，求的取值范围； （2）是否存在实数，使在区间的最小值是5，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在,. 【小问1详解】 , , 因为在上单调递减， 所以在恒成立， 即在恒成立， 因为函数在单调递减， 所以， 所以， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 ， 若，则在恒成立， 则函数在区间单调递减， 所以，解得，不符合题意； 若，由解得， 由解得， （i）若，即， 则函数在单调递减，单调递增， 所以，解得，满足题意； （ii）若，即， 则函数在单调递减， 所以，解得，不满足题意； 综上， 题型六：极值、极值点 18. 若函数的极小值点为1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】因为， 所以. 若，当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 此时1是的极大值点，矛盾，故不符合题意； 若，则，等号成立当且仅当，此时在上单调递增， 即此时没有极值点，故不符合题意； 若，当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 此时1是的极小值点，故符合题意； 综上所述，符合题意的的取值范围是. 故选：B. 19．若为函数（其中）的极小值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故. 由于，且，故有两根为或 ①当时，若为极小值点，则需满足：，故有， 可得； ②当时，若为极小值点，则需满足：，故有：， 可得. 故A，B选项错误，综合①②有：. 20. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】函数的定义域为R，，因为函数有两个极值点， 所以有两个不同的零点， 故关于x的方程有两个不同的解， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减， 又当时，；当时，， 且，，故， 即. 故选：D. 21. 若函数有三个极值点，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】由有：，所以函数有三个极值点等价于有三个实根， 即有两个实根且根不为3，所以，令， 所以，令有，由有，有， 所以在上为增函数，在上为减函数，，所以或，所以， 故答案为：. 题型七：导数综合应用 22. 已知函数，且当时，函数取得极值为． （1）求的解析式； （2）若关于x的方程在上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）， 由题意得，，即，解得， ∴. （2）由有两个不同的实数解， 得在上有两个不同的实数解， 设， 由，由，得或， 当时，，则在上递增， 当时，，则在上递减， 由题意得，即，得，即的取值范围是. 23. 某校高二年级学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．某学生准备做一个体积为的圆柱形模型，当模型的表面积最小时，其底面半径为________． 【答案】 【详解】设圆柱模型的底面半径为，高为，则圆柱模型的体积为，即， 所以圆柱模型的表面积为， 令，，则， 令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在取得最小值，即当圆柱模型的底面半径为时，模型的表面积最小， 故答案为：. 24．已知函数在处取得极大值 (1)求和的值； (2)当时，曲线在曲线的上方，求实数的取值范围． 【解析】（1）解： ．由已知，， 解得，．经检验，满足题意．所以，． （2）解： ，．． 依题意对任意的恒成立． 所以对任意的恒成立． 令，，， 令，， 所以，令，所以． 因为当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 当时，函数的最小值为，且． 所以，即．在上单调递增， 所以， 所以，故实数的取值范围为． 25．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【解析】（1）因为函数的定义域为， ． 当时，，所以在上单调递增． 当时，若，则，若，则， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）可知，当时，． 要证，只需证， 即证． 令，则，要证即证． 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 故当时，． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $