精品解析：甘肃天水市田家炳中学2026-2027学年九年级上学期第一阶段质量检测数学试题

2026—2027学年度第一学期第一阶段质量检测 九年级数学 一．单项选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 若关于x的一元二次方程有一个根为2，则k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 7. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 12或14 8. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 9. 一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人．根据题意列出方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知a是方程的一个根，则代数式的值是（ ） A. 1 B. －1 C. 0 D. 2 二．填空题（每小题4分，满分24分） 11. 与最简二次根式是同类二次根式，则________． 12. 函数有意义，则自变量的取值范围是__________． 13. 若关于x的一元二次方程的常数项为0，则a的值是_________． 14. 小明在解方程时，只得出一个根是，则被他漏掉的一个根是________． 15. 如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，设小路的宽为，可列方程______． 16. 实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 三．解答题（共6小题，总分46分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1） （2） （3） （4） 19. 已知，，求代数式的值． 20. 已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值： （1）； （2）． 21. 为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． （1）求年到年这种药剂价格的年平均下降率； （2）该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 22. 如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． （1）若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 四．解答题（共5小题，50分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 23. 关于x的一元二次方程． （1）当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． （2）若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 24. 实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． （1）这个文化长廊的周长是多少米？ （2）刷涂料的面积是多少平方米？ 25. 商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件．设每件商品降价元．据此规律，请回答： （1）降价后商场日销售量是________件，每件商品盈利________元（用含的代数式表示）； （2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？ 26. 已知：如图所示，在中，，，．点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动． （1）如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的长度等于5cm？ （3）在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 27. 阅读材料，完成任务：我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了，例如： ． （1）模仿材料中的计算方法，化简________；________． （2）计算：； （3）已知，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期第一阶段质量检测 九年级数学 一．单项选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此可得答案． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、是最简二次根式，故此选项符合题意． 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用算术平方根的非负性排除错误选项，验证立方根运算． 【详解】解：A,，不符合题意； B, ，符合题意； C,，不符合题意； D,，不符合题意． 3. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：A、未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程，不符合题意； B、当时，未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 4. 用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程一般形式中系数的识别，需注意符号和顺序．将方程与一元二次方程的一般形式对比，直接确定系数、、的值． 【详解】解：方程， 、、依次为，，， 故选：D． 5. 若关于x的一元二次方程有一个根为2，则k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的含义，解题的关键是掌握一元二次方程根的含义，方程的根是使得方程成立的未知数的值． 将代入方程，求解即可． 【详解】解：将代入方程得，， 解得：， 故选：B． 6. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用配方法求解一元二次方程．掌握求解步骤是解题关键． 【详解】解：， ， ∴， 故选：B 7. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 12或14 【答案】B 【解析】 【分析】用因式分解法求得方程的根，后根据三角形三边关系判断三角形的存在性，后计算周长. 【详解】∵， ∴（x-7）(x-5)=0, ∴x=7或x=5； 当x=7时, 3+4=7， ∴三角形不存在； 当x=5时, 3+4＞5， ∴三角形存在， ∴三角形的周长为3+4+5=12； 故选B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的因式分解求解法和三角形的存在性，熟练求方程的根，准确判断三角形的存在性是解题的关键. 8. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 分和两种情况，结合根的判别式求解即可． 【详解】解：分和两种情况讨论如下： ①当时，方程化为，解得，原方程有实数根，符合题意； ②当时， ∵关于的方程有实数根， ∴，即， ∴当且时，原方程有实数根，符合题意； 综上所述，满足条件的的取值范围为， 故选：D． 9. 一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人．根据题意列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】第一轮传染后总传染人数为，第二轮后总传染人数为，由此可解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染个人， 则第一轮传染后总传染人数为，第二轮后总传染人数为， 因此． 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系是解题的关键． 10. 已知a是方程的一个根，则代数式的值是（ ） A. 1 B. －1 C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程根的定义得到，将所求代数式化简降次后整体代入求值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， . 二．填空题（每小题4分，满分24分） 11. 与最简二次根式是同类二次根式，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：，且与最简二次根式是同类二次根式， 二者最简形式的被开方数相同，即， 解得． 12. 函数有意义，则自变量的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】函数同时包含二次根式和分式，需分别满足二次根式被开方数非负，分式分母不为0，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：二次根式的被开方数需非负，分式的分母不能为0， 要使函数有意义，可列出不等式组 ， 解得且． 自变量的取值范围是且． 13. 若关于x的一元二次方程的常数项为0，则a的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和题意列出a满足的条件求解即可． 【详解】解：由题意，，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义和解法，掌握一元二次方程的定义与基本解法是解题关键． 14. 小明在解方程时，只得出一个根是，则被他漏掉的一个根是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】， 移项，得， 因式分解，得， 或， 解得或， 被漏掉的一个根是． 15. 如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，设小路的宽为，可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设小路的宽是，则余下的部分可合成长为，宽为的矩形，根据花圃的面积是，可列出关于的一元二次方程． 【详解】解：设小路的宽是，则余下的部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故答案为：． 16. 实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数轴上、的位置判断它们的正负性及大小关系，进而判断出根号内代数式的正负性，最后化简计算即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ． 三．解答题（共6小题，总分46分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简算术平方根，运算求解； （2）应用平方差公式简化运算求解． 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【点睛】本题考查实数的运算，灵活运用公式是解题的关键． 18. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】根据直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解： 或 ，； 【小问2详解】 解： ，； 【小问3详解】 解：，，， 则， ， ，； 【小问4详解】 解： 或， ，． 19. 已知，，求代数式的值． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值．化简，将x和y值代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 20. 已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）-4 （2）23 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系． （1）先求出， ，再展开，再代入求值即可； （2）先通分，再利用完全平方公式配方得出含有两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可； 【小问1详解】 解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴． 21. 为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． （1）求年到年这种药剂价格的年平均下降率； （2）该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 【答案】（1） 年到年这种药剂价格的年平均下降率为 （2） 该药剂在年的价格为元 【解析】 【分析】（1）设年到年这种药剂价格的年平均下降率为，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列出算式求解即可． 【小问1详解】 解：设年到年这种药剂价格的年平均下降率为， 解得 ，（不符合题意，舍去） ． 答：年到年这种药剂价格的年平均下降率为． 【小问2详解】 解：（元） 答：该药剂在年的价格为元． 22. 如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． （1）若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米 （2）解：不能围成面积为60平方米的车棚； 理由：设为x米，则为米， 由题可得：， 整理得， ∵， ∴不能围成面积为60平方米的车棚． 【解析】 【小问1详解】 解：设为x米，则为米， 由题可得：， 解得，， ， （舍去）， ，米， ∴面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米； 【小问2详解】 略． 四．解答题（共5小题，50分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 23. 关于x的一元二次方程． （1）当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． （2）若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式的意义得到，解不等式即可得到k的取值范围； （2）根据根与系数的关系得，，利用完全平方公式，由得到，然后解方程后通过k的范围确定k的值． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴，， ∴， 解得，． ∵方程有两个实数根， ∴，解得， ∴． 24. 实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． （1）这个文化长廊的周长是多少米？ （2）刷涂料的面积是多少平方米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积即可求出涂料的面积． 【小问1详解】 解：根据题意可得，这个文化长廊的周长为： ， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为； 【小问2详解】 解： ， 答：刷涂料的面积为． 25. 商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件．设每件商品降价元．据此规律，请回答： （1）降价后商场日销售量是________件，每件商品盈利________元（用含的代数式表示）； （2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？ 【答案】（1）； （2）每件商品降价元时，商场日盈利可达到元． 【解析】 【分析】（1）根据每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件，即可求解； （2）根据题意，列出一元二次方程，求解，再根据题意取合适的值即可． 【小问1详解】 解：由题可得降价后商场日销售量是件，每件商品盈利元； 【小问2详解】 解：根据题意，可列方程， 解得，， 为了尽快减少库存， ， 则每件商品降价元时，商场日盈利可达到元． 26. 已知：如图所示，在中，，，．点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动． （1）如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的长度等于5cm？ （3）在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【答案】（1）1秒 （2）2秒 （3）不能，理由： 令，即：， ∴整理得：． 由于，则方程没有实数根． 所以，在（1）中，的面积不等于． 【解析】 【分析】（1）设秒后，则：，；，根据三角形面积公式进行计算即可； （2）在中，根据勾股定理求解即可； （3）根据三角形面积公式列出一元二次方程，利用判别式，求解即可． 【小问1详解】 解：设秒后，则：，；． ，即， 解得：或4.（秒不合题意，舍去） 故：1秒后，的面积等于． 【小问2详解】 ∵，则， 即， 解得：（舍）或2. 故2秒后，的长度为5cm． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，分别用含的式子表示出，是解题的关键． 27. 阅读材料，完成任务：我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了，例如： ． （1）模仿材料中的计算方法，化简________；________． （2）计算：； （3）已知，，求的值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式，分子分母同乘分母的有理化因式，将分母化为有理数，化简即可． （2）观察式子发现每一项都可以通过分母有理化化简为两个二次根式的差，从而产生相互抵消的项，最后化简计算即可． （3）先对和进行分母有理化，求出和的值，再将所求代数式变形为含有和的形式代入计算． 【小问1详解】 解：；． 【小问2详解】 解：由材料可得，； ； ；； ； 原式 ． 【小问3详解】 解：，， ，， ， 原式 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $