精品解析：重庆市渝北中学校2026-2027学年九年级上学期第一次质量检测数学试题

渝北中学教育集团2026—2027学年上期第一次质量检测 数学试题 （全卷共三大题25小题，总分150分，考试时长120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考号填写清楚． 2．请将所有答案写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 3．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂． 4．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写． 一．选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中最小的数是（ ） A. B. C. 5 D. 0 2. 在以下标志中，是中心对称图形的是（ ） A. 绿色食品 B. 响应环保 C. 可回收物 D. 节水 3. 下列调查方式你认为最合适的是（ ） A. 了解孝义市中学生完成家庭作业的时间，采用全面调查 B. 高铁站乘客安检，采用抽样调查 C. 为了了解某品牌电动车的续航里程，采用抽样调查 D. 某企业招聘，对应聘人员面试采用抽样调查 4. 如果函数是关于的二次函数，那么的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 5. 估计的值应在（ ） A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间 6. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ） A. 32 B. 28 C. 24 D. 20 7. 某电池厂2026年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程为（ ） A. B. C. D. 8. 小明统计了西安和济南近两年7～8月每天的最高温度，将统计结果绘制成箱线图如图所示，则关于此时段内两地的最高温度情况，下列说法正确的是（ ） A. 济南每天的最高温度的下四分位数为 B. 济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数 C. 西安每天的最高温度都高于济南每天的最高温度 D. 西安有超过一半的天数最高温度不低于 9. 如图，在正方形中，点、点分别是边，上的中点，连接，交于点．连接，若点，点分别是，上的中点，连接，，则正方形的边长等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x的方程，则下列说法正确的个数为（ ） ①若该方程为一元二次方程，则； ②当时，该方程有两实数根，且； ③当，该方程总有两不相等的实数根； ④若k为正整数，此方程有两个不相等的实数根且都为整数，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题答案填写在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 12. 2026年5月，我国科学家在月球背面探测中发现某种矿物质颗粒的直径约为米．将数据用科学记数法表示为______． 13. 若点、、在二次函数的图像上，则、、的大小关系为________．（用“”符号连接） 14. 若实数，同时满足，，则的值为______． 15. 自然数与均为两位数（），它们十位上的数字相同，个位上的数字之差为，则的最小值为________；若与的乘积是三位数，且（为正整数），求满足条件的所有的值之和为________． 16. 如图，在正方形中，，分别为，边上的点，，连接，交于点，作交于点，设，则_______（用含的式子表示）；若，则_______． 三．解答题（本大题共9个小题，第17、18题每小题8分，其余各题每题10分，共86分），解题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组，在数轴上画出解集，并求出它的整数解之和． 18. 如图，在中，是的中位线． （1）请用无刻度直尺和圆规作，使，且射线交于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，，求证：． 19. 周末休闲放松，观影是个好选择．为了解大家对某部电影的喜爱情况，一天小美同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名观众对电影进行评分（十分制），并收集、整理数据如下．所有观众的评分均高于8分（电影评分用表示，共分成四组：；；；），下面给出了部分信息： 上午20名观众的评分为：8.1，8.7，8.9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8，9.9，10，10，10． 下午20名观众的评分在组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4． 上午、下午所抽取观众的评分统计表 上午 下午 平均数 9.4 9.4 中位数 9.4 众数 9.3 （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为该影院上午、下午观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若这天上午有名观众，下午有名观众观看了这部电影，请估计上午、下午的观众中给电影评分在9分以上的总人数是多少人？ 20. 化简求值：，其中． 21. 列方程解应用题： “人形机器人”是当前的热门话题．某工厂同时生产A、B两款人形机器人，每月生产A款人形机器人的数量比每月生产B款人形机器人的数量多40台，2个月生产的A款人形机器人的数量与3个月生产的B款人形机器人的数量相同． （1）求该厂每月生产的A、B两款人形机器人的数量分别是多少台？ （2）由于市场需求量增加，该厂对A、B两款人形机器人的生产线均进行了升级改造．改造后，A款人形机器人每月增产的数量是B款人形机器人每月增产数量的3倍．若生产1500台A款人形机器人与生产900台B款人形机器人所用的时间相同，求升级改造后每月可生产A款人形机器人多少台？ 22. 如图，矩形中，，，、两点分别从点、点同时出发，点以每秒钟1个单位的速度沿运动，点以每秒钟2个单位的速度沿运动，当点到达点时，点也随之停止运动，设的面积为，、两点的运动时间为． （1）直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出函数值时，自变量的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 23. 重庆今年首次在义务教育阶段学校探索实施春秋假．春假期间，甲、乙两位同学相约去某景区游玩．如图，大门，猴山，古塔，游乐场为景区内在同一平面内的四个景点．位于的正东方向千米处，位于的正南方向且位于的南偏西方向，位于的南偏东方向且位于的南偏东方向． （1）求的长度（参考数据：，，，，结果保留小数点后一位）； （2）现甲从出发沿方向前往，乙从出发沿方向前往，两人同时出发，乙的速度是甲的速度的倍．途中乙接到甲询问位置的电话，乙利用导航发现此时两人的直线距离为千米，求此时甲离处多少千米？ 24. 如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，已知直线上方抛物线上有一点，过点作轴与交于点，过点作轴与轴交于点，求的最大值和此时点的坐标； （3）将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度，新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 25. 在中，，点是的中点，连接，点是上的一点，连接． （1）如图，若，，求线段的长度； （2）如图，若点是的中点，过点作于点，交于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）如图，以为斜边在下方作等腰，，连接并延长至点，使得，在直线上方取一点，连接，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，若，，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渝北中学教育集团2026—2027学年上期第一次质量检测 数学试题 （全卷共三大题25小题，总分150分，考试时长120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考号填写清楚． 2．请将所有答案写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 3．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂． 4．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写． 一．选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中最小的数是（ ） A. B. C. 5 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 负数小于正数和零，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴最小的数是． 故选：B． 2. 在以下标志中，是中心对称图形的是（ ） A. 绿色食品 B. 响应环保 C. 可回收物 D. 节水 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念解答即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形．故错误； B、是中心对称图形．故正确； C、不是中心对称图形．故错误； D、不是中心对称图形．故错误． 故选：B． 【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3. 下列调查方式你认为最合适的是（ ） A. 了解孝义市中学生完成家庭作业的时间，采用全面调查 B. 高铁站乘客安检，采用抽样调查 C. 为了了解某品牌电动车的续航里程，采用抽样调查 D. 某企业招聘，对应聘人员面试采用抽样调查 【答案】C 【解析】 【分析】根据抽样调查和全面调查的特点逐项分析即可． 【详解】解：A.了解孝义市中学生完成家庭作业的时间，宜采用抽样调查，故原说法不合适； B.高铁站乘客安检，宜采用全面调查，故原说法不合适； C.为了了解某品牌电动车的续航里程，宜采用抽样调查，故合适； D.某企业招聘，对应聘人员面试，宜采用全面调查，故原说法不合适； 故选：C． 【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的选择，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 4. 如果函数是关于的二次函数，那么的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数定义，二次项系数不为，列不等式求解． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴， 解得． 5. 估计的值应在（ ） A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间 【答案】B 【解析】 【分析】先化简原式，再估算的范围． 【详解】解：． ∵， ∴， ∴， ∴． 6. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ） A. 32 B. 28 C. 24 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入计算即可．解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律． 【详解】解：第①个图案中有4个黑色圆点， 第②个图案中有8个黑色圆点， 第③个图案中有12个黑色圆点， 第④个图案中有16个黑色圆点， 则第个图案中有个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是个， 故选：C． 7. 某电池厂2026年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：从2月份到4月份，该厂家电池产量的月平均增长率为，从折线统计图获取2月份的产量是180万节，4月份的产量是461万节， 依题意得：． 8. 小明统计了西安和济南近两年7～8月每天的最高温度，将统计结果绘制成箱线图如图所示，则关于此时段内两地的最高温度情况，下列说法正确的是（ ） A. 济南每天的最高温度的下四分位数为 B. 济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数 C. 西安每天的最高温度都高于济南每天的最高温度 D. 西安有超过一半的天数最高温度不低于 【答案】B 【解析】 【分析】根据箱线图的特征，分别读取西安和济南的最高温度的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值，结合统计量的意义逐一判断选项即可． 【详解】解：由箱线图可知，济南箱体的左边缘对应数值为，即下四分位数为，故A错误； 由箱线图可知，济南箱体内的竖线对应数值为，即中位数为；西安箱体内的竖线对应数值为，即中位数为； ， 济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数，故B正确； 由箱线图可知，西安的最低温约为，济南的最高温为， 存在济南气温高于西安气温的情况，故C错误； 由箱线图可知，西安的中位数为，上四分位数为， 西安约有的天数最高温度不低于，未超过一半，故D错误． 9. 如图，在正方形中，点、点分别是边，上的中点，连接，交于点．连接，若点，点分别是，上的中点，连接，，则正方形的边长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点G作于点M，连接，证明，得到，然后得到，设，则，然后利用勾股定理和等面积法逐步表示出，，利用三角形中位线的性质得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点G作于点M，连接 ∵在正方形中，点、点分别是边，上的中点， ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 设，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点，点分别是，上的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得（负值舍去） ∴ ∴正方形的边长等于． 10. 已知关于x的方程，则下列说法正确的个数为（ ） ①若该方程为一元二次方程，则； ②当时，该方程有两实数根，且； ③当，该方程总有两不相等的实数根； ④若k为正整数，此方程有两个不相等的实数根且都为整数，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程，①根据一元二次方程的定义判断；②代入，验证根的和是否为6；③计算判别式Δ，分析k的取值对Δ的影响；④求满足条件的正整数k，验证根是否为整数． 【详解】解：①方程为一元二次方程时，二次项系数，即，故说法①正确； ②当时，方程化简为，根的和为，故说法②错误； ③判别式，当时，，但需（否则方程非二次），题目未排除，故说法③错误； ④解方程得根为，，要求为整数，得（唯一正整数解），故说法④正确． 综上，正确的为①④，共2个， 故选：B． 二．填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题答案填写在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方，根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 2026年5月，我国科学家在月球背面探测中发现某种矿物质颗粒的直径约为米．将数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 若点、、在二次函数的图像上，则、、的大小关系为________．（用“”符号连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查判断二次函数的函数值大小，求出对称轴，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵点、、在二次函数的图像上，且， ∴； 故答案为： 14. 若实数，同时满足，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可得，再分、两种情况，再解二元一次方程组即可． 【详解】解：，， ， ①当时， ，方程组无解； ②当时， ，解得，此时； 综上，． 15. 自然数与均为两位数（），它们十位上的数字相同，个位上的数字之差为，则的最小值为________；若与的乘积是三位数，且（为正整数），求满足条件的所有的值之和为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设十位数字为，的个位数字为，根据数位性质确定，的取值范围，表示出和.第一问根据代数式的性质求的最小值，第二问根据乘积是三位数、是的倍数两个条件，找出所有符合条件的，再计算所有的和． 【详解】解：设两个数的十位数字为，的个位数字为， 由题意得：，为整数， 因为，个位数字之差为， 所以的个位数字为，个位数字最大为， 因此，得，为整数， 则，． 1. 求的最小值： ， 要使最小，需，取最小值，最小为，最小为， 代入得； 2. 求满足条件的所有的值之和： 由题意得是三位数， 即，且， 即是的倍数． 当时： ：，符合三位数要求，，得，符合条件；：，符合三位数要求，，不是的倍数，舍去； ：，符合三位数要求，，不是的倍数，舍去； 当时： ：，符合三位数要求，，不是的倍数，舍去； ：，符合三位数要求，，不是的倍数，舍去； ：，符合三位数要求，，得，符合条件； 当时，最小乘积为，为四位数，不符合条件，舍去． 所有符合条件的为和，其和为． 故答案为：；． 16. 如图，在正方形中，，分别为，边上的点，，连接，交于点，作交于点，设，则_______（用含的式子表示）；若，则_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①通过证明得到，结合互余关系和推导，利用三角形外角性质求解；②设，利用面积法求进而得，通过延长构造全等三角形，利用勾股定理建立方程求，最后计算并求比值． 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵是的外角， ∴； ②设，则，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 延长到点，使得，连接， ∵，，， ∴ ， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∴． 三．解答题（本大题共9个小题，第17、18题每小题8分，其余各题每题10分，共86分），解题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组，在数轴上画出解集，并求出它的整数解之和． 【答案】解集为， 数轴表示如图： 整数解之和为 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，取公共部分得到不等式组的解集，在数轴上表示解集，再找出范围内的整数解，最后求和． 【详解】解：， 解不等式①，得 ； 解不等式②，得 ， 不等式组的解集为． 数轴画法：在数轴上，处画实心圆点，处画空心圆圈，两点之间连线． 该范围内的整数解为：， 整数解之和：， 不等式组整数解之和为． 18. 如图，在中，是的中位线． （1）请用无刻度直尺和圆规作，使，且射线交于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，，求证：． 【答案】（1） （2）证明： 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， 在中，， 是矩形， ． 【解析】 【分析】（1）以为圆心，长为半径画弧，交于，作射线，即可得； （2）证明四边形为矩形即可证明结论． 【小问1详解】 解：以为圆心，长为半径画弧，交于，作射线， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， ， ； 【小问2详解】 略 19. 周末休闲放松，观影是个好选择．为了解大家对某部电影的喜爱情况，一天小美同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名观众对电影进行评分（十分制），并收集、整理数据如下．所有观众的评分均高于8分（电影评分用表示，共分成四组：；；；），下面给出了部分信息： 上午20名观众的评分为：8.1，8.7，8.9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8，9.9，10，10，10． 下午20名观众的评分在组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4． 上午、下午所抽取观众的评分统计表 上午 下午 平均数 9.4 9.4 中位数 9.4 众数 9.3 （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为该影院上午、下午观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若这天上午有名观众，下午有名观众观看了这部电影，请估计上午、下午的观众中给电影评分在9分以上的总人数是多少人？ 【答案】（1）；；； （2） 解：上午的观众对电影的评分较高，理由： 因为上、下午观众对电影的评分的平均数相同，但上午的中位数和众数比下午的高，所以上午的观众对电影的评分较高； （3）名． 【解析】 【分析】本题考查了求中位数，众数，用样本估计总体，读懂图表，获取信息，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据中位数，众数的定义，即可求出和的值，先求出下午组的人数所占百分比，即可求出的值； （）根据上午和下午平均数，中位数，众数，即可得出结论； （）将上午和下午认为电影特别优秀的观众人数相加即可． 【小问1详解】 解：在上午名学生的评分中，出现的次数最多，故众数； 下午名学生的评分在C组百分比为：， ∴下午名学生的评分在A组百分比为：， 即， 下午名学生的评分在A组的人数为名，B组的人数为名， 把下午名学生的评分从小到大排列，排在中间的两个数是第10和11名学生的成绩即在C组中的分别是：9.3，9.3，故中位数； 故答案为：；；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计上下午参加此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是名． 20. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，以及负整数指数幂，零指数幂，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 根据分式的混合运算法则化简分式，再结合负整数指数幂，零指数幂算出的值，将的值代入化简后的式子求解，即可解题． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 21. 列方程解应用题： “人形机器人”是当前的热门话题．某工厂同时生产A、B两款人形机器人，每月生产A款人形机器人的数量比每月生产B款人形机器人的数量多40台，2个月生产的A款人形机器人的数量与3个月生产的B款人形机器人的数量相同． （1）求该厂每月生产的A、B两款人形机器人的数量分别是多少台？ （2）由于市场需求量增加，该厂对A、B两款人形机器人的生产线均进行了升级改造．改造后，A款人形机器人每月增产的数量是B款人形机器人每月增产数量的3倍．若生产1500台A款人形机器人与生产900台B款人形机器人所用的时间相同，求升级改造后每月可生产A款人形机器人多少台？ 【答案】（1）A款人形机器人120台，B款人形机器人80台 （2）150台 【解析】 【分析】题目主要考查一元一次方程和分式方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． （1）设该厂每月生产B款人形机器人x台，A款人形机器人台，根据题意列出方程求解即可； （2）设改造后，B款人形机器人每月增产y台，A款人形机器人每月增产3y台，根据题意列出分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该厂每月生产B款人形机器人x台，A款人形机器人台． ， 解之得：， ∴． 答：该厂每月生产A款人形机器人120台，B款人形机器人80台． 【小问2详解】 解：设改造后，B款人形机器人每月增产y台，A款人形机器人每月增产3y台． ， 解之得：， 经检验知：是原方程的解，且符合题意． ， 答：改造后每月可生产A款人形机器人150台． 22. 如图，矩形中，，，、两点分别从点、点同时出发，点以每秒钟1个单位的速度沿运动，点以每秒钟2个单位的速度沿运动，当点到达点时，点也随之停止运动，设的面积为，、两点的运动时间为． （1）直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出函数值时，自变量的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1） （2） 函数图象如图所示， 当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小； （3）． 【解析】 【分析】此题考查了动点问题的函数图象和性质，准确求出函数解析式是关键． （1）自变量的取值范围分两段分别求出函数解析式即可； （2）画出函数图象，写出一条性质即可； （3）根据图象写出自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：矩形中，，， 当点Q在上运动时，即时， 的面积为， 当点Q在上运动时，即时， 的面积为， ∴ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据图象可知，当函数值时，自变量的取值范围为． 23. 重庆今年首次在义务教育阶段学校探索实施春秋假．春假期间，甲、乙两位同学相约去某景区游玩．如图，大门，猴山，古塔，游乐场为景区内在同一平面内的四个景点．位于的正东方向千米处，位于的正南方向且位于的南偏西方向，位于的南偏东方向且位于的南偏东方向． （1）求的长度（参考数据：，，，，结果保留小数点后一位）； （2）现甲从出发沿方向前往，乙从出发沿方向前往，两人同时出发，乙的速度是甲的速度的倍．途中乙接到甲询问位置的电话，乙利用导航发现此时两人的直线距离为千米，求此时甲离处多少千米？ 【答案】（1）7.4千米 （2）千米或4千米 【解析】 【分析】（1）过点B作于点E，由含30度直角三角形的性质求得，，由勾股定理求得，再由勾股定理即可求得； （2）假设甲走到F处，乙走到G处时，两人的直线距离为4千米，过点F作于点H，由速度关系得路程关系，设千米，则千米，利用含30度直角三角形的性质及勾股定理求得，再由勾股定理建立方程即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点B作于点E， 由题意得， ∴千米， ∵，， ∴， ∴千米， 由勾股定理得千米， ∵， ∴， ∴千米， 由勾股定理得（千米）． 答：的长度为7.4千米． 【小问2详解】 解：假设甲走到F处，乙走到G处时，两人的直线距离为4千米，即千米， 如图，过点F作于点H， ∵两人同时出发，且乙的速度是甲的速度的2倍， ∴乙的路程是甲的路程的2倍， 即， 设千米，则千米，千米， ∵，， ∴千米， 由勾股定理得千米，千米， 在中，由勾股定理得， 整理得， 解得， 则（千米），或（千米）． 答：甲离处千米或4千米． 24. 如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，已知直线上方抛物线上有一点，过点作轴与交于点，过点作轴与轴交于点，求的最大值和此时点的坐标； （3）将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度，新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为， （3）或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）第一种情况，过点N作，交抛物线于点，则，求出直线的解析式为：，进而求解；第二种情况，作，交抛物线于点，同理可解． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，点， ∴设抛物线的解析式为：， 把点代入可得，， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 则， 即的最大值为：， 此时，则点； 【小问3详解】 解：∵抛物线， ∴将原抛物线沿x轴向右平移1个单位长度，新抛物线的解析式为：， 令，则，令，则， 解得，， ∴，， ∵点N是第一象限中新抛物线上一点，且点N到y轴的距离等于点到y轴的距离的一半， ∴且， 把代入得：， ∴， ∵，， 由点、的坐标得，直线的解析式为， 分以下两种情况： 第一种情况，过点N作，交抛物线于点，则，如图2， ∴设直线的解析式为，把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立新抛物线与直线为方程组得：， 解得：（舍去）或， ∴； 第二种情况，作，交抛物线于点，交直线于点H，如图3， ∴， 设，且，， ∴，， 即， 解得，， ∴， 由点H、N的坐标得，直线的解析式为， 联立抛物线与直线为方程组得：， 解得：（舍去）或， ∴； 综上所述，存在点M，使得，点M的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数与图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式与一次函数解析式，二次函数最值问题，函数平移的性质，等腰三角形的性质，二次函数与二元一次方程组求解交点等知识的综合运用是解题的关键． 25. 在中，，点是的中点，连接，点是上的一点，连接． （1）如图，若，，求线段的长度； （2）如图，若点是的中点，过点作于点，交于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）如图，以为斜边在下方作等腰，，连接并延长至点，使得，在直线上方取一点，连接，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，若，，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）， 证明：过点作于点，过点作交于点，交于点， ∵， ∴ ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，求出，，根据勾股定理即可求出答案； （2）过点作于点，过点作交于点，交于点，证明，则，证明，则，即可证明结论成立； （3）将绕点B顺时针旋转得到，连接，证明，则，当三点共线时，最短，为的长度，证明，过点作于点，在下方作等腰直角三角形，过点作于点D，证明为等腰直角三角形，证明点在线段上运动，当时，取得最小值，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵点是的中点，，， ∴，， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴，， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，最短，为的长度， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，过点作于点，在下方作等腰直角三角形，过点作于点D， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵在上运动，且以为斜边在下方作等腰，， ∴当F与E重合时，K与Q重合，当F与B重合时，K与重合， ∴点在线段上运动， 当时，取得最小值， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 根据面积法可得，， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $