4.3-4.4 等比数列与数学归纳法（六大题型）专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

高二上学期 第四章 数列 专项训练 4.3-4.4 等比数列与数学归纳法（六大题型）专项训练 人教A版选择性必修第二册数学高二上学期 （建议用时：120分钟　测试范围：第四章 数列 4.3~4.4） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．本专项按六个考点分组，每个考点内由易到难；先看考点归纳，再逐题训练。 2．用等比数列前n项和公式前先判断公比是否为1；结果化为最简形式，多解要写全。 3．解答题要写出构造、错位相减、归纳奠基与归纳递推等关键步骤，只写结果不得分。 内容速览　六考点 62 题（选择21·填空22·解答19） 配套解析：解析版 25 页，含速查表、答案、详解、易错提醒；题目配图 4 幅 　考点归纳 1．等比数列基本量的运算：知三求二、公比的分类讨论、由前n项和求项数 2．等比数列的性质与判定：下标和性质、等比中项、片段和成等比、构造等比数列求通项 3．等差数列与等比数列的综合：三数成等差或等比、等差与等比的相互转化、由前n项和与通项的关系判断数列类型 4．数列求和：分组求和、裂项相消、错位相减 5．等比数列的实际应用：复利与增长率、细胞分裂与分形、分期付款、递推型增长模型 6．数学归纳法：归纳奠基与归纳递推、由k到k＋1的变化项、证明等式与整除、归纳—猜想—证明 　考点01　等比数列基本量的运算 1．在等比数列{an}中，a3＝12，公比q＝2，则a6的值为(____)。 A．768 B．96 C．72 D．48 2．已知等比数列{an}的首项a1＝－2，a4＝54，则公比q＝________，a5＝________。 3．已知等比数列{an}的第3项a3＝9，前3项和S3＝13，则公比q＝(____)。 A．－3或 B．3 C．或 D．3或 4．如图，把正项等比数列{an}的前6项对应的点(n，an)画在平面直角坐标系中，其中两个点的坐标已经标出，则{an}的前7项和S7＝________。 5．已知等比数列{an}的首项为3，公比为－2，则它的前6项和S6等于(____)。 A．－63 B．189 C．63 D．33 6．在等比数列{an}中，a1＝a5＝3，则S9＝________。 7．已知等比数列{an}的首项为1，前3项和为3，则公比q的值为(____)。 A．2或－1 B．－2 C．1或－2 D．1 8．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1a2a3＝216，a3＋a4＝72。 (1)求a2与公比q； (2)求an及Sn； (3)求由{an}的奇数项组成的数列a1，a3，a5，…，a2n-1的前n项和。 9．已知{an}是公比q＞1的等比数列，a1＋a4＝28，a2a3＝27。 (1)求a1与q； (2)写出an及Sn； (3)若Sm＝364，求正整数m。 10．在等比数列{an}中，a1＝3，an＝96，Sn＝189，则公比q＝________，项数n＝________。 11．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S6＝9S3，且a1＋a2＝6。 (1)求公比q； (2)求an与Sn； (3)数列{Sn}中有多少项小于2026？ 　考点02　等比数列的性质与判定 12．在各项均为正数的等比数列{an}中，a2a8＝36，则a5＝(____)。 A．±6 B．36 C．6 D．18 13．2＋与2－的等比中项为________。 14．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a2a4a6a8＝81，则a5的值为(____)。 A．3 B．±3 C．9 D． 15．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3，S12＝39，则S8＝________。 16．已知数列{an}满足a1＝5，an+1＝3an－4，则数列{an}的通项公式为an＝(____)。 A．7×－2 B．＋2 C．5×＋2 D．＋2 17．在等比数列{an}中，a2a3a4＝8；数列{bn}是等差数列，且b3＝a3，则{bn}的前5项和T5＝________。 18．已知数列{an}中，a1＝2，an+1＝4an－3（n∈N*）。 (1)令bn＝an－1，证明{bn}是等比数列； (2)求an及{an}的前n项和Sn。 19．若数列{an}的前n项和Sn＝2×＋r，且{an}是等比数列，则实数r＝________。 20．已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an＋n－1（n∈N*）。 (1)求a2，a3； (2)证明{an＋n}是等比数列，并由此写出an及Sn。 21．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，Sn+1＝2Sn＋1（n∈N*）。 (1)证明：{Sn＋1}是等比数列； (2)求an； (3)若a1a2a3…an＝，求n的值。 　考点03　等差数列与等比数列的综合 22．若－1，x，－9成等比数列，－1，y，－9成等差数列，则xy的值为(____)。 A．15 B．－15 C．25 D．15或－15 23．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a2，a4，a8依次成等比数列，则这个等比数列的公比为________。 24．已知{an}是等差数列，a3＝4，数列{bn}满足bn＝，则b1b2b3b4b5＝(____)。 A． B．80 C． D． 25．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－5（n∈N*），则S5＝________。 26．已知数列{an}的通项an＝2×，bn＝log2an，则b1＋b2＋…＋b10＝(____)。 A．190 B．100 C．19 D．110 27．设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差不为0，S3＝18，且a1，a2，a5成等比数列，则S8＝(____)。 A．144 B．48 C．128 D．240 28．三个正数成等比数列，它们的积为1000；若把第一个数减去1，第三个数减去4，第二个数不变，所得的三个数恰好成等差数列。 (1)求这三个数； (2)当这三个数递增时，把它们依次作为等比数列{bn}的前三项，求{bn}的前n项和Tn。 29．已知公比q≠1的等比数列{an}满足a1＝3，且a1，2a2，3a3成等差数列。 (1)求q及an； (2)设bn＝log3an，证明{bn}是等差数列； (3)求|b1|＋|b2|＋…＋|b10|。 30．在2和162之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则插入的3个数的乘积为________。 31．已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d≠0，且a1，a3，a11成等比数列。 (1)求{an}的通项公式； (2)从{an}中依次取出第k1项、第k2项、…、第kn项（k1＝1，k2＝3，k3＝11），这些项按原来的顺序恰好构成等比数列，求kn； (3)求k1＋k2＋…＋kn。 　考点04　数列求和 32．已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋，则它的前5项和S5为(____)。 A．92 B．112 C．93 D．61 33．求和：＋＋＋…＋＝________。 34．数列{n·的前n项和Tn＝(____)。 A．1－ B．2－ C．2－ D．2－ 35．已知数列{an}中，当n为奇数时an＝，当n为偶数时an＝2n－1，则数列{an}的前2n项和S2n＝________（用含n的式子表示）。 36．已知an＝2n＋1，bn＝，则数列{bn}的前n项和Tn＝(____)。 A． B． C． D． 37．已知数列{an}的通项an＝·n²，则它的前20项和S20＝________。 38．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，S5＝25；各项均为正数的等比数列{bn}满足b1＝3，b3＝27。 (1)求{an}与{bn}的通项公式； (2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn。 39．设an＝1＋2＋3＋…＋n，则＋＋…＋＝________。 40．已知数列{an}满足a1＝2，an+1＝2an，设bn＝log2an，cn＝an＋。 (1)写出an与bn； (2)求{cn}的前n项和Tn； (3)当Tn首次超过100时，n等于多少？ 41．已知等差数列{an}中a1＝2，a3＝4；数列{bn}的前n项和Bn＝－2。 (1)求an与bn； (2)设cn＝，用错位相减法求{cn}的前n项和Tn； (3)若Tn≥λ对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围。 　考点05　等比数列的实际应用 42．某人把2万元存入银行，年利率为3%，按复利计息（每年的利息计入下一年的本金），则3年后的本利和为(____)万元。 A．2×1.03×3 B．2× C．2×(1＋3×0.03) D．2× 43．如图，某种细胞每30分钟由1个分裂成2个，分裂出的细胞继续按同样的规律分裂。现有若干个这样的细胞，经过3小时后共有1536个细胞，则原有这种细胞________个。 44．某企业2026年的年产值为a万元，计划以后每年的年产值都比上一年增长20%。按此计划，年产值首次达到2026年的4倍（即翻两番）是在(____)年（参考数据：≈1.73，≈2.07，≈3.58，≈4.30）。 A．2033 B．2034 C．2030 D．2041 45．如图，图①是面积为1的正三角形（阴影部分），连接它三边的中点，挖去中间的小三角形，得到图②；再对图②中每个阴影三角形都这样操作，得到图③……依此类推，则图⑤中阴影三角形的个数为________，阴影部分的面积为________。 46．小李向银行贷款2万元，年利率为10%，按复利计息。约定从贷款后的第1年年末开始，每年年末偿还相同的金额x万元，第3年年末恰好还清，则x＝(____)。 A． B． C． D． 47．某种传染病在无外力干预时，每个感染者在一轮传染中平均传染3个新感染者；若采取防控措施，每个感染者在一轮传染中平均只传染2个新感染者。新感染者从下一轮起也按同样的规律传染。从1个初始感染者开始，经过5轮传染后，采取防控措施比不采取措施累计感染人数（含初始感染者）少________人。 48．某公司为奖励骨干员工设计了两种年度奖金方案：方案一，第1年发5万元，以后每年比上一年多发1万元；方案二，第1年发5万元，以后每年比上一年增长20%。如图画出了两种方案前6年每年奖金对应的点。 (1)分别写出两种方案第n年奖金an，bn（单位：万元）的表达式； (2)分别求两种方案前6年奖金的总额（参考数据：≈2.986）； (3)若公司前6年给该员工的奖金总额预算不超过48万元，应选择哪种方案？ 49．某单位花16万元购入一台设备，此后每年年末设备的价值都比上一年年末减少25%。 (1)写出第n年年末设备的价值an（单位：万元）； (2)到第几年年末，设备价值首次低于5万元？ (3)求前5年设备价值一共减少了多少万元（精确到0.01万元）。 50．某湖泊今年年初有鱼100吨，鱼群的年自然增长率为50%，每年年底捕捞30吨。设从今年起第n年年初的鱼量为an吨，则an＝________，第4年年初的鱼量为________吨。 51．张老师购买一台电脑，向银行贷款10000元，月利率为1%，按复利计息，贷款后第1个月月末开始每月月末等额还款，12个月还清。 (1)设每月还款x元，建立关于x的方程； (2)求x（精确到0.01元）； (3)张老师共付利息多少元（精确到0.01元）？ 　考点06　数学归纳法 52．用数学归纳法证明等式1＋3＋＋…＋＝（n∈N*）时，第一步验证n＝1，等式左边应当是(____)。 A．1＋3 B．1＋3＋＋ C．1 D．1＋3＋ 53．用数学归纳法证明“＞n²＋1对一切大于或等于n0的正整数n都成立”时，n0的最小值应取________。 54．用数学归纳法证明“n³＋2n（n∈N*）能被3整除”，由n＝k到n＝k＋1时，为了用上归纳假设，应把(k＋1)³＋2(k＋1)整理成(____)。 A．(k³＋2k)＋3(k²＋k＋1) B．(k³＋2k)＋3k²＋3k＋2 C．(k³＋2k)＋3k²＋3k＋1 D．(k³＋2k)＋3 55．设f(n)＝＋＋…＋（n∈N*），用数学归纳法证明与f(n)有关的命题时，f(k＋1)－f(k)＝(____)。 A．－ B．＋＋ C．＋＋－－ D．＋＋－ 56．用数学归纳法证明＋6n－1（n∈N*）能被9整除时，由n＝k到n＝k＋1，把＋6(k＋1)－1变形为＋6k－1)－（________），就能用上归纳假设。 57．已知数列{an}满足a1＝2，an+1＝2－（n∈N*），通过计算前几项归纳出通项公式（可用数学归纳法证明），则a100＝(____)。 A． B． C． D． 58．用数学归纳法证明：1×2＋2×＋3×＋…＋n×＝(n－1)×＋2（n∈N*）。 59．用数学归纳法证明＋＋…＋＞－（n≥2，n∈N*）时，假设n＝k时不等式成立，要证n＝k＋1时也成立，只需证明＞________（写成一个分式）。 60．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝3n－2an（n∈N*）。 (1)求a1，a2，a3，a4； (2)计算3－a1，3－a2，3－a3，3－a4，猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想。 61．用数学归纳法证明：－24n－1（n∈N*）能被576整除。 62．设an＝，bn＝(n＋1)²，n∈N*。 (1)求n＝1，2，3，4时an，bn的值，并比较它们的大小； (2)由(1)猜想使an＞bn成立的正整数n的范围，并用数学归纳法证明你的结论。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $高二上学期 第四章 数列 专项训练 4.3-4.4 等比数列与数学归纳法（六大题型）专项训练 人教A版选择性必修第二册数学高二上学期 （建议用时：120分钟　测试范围：第四章 数列 4.3~4.4） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．本专项按六个考点分组，每个考点内由易到难；先看考点归纳，再逐题训练。 2．用等比数列前n项和公式前先判断公比是否为1；结果化为最简形式，多解要写全。 3．解答题要写出构造、错位相减、归纳奠基与归纳递推等关键步骤，只写结果不得分。 内容速览　六考点 62 题（选择21·填空22·解答19） 配套解析：解析版 25 页，含速查表、答案、详解、易错提醒；题目配图 4 幅 　考点归纳 1．等比数列基本量的运算：知三求二、公比的分类讨论、由前n项和求项数 2．等比数列的性质与判定：下标和性质、等比中项、片段和成等比、构造等比数列求通项 3．等差数列与等比数列的综合：三数成等差或等比、等差与等比的相互转化、由前n项和与通项的关系判断数列类型 4．数列求和：分组求和、裂项相消、错位相减 5．等比数列的实际应用：复利与增长率、细胞分裂与分形、分期付款、递推型增长模型 6．数学归纳法：归纳奠基与归纳递推、由k到k＋1的变化项、证明等式与整除、归纳—猜想—证明 　考点01　等比数列基本量的运算 1．在等比数列{an}中，a3＝12，公比q＝2，则a6的值为(____)。 A．768 B．96 C．72 D．48 2．已知等比数列{an}的首项a1＝－2，a4＝54，则公比q＝________，a5＝________。 3．已知等比数列{an}的第3项a3＝9，前3项和S3＝13，则公比q＝(____)。 A．－3或 B．3 C．或 D．3或 4．如图，把正项等比数列{an}的前6项对应的点(n，an)画在平面直角坐标系中，其中两个点的坐标已经标出，则{an}的前7项和S7＝________。 5．已知等比数列{an}的首项为3，公比为－2，则它的前6项和S6等于(____)。 A．－63 B．189 C．63 D．33 6．在等比数列{an}中，a1＝a5＝3，则S9＝________。 7．已知等比数列{an}的首项为1，前3项和为3，则公比q的值为(____)。 A．2或－1 B．－2 C．1或－2 D．1 8．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1a2a3＝216，a3＋a4＝72。 (1)求a2与公比q； (2)求an及Sn； (3)求由{an}的奇数项组成的数列a1，a3，a5，…，a2n-1的前n项和。 9．已知{an}是公比q＞1的等比数列，a1＋a4＝28，a2a3＝27。 (1)求a1与q； (2)写出an及Sn； (3)若Sm＝364，求正整数m。 10．在等比数列{an}中，a1＝3，an＝96，Sn＝189，则公比q＝________，项数n＝________。 11．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S6＝9S3，且a1＋a2＝6。 (1)求公比q； (2)求an与Sn； (3)数列{Sn}中有多少项小于2026？ 　考点02　等比数列的性质与判定 12．在各项均为正数的等比数列{an}中，a2a8＝36，则a5＝(____)。 A．±6 B．36 C．6 D．18 13．2＋与2－的等比中项为________。 14．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a2a4a6a8＝81，则a5的值为(____)。 A．3 B．±3 C．9 D． 15．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3，S12＝39，则S8＝________。 16．已知数列{an}满足a1＝5，an+1＝3an－4，则数列{an}的通项公式为an＝(____)。 A．7×－2 B．＋2 C．5×＋2 D．＋2 17．在等比数列{an}中，a2a3a4＝8；数列{bn}是等差数列，且b3＝a3，则{bn}的前5项和T5＝________。 18．已知数列{an}中，a1＝2，an+1＝4an－3（n∈N*）。 (1)令bn＝an－1，证明{bn}是等比数列； (2)求an及{an}的前n项和Sn。 19．若数列{an}的前n项和Sn＝2×＋r，且{an}是等比数列，则实数r＝________。 20．已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an＋n－1（n∈N*）。 (1)求a2，a3； (2)证明{an＋n}是等比数列，并由此写出an及Sn。 21．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，Sn+1＝2Sn＋1（n∈N*）。 (1)证明：{Sn＋1}是等比数列； (2)求an； (3)若a1a2a3…an＝，求n的值。 　考点03　等差数列与等比数列的综合 22．若－1，x，－9成等比数列，－1，y，－9成等差数列，则xy的值为(____)。 A．15 B．－15 C．25 D．15或－15 23．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a2，a4，a8依次成等比数列，则这个等比数列的公比为________。 24．已知{an}是等差数列，a3＝4，数列{bn}满足bn＝，则b1b2b3b4b5＝(____)。 A． B．80 C． D． 25．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－5（n∈N*），则S5＝________。 26．已知数列{an}的通项an＝2×，bn＝log2an，则b1＋b2＋…＋b10＝(____)。 A．190 B．100 C．19 D．110 27．设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差不为0，S3＝18，且a1，a2，a5成等比数列，则S8＝(____)。 A．144 B．48 C．128 D．240 28．三个正数成等比数列，它们的积为1000；若把第一个数减去1，第三个数减去4，第二个数不变，所得的三个数恰好成等差数列。 (1)求这三个数； (2)当这三个数递增时，把它们依次作为等比数列{bn}的前三项，求{bn}的前n项和Tn。 29．已知公比q≠1的等比数列{an}满足a1＝3，且a1，2a2，3a3成等差数列。 (1)求q及an； (2)设bn＝log3an，证明{bn}是等差数列； (3)求|b1|＋|b2|＋…＋|b10|。 30．在2和162之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则插入的3个数的乘积为________。 31．已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d≠0，且a1，a3，a11成等比数列。 (1)求{an}的通项公式； (2)从{an}中依次取出第k1项、第k2项、…、第kn项（k1＝1，k2＝3，k3＝11），这些项按原来的顺序恰好构成等比数列，求kn； (3)求k1＋k2＋…＋kn。 　考点04　数列求和 32．已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋，则它的前5项和S5为(____)。 A．92 B．112 C．93 D．61 33．求和：＋＋＋…＋＝________。 34．数列{n·的前n项和Tn＝(____)。 A．1－ B．2－ C．2－ D．2－ 35．已知数列{an}中，当n为奇数时an＝，当n为偶数时an＝2n－1，则数列{an}的前2n项和S2n＝________（用含n的式子表示）。 36．已知an＝2n＋1，bn＝，则数列{bn}的前n项和Tn＝(____)。 A． B． C． D． 37．已知数列{an}的通项an＝·n²，则它的前20项和S20＝________。 38．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，S5＝25；各项均为正数的等比数列{bn}满足b1＝3，b3＝27。 (1)求{an}与{bn}的通项公式； (2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn。 39．设an＝1＋2＋3＋…＋n，则＋＋…＋＝________。 40．已知数列{an}满足a1＝2，an+1＝2an，设bn＝log2an，cn＝an＋。 (1)写出an与bn； (2)求{cn}的前n项和Tn； (3)当Tn首次超过100时，n等于多少？ 41．已知等差数列{an}中a1＝2，a3＝4；数列{bn}的前n项和Bn＝－2。 (1)求an与bn； (2)设cn＝，用错位相减法求{cn}的前n项和Tn； (3)若Tn≥λ对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围。 　考点05　等比数列的实际应用 42．某人把2万元存入银行，年利率为3%，按复利计息（每年的利息计入下一年的本金），则3年后的本利和为(____)万元。 A．2×1.03×3 B．2× C．2×(1＋3×0.03) D．2× 43．如图，某种细胞每30分钟由1个分裂成2个，分裂出的细胞继续按同样的规律分裂。现有若干个这样的细胞，经过3小时后共有1536个细胞，则原有这种细胞________个。 44．某企业2026年的年产值为a万元，计划以后每年的年产值都比上一年增长20%。按此计划，年产值首次达到2026年的4倍（即翻两番）是在(____)年（参考数据：≈1.73，≈2.07，≈3.58，≈4.30）。 A．2033 B．2034 C．2030 D．2041 45．如图，图①是面积为1的正三角形（阴影部分），连接它三边的中点，挖去中间的小三角形，得到图②；再对图②中每个阴影三角形都这样操作，得到图③……依此类推，则图⑤中阴影三角形的个数为________，阴影部分的面积为________。 46．小李向银行贷款2万元，年利率为10%，按复利计息。约定从贷款后的第1年年末开始，每年年末偿还相同的金额x万元，第3年年末恰好还清，则x＝(____)。 A． B． C． D． 47．某种传染病在无外力干预时，每个感染者在一轮传染中平均传染3个新感染者；若采取防控措施，每个感染者在一轮传染中平均只传染2个新感染者。新感染者从下一轮起也按同样的规律传染。从1个初始感染者开始，经过5轮传染后，采取防控措施比不采取措施累计感染人数（含初始感染者）少________人。 48．某公司为奖励骨干员工设计了两种年度奖金方案：方案一，第1年发5万元，以后每年比上一年多发1万元；方案二，第1年发5万元，以后每年比上一年增长20%。如图画出了两种方案前6年每年奖金对应的点。 (1)分别写出两种方案第n年奖金an，bn（单位：万元）的表达式； (2)分别求两种方案前6年奖金的总额（参考数据：≈2.986）； (3)若公司前6年给该员工的奖金总额预算不超过48万元，应选择哪种方案？ 49．某单位花16万元购入一台设备，此后每年年末设备的价值都比上一年年末减少25%。 (1)写出第n年年末设备的价值an（单位：万元）； (2)到第几年年末，设备价值首次低于5万元？ (3)求前5年设备价值一共减少了多少万元（精确到0.01万元）。 50．某湖泊今年年初有鱼100吨，鱼群的年自然增长率为50%，每年年底捕捞30吨。设从今年起第n年年初的鱼量为an吨，则an＝________，第4年年初的鱼量为________吨。 51．张老师购买一台电脑，向银行贷款10000元，月利率为1%，按复利计息，贷款后第1个月月末开始每月月末等额还款，12个月还清。 (1)设每月还款x元，建立关于x的方程； (2)求x（精确到0.01元）； (3)张老师共付利息多少元（精确到0.01元）？ 　考点06　数学归纳法 52．用数学归纳法证明等式1＋3＋＋…＋＝（n∈N*）时，第一步验证n＝1，等式左边应当是(____)。 A．1＋3 B．1＋3＋＋ C．1 D．1＋3＋ 53．用数学归纳法证明“＞n²＋1对一切大于或等于n0的正整数n都成立”时，n0的最小值应取________。 54．用数学归纳法证明“n³＋2n（n∈N*）能被3整除”，由n＝k到n＝k＋1时，为了用上归纳假设，应把(k＋1)³＋2(k＋1)整理成(____)。 A．(k³＋2k)＋3(k²＋k＋1) B．(k³＋2k)＋3k²＋3k＋2 C．(k³＋2k)＋3k²＋3k＋1 D．(k³＋2k)＋3 55．设f(n)＝＋＋…＋（n∈N*），用数学归纳法证明与f(n)有关的命题时，f(k＋1)－f(k)＝(____)。 A．－ B．＋＋ C．＋＋－－ D．＋＋－ 56．用数学归纳法证明＋6n－1（n∈N*）能被9整除时，由n＝k到n＝k＋1，把＋6(k＋1)－1变形为＋6k－1)－（________），就能用上归纳假设。 57．已知数列{an}满足a1＝2，an+1＝2－（n∈N*），通过计算前几项归纳出通项公式（可用数学归纳法证明），则a100＝(____)。 A． B． C． D． 58．用数学归纳法证明：1×2＋2×＋3×＋…＋n×＝(n－1)×＋2（n∈N*）。 59．用数学归纳法证明＋＋…＋＞－（n≥2，n∈N*）时，假设n＝k时不等式成立，要证n＝k＋1时也成立，只需证明＞________（写成一个分式）。 60．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝3n－2an（n∈N*）。 (1)求a1，a2，a3，a4； (2)计算3－a1，3－a2，3－a3，3－a4，猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想。 61．用数学归纳法证明：－24n－1（n∈N*）能被576整除。 62．设an＝，bn＝(n＋1)²，n∈N*。 (1)求n＝1，2，3，4时an，bn的值，并比较它们的大小； (2)由(1)猜想使an＞bn成立的正整数n的范围，并用数学归纳法证明你的结论。 　参考答案与解析 　客观题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B －3；－162 D A 27或3 C 题号 10 12 13 14 15 16 17 19 答案 2；6 C ±1 A 12 B 10 －2 题号 22 23 24 25 26 27 30 32 答案 D 2 D 155 B C 5832 A 题号 33 34 35 36 37 39 42 答案 C ＋2n²＋n A 210 D 题号 43 44 45 46 47 答案 24 B 81； B 301 题号 50 52 53 54 55 56 答案 40×＋60；195 D 5 A C 18k－9 题号 57 59 答案 C 　考点01　等比数列基本量的运算 1．【答案】B 【解析】由an＝am，得a6＝a3＝12×＝96。 所以选B。 A项：把项数6直接当成指数，写成a3，按此错法真算得768；C项：把当成3q，算成12×6，按此错法真算得72；D项：把a6写成a3，指数少算了1，按此错法真算得48。 2．【答案】－3；－162 【解析】由a4＝a1得(－2)＝54，＝－27，所以q＝－3； a5＝a1＝(－2)×＝－162。 所以答案为－3；－162。 3．【答案】D 【解析】若q＝1，则S3＝3a3＝27≠13，所以q≠1。 由a1＝9得a1＝，代入S3＝a1(1＋q＋＝13，得9(1＋q＋＝， 整理得－9q－9＝0，解得q＝3或q＝。 所以选D。 A项：求根时把两个根的符号都弄反，按此错法真算得－3或；B项：解二次方程后只保留了正根，按此错法真算得3；C项：把S3误当成a1＋a3，得a1＝4，＝，按此错法真算得或。 4．【答案】 【解析】由图知a3＝2，a6＝16，所以＝＝8，又各项为正，q＝2； a1＝＝，S7＝＝。 所以答案为。 【易错提醒】从图上读数据时，只用题目标出坐标的两个点；两项下标之差决定公比的指数，别把相差3项算成。 5．【答案】A 【解析】S6＝＝＝＝－63。 所以选A。 B项：把公比的符号看错，按q＝2计算，按此错法真算得189；C项：把分母1－q写成q－1，按此错法真算得63；D项：把公式中的写成，按此错法真算得33。 6．【答案】27或3 【解析】由a5＝a1得＝1，所以q＝1或q＝－1。 当q＝1时，各项都等于3，不能用公式，S9＝9×3＝27； 当q＝－1时，S9＝＝3。 所以S9＝27或3。 所以答案为27或3。 【易错提醒】＝1在实数范围内有两个解，q＝1时不能代入含1－q的求和公式，应直接用Sn＝na1。 7．【答案】C 【解析】S3＝a1＋a1q＋a1＝1＋q＋＝3，即＋q－2＝0，解得q＝1或q＝－2。 检验：q＝1时各项都是1，S3＝3，符合；q＝－2时，数列为1，－2，4，S3＝3，也符合。所以q＝1或q＝－2。 注意：若直接用公式，就默认了q≠1，会漏掉q＝1。 所以选C。 A项：解方程＋q－2＝0时把两根的符号都弄反，按此错法真算得2或－1；B项：直接套用公式＝3，约去1－q时默认q≠1，漏掉了q＝1，按此错法真算得－2；D项：只想到各项都相等的常数列，按此错法真算得1。 8．【答案】（1）a2＝6，q＝3；（2）an＝2×，Sn＝－1；（3） 【解析】【解答】(1)因为1＋3＝2＋2，所以a1a3＝a2²，于是a1a2a3＝a2³＝216，a2＝6。 由a3＋a4＝a2q＋a2＝6(q＋＝72，得＋q－12＝0，解得q＝3或q＝－4；又各项均为正数，q＞0，所以q＝3。 (2)a1＝＝2，an＝2×，Sn＝＝－1。 (3)奇数项a1，a3，a5，…，a2n-1组成首项为2、公比为＝9的等比数列，所以它的前n项和为＝。 检验：n＝2时a1＋a3＝2＋18＝20，与＝20相符。 【易错提醒】三项之积用中间项的立方表示；由奇数项组成的新数列公比是，不是q。 9．【答案】（1）a1＝1，q＝3；（2）an＝，Sn＝；（3）m＝6 【解析】【解答】(1)由等比数列的性质，a1a4＝a2a3＝27，又a1＋a4＝28， 所以a1，a4是方程－28t＋27＝0的两根，解得t＝1或t＝27。 因为q＞1且a1＋a4＞0，所以a1＜a4，a1＝1，a4＝27，＝27，q＝3。 (2)an＝，Sn＝＝。 (3)由＝364得＝729＝，所以m＝6。 【易错提醒】由a1a4＝a2a3把问题化成两根之和与两根之积，再用q＞1确定哪个根是首项。 10．【答案】2；6 【解析】显然q≠1（否则an＝a1）。由Sn＝得＝189， 即3－96q＝189－189q，93q＝186，q＝2； 再由an＝3×＝96得＝32＝，所以n＝6。 所以答案为2；6。 【易错提醒】已知a1、an、Sn时，用Sn＝可以避开，直接得到关于q的一次方程。 11．【答案】（1）q＝2；（2）an＝，Sn＝－2；（3）9项 【解析】【解答】(1)若q＝1，则S6＝6a1，S3＝3a1，由6a1＝9×3a1得a1＝0，与等比数列各项不为0矛盾，所以q≠1。 于是＝9×，因为1－＝(1－(1＋且1－≠0，所以1＋＝9，＝8，q＝2。 (2)由a1＋a1q＝3a1＝6得a1＝2，所以an＝2×＝，Sn＝＝－2。 (3)Sn＜2026即＜2028。因为＝1024，＝2048，且Sn随n的增大而增大，所以n＋1≤10，n≤9。 检验：S9＝1022＜2026，S10＝2046＞2026。所以{Sn}中小于2026的项是S1，S2，…，S9，共9项。 【易错提醒】用S6、S3的比值列方程前必须先排除q＝1；1－可以分解为(1－(1＋再约分。 　考点02　等比数列的性质与判定 12．【答案】C 【解析】因为2＋8＝5＋5，所以a5²＝a2a8＝36；又各项均为正数，a5＞0，所以a5＝6。 所以选C。 A项：忽略了“各项均为正数”，两个值都保留，按此错法真算得±6；B项：把a5²＝a2a8当成a5＝a2a8，没有开方，按此错法真算得36；D项：把等比数列的性质当成等差数列的性质，写成2a5＝a2a8，按此错法真算得18。 13．【答案】±1 【解析】设等比中项为G，则G²＝(2＋(2－＝4－3＝1，所以G＝±1。 注意等比中项有两个，它们互为相反数。 所以答案为±1。 14．【答案】A 【解析】由等比数列的性质，a2a8＝a4a6＝a5²，所以a2a4a6a8＝(a5²)²＝＝81。 又a5＞0，所以a5＝3。 所以选A。 B项：忽略了各项为正，把负根也保留，按此错法真算得±3；C项：把四项之积当成a5²，得a5²＝81，按此错法真算得9；D项：把四项之积当成4a5，按此错法真算得。 15．【答案】12 【解析】由S8－S4＝S4，S12－S8＝(S8－S4)，且S4＝3≠0，知S4，S8－S4，S12－S8是公比为的等比数列。 设S8＝x，则(x－3)²＝3(39－x)，整理得x²－3x－108＝0，解得x＝12或x＝－9。 若x＝－9，则＝＝＝－4＜0，不可能，舍去；所以S8＝12（此时＝3）。 所以答案为12。 【易错提醒】片段和之比是，必须为正，据此舍去增根；不能把方程的两个根都写上。 16．【答案】B 【解析】设an+1－λ＝3(an－λ)，展开得an+1＝3an－2λ，与an+1＝3an－4比较得－2λ＝－4，λ＝2。 所以an+1－2＝3(an－2)，又a1－2＝3≠0，{an－2}是首项为3、公比为3的等比数列， an－2＝3×，即an＝＋2。 所以选B。 A项：把λ的符号求反，写成an＋2＝7×，按此错法真算得7×－2；C项：首项用了a1而不是a1－2，写成an－2＝5×，按此错法真算得5×＋2；D项：通项的指数写成n，得an－2＝3×，按此错法真算得＋2。 17．【答案】10 【解析】因为2＋4＝3＋3，所以a2a4＝a3²，于是a2a3a4＝a3³＝8，a3＝2。 于是b3＝2；又{bn}是等差数列，1＋5＝3＋3，所以b1＋b5＝2b3，T5＝＝5b3＝10。 所以答案为10。 【易错提醒】等比数列用“下标和相等则积相等”，等差数列用“下标和相等则和相等”，两种性质不要混用。 18．【答案】（1）见解析；（2）an＝＋1，Sn＝＋n 【解析】【解答】(1)由an+1＝4an－3得an+1－1＝4an－4＝4(an－1)。 即bn+1＝4bn。又b1＝a1－1＝1≠0，所以bn≠0，＝4，{bn}是首项为1、公比为4的等比数列。 (2)由(1)得bn＝an－1＝，所以an＝＋1。 分组求和：Sn＝(1＋4＋＋…＋＋n＝＋n＝＋n。 检验：S2＝a1＋a2＝2＋5＝7，与＋2＝7相符。 【易错提醒】证明{bn}是等比数列要说明两点：比值是与n无关的常数，且首项不为0。 19．【答案】－2 【解析】a1＝S1＝6＋r，a2＝S2－S1＝18－6＝12，a3＝S3－S2＝54－18＝36。 由{an}是等比数列得a2²＝a1a3，即12²＝(6＋r)×36，解得r＝－2。 此时a1＝4，an＝4×（n≥1），确是公比为3的等比数列。 所以答案为－2。 【易错提醒】由Sn求通项时a1＝S1要单独算，再看它是否满足n≥2时的通项形式。 20．【答案】（1）a2＝2，a3＝5；（2）an＝－n，Sn＝－2－ 【解析】【解答】(1)a2＝2a1＋1－1＝2，a3＝2a2＋2－1＝5。 (2)an+1＋(n＋1)＝2an＋n－1＋n＋1＝2an＋2n＝2(an＋n)。 又a1＋1＝2≠0，所以an＋n≠0，＝2，数列{an＋n}是首项为2、公比为2的等比数列， an＋n＝2×＝，所以an＝－n。 Sn＝(2＋＋…＋－(1＋2＋…＋n)＝－＝－2－。 检验：S3＝1＋2＋5＝8，与－2－6＝8相符。 【易错提醒】待构造的“an＋n”中的n也要随下标一起变成n＋1，这是配凑成功的关键。 21．【答案】（1）见解析；（2）an＝；（3）n＝10 【解析】【解答】(1)由Sn+1＝2Sn＋1得Sn+1＋1＝2(Sn＋1)，又S1＋1＝a1＋1＝2≠0， 所以Sn＋1≠0，＝2，{Sn＋1}是首项为2、公比为2的等比数列。 (2)由(1)得Sn＋1＝，Sn＝－1。n＝1时a1＝1；n≥2时an＝Sn－Sn-1＝－＝，n＝1时也符合，所以an＝。 (3)a1a2a3…an＝×××…×，指数之和为0＋1＋2＋…＋(n－1)＝， 由＝45得n²－n－90＝0，解得n＝10或n＝－9（舍去），所以n＝10。 【易错提醒】同底数幂相乘，指数相加；指数之和0＋1＋…＋(n－1)用等差数列求和公式计算。 　考点03　等差数列与等比数列的综合 22．【答案】D 【解析】由等比中项得x²＝(－1)×(－9)＝9，x＝±3；由等差中项得2y＝(－1)＋(－9)，y＝－5。 当x＝3时xy＝－15；当x＝－3时xy＝15。所以xy＝15或－15。 所以选D。 A项：只取了x＝－3，漏掉x＝3，按此错法真算得15；B项：只取了x＝3，漏掉x＝－3，按此错法真算得－15；C项：把x也当成等差中项，x＝y＝－5，按此错法真算得25。 23．【答案】2 【解析】由a4²＝a2a8得(a1＋3d)²＝(a1＋d)(a1＋7d)，展开得a1²＋6a1d＋9d²＝a1²＋8a1d＋7d²， 即2d²＝2a1d，又d≠0，所以a1＝d，an＝nd。 于是a2＝2d，a4＝4d，公比为＝＝2。 所以答案为2。 24．【答案】D 【解析】记T＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，由同底数幂的乘法，b1b2b3b4b5＝。而a1＋a5＝a2＋a4＝2a3，所以T＝5a3＝20， 于是b1b2b3b4b5＝。（事实上{bn}是等比数列，b3是中间项，积也等于。） 所以选D。 A项：误以为五项之积等于b3²，按此错法真算得；B项：把积当成5个b3相加，按此错法真算得80；C项：把a1＋a2＋…＋a5算成3a3，按此错法真算得。 25．【答案】155 【解析】当n＝1时，a1＝S1＝2a1－5，得a1＝5。 当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝(2an－5)－(2an-1－5)，即an＝2an-1， 所以{an}是首项为5、公比为2的等比数列，S5＝＝155。 所以答案为155。 【易错提醒】用an＝Sn－Sn-1时要求n≥2，n＝1的情形必须另外由S1＝a1求出。 26．【答案】B 【解析】bn＝log2(2×＝log22＋(n－1)log24＝1＋2(n－1)＝2n－1， bn+1－bn＝2，所以{bn}是首项为1、公差为2的等差数列，b1＋b2＋…＋b10＝＝100。 所以选B。 A项：把log24看成4，得bn＝1＋4(n－1)，按此错法真算得190；C项：只求了b10，没有求和，按此错法真算得19；D项：把log2(2×算成2n，按此错法真算得110。 27．【答案】C 【解析】由a2²＝a1a5得(a1＋d)²＝a1(a1＋4d)，整理得d²＝2a1d，又d≠0，所以d＝2a1。 由S3＝3a1＋3d＝9a1＝18得a1＝2，d＝4， S8＝8a1＋×d＝16＋112＝128。 所以选C。 A项：把a8算成a1＋8d，再代入求和公式，按此错法真算得144；B项：忽略了公差不为0，取d＝0，各项都等于6，按此错法真算得48；D项：把S8算成a8×8，按此错法真算得240。 28．【答案】（1）5，10，20或20，10，5；（2）Tn＝5×－5 【解析】【解答】(1)设这三个数为，m，mq（m＞0，q＞0），由积为1000得m³＝1000，m＝10。 减数后依次为－1，10，10q－4，由等差中项得－1)＋(10q－4)＝20，整理得2q²－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝。 当q＝2时，三个数为5，10，20（减数后为4，10，16）；当q＝时，三个数为20，10，5（减数后为19，10，1）。 (2)三个数递增时为5，10，20，所以b1＝5，公比为2，bn＝5×， Tn＝＝5×－5。 【易错提醒】三个数成等比数列且已知积时，设为，m，mq，由积直接求出中间项m。 29．【答案】（1）q＝，an＝；（2）见解析；（3）37 【解析】【解答】(1)由2×2a2＝a1＋3a3得4a1q＝a1＋3a1，又a1≠0，所以－4q＋1＝0，解得q＝1或q＝。 因为q≠1，所以q＝，an＝3×＝。 (2)bn＝log3＝2－n，bn+1－bn＝(1－n)－(2－n)＝－1，所以{bn}是首项为1、公差为－1的等差数列。 (3)b1＝1，b2＝0，n≥3时bn＜0，|bn|＝n－2。 所以|b1|＋|b2|＋…＋|b10|＝1＋0＋(1＋2＋…＋8)＝1＋36＝37。 【易错提醒】求|b1|＋|b2|＋…时要先找出bn由正变负的位置，分段去掉绝对值再求和。 30．【答案】5832 【解析】设这5个数依次为a1，a2，a3，a4，a5，a1＝2，a5＝162，则＝81，q＝±3。 不论q取哪个值，a3＝a1＝18（a3与a1同号），且a2a4＝a3²， 所以插入的3个数之积a2a3a4＝a3³＝18³＝5832。 所以答案为5832。 【易错提醒】奇数项a3与a1同号，所以不论公比取正还是取负，a3都只有一个值。 31．【答案】（1）an＝3n－1；（2）kn＝；（3） 【解析】【解答】(1)由a3²＝a1a11得(2＋2d)²＝2(2＋10d)，整理得4d²＝12d，又d≠0，所以d＝3，an＝2＋3(n－1)＝3n－1。 (2)a1＝2，a3＝8，所以取出的项构成的等比数列公比为＝4，第n项为2×。 又第n项是{an}的第kn项，ak_n＝3kn－1，所以3kn－1＝2×，kn＝。 (3)k1＋k2＋…＋kn＝(1＋4＋…＋＋＝×＋＝。 检验：k1＋k2＝1＋3＝4，与＝4相符。 【易错提醒】kn是下标，由ak_n的两种表示列等式后解出kn，求和时再用分组求和。 　考点04　数列求和 32．【答案】A 【解析】分组求和：S5＝(2＋4＋6＋8＋10)＋(2＋＋＋＋＝30＋＝30＋62＝92。 所以选A。 B项：把等差部分2＋4＋…＋10算成5×10，按此错法真算得112；C项：把等比部分的和算成－1，按此错法真算得93；D项：把等比部分的和算成－1（首项当成了1），按此错法真算得61。 33．【答案】 【解析】因为＝－，所以 原式＝(1－＋－＋－＋…＋－，中间的项正负相消，只剩下1，，，四项， 原式＝(1＋－－＝。 所以答案为。 34．【答案】C 【解析】Tn＝1×＋2×＋…＋n×，Tn＝1×＋…＋(n－1)×＋n×。 两式相减得Tn＝＋＋…＋－n×＝1－－n×， 所以Tn＝2－－n×＝2－。检验：T1＝，而2－＝，相符。 所以选C。 A项：求出Tn后忘记乘2，按此错法真算得1－；B项：两式相减后，等比部分只加到（少了一项），按此错法真算得2－；D项：两式相减时，把末项写成n×，按此错法真算得2－。 35．【答案】＋2n²＋n 【解析】前2n项中，奇数项a1，a3，…，a2n-1依次为2，，…，，是首项为2、公比为4的等比数列，共n项，和为＝； 偶数项a2，a4，…，a2n依次为3，7，…，4n－1，是首项为3、公差为4的等差数列，共n项，和为＝2n²＋n。 所以S2n＝＋2n²＋n。检验：S2＝a1＋a2＝2＋3＝5，与＋2＋1＝5相符。 所以答案为＋2n²＋n。 【易错提醒】奇数项、偶数项规律不同时分成两组分别求和；前2n项中奇数项、偶数项各有n项。 36．【答案】A 【解析】bn＝＝－， Tn＝－＋－＋…＋－＝－＝。 所以选A。 B项：相消后把剩下的第一项当成＝，按此错法真算得；C项：相消后把剩下的末项写成，按此错法真算得；D项：裂项时漏掉了系数，按此错法真算得。 37．【答案】210 【解析】把相邻两项并成一组：a2k-1＋a2k＝－(2k－1)²＋(2k)²＝4k－1（k＝1，2，…，10）。 所以S20＝(4×1－1)＋(4×2－1)＋…＋(4×10－1)＝4×(1＋2＋…＋10)－10＝4×55－10＝210。 所以答案为210。 【易错提醒】正负相间的数列可以把相邻两项并成一组，先算出每组的和，再看每组的和构成什么数列。 38．【答案】（1）an＝2n－1，bn＝；（2）Tn＝(n－1)·＋3 【解析】【解答】(1)设{an}的公差为d，由a1＋d＝3，5a1＋10d＝25解得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1。 设{bn}的公比为q（q＞0），由＝27得q＝3，所以bn＝3×＝。 (2)cn＝(2n－1)·，Tn＝1×3＋3×＋5×＋…＋(2n－1)·，① 3Tn＝1×＋3×＋…＋(2n－3)·＋(2n－1)·。② ①－②得－2Tn＝3＋＋＋…＋－(2n－1)·＝3＋2×－(2n－1)·＝(2－2n)·－6， 所以Tn＝(n－1)·＋3。检验：T2＝1×3＋3×9＝30，与1×27＋3＝30相符。 【易错提醒】错位相减时两式要按相同的幂次对齐；相减后中间部分是等比数列，要数清它的项数。 39．【答案】 【解析】an＝，所以＝＝－。 原式＝2(1－＋－＋…＋－＝2(1－＝。 所以答案为。 【易错提醒】1＋2＋…＋n的倒数先写成，裂项时系数2不能丢。 40．【答案】（1）an＝，bn＝n；（2）Tn＝－1－；（3）n＝6 【解析】【解答】(1)由an+1＝2an且a1＝2≠0知{an}是首项为2、公比为2的等比数列，an＝，bn＝log2＝n。 (2)cn＝＋＝＋－，分组求和： Tn＝(2＋＋…＋＋(1－＋－＋…＋－＝＋1－＝－1－。 (3)因为cn＞0，所以Tn随n的增大而增大。T5＝－1－＝＜100，T6＝－1－＝＞100， 所以Tn首次超过100时n＝6。 【易错提醒】判断“首次超过”要先说明Tn单调递增，再用相邻两项夹出n的值。 41．【答案】（1）an＝n＋1，bn＝；（2）Tn＝3－；（3）λ≤1 【解析】【解答】(1)公差d＝＝1，an＝n＋1。n＝1时b1＝B1＝2；n≥2时bn＝Bn－Bn-1＝－＝，n＝1也符合，所以bn＝。 (2)cn＝，Tn＝＋＋＋…＋，① Tn＝＋＋…＋＋。② ①－②得Tn＝1＋＋＋…＋－＝1＋－－＝－， 所以Tn＝3－。检验：T1＝c1＝1，而3－＝1，相符。 (3)因为cn＞0，Tn+1－Tn＝cn+1＞0，所以{Tn}单调递增，Tn的最小值为T1＝1。 Tn≥λ恒成立等价于λ≤Tn的最小值，所以λ≤1，即λ的取值范围是(－∞，1]。 【易错提醒】“Tn≥λ对一切n恒成立”转化为λ≤Tn的最小值；Tn单调递增时最小值是T1，而不是Tn无限接近的那个数3。 　考点05　等比数列的实际应用 42．【答案】D 【解析】复利计息时，每年的本利和都是上一年的(1＋3%)倍，各年末的本利和构成公比为的等比数列， 3年后的本利和为2×（万元），约为2.19万元。 所以选D。 A项：把乘方当成乘法1.03×3，按此错法真算得2×1.03×3；B项：年数少算了一年，按此错法真算得2×；C项：按单利计算，每年利息都按本金2万元计，按此错法真算得2×(1＋3×0.03)。 43．【答案】24 【解析】3小时＝180分钟，共分裂180÷30＝6次。每分裂一次细胞个数变为原来的2倍， 设原有细胞m个，则各次分裂后的细胞个数构成首项为2m、公比为2的等比数列，6次分裂后为m×＝1536， 所以m＝1536÷64＝24。 所以答案为24。 44．【答案】B 【解析】n年后的年产值为a×万元，令a×≥4a，即≥4。 由参考数据，≈3.58＜4，≈4.30＞4，且随n的增大而增大，所以最小的n＝8，即2034年。 所以选B。 A项：取了使仍小于4的最大年数n＝7，按此错法真算得2033；C项：把“翻两番”误解为“变为原来的2倍”，由≈2.07＞2得n＝4，按此错法真算得2030；D项：按每年增加a的20%（线性增长）计算，由1＋0.2n≥4得n＝15，按此错法真算得2041。 45．【答案】81； 【解析】每操作一次，每个阴影三角形都变成3个阴影小三角形，每个小三角形的面积是原来的， 所以阴影三角形的个数依次为1，3，9，…，构成公比为3的等比数列；阴影面积依次为1，，，…，构成公比为的等比数列。 图⑤中阴影三角形有＝81个，阴影面积为＝。 所以答案为81；。 【易错提醒】每操作一次个数乘3、面积乘，图①对应第1项，所以图⑤对应指数4而不是5。 46．【答案】B 【解析】把所有款项都折算到第3年年末：贷款2万元到期时连本带利为2×万元； 第1，2，3年年末的还款到第3年年末分别变为x×，x×1.1，x万元。 所以x＋1.1x＋＝2×，即x×＝2×，x＝≈0.8042（万元）。 所以选B。 A项：不计各次还款产生的利息，写成3x＝2×，按此错法真算得；C项：按单利计算本息，再平均分成3份，按此错法真算得；D项：把各次还款折算时每项多乘了一个1.1，写成x(1.1＋＋＝2×，按此错法真算得。 47．【答案】301 【解析】不采取措施时，第k轮新增感染者人，5轮后累计1＋3＋＋…＋＝＝364（人）； 采取措施时，第k轮新增感染者人，5轮后累计1＋2＋＋…＋＝＝63（人）； 所以少364－63＝301（人）。 所以答案为301。 【易错提醒】累计人数包括初始感染者，是从第0轮加到第5轮，共6项。 48．【答案】（1）an＝n＋4，bn＝5×；（2）方案一45万元，方案二约49.65万元；（3）方案一 【解析】【解答】(1)方案一每年奖金构成首项为5、公差为1的等差数列，an＝5＋(n－1)×1＝n＋4； 方案二每年奖金构成首项为5、公比为1.2的等比数列，bn＝5×。 (2)方案一前6年总额为＝45（万元）； 方案二前6年总额为＝25×－1)≈25×1.986＝49.65（万元）。 (3)方案一的总额45万元不超过48万元，方案二的总额约49.65万元超过48万元，所以应选择方案一。 【易错提醒】等差数列增长是每年加一个固定数，等比数列增长是每年乘一个固定数；比较总额要分别用各自的求和公式。 49．【答案】（1）an＝16×；（2）第5年年末；（3）约12.20万元 【解析】【解答】(1)每年年末的价值是上一年年末的1－25%＝，所以{an}是首项为16×、公比为的等比数列，an＝16×。 (2)a4＝16×＝＝5.0625＞5，a5＝16×＝＝3.796875＜5， 且{an}单调递减，所以到第5年年末设备价值首次低于5万元。 (3)前5年一共减少16－a5＝16－＝≈12.20（万元）。 【易错提醒】“每年减少25%”意味着每年保留75%，公比是而不是。 50．【答案】40×＋60；195 【解析】由题意a1＝100，an+1＝(1＋50%)an－30＝an－30。 设an+1－λ＝(an－λ)，比较得＝30，λ＝60，所以{an－60}是首项为40、公比为的等比数列， an＝40×＋60，a4＝40×＋60＝195（吨）。 所以答案为40×＋60；195。 【易错提醒】an+1＝pan＋c型递推，先用待定系数把它化成an+1－λ＝p(an－λ)。 51．【答案】（1）x(1＋1.01＋＋…＋＝10000×；（2）x≈888.49元；（3）约661.88元 【解析】【解答】(1)把所有款项都折算到第12个月月末：贷款10000元到期连本带利为10000×元； 第1个月月末还的x元到第12个月月末变为x×元，第2个月月末还的变为x×元，……，最后一次还的仍为x元。 所以x(1＋1.01＋＋…＋＝10000×。 (2)左边括号内是首项为1、公比为1.01的等比数列前12项和，等于， 所以x＝＝≈888.49（元）。 (3)每月实际还款888.49元，共还款12×888.49＝10661.88（元），所以共付利息10661.88－10000＝661.88（元）。 【易错提醒】分期付款把所有钱折算到同一时刻比较：贷款和每一笔还款都要计算到最后一期的本利和。 　考点06　数学归纳法 52．【答案】D 【解析】左边是从＝1开始、到为止的各项之和，共有n＋2项。 当n＝1时，末项为＝，左边应为1＋3＋（共3项），此时左边＝13，右边＝＝13，等式成立。 所以选D。 A项：以为n＝1时左边到为止，按此错法真算得1＋3；B项：把末项的指数n＋1算成了n＋2，按此错法真算得1＋3＋＋；C项：以为n＝1时左边只有首项，按此错法真算得1。 53．【答案】5 【解析】逐个检验：n＝1时＝2，1²＋1＝2，n＝2时＝4，2²＋1＝5，n＝3时＝8，3²＋1＝10，n＝4时＝16，4²＋1＝17，n＝5时＝32，5²＋1＝26。 n＝1，2，3，4时不等式都不成立，n＝5时成立，所以归纳奠基应从n0＝5开始（此后由归纳递推可证对n≥5都成立）。 所以答案为5。 54．【答案】A 【解析】(k＋1)³＋2(k＋1)＝k³＋3k²＋3k＋1＋2k＋2＝(k³＋2k)＋3k²＋3k＋3＝(k³＋2k)＋3(k²＋k＋1)。 由归纳假设k³＋2k能被3整除，3(k²＋k＋1)也能被3整除，所以n＝k＋1时命题成立。 所以选A。 B项：把2(k＋1)写成了2k＋1，按此错法真算得(k³＋2k)＋3k²＋3k＋2；C项：展开后漏掉了2(k＋1)中的常数2，按此错法真算得(k³＋2k)＋3k²＋3k＋1；D项：把(k＋1)³错误地展开成k³＋1，按此错法真算得(k³＋2k)＋3。 55．【答案】C 【解析】f(k)＝＋＋…＋，f(k＋1)＝＋＋…＋＋＋＋。 比较两式：f(k＋1)的首项是，开头比f(k)少了，两项；末项是，末尾比f(k)多了，，三项， 所以f(k＋1)－f(k)＝＋＋－－。（检验：k＝1时f(2)－f(1)＝＋－＝，与＋＋－－＝相符。） 所以选C。 A项：只比较了首尾各一项，按此错法真算得－；B项：只看到末尾多出的三项，漏减了开头去掉的两项，按此错法真算得＋＋；D项：以为开头只去掉了一项，按此错法真算得＋＋－。 【易错提醒】把n换成k＋1后，首项、末项都要重新写出来，再数清两端各变化了几项。 56．【答案】18k－9 【解析】＋6(k＋1)－1＝4×＋6k＋5，而＋6k－1)＝4×＋24k－4， 两式相减：＋6k－1)－＋6(k＋1)－1]＝18k－9，所以括号内应填18k－9。 由归纳假设＋6k－1能被9整除，又18k－9＝9(2k－1)能被9整除，所以n＝k＋1时也能被9整除。 所以答案为18k－9。 【易错提醒】变形的目标是凑出归纳假设中的整体＋6k－1，剩下的部分必须能被9整除。 57．【答案】C 【解析】a2＝2－＝，a3＝2－＝，a4＝2－＝， 即a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，猜想an＝。（归纳递推：若ak＝，则ak+1＝2－＝。） 所以a100＝。 所以选C。 A项：由a1＝2，a2＝误认为{an}是公差为的等差数列，按此错法真算得；B项：下标错位，把a1＝2当成第2项来归纳，得an＝，按此错法真算得；D项：下标错位，把a2＝当成第1项来归纳，得an＝，按此错法真算得。 【易错提醒】归纳时把各项写成统一的分数形式，看清分子、分母与项数n的对应关系。 58．【答案】见解析 【解析】【解答】(1)当n＝1时，左边＝1×2＝2，右边＝0×＋2＝2，等式成立。 (2)假设当n＝k（k∈N*）时等式成立，即1×2＋2×＋…＋k×＝(k－1)×＋2。 那么当n＝k＋1时，1×2＋2×＋…＋k×＋(k＋1)×＝(k－1)×＋2＋(k＋1)× ＝2k×＋2＝k×＋2；而n＝k＋1时右边为[(k＋1)－1]×＋2＝k×＋2，两边相等， 即当n＝k＋1时等式也成立。 由(1)(2)可知，等式对任何n∈N*都成立。 【易错提醒】归纳递推时左边要加上第k＋1项(k＋1)×，合并时把作为公因式提出来。 59．【答案】 【解析】n＝k＋1时，左边＝＋…＋＋＞－＋（用了归纳假设）。 要得到左边＞－，只需－＋≥－，即≥－＝。 而－＝＞0，所以只需证＞，这显然成立。 所以答案为。 【易错提醒】放缩方向要与所证不等式一致：证“＞”时，新加的项要不小于右边的增加量。 60．【答案】（1）a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝；（2）an＝3－2×，证明见解析 【解析】【解答】(1)n＝1时，a1＝S1＝3－2a1，得a1＝1；n＝2时，a1＋a2＝6－2a2，得a2＝； n＝3时，a1＋a2＋a3＝9－2a3，得a3＝；n＝4时，同理得a4＝。 (2)3－a1＝2，3－a2＝，3－a3＝，3－a4＝，依次是首项为2、公比为的等比数列的前4项，猜想an＝3－2×。 ①当n＝1时，a1＝1，3－2×＝1，猜想成立。 ②假设当n＝k（k∈N*）时猜想成立，即ak＝3－2×。由Sk+1＝3(k＋1)－2ak+1，Sk＝3k－2ak，两式相减得ak+1＝3－2ak+1＋2ak， 所以ak+1＝＝1＋×[3－2×＝3－2×，即当n＝k＋1时猜想也成立。 由①②可知，an＝3－2×对任何n∈N*都成立。 【易错提醒】由Sn与an的关系作差得到递推式；各项的规律不明显时，可以看它们与某个常数的差。 61．【答案】见解析 【解析】【解答】(1)当n＝1时，－24－1＝0，0能被576整除，命题成立。 (2)假设当n＝k（k∈N*）时命题成立，即－24k－1能被576整除。 那么当n＝k＋1时，－24(k＋1)－1＝25×－24k－25＝－24k－1)＋25×24k－24k＝－24k－1)＋576k。 由归纳假设，－24k－1)能被576整除，576k也能被576整除，所以－24(k＋1)－1能被576整除，即n＝k＋1时命题也成立。 由(1)(2)可知，命题对任何n∈N*都成立。（检验：n＝2时－48－1＝576，确实能被576整除。） 【易错提醒】把写成25×，再拆出25倍的归纳假设，剩余部分是576的倍数。 62．【答案】（1）a1＜b1，a2＝b2，a3＞b3，a4＞b4；（2）当n≥3时an＞bn，证明见解析 【解析】【解答】(1)a1＝3，b1＝4，a1＜b1；a2＝9，b2＝9，a2＝b2；a3＝27，b3＝16，a3＞b3；a4＝81，b4＝25，a4＞b4。 (2)猜想：当n≥3（n∈N*）时，an＞bn，即＞(n＋1)²。 ①当n＝3时，＝27＞16＝(3＋1)²，不等式成立。 ②假设当n＝k（k≥3，k∈N*）时不等式成立，即＞(k＋1)²。那么当n＝k＋1时，＝3×＞3(k＋1)²＝3k²＋6k＋3。 而(3k²＋6k＋3)－(k＋2)²＝2k²＋2k－1，因为k≥3，所以2k²＋2k－1＞0，于是＞(k＋2)²＝[(k＋1)＋1]²，即当n＝k＋1时不等式也成立。 由①②可知，当n≥3时an＞bn都成立；而n＝1时an＜bn，n＝2时an＝bn。 【易错提醒】归纳奠基要从猜想成立的第一个n（n＝3）开始；归纳递推中放缩后比较时要用上k≥3。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $