江西省吉安市第一中学2022-2023学年高二上学期第一次段考数学试题

吉安一中2022—2023学年度上学期第一次段考 高二数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知平面上一点M（5，0），若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间中三点，，，则下列说法错误的是（ ） A. 与不是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 和夹角余弦值是 D. 平面的一个法向量是 3. 已知分别为双曲线的左，右顶点，点P为双曲线C上异于的任意一点，记直线，直线的斜率分别为．若，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 已知圆：与圆：相外切，则的最大值为（　　） A. 2 B. C. D. 4 5. 单位正四面体外接球内接的最大正三角形边长为（ ） A ​ B. ​ C ​ D. ​ 6. 数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形包括边界内运动，若面，则线段的长度范围是（ ） A. B. C. D. 8. 过抛物线C：y2=4x的焦点F分别作斜率为k1、k2的直线l1、l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，若|k1·k2|=2，则|AB|+|DE|的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 二、多选题（每题5分，共20分） 9. 若直线m被两平行直线：x－y＋1＝0与：x－y＋3＝0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角可以是（ ） A. 15° B. 30° C. 60° D. 75° 10. 已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 11. 如图，在多面体中，四边形，，均是边长为1的正方形，点在棱上，则（ ） A. 该几何体的体积为 B. 点在平面内的射影为的垂心 C. 的最小值为 D. 存在点，使得 12. 已知曲线：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与曲线没有公共点 B. 直线与曲线最多有两个公共点 C. 当直线与曲线有且只有两个不同公共点，时，的取值范围为 D. 当直线与曲线有公共点时，记公共点为．则的取值范围为（0，2） 三、填空题（共20分） 13. 如图，平行六面体的底面是边长为的正方形，且，，则线段的长为 _____． 14. 在直角坐标系中，已知和直线，试在直线上找一点，在轴上找一点，使三角形的周长最小，最小值为__． 15. 若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是______. 16. 设直线与双曲线两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的渐近线方程是_______． 四、解答题（共70分） 17. 已知的三个顶点是. （1）的面积； （2）的外接圆的面积. 18. 如图所示的多面体中，面是边长为的正方形，平面平面，，，，分别为棱，，的中点． （1）求证：平面； （2）已知二面角的余弦值为，求四棱锥的体积． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点． （1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程； （2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程． 20. 已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点． （1）已知点、点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标； （2）已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围． 21. 已知椭圆的焦距为，且经过点.过点的斜率为的直线与椭圆交于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点，直线交轴于点. （1）求的取值范围； （2）试问： 是否为定值？若是，求出定值；否则，说明理由. 22. 已知抛物线，O是坐标原点，F是C的焦点，M是C上一点，，． （1）求抛物线C的标准方程； （2）设点在C上，过Q作两条互相垂直的直线，分别交C于A，B两点（异于Q点）．证明：直线恒过定点． 吉安一中2022—2023学年度上学期第一次段考 高二数学试卷 一、单选题（每题5分