精品解析：江西吉安市永丰县第三中学、吉安长田学校2025-2026学年高二上学期第一次联考数学试卷

吉安市永丰县三中、吉安长田学校2025-2026学年上学期 高二第一次联考数学试卷 一、单选题：每小题5分，共40分. 1. 已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 135° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】由题意，直线，又倾斜角，故直线的倾斜角. 故选：C 2. 已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出直线的斜率，再根据斜率和倾斜角的关系即可求出. 【详解】因，，，则斜率，， 如图所示， 直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点， 从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷，所以此时； 从转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大， 所以此时， 综上可得直线的斜率的取值范围为. 故选：A. 3. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线垂直的性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】由，得， 所以或，所以是的充分不必要条件． 故选：A 4. 已知点在直线上，点在直线上，线段的中点为，且满足，则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设出点的坐标和中点，用表示出坐标，将坐标代入对应直线方程即可得到的表达式， 联立得到表达式代入求解即可. 【详解】解：设，，则 ， 的中点为， ， 分别在直线和， ，， ，即. ，即 ， 又，，即 ， 所以，即 ， 解得. 故选：A. 【点睛】平面解析几何问题中的设而不求方法注意事项： （1）凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”； （2）“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多. 5. 对任意实数，直线一定经过点（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将方程化为，令，即可求解. 【详解】因为，令，解得，， 所以直线都经过平面内一个定点． 6. 已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（    ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】设直线，根据已知有，再应用基本不等式求得，即可得面积最小值，确定等号成立条件即可得. 【详解】设直线，其中， 因为直线过点， 所以， 而，解得， 当且仅当，即时等号成立， 故，此时直线的纵截距为14. 7. 已知直线不经过第二象限，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将直线化成斜截式，结合，且异号，可得，由异号即可得答案. 【详解】由题意可知，且异号， 将直线化斜截式，为， 直线的斜率， 又因为直线不过第二象限， 所以，即， 又因为异号， 所以. 8. 若，，且点在过点、，的直线上，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线约束 ；对配方，消去，转化为关于的二次函数；利用二次函数求出最大值，代回算出最大值. 【详解】过的直线的斜率是 直线方程是，整理得 点在直线上，故 ，又 ， 所以，，所以, 因为, 所以, 由，得 ，因此 , 令 ，则 ，这是开口向上的二次函数，且在上单调递增， 因此只需求的最大值， 二次函数 ，开口向下，对称轴 最大值 即 ， 所以=. 二、多选题：每小题6分，共18分；每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 表示过点且斜率为的直线方程 B. 在轴，轴上的截距分别为的直线方程为 C. 直线与轴的交点到原点的距离为 D. 过点的直线方程为 【答案】AD 【解析】 【分析】由直线方程的意义判断A，直线方程的截距式判断B，由直线与的交点及距离的定义判断C，分类讨论确定过两点的直线方程判断D． 【详解】根据点斜式方程的含义知表示为过点且斜率为的直线方程，A正确； 在轴，轴上的截距分别为，，只有时，直线方程为，B错误； 直线与轴的交点坐标是，交点到原点的距离为，C错误； 无论直线斜率是否存在(垂直于轴时，，式子简化为；平行于轴时，，式子简化为)，都能表示过， 的直线，D正确. 故选：AD. 10. 过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据直线在坐标轴上的截距是否为零进行分类讨论，结合截距互为相反数求得正确答案. 【详解】若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为， 又直线过点，所以，即， 所以直线方程为，即； 若直线在坐标轴上的截距不为0， 设直线方程为，又直线过点， 所以，解得，所以直线方程为，即． 综上可知，所求直线方程为或． 11. 已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法正确的是（ ） A. B. 为定值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先求出点A，B的坐标，可判断选项A的正误；判断两条直线的位置关系可判断选项B的正误；根据基本不等式链可判断选项C，D的正误. 【详解】由，得． 因为，所以，得． 由，得． 因为，所以，得． 所以，A正确． 由直线：和直线：，知． 所以．所以．所以，为定值，B正确． ，当且仅当时，等号成立，C错误． 因为，所以，即的最大值为，当且仅当时，等号成立，D正确． 故选：ABD． 三、填空题：每小题5分，共15分. 12. 若直线：的斜率为1，则实数_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的一般式方程与斜率公式求解. 【详解】因为直线的斜率为1，所以解得， 故答案为:3. 13. 在平面直角坐标系中，已知射线：，：，过点作直线分别交射线，于点A，B. （1）当的中点在直线上时，直线的方程为______． （2）当的面积取得最小值时，直线的方程为______． 【答案】 ①. ； ②. ． 【解析】 【分析】（1）设，求出线段的中点坐标，根据题意列方程组求出a、b，求得直线的方程； （2）根据题意利用基本不等式求出面积的最小值时对应的点A、B的坐标，即可求出直线的方程； 【详解】（1）设，则线段的中点为； 所以，且， 分别化为：, 解得； 所以直线的方程为：，整理得； （2）设，，而， 又P在直线上，，即， ，当且仅当时等号成立， 此时直线的方程为，即． 14. 过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是______. 【答案】或 【解析】 【详解】由题可知，直线过点，所以直线在x轴上的截距为， 又直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在y轴上的截距为1或， 则所求直线方程为或. 四、解答题:共77分;第15题为13分，第16、17题分别为15分，第18、19题分别为17分. 15. 四边形的顶点，，，，求这个四边形四条边所在的直线方程． 【答案】边所在直线方程为，边所在直线方程为， 边所在直线方程为，边所在直线方程为 【解析】 【分析】根据截距式、两点式求得四边形四条边所在的直线方程． 【详解】如图，由截距式，得边所在直线方程为，即， 边所在直线方程为，即， 由两点式，得边所在直线方程为，即， 边所在直线方程为，即． 16. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： （1）斜率是，经过点； （2）经过点，且与轴垂直； （3）斜率为，在轴上的截距为7. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由点斜式，得直线方程为， 化成一般式即． 【小问2详解】 直线方程为，即． 【小问3详解】 由斜截式，得直线方程为，化成一般式为. 17. 求适合下列条件的直线的方程： （1）在轴上的截距为，倾斜角的正弦值是； （2）经过点，且在两坐标轴上的截距相等； 【答案】（1）或 （2）或． 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数关系求得倾斜角的正切值，得到斜率，然后利用直线方程的斜截式得到； （2）分截距为0和不为0两种情况利用截距式求解. 【小问1详解】 设直线的倾斜角为，则，则，直线的斜率． 又直线在轴上的截距是，由斜截式得直线方程为，即或． 【小问2详解】 设直线在，轴上的截距均为，若，即过点和． 则的方程为，即． 若，设的方程为．过点，．，的方程为． 综上可知，直线的方程为或． 18. 已知的三个顶点分别为，是的重心． （1）试求点的坐标； （2）试求的值； （3）试求以为顶点构成的平行四边形的两条对角线所在的直线方程． 【答案】（1）； （2）； （3） ①对角线（为第四个顶点） 所在直线方程为. 的方程为. ②对角线（为第四个顶点） 所在直线方程为. 的方程为. ③对角线（为第四个顶点） 所在直线方程为. 的方程为. 【解析】 【分析】（1）根据重心坐标与三角形顶点坐标的关系计算即可. （2）根据斜率公式计算即可. （3）以为顶点可构成三个不同的平行四边形，求这三个平行四边形的所有对角线所在的直线方程. 【小问1详解】 因为的三个顶点分别为，是的重心 所以重心坐标为，即. 【小问2详解】 因为的三个顶点分别为， 所以. 所以. 【小问3详解】 以为顶点的平行四边形有三种情况，对应三组对角线： ①对角线（为第四个顶点） 因为，所以所在直线方程为，即. 的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即. ②对角线（为第四个顶点） 因为，所以所在直线方程为，即. 的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即. ③对角线（为第四个顶点） 因为，所以所在直线方程为，即. 的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即. 19. 已知直线的方程为（）： （1）求证：直线必过定点，并写出此定点的坐标； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； （3）若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围． 【答案】（1）证明:直线：，即， 由，得，所以直线必过定点，此定点坐标为. （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出直线所过定点即可. （2）求出直线的横纵截距，再列式求解. （3）求出直线的斜率及纵截距，结合题意列式求解. 【小问1详解】 证明略，. 【小问2详解】 依题意，，在直线：中，令，得；令，得， 由直线在两坐标轴上的截距相等，得，解得或， 所以或. 【小问3详解】 直线：的斜率为，纵截距为， 由直线不经过平面直角坐标系的第二象限，得，解得， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉安市永丰县三中、吉安长田学校2025-2026学年上学期 高二第一次联考数学试卷 一、单选题：每小题5分，共40分. 1. 已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 135° D. 150° 2. 已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知点在直线上，点在直线上，线段的中点为，且满足，则的取值范围为 A. B. C. D. 5. 对任意实数，直线一定经过点（    ） A. B. C. D. 6. 已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（    ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 14 7. 已知直线不经过第二象限，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 若，，且点在过点、，的直线上，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：每小题6分，共18分；每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 表示过点且斜率为的直线方程 B. 在轴，轴上的截距分别为的直线方程为 C. 直线与轴的交点到原点的距离为 D. 过点的直线方程为 10. 过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法正确的是（ ） A. B. 为定值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 三、填空题：每小题5分，共15分. 12. 若直线：的斜率为1，则实数_____ 13. 在平面直角坐标系中，已知射线：，：，过点作直线分别交射线，于点A，B. （1）当的中点在直线上时，直线的方程为______． （2）当的面积取得最小值时，直线的方程为______． 14. 过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是______. 四、解答题:共77分;第15题为13分，第16、17题分别为15分，第18、19题分别为17分. 15. 四边形的顶点，，，，求这个四边形四条边所在的直线方程． 16. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： （1）斜率是，经过点； （2）经过点，且与轴垂直； （3）斜率为，在轴上的截距为7. 17. 求适合下列条件的直线的方程： （1）在轴上的截距为，倾斜角的正弦值是； （2）经过点，且在两坐标轴上的截距相等； 18. 已知的三个顶点分别为，是的重心． （1）试求点的坐标； （2）试求的值； （3）试求以为顶点构成的平行四边形的两条对角线所在的直线方程． 19. 已知直线的方程为（）： （1）求证：直线必过定点，并写出此定点的坐标； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； （3）若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $