专题03二次函数与一元二次方程精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦二次函数与一元二次方程的核心关联，系统梳理代数与函数双向转化逻辑，构建判别式与图像交点的数形对应关系，涵盖抛物线与水平线相交模型、图像法估算近似根、交点式求解析式等关键知识点，形成从基础概念到实际应用的完整学习支架。 该资料以数形结合为主线，通过错误警示（如Δ=0表述规范）和解题技巧（如韦达定理求距离公式）培养学生几何直观与推理意识，题型分层设计（基础到拔高）结合抛射运动等实际问题，强化模型意识与应用能力。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过错题分析与分层练习查漏补缺。

专题03二次函数与一元二次方程精讲学案 1. 代数与函数双向转化核心逻辑（课堂主线） 对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），令函数值y=0，即可得到一元二次方程ax²+bx+c=0。抛物线与x轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程的实数根。反之，已知方程的两个根，可以直接写出抛物线与x轴的两个交点坐标，快速设出交点式解析式，大幅简化计算。 2. 判别式数形对应三大结论（必考板书模板） Δ=b²−4ac ①Δ＞0：方程有两个不相等实数根，抛物线与x轴有2个不同交点； ②Δ＝0：方程有两个相等实数根，抛物线顶点落在x轴上，与x轴只有1个交点； ③Δ＜0：方程无实数根，抛物线全程在x轴上方或下方，与x轴无交点。 可完全不用画图，直接通过代数式判断图像交点情况。 3. 抛物线与水平线y=h相交拓展模型（高频考点） 令ax²+bx+c=h，整理得到新方程ax²+bx+(c−h)=0。新方程根的个数，就是抛物线与直线y=h的交点个数。专门用于物体抛射、高度判定、能否到达指定高度等实际应用题。 4. 图像法估算一元二次方程近似根（课本必会实操） 通过观察二次函数图像，锁定x轴交点所在的两个整数区间，逐步缩小区间范围，从而估算出一元二次方程的近似实数根，解决无法配方、无法因式分解的方程求解问题。 5. 交点式快速求解析式（解题提速核心技巧） 已知抛物线与x轴两个交点坐标，可直接设交点式y=a(x−x₁)(x−x₂)，再代入图像任意一点求出a的值。相比一般式展开，步骤更少、计算量更小、正确率更高。 6. 韦达定理求x轴交点距离（中考拔高） 若抛物线与x轴交于两点x₁、x₂，则满足两根和、两根积关系。两交点之间水平距离可用公式：距离=√Δ÷|a|，不用单独解方程，可直接快速求线段长度，适配几何压轴题型。 7. 抛射运动实际问题固定解题套路 物体飞行高度是关于时间的二次函数。判断能否飞到指定高度，令高度等于定值，用判别式正负判断是否可行；求落地时间令y=0解方程，最终必须舍去负数时间解，保证结果符合实际意义。 8. 二次函数快速解一元二次不等式（初高中衔接） 结合抛物线开口方向、与x轴交点位置，可直接读出函数大于0、小于0对应的x取值范围，选择填空可直接秒杀，适合课堂培优拓展。 1. 概念表述错误：Δ=0时必须表述为“两个相等的实数根”，不能说“只有一个根”，极易填空扣分。 2. 求抛物线与直线y=h交点时，不会整理常数项，直接套用y=0结论导致列式错误。 3. 写交点式解析式时符号颠倒，正负号写错，整道解析式出错。 4. 图像估根区间过大，近似根精度不足，不符合答题规范。 5. 实际问题不解负根，保留负数时间、负数长度，不符合现实意义。 6. 计算两点距离不写绝对值，出现负数长度，属于低级格式错误。 题型 考察方向 难度 题型一 求抛物线与 x 轴的交点坐标 ★ 题型二 求抛物线与 y 轴的交点坐标 ★ 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 ★★ 题型四 抛物线与 x 轴的交点问题 ★★ 题型五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 ★★ 题型六 求 x 轴与抛物线的截线长 ★★★ 题型七 图象法确定一元二次方程的近似根 ★★ 题型八 图象法解一元二次不等式 ★★★ 题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围 ★★★ 题型十 根据交点确定不等式的解集 ★★★ 题型十一 一元二次方程的解的估算 ★★ 拔高题 解答题6题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一　求抛物线与 x 轴的交点坐标 解题思路：令二次函数解析式中y=0，解一元二次方程；方程的根就是交点的横坐标，写出坐标(x1,0)、(x2,0)；判别式Δ＜0时，抛物线与x轴无交点。 1．如图，抛物线与x轴的一个交点为，则一元二次方程的实数根是 _______________ ． 2．如图，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，，当最小时，则______． 3．对于每个非零自然数，抛物线与轴交于，两点，以表示这两点之间的距离，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型二　求抛物线与 y 轴的交点坐标 解题思路：令解析式中x=0，算出对应的y值；交点坐标为(0，y)；所有抛物线与y轴一定有一个交点。 4．二次函数与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 5．二次函数与y轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 6．二次函数的最小值为___________，其图象与轴的交点坐标为___________ 7．已知二次函数，若点，点，点都在二次函数图象上，且，则的取值范围（    ） A． B．或 C． D．或 题型三　已知二次函数的函数值求自变量的值 解题思路：把题目给出的函数值替换解析式里的y，得到一元二次方程；解方程求出x；得到的解就是对应的自变量取值。 8．已知二次函数，若点在该函数的图象上，则m的值为_____． 9．点均在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 10．已知抛物线经过点，则代数式的值为（    ） A．24 B．6 C．31 D．19 题型四　抛物线与 x 轴的交点问题 解题思路：利用判别式Δ=b²−4ac判断交点个数；Δ＞0两个交点，Δ＝0一个交点（顶点在x轴），Δ＜0无交点；结合交点坐标、交点式综合解题。 11．二次函数的图像与x轴的公共点的个数为______． 12．抛物线与轴只有一个交点，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 13．把二次函数的图象向上平移1个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：_____． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点．若，则点M到直线l的距离为________． 题型五　根据二次函数图象确定相应方程根的情况 解题思路：观察抛物线和x轴交点的个数，对应一元二次方程实数根的个数；有2个交点⇒两个不等实根；1个交点⇒两个相等实根；无交点⇒无实数根。 15．二次函数（，，，为常数）的自变量与函数值的部分对应值如下表所示，根据表中的数据，判断方程的负数解的取值范围可能是（    ） … … … … … … A． B． C． D． 16．若二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 17．二次函数（，、、为常数）的图象如图所示，则方程有实数根的条件是_________． 18．已知抛物线的位置如图所示，甲、乙、丙三人对关于x的一元二次方程的根的情况判断如下，其中正确的有（    ） 甲：当时，该方程没有实数根； 乙：当时，该方程有两个相等的实数根； 丙：当时，该方程有两个不相等的实数根． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型六　求 x 轴与抛物线的截线长 解题思路：截线长就是抛物线两个x轴交点之间的水平距离；方法①求出两个交点横坐标，做差取绝对值；方法②公式：距离=√Δ÷|a|，不用解方程直接计算。 19．抛物线与x轴交于A、B两点，则线段的长为______； 20．下列抛物线与轴都有两个交点：①；②；③．其中两交点之间的距离最短的是抛物线_______（填题序号即可）． 21．老师出示了小黑板的题目后，同学们踊跃回答．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：抛物线被轴截得的线段长为．这四个人的回答中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型七　图象法确定一元二次方程的近似根 解题思路：画出二次函数图像，观察抛物线与x轴交点落在哪两个整数之间；不断缩小x的取值区间，读出近似根；不需要精确解方程，得到接近真实值即可。 22．根据下列表格的对应值：判断方程 一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（   ） x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．． ··· 0.01 0.04 ．．． A． B． C． D． 24．如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（  ） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 题型八　图象法解一元二次不等式 解题思路：看抛物线在x轴上方还是下方；图像在x轴上方，y＞0；图像在x轴下方，y＜0；结合开口方向，写出x的取值范围。 25．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 26．如图是二次函数的图像，则不等式 的解集是_______． 27．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（    ） A． B． C．且 D．或 题型九　利用不等式求自变量或函数值的范围 解题思路：找准图像上的边界点（交点、顶点）；看题目要求y大于/小于某个数，对应找图像上对应的x范围；注意端点值能不能取等号。 28．二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D．或 29．如图，二次函数的图像过，且顶点为，当时，的取值范围是___________ 30．已知二次函数，若关于x的方程在的范围内有解，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型十　根据交点确定不等式的解集 解题思路：先找抛物线与x轴交点横坐标；分清开口向上还是向下；开口向上：两边高、中间低；开口向下：中间高、两边低；直接写出不等式解集。 31．抛物线与直线相交于如图所示的，两点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 32．如图，已知二次函数的图像与一次函数的图像相交于，两点，则关于x的不等式的解集是______． 33．已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 题型十一　一元二次方程的解的估算 解题思路：代入x值计算函数y，看y的正负；当连续两个x代入，y正负发生改变，说明方程的根就在这两个x中间；不断缩小区间估算根。 34．根据下面表格中列出来的数据，你猜想方程有一个根大约是（   ） A． B． C． D． 35．已知m，n（）是关于x的方程的两根，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 36．根据表格中的数据，判断一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为（　　） x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.16 0.59 A． B． C． D．0.6＜x＜0.7 解答题 1．已知二次函数的关系式为． (1)设二次函数与x轴的交点为A、B（A在B左边），与y轴的交点为C；直接写出A、B、C的坐标； (2)直接写出该二次函数的顶点坐标； (3)画出该二次函数的大致图象（不要求列表），并根据图象回答下列问题： ①直线的关系式，则不等式的解集是______； ②设点在二次函数图象上，且点M、N到对称轴的距离分别为、用“”或“”填空：若，则______；若，则______． 2．求二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标． 3．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． 4．已知二次函数． (1)求证：无论取何实数，该二次函数的图象与轴总有两个公共点； (2)若该二次函数的图象与轴的两个交点分别为、，且，求的值； (3)若该二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，当的面积为2时，求的值． 5．已知二次函数（为常数）． (1)求二次函数图象的对称轴； (2)对于二次函数图象上的两点，． ①若，，且，求点的坐标； ②当，时，均满足，求的取值范围． 6．阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03二次函数与一元二次方程精讲学案 数形结合，以数判形、以形释数 1. 代数与函数双向转化核心逻辑（课堂主线） 对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），令函数值y=0，即可得到一元二次方程ax²+bx+c=0。抛物线与x轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程的实数根。反之，已知方程的两个根，可以直接写出抛物线与x轴的两个交点坐标，快速设出交点式解析式，大幅简化计算。 2. 判别式数形对应三大结论（必考板书模板） Δ=b²−4ac ①Δ＞0：方程有两个不相等实数根，抛物线与x轴有2个不同交点； ②Δ＝0：方程有两个相等实数根，抛物线顶点落在x轴上，与x轴只有1个交点； ③Δ＜0：方程无实数根，抛物线全程在x轴上方或下方，与x轴无交点。 可完全不用画图，直接通过代数式判断图像交点情况。 3. 抛物线与水平线y=h相交拓展模型（高频考点） 令ax²+bx+c=h，整理得到新方程ax²+bx+(c−h)=0。新方程根的个数，就是抛物线与直线y=h的交点个数。专门用于物体抛射、高度判定、能否到达指定高度等实际应用题。 4. 图像法估算一元二次方程近似根（课本必会实操） 通过观察二次函数图像，锁定x轴交点所在的两个整数区间，逐步缩小区间范围，从而估算出一元二次方程的近似实数根，解决无法配方、无法因式分解的方程求解问题。 5. 交点式快速求解析式（解题提速核心技巧） 已知抛物线与x轴两个交点坐标，可直接设交点式y=a(x−x₁)(x−x₂)，再代入图像任意一点求出a的值。相比一般式展开，步骤更少、计算量更小、正确率更高。 6. 韦达定理求x轴交点距离（中考拔高） 若抛物线与x轴交于两点x₁、x₂，则满足两根和、两根积关系。两交点之间水平距离可用公式：距离=√Δ÷|a|，不用单独解方程，可直接快速求线段长度，适配几何压轴题型。 7. 抛射运动实际问题固定解题套路 物体飞行高度是关于时间的二次函数。判断能否飞到指定高度，令高度等于定值，用判别式正负判断是否可行；求落地时间令y=0解方程，最终必须舍去负数时间解，保证结果符合实际意义。 8. 二次函数快速解一元二次不等式（初高中衔接） 结合抛物线开口方向、与x轴交点位置，可直接读出函数大于0、小于0对应的x取值范围，选择填空可直接秒杀，适合课堂培优拓展。 1. 概念表述错误：Δ=0时必须表述为“两个相等的实数根”，不能说“只有一个根”，极易填空扣分。 2. 求抛物线与直线y=h交点时，不会整理常数项，直接套用y=0结论导致列式错误。 3. 写交点式解析式时符号颠倒，正负号写错，整道解析式出错。 4. 图像估根区间过大，近似根精度不足，不符合答题规范。 5. 实际问题不解负根，保留负数时间、负数长度，不符合现实意义。 6. 计算两点距离不写绝对值，出现负数长度，属于低级格式错误。 题型 考察方向 难度 题型一 求抛物线与 x 轴的交点坐标 ★ 题型二 求抛物线与 y 轴的交点坐标 ★ 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 ★★ 题型四 抛物线与 x 轴的交点问题 ★★ 题型五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 ★★ 题型六 求 x 轴与抛物线的截线长 ★★★ 题型七 图象法确定一元二次方程的近似根 ★★ 题型八 图象法解一元二次不等式 ★★★ 题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围 ★★★ 题型十 根据交点确定不等式的解集 ★★★ 题型十一 一元二次方程的解的估算 ★★ 拔高题 解答题6题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一　求抛物线与 x 轴的交点坐标 解题思路：令二次函数解析式中y=0，解一元二次方程；方程的根就是交点的横坐标，写出坐标(x1,0)、(x2,0)；判别式Δ＜0时，抛物线与x轴无交点。 1．如图，抛物线与x轴的一个交点为，则一元二次方程的实数根是 _______________ ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 先求抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点问题求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴一元二次方程的实数根为． 故答案为：． 2．如图，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，，当最小时，则______． 【答案】 【分析】由题意得点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点则点为所求点；则，即的最小值为的长度；据此即可求解． 【详解】解：由题意，点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点，此时，故最小值为， 理由：由点的对称性知，， 又两点之间，线段最短， ∴． 令， 或， 又令，则， 点、、的坐标分别为、、， ，． ∴． ∴的最小值为． 3．对于每个非零自然数，抛物线与轴交于，两点，以表示这两点之间的距离，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，依据题意，先利用因式分解的方法得到交点、坐标为，，所以，然后带入计算即可． 【详解】， 抛物线与轴的交点、坐标为，． ． ． 故选：D． 题型二　求抛物线与 y 轴的交点坐标 解题思路：令解析式中x=0，算出对应的y值；交点坐标为(0，y)；所有抛物线与y轴一定有一个交点。 4．二次函数与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】轴上所有点的横坐标为0，将代入二次函数解析式，计算得到的值，即可确定交点坐标． 【详解】解：令，代入得， ∴二次函数与轴的交点坐标为． 5．二次函数与y轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求二次函数与轴的交点坐标，令求出的值即可得解． 【详解】解：在中，当时，， 故二次函数与y轴的交点坐标是， 故选：D． 6．二次函数的最小值为___________，其图象与轴的交点坐标为___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 求二次函数的最小值可通过顶点公式计算，顶点横坐标为 ，再代入求纵坐标；求与 y 轴的交点坐标，令代入函数解析式求解． 【详解】解：顶点横坐标， ∴代入得， ∵， ∴二次函数的最小值为； 令，得， 故与 y 轴交点坐标为， 故答案为：，． 7．已知二次函数，若点，点，点都在二次函数图象上，且，则的取值范围（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，绝对值的性质，由点、点可得抛物线的对称轴为直线，即得，得，再根据二次函数解析式得抛物线与轴的交点坐标为，又根据抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越小，得到点到对称轴的距离比点到对称轴的距离近，即得，最后根据绝对值的性质解不等式即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵点，点在二次函数图象上， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∵抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越小， ∵， ∴点到对称轴的距离比点到对称轴的距离近， ∴， 即， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上， 的取值范围为或， 故选：． 题型三　已知二次函数的函数值求自变量的值 解题思路：把题目给出的函数值替换解析式里的y，得到一元二次方程；解方程求出x；得到的解就是对应的自变量取值。 8．已知二次函数，若点在该函数的图象上，则m的值为_____． 【答案】0或2 【分析】根据图象过点，点坐标满足解析式的思想，列式解方程即可． 本题考查了图象与点的关系，解方程，熟练掌握关系，灵活解方程是解题的关键． 【详解】解：二次函数，点在该函数的图象上， ∴， 解得， 故答案为：0或2． 9．点均在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二次函数的值， 分别将x的值代入关系式求出对应的函数值，再比较可得答案． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，． ∴ 故选：B． 10．已知抛物线经过点，则代数式的值为（    ） A．24 B．6 C．31 D．19 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数点的坐标特征，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握该知识点是解题的关键．由题意可知，，整理为，然后代入求值即可． 【详解】解：抛物线经过点， 故选：C ． 题型四　抛物线与 x 轴的交点问题 解题思路：利用判别式Δ=b²−4ac判断交点个数；Δ＞0两个交点，Δ＝0一个交点（顶点在x轴），Δ＜0无交点；结合交点坐标、交点式综合解题。 11．二次函数的图像与x轴的公共点的个数为______． 【答案】1 【分析】令，得到一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：令，则， ∴， ∴二次函数的图像与轴的公共点的个数为1． 12．抛物线与轴只有一个交点，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与轴的交点问题，根据抛物线与轴只有一个交点，得到抛物线的顶点在轴上，即可得出结果． 【详解】解：∵抛物线与轴只有一个交点， ∴抛物线的顶点在轴上， ∴； 故选C． 13．把二次函数的图象向上平移1个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：_____． 【答案】 【分析】先对原二次函数配方得到顶点坐标，再根据函数图象平移规则得到平移后抛物线的顶点坐标，结合抛物线开口方向，根据平移后抛物线与坐标轴有且只有一个公共点的条件，得到顶点纵坐标的不等式，求解即可得到结果． 【详解】解：，原抛物线顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后，顶点坐标变为，即， 平移后抛物线解析式为， 抛物线开口向上，且平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点， 抛物线与轴无交点，仅与轴有一个公共点，顶点纵坐标大于，即：，解得， 故答案为． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点．若，则点M到直线l的距离为________． 【答案】 【分析】由题意知，对称轴为直线，，两点的纵坐标相同，设为，有，点A的横坐标是，点的横坐标是，由，可知，计算求解即可． 【详解】解：∵与轴只有一个交点， ∴，对称轴为直线， ∵抛物线与平行于轴的直线交于，两点， ∴，两点的纵坐标相同，设为， 则时，， 解得：， ∴点A的横坐标是，点的横坐标是， ∵， ∴， 解得：． 即点M到直线l的距离为． 题型五　根据二次函数图象确定相应方程根的情况 解题思路：观察抛物线和x轴交点的个数，对应一元二次方程实数根的个数；有2个交点⇒两个不等实根；1个交点⇒两个相等实根；无交点⇒无实数根。 15．二次函数（，，，为常数）的自变量与函数值的部分对应值如下表所示，根据表中的数据，判断方程的负数解的取值范围可能是（    ） … … … … … … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，根据函数的图象与轴交点的横坐标就是方程的根，再根据二次函数的正负即可判断方程一个解的范围． 【详解】解：由表可知，当时，；当时，，   方程的负数解的取值范围是， 故选：B． 16．若二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，根据图象即可求得关于的一元二次方程的解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由图象可知二次函数与轴的交点，， ∴关于的一元二次方程的解是，， 故选：． 17．二次函数（，、、为常数）的图象如图所示，则方程有实数根的条件是_________． 【答案】 【分析】本题考查方程与二次函数图象的关系：根据图象得到二次函数的最小值，根据方程与函数图象的关系即可求解． 【详解】解：由图可知二次函数的最小值为， 方程有实数根，可看作二次函数与常数函数的图象存在交点， 故方程有实数根的条件是， 故答案为：． 18．已知抛物线的位置如图所示，甲、乙、丙三人对关于x的一元二次方程的根的情况判断如下，其中正确的有（    ） 甲：当时，该方程没有实数根； 乙：当时，该方程有两个相等的实数根； 丙：当时，该方程有两个不相等的实数根． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线与直线的交点问题，关键是把方程的解转化为抛物线与直线的交点问题． 先把一元二次方程的根的情况转化为直线与抛物线的交点问题，再根据抛物线的最大值为，然后结合图形分类讨论即可． 【详解】解：， ， 观察图象得：该函数的最大值为， 当时，， 直线与抛物线没有公共点， 方程无实数根，故甲说法正确； 当时，， 直线与抛物线有两个公共点， 方程有两个不相等的实数根，故乙说法错误； 当时，， 直线与抛物线有两个公共点， 方程有两个不相等的实数根，故丙说法正确； 说法正确的有甲、丙，共2个， 故选：C． 题型六　求 x 轴与抛物线的截线长 解题思路：截线长就是抛物线两个x轴交点之间的水平距离；方法①求出两个交点横坐标，做差取绝对值；方法②公式：距离=√Δ÷|a|，不用解方程直接计算。 19．抛物线与x轴交于A、B两点，则线段的长为______； 【答案】5 【分析】求出抛物线与x轴的两个交点坐标即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，则， 解得或， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了求抛物线与x轴的交点坐标，解题的关键在于熟知抛物线与x轴的交点坐标的纵坐标为0． 20．下列抛物线与轴都有两个交点：①；②；③．其中两交点之间的距离最短的是抛物线_______（填题序号即可）． 【答案】③ 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，通过求解每个抛物线与x轴的交点坐标，计算两点之间的距离，比较得出最短距离即可得出结论． 【详解】解：对于抛物线①： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 对于抛物线②： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 对于抛物线③： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 因为， 所以两交点之间的距离最短的是抛物线③． 故答案为：③． 21．老师出示了小黑板的题目后，同学们踊跃回答．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：抛物线被轴截得的线段长为．这四个人的回答中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，关键是灵活应用知识点解题；根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线过点，抛物线与轴交于， ∴对称轴为：，甲正确； ∵当时，，抛物线过点， ∴对称轴为：，乙正确； ∵抛物线与轴交于，， ∴， 解得：， ∴对称轴为：，丙正确； ∵抛物线被轴截得的线段长为，点在抛物线上， ∴抛物线与轴的另一个交点为：或， ∴对称轴为：或，丁错误； 综上：甲、乙、丙个人回答正确． 故选：A ． 题型七　图象法确定一元二次方程的近似根 解题思路：画出二次函数图像，观察抛物线与x轴交点落在哪两个整数之间；不断缩小x的取值区间，读出近似根；不需要精确解方程，得到接近真实值即可。 22．根据下列表格的对应值：判断方程 一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似根，掌握函数的图象与轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在．根据函数的图象与轴的交点横坐标就是方程的根，结合表格中数据即可判断方程的一个解的范围． 【详解】解：当时，；当时，， 方程的一个解在之间， 故选：C． 23．二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（   ） x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．． ··· 0.01 0.04 ．．． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程解的范围，理解方程解的含义是解题关键． 应该在与之间，从表格中选择对应的数据即可． 【详解】解：由表格得： 时，， 时，， 的一个解的范围为：． 故选：A． 24．如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（  ） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∴选项C符合， 故选：C． 题型八　图象法解一元二次不等式 解题思路：看抛物线在x轴上方还是下方；图像在x轴上方，y＞0；图像在x轴下方，y＜0；结合开口方向，写出x的取值范围。 25．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数和一次函数相交于两点的横坐标分别为，1，即可得． 【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1， 则当时，x的取值范围为或． 故选：B． 26．如图是二次函数的图像，则不等式 的解集是_______． 【答案】或 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，由抛物线与轴的交点为，对称轴为，得到当或时，，据此可得出答案，会利用二次函数图象解不等式是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴的交点为，对称轴为， ∴当或时，， ∴不等式的解集是：或， 故答案为：或． 27．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与不等式、二次函数的对称性，先利用抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴不等式的解集是． 故选：A． 题型九　利用不等式求自变量或函数值的范围 解题思路：找准图像上的边界点（交点、顶点）；看题目要求y大于/小于某个数，对应找图像上对应的x范围；注意端点值能不能取等号。 28．二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根此题考查了二次函数的图象，据，则函数图象在轴的下方，所以找出函数图象在轴下方的的取值范围即可，利用了数形结合的思想，准确识图是解题的关键． 【详解】由图象可知，当时，函数图象在轴的下方，， 故选：． 29．如图，二次函数的图像过，且顶点为，当时，的取值范围是___________ 【答案】 【分析】本题考查了把化成顶点式，的最值，待定系数法求二次函数解析式，利用不等式求自变量或函数值的范围，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据二次函数图象的顶点坐标，设出顶点式，再将代入求得解析式，然后结合求出的取值范围 【详解】解：∵二次函数图象的顶点为， ∴二次函数的解析式为， ∵二次函数的图像过， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为， ∴二次函数的图象为抛物线，开口向上，对称轴为直线， 当时，有最小值， ∵， ∴当时，， 当时，， ∴当时，有最大值0， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】 30．已知二次函数，若关于x的方程在的范围内有解，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合思想解决二次函数与一元二次方程的关系问题．根据“关于x的方程在的范围内有解，”转化为与在时有交点，利用二次函数解析式求出函数值在时的最大最小值，即可解题． 【详解】解：， 二次函数对称轴为，且二次函数在对称轴处取得最小值， ，且，，离对称轴越远，函数值越大， 当时，二次函数的最大值为， 在时，关于x的方程有解， 即可以看在与在时有交点， ， 故选：D． 题型十　根据交点确定不等式的解集 解题思路：先找抛物线与x轴交点横坐标；分清开口向上还是向下；开口向上：两边高、中间低；开口向下：中间高、两边低；直接写出不等式解集。 31．抛物线与直线相交于如图所示的，两点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解，解题的关键是利用图象解决问题． 【详解】解：等价于， 由图象可知，不等式的解集为或， 故选：． 32．如图，已知二次函数的图像与一次函数的图像相交于，两点，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【分析】先由函数沿y轴翻折得到，根据，求出函数与函数交点，的坐标，再根据函数图象得到不等式的解集． 【详解】解：如图，将沿y轴翻折得到，与函数交于，， 函数关于y轴对称，且，， ，， 化简为， 根据函数图像，可知当时，二次函数的图像在一次函数的图像上方， ∴不等式的解集为． 33．已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】令两个函数的函数值相等，解方程求出的值，结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得或， ∴由函数图象可知当时，自变量x的取值范围是． 题型十一　一元二次方程的解的估算 解题思路：代入x值计算函数y，看y的正负；当连续两个x代入，y正负发生改变，说明方程的根就在这两个x中间；不断缩小区间估算根。 34．根据下面表格中列出来的数据，你猜想方程有一个根大约是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的近似解．观察表格数据，可得当时，的值为负，当时，的值为正，从而得到方程根在和之间，即可求解． 【详解】解：∵ 当时，； 当时，； ∴ 方程根在和之间． 故选：C 35．已知m，n（）是关于x的方程的两根，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程转化为二次函数与直线交点问题，利用二次函数图像性质判断根的范围即可． 【详解】解：设二次函数， 由于二次项系数为，且， 则抛物线开口向上，与轴交于，两点， 原方程的两根，就是抛物线与直线交点的横坐标， 由于，则抛物线开口向上， 如图： 则较小的根在的右侧，较大的根在的左侧， 即得到． 36．根据表格中的数据，判断一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为（　　） x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.16 0.59 A． B． C． D．0.6＜x＜0.7 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的近似根，熟练掌握式子的值在0附近时的x值，是解决此题的关键． 利用表中的对应值得到时，；时，，从而得到x在之间取一数值时，，于是得到一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围． 【详解】解：∵时，；时，， ∴当x在之间取一数值时，， ∴一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为． 故选：C． 解答题 1．已知二次函数的关系式为． (1)设二次函数与x轴的交点为A、B（A在B左边），与y轴的交点为C；直接写出A、B、C的坐标； (2)直接写出该二次函数的顶点坐标； (3)画出该二次函数的大致图象（不要求列表），并根据图象回答下列问题： ①直线的关系式，则不等式的解集是______； ②设点在二次函数图象上，且点M、N到对称轴的距离分别为、用“”或“”填空：若，则______；若，则______． 【答案】(1)，， (2) (3)画出该二次函数的大致图象如图： ①；②， 【分析】（1）求出时的y值和时的x值即可； （2）先根据对称性求得对称轴为直线，再将代入函数解析式中求得y值即可解答； （3）利用描点法，描出关键点，再用平滑曲线连线即可画出图象； ①先得到直线经过点B、点C，同一坐标系中画出对应图象，找出二次函数图象位于直线上方部分的点的横坐标的取值范围即可求解； ②根据二次函数的图象求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， 把代入得， ∴二次函数的关系式为的顶点为； （3）解：根据对称性，点C关于直线的对称点为，画图略 ①对于，当时，由得， 当时，， ∴直线经过点B、点C，如图， 由图象可知，不等式的解集是； ②由图象可知，当时，y随x的增大而增大，到对称轴的距离越大的点的纵坐标越小， ∴若，则； 若，则． 2．求二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标． 【答案】 【分析】将两函数解析式联立方程组，解方程组即可． 【详解】解：联立方程组， 解得， ∴二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标为． 3．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）直接根据函数图象作答即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标， ∴，； （2）解：观察图象可知：不等式的解集为； （3）解：由图象可知，时，方程有且只有一个实数根． 4．已知二次函数． (1)求证：无论取何实数，该二次函数的图象与轴总有两个公共点； (2)若该二次函数的图象与轴的两个交点分别为、，且，求的值； (3)若该二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，当的面积为2时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数系数与图象的关系，二次函数与三角形面积的结合，掌握计算方法是解题的关键． （1）令，利用根的判别式进行判断即可； （2）令，利用根与系数的关系得出，，，根据，代入得到关于的方程，解方程即可求解； （3）根据两点间的距离公式求出，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 【详解】（1）证明：令，则， ， ， ． ∴无论取何实数，该二次函数的图象与轴总有两个公共点． （2）解：令，则， 由根与系数的关系得，，， ， 整理得：，解得． （3）当时，， 点． 由（2）得， ， ， 即． 令，则， 整理得：，解得． 当时，解得． 当时，此时方程无实数根． ． 5．已知二次函数（为常数）． (1)求二次函数图象的对称轴； (2)对于二次函数图象上的两点，． ①若，，且，求点的坐标； ②当，时，均满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了二次函数的基本性质、代数式的变形与代入求值、不等式组的求解，熟练掌握二次函数的对称轴公式，以及利用代数式变形转化条件、建立不等式组的方法是解题的关键． （1）由二次函数对称轴公式代值计算即可得到答案； （2）①当时，，将点，代入表达式求出，再将代入解方程得到，求出即可得到答案； ②先分析函数在时性质，结合的条件，将问题转化为关于的不等式组，通过解不等式组得到的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数（为常数）， 二次函数图象的对称轴为； （2）解：①当时，， 点，在二次函数图象上， ， 则①②得， 即， ，， ， 则， ， 将代入得 解得，则， 点的坐标； ②设且， ∵当时，，当时，， ∴当时和当时的函数值差为， ∵当，时，均满足， ∴当，时，且满足， ∵二次函数的对称轴为， ∴当和时的函数值相等， ∵中， ∴抛物线开口向上， ∵当，时，均满足， ∴， 解得． 6．阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，（2） 【分析】 （1）第一步: 代入及, 可求出的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出； （2）由的结论, 可得出的值约为. 【详解】 解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2）通过以上探索,的值约为. 【点睛】 本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $