专题13直线与圆精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦直线与圆的核心知识，从位置关系判定（距离d与半径R比较、交点个数）入手，递进至切线判定（有公共点连半径证垂直，无公共点作垂直证半径）与性质（切线垂直过切点半径），延伸到切线长定理及三角形内切圆与内心（角平分线交点，到三边距离相等），构建完整学习支架。 资料以几何直观呈现位置关系，通过19类分级题型（含易错点提示）培养推理能力，如切线证明分“连半径证垂直”“作垂直证半径”两种思路，结合解题步骤引导应用意识。课中助力教师分层教学，课后学生可通过例题解析与题型训练查漏补缺，夯实圆切线基础。

专题13直线与圆精讲学案 课堂核心立意 依托圆心到直线距离与半径的大小关系区分三种位置关系，主攻切线判定与性质两大核心考点，熟练切线证明两种常规方法，运用切线长定理、三角形内切圆完成几何计算与证明，分清内心、外心差异，夯实圆切线题型解题基础。 1.直线与圆三种位置关系判定（两种判定方法） ①距离判定：设圆心到直线垂线段长度为d，圆半径R d＞R：直线与圆相离，无交点； d＝R：直线与圆相切，有唯一公共点（切点），直线为圆的切线； d＜R：直线与圆相交，两个交点，直线为圆的割线。 ②交点个数判定：0个交点相离，1个交点相切，2个交点相交。 2.切线核心性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径。 推论：过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；过切点垂直于切线的直线必经过圆心。 3.切线的判定定理 经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 两种证明切线常用思路：有公共点，连圆心与切点，证垂直；无明确公共点，作圆心向直线作垂线，证垂线段长度等于半径。 4.切线长定理 从圆外一点向圆引出两条切线，两条切线长度相等；圆心与该点的连线平分两条切线的夹角，同时垂直平分两切点连成的切点弦。 5.三角形的内切圆与内心 ①定义：与三角形三边都相切的圆是三角形内切圆，内切圆圆心叫三角形内心； ②内心性质：内心是三角形三条角平分线交点，内心到三角形三条边距离相等（距离等于内切圆半径）； ③直角三角形内切圆半径简易计算：r=(两条直角边和−斜边)÷2。 6.弦切角基础性质 弦切角等于它所夹弧所对的圆周角，多用于角度等量代换证明。 1.证明切线容易遗漏关键条件：判定定理必须同时满足“过半径外端点”+“垂直半径”，只证垂直或者只说明过端点，证明不成立。 2.使用切线性质做题，忘记连接圆心和切点构造垂直直角，错失直角三角形计算条件。 3.混淆三角形外心与内心：外心是垂直平分线交点（外接圆圆心，到顶点距离相等），内心是角平分线交点（内切圆圆心，到三边距离相等），经常混用性质。 4.切线长定理只记得线段相等，忽略角平分线、切点弦垂直平分的衍生结论，角度证明缺少条件。 5.直线与圆位置判断，错把线段长度当作圆心到直线的垂距d，必须是垂线段长度作为判定依据。 题型 考察方向 难度 题型一 判断直线和圆的位置关系 ★★ 题型二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 ★★ 题型三 直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 ★★ 题型四 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 ★★★ 题型五 求直线平移到与圆相切时运动的距离 ★★★ 题型六 有关切线的概念辨析 ★★ 题型七 判断或补全使直线为切线的条件 ★★★ 题型八 证明某直线是圆的切线 ★★★ 题型九 切线的性质定理 ★★★ 题型十 切线的性质和判定的综合应用 ★★★★ 题型十一 应用切线长定理求解 ★★★★ 题型十二 应用切线长定理求证 ★★★★ 题型十三 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 ★★★★ 题型十四 过圆外一点作圆的切线 ★★★ 题型十五 切线的应用 ★★★★★ 题型十六 圆内知识综合 ★★★★★ 题型十七 圆与三角形的综合 ★★★★★ 题型十八 圆与四边形的综合 ★★★★★ 题型十九 圆与函数的综合 ★★★★★ 拔高题 12题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 说明： d：圆心到直线的垂线段距离，R：圆的半径 题型一 判断直线和圆的位置关系 解题思路 ①算出圆心到直线的垂直距离d，必须取垂线段，不能随意选取普通线段；②拿d和圆半径R做大小对比；③根据大小关系判定：d＞R为相离，d=R为相切，d＜R为相交，得出最终结论。 1．已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 【答案】D 【分析】根据垂线段最短得到圆心到直线的距离范围，再结合直线与圆位置关系的判定即可得出结论 【详解】解：设的半径为，圆心到直线的距离为， 由题意得，为上一点，， ∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴，即， ∵直线与圆相离的判定条件为， ∴不可能大于， ∴直线不可能与相离． 2．如图，已知，为边上一点，以为圆心、为半径作．点在射线上运动，当时，与直线的位置关系是______． 【答案】 相切 【分析】先作，再根据直角三角形的性质得出，然后根据的半径是可得答案． 【详解】解：过点作，交于点， 在中，，， ∴． ∵的半径是，点到直线的距离是， ∴与直线的位置关系是相切． 3．已知的半径是二次函数的最小值，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，直线与圆的位置关系． 先求二次函数的最小值，得到圆的半径，再比较圆心到直线的距离与半径的大小关系即可． 【详解】解：， ∴二次函数图象开口向上，有最小值为， ∴的半径是， ∵圆心O到直线l的距离， ∴直线l与的位置关系是相切． 故选：A． 题型二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 解题思路 ①固定圆心位置，算出圆心到已知直线的距离d；②根据题目给出的位置关系，梳理半径R和d的大小不等关系；③解不等式，写出半径R的取值范围，留意能否取等号，相切可以取等，相交、相离结合题意判断。 4．直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线到圆心距离为d，半径为r，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．根据直线与圆的位置关系，当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径． 【详解】解：∵直线l与相交， ∴点O到直线l的距离， 又∵， ∴． 故选：C． 5．已知中，，，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段只有一个交点，则r的取值范围为_________． 【答案】或 【分析】先根据题意画出符合的两种情况，根据勾股定理求出，利用等面积法求出当圆与相切时，；然后得到当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是，进而求解即可． 【详解】解：过C作于D， 在中， ∵，，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴当圆与时相切时，； 当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是， 综上所述：若此圆与线段只有一个交点，r的取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，切线的性质，勾股定理的应用，能求出符合题意的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想． 6．如图，，与轴，轴均相切，将一次函数的图象平移，当图象与有公共点时，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心坐标及圆与坐标轴相切得出圆的半径，设圆上任意一点坐标为，由半径得，，那么圆上任意一点的横纵坐标满足方程 ，再联立与得到一元二次方程，根据直线与圆有公共点，利用一元二次方程根的判别式 建立关于 b 的不等式，最后利用二次函数的图象与性质解不等式即可． 【详解】解：圆心 ， ∴圆心到轴，轴的距离为 ∵与轴，轴均相切， 的半径， 设圆上任意一点坐标为， 由半径得， ∴圆上任意一点的横纵坐标满足方程， 当图象与有公共点时， 联立与， 得： ， 整理得：， 关于 的一元二次方程有实数根， ， 整理得，. 令， 解得， 令， ∴不等式的解集，即为抛物线在轴下方时，对应于轴交点横坐标的取值范围， ∵，抛物线开口方向向上， 不等式的解集为． 题型三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 解题思路 ①依托题目给出的位置关系，确定d与半径R的大小关系；②结合题目的限制条件；③求出距离d的具体数值或是距离的取值范围。 7．若直线l与半径为5的相离，则圆心O与直线l的距离d为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一条直线与一个圆相离，那么该圆的圆心到该直线的距离大于该圆的半径，据此可得答案． 【详解】解：∵直线与半径为5的相离， ∴圆心与直线的距离． 8．已知的半径为7，直线l与相交，点O到直线l的距离为4，则上到直线l的距离为3的点的个数为___________个． 【答案】3 【分析】根据平行线间的距离处处相等，先过点D作，即可求得上到直线l的距离为3的点的个数． 【详解】解：如图，∵的半径为7，点O到直线l的距离为4，即， ∴， 在上截取，过点D作，交于A、B两点， ∴上到直线l的距离为3的点为A、B、C， 故答案为：3．    【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、平行线间的距离处处相等的性质，正确画出符合题意的图形、数形结合是解题的关键． 9．在平面直角坐标系中，直线是边长为1的正三角形，其中为坐标原点，则点P，Q到直线的距离之和的最小值是____． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标平面内两动点到直线的距离之和最小问题，根据题意，首先确定点P，Q的运动轨迹是以O为圆心，以1为半径的圆，然后过中点向直线l作垂线段，利用梯形的中位线定理把求P，Q到l的距离之和转化为求的最小值，由垂线段求得结果． 【详解】解：∵， ∴点P、Q在以O为圆心，以1为半径的圆上， 作于E，于F，取的中点N，作于M， 由梯形的中位线定理得，， 连接，当M，N，O三点共线时，最小， 对于直线，当时，，当时，，解得， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴的最小值， ∴P，Q到直线l距离之和的最小值为． 故答案为：． 10．如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，若直线与圆相交；若．直线与圆相切；若直线与圆相离．过点作于E，作于F，作于G，作于H，由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切，则，，，，即可求解． 【详解】解：过点作于E，作于F，作于G，作于H， 由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切， 又∵的半径为6， ∴，，，， ∵点 到矩形某条边的距离为8，且， ∴点 到矩形某条边的距离为8，这条边可以是， 故选：C． 题型四 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 解题思路 ①算出原来的圆心到直线的垂直距离；②明确两种相切情况，圆没有越过直线时相切，圆穿过直线之后再次相切；③分别找到两种相切位置对应的圆心；④计算原圆心到新圆心的长度，该长度就是圆心移动的距离。 11．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离为或， 故选：B． 12．如图，直线、相交于点，，的半径为，且，如果以的速度沿由向的方向移动，则___________秒时与直线相切． 【答案】2或6 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：直线与圆有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质和直角三角形的性质．分类讨论：当点在 点左侧，与相切时，过作于，根据切线的性质得到，再利用得到，则的圆心在直线上向右移动了后与相切，即可得到移动所用的时间；当点在 点右侧，与相切，同前面一样易得到此时移动所用的时间． 【详解】解：当点在 点左侧，与相切时，过作于，如图， ， ， ， 的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒）； 当点在 点右侧，与相切，如图， 同理，得的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒）． 故答案为：2或6． 13．如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在______秒时相切． 【答案】2或3 【分析】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，当圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切．熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．根据切线的判定方法，当点到的距离为时，与相切，然后计算出圆向右移动的距离，然后计算出对应的时间． 【详解】解：当点到的距离为时，与相切， 开始时点到的距离为5， 当圆向右移动或时，点到的距离为，此时与相切， 或， 即与直线在2秒或3秒时相切． 故答案为：2或3． 题型五 求直线平移到与圆相切时运动的距离 解题思路 ①保持圆心位置不变，算出圆心到原来直线的垂距；②明确直线平移的两个相切位置，分布在圆的两侧；③结合圆半径，确定两条相切直线的具体位置；④算出原直线到两条相切直线的长度，即为直线平移距离。 14．已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系以及平移的性质，是基础知识要熟练掌握． 根据直线和圆相切的数量关系，可得点O到l的距离为，可向上或向下平移，使l与相切，即可得出答案． 【详解】解：如图，当直线l经过点B时，， 当直线l平移至直线，且切点为点A时，此时； 当l移动到，且切点为点C时，则； 综上所述，与相切时，平移的距离是或． 故选D． 15．如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若，则PC长的最小值为_________． 【答案】 【分析】先证明，得出，证出，得出点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径一条弧，连接OC交圆O于P，此时PC最小，，由勾股定理求出，得出即可． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形ABCD是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示： 连接OC交圆O于P，此时PC最小， ， ， 由勾股定理得：， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证出点P在以AB为直径的圆上运动是解题关键． 16．如图，的半径，直线，垂足为，且交于，两点，，若沿所在直线平移后与相切，则平移的距离是________． 【答案】或 【分析】连接，利用垂径定理可得，再由勾股定理可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】解：连接， ∵直线，， ∴， 在中，， ∴， ∵直线l沿所在直线平移后与相切， ∴直线l应垂直于过点C的直径，垂足为直径的两个端点， ∴当直线向下平移时，直线l沿所在直线移动的距离为； 当直线向上平移时，直线l沿所在直线移动的距离为； 综上所述，平移的距离是或． 题型六 有关切线的概念辨析 解题思路 ①牢记切线定义，直线和圆只有1个公共点才是切线；②切线判定需要同时满足两个条件，过半径的外端点，并且和这条半径互相垂直；③逐条分析选项，只要缺少任意一个条件，这个说法就是错误的。 17．下列说法正确的是（    ） A．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．等弦所对的弧相等 【答案】A 【分析】根据相关概念逐项分析即可． 【详解】A、弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心，正确； B、平分弦的直径不一定垂直于弦，也不一定平分弦所对的弧，错误； C、垂直于半径，且过半径外端点的直线是圆的切线，错误； D、等弦所对的弧不一定相等，错误； 故选：A． 【点睛】本题考查圆的有关性质，掌握垂径定理的概念及其推论是解题关键． 18．如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 【答案】A 【分析】本题主要考查切线的定义，根据与圆有唯一公共点的直线是圆的切线进行判断即可． 【详解】解：∵与有唯一公共点的直线是， ∴与相切的直线是， 故选：A． 19．如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、圆周角定理、切线的定义，首先根据切线的定义可得：，再根据三角形内角和定理求出，最后再根据圆周角定理可求． 【详解】解：为直径，是的切线，为切点， ， 在中，， ， 对应的圆心角为，圆周角为， ． 题型七 判断或补全使直线为切线的条件 解题思路 ①如果直线已经和圆存在一个公共点，就补充条件：直线垂直于过该公共点的半径；②如果题目没有给出直线与圆的公共点，就补充条件：圆心到这条直线的距离等于圆的半径。 20．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是(　　) A．(5，2) B．(2，4) C．(1，4) D．(6，2) 【答案】D 【分析】根据切线的判定在网格中作图即可得结论． 【详解】解：如图， 过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中， 能够与该圆弧相切的格点坐标是(6，2)． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定定理是解题的关键. 21．如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论． 【详解】 解：A、， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； B、， ， ， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； C、， 是直角三角形，， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； D、与的交点是中点， 不能证出， 因此不能判定是切线； 故选：D． 22．如图，点C在以为直径的半圆上，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F，当长度为 __________________时，与半圆相切． 【答案】/1.5 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，，先证明是等边三角形，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，进而可得，然后再证，即可判断． 【详解】解：当时，与半圆相切． 连接，， ∵为直径， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点E与点D关于对称， ∴， ∴， ∴， ∵是半的半径， ∴与半相切， ∴当时，与半圆相切． 故答案为：． 题型八 证明某直线是圆的切线 解题思路 ①有交点，连半径，证垂直：题目已知直线与圆有公共点，连接圆心和这个公共点，证明这条连线和待证直线互相垂直；②无交点，作垂直，证半径：没有给出公共点时，过圆心向直线作垂线段，证明垂线段长度等于圆的半径。 23．如图，点A，B，D在上，，的延长线交直线于点，且，连接，则直线与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【分析】此题主要考查同弧所对的圆周角与圆心角的关系，及圆的切线的判定，解题的关键是掌握上述知识点． 先利用同弧所对的圆周角与圆心角的关系求出，再求，可得结论． 【详解】解：， ． ， ， ． 是的半径， 是的切线，即直线与的位置关系为相切． 故选：B． 24．如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查切线的判定及切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，其切线长相等，熟练掌握切线长定理是解题关键． 根据题意得出与、都相切，切点为、，根据切线长定理即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以为直径的与相切于点， ∴与、都相切，切点为、， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为：． 25．已知P是上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点P．以下是甲、乙二人的作法．下列判断正确的是（    ） 甲：如图1，①连接，以点P为圆心，长为半径画弧交于点A，连接并延长；②在上截取，直线即为所求． 乙：如图2，①作射线；②在直线外任取一点A，以点A为圆心，长为半径作，与射线交于另一点B；③连接并延长与交于点C，直线即为所求． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．甲正确，乙不正确 D．甲不正确，乙正确 【答案】A 【分析】此题考查了切线的判定、等边三角形的判定和性质、圆周角定理等知识，熟练掌握切线的判定是解题的关键．如图1中，连接，证明即可证明甲正确；如图2，证明，即可证明乙正确． 【详解】解：甲正确，理由：如图1中，连接， 根据题意可得 ∴是等边三角形， ∴半径 ∴是的切线； 乙正确，理由：如图2， 为直径， ∴是的切线， 故选：A． 题型九 切线的性质定理 解题思路 ①题目出现切线，第一时间连接切点与圆心，直接得到直角；②利用直角互余、直角三角形边角关系，求解角度或者线段长度。 26．如图，为的直径，与相切于点C，交的延长线于D，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据切线定理得，结合等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵与相切于点C，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 27．如图，在中，，，圆心在上的半圆与斜边相切于点，则的度数是_____度． 【答案】25 【分析】先求出，连接，则，求出，最后再由圆周角定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 如图，连接， ∵圆心在上的半圆与斜边相切于点， ∴， ∴， ∴． 28．如图，、是的两条切线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和可求得度数，再根据四边形的内角和，可求得的度数． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， 又∵、是的两条切线， ∴， ∴． 题型十 切线的性质和判定的综合应用 解题思路 ①需要证明切线时，使用切线的判定定理；②题目已知是切线，立刻利用性质得到90°直角；③结合勾股定理、全等三角形得到角、边相等，完成证明与长度计算。 29．圆O的圆心到直线L的距离是5厘米，直线L与圆O有唯一公共点，问圆O的半径是（     ）厘米？ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知直线L是圆O的切线，据此即可解答． 【详解】解：直线L与圆O有唯一公共点， ∴直线L是圆O的切线， ∵圆O的圆心到直线L的距离是5厘米， ∴圆O的半径是， 故选：C． 【点睛】本题考查切线的判定与性质，掌握切线的性质是解题的关键． 30．如图，P为外一点，与相切于点A，交于点B，交于点C，，，则的半径为__________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了切线的性质得性质与判定，切线长定理，勾股定理，连接，先证明是的切线，进而由切线长定理得到，再由切线的性质得到，利用勾股定理求出，则，设的半径为r，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵与相切于点A， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 设的半径为r，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为6， 故答案为：6． 31．如图，为外一点，与相切于点，若，则 ______ 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、含角的直角三角形，解题的关键是掌握切线的性质． 根据与相切于点，得出，再利用含的直角三角形的性质求解． 【详解】与相切于点， ， ， ， ， 故答案为：． 32．如图，为外一点，连接，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆，交于点，，连接，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得点，在以为直径的上，连接，证明和都是的切线，利用切线长定理结合四边形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，由题意得点，在以为直径的上，连接， ∴， ∵和都是的半径， ∴和都是的切线， ∴， ∴． 题型十一 应用切线长定理求解 解题思路 ①圆外一点引圆两条切线，明确切线长相等，该点和圆心连线平分两条切线的夹角；②利用相等线段做等量替换；③结合勾股定理、图形周长条件计算线段长。 33．如图，，，是的切线，P，C，D为切点，如果，，则的长为（   ） A．3 B．2 C．2.5 D．1.5 【答案】A 【分析】本题考查了切线长定理，经过圆外一点的切线，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 由，，是的切线可知，，求出的长即可求出的长． 【详解】解：∵、为的切线， ∴， ∵、为的切线， ∴， ∴． 故选：A． 34．如图，，分别与相切于，两点，连接，若，，则的周长为（    ） A．18 B．12 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查切线长定理，等边三角形的判定和性质等知识，先运用切线长得到，从而判定是等边三角形，从而得解． 【详解】解：∵，分别与相切于，两点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为：， 故选：A． 35．如图，是的内切圆，与，，的切点分别为，，，若，则的度数是________． 【答案】/40 【分析】根据切线长定理得到，，然后结合等边对等角和三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵是的内切圆，与，，的切点分别为，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 36．如图，的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，，，，．根据题意可知，且，，，再根据求出，设，根据切线长定理得出，，，求出，再根据勾股定理求出，结合，可知是的垂直平分线，然后根据求出，进而得出答案． 【详解】解：连接，，，，，． ∵的内切圆与、、相切于点、、， ∴，且，，， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， 设，则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， 即， 解得， ∴． 题型十二 应用切线长定理求证 解题思路 ①先用切线长定理，得到对应的相等线段、相等角；②把这些等角、等线段当做已知条件；③进一步去证明线段相等、角相等或者三角形全等。 37．如图，切于，切于，交于，连接，下列结论中，错误的是（　　）．    A． B． C． D．以上都不对 【答案】D 【分析】连接，，根据切线长定理可得，再证明，问题得解． 【详解】连接，，如图，    ∵切于，切于， ∴，即是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴，即平分， ∴，即A、B、C三项都正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握切线长定理，是解答本题的关键． 38．如图，是的直径，点是外一点，过点的两条直线分别与圆相切于点、，点是圆周上任意一点，连接、，若，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线长定理，切线的性质，连接，根据切线长定理结合等边对等角，求出的度数，切线的性质，求出的度数，再根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】解：连接，   ，分别切圆于、， ， ， ， ， 是圆的直径， ， ． 故选：D． 39．如图PA、PB是圆O的切线，切点分别为A、B，点C在AB上，过C作圆O的切线分别交PA、PB于点D、E，连接OD、OE，若∠P=50°，则∠DOE的度数为（　　　） A．130° B．50° C．60° D．65° 【答案】D 【分析】连接OA、OB、OC，由切线性质得OB⊥PB、OA⊥PA，从而求得∠AOB的度数，再由切线长定理得到DB=DC，从而证得OD平分∠BOC，同理得OE平分∠AOC，最后由∠DOE=∠AOB得到∠DOE的度数． 【详解】解：如下图 连OA、OB、OC ∵PB切⊙O于B，PA切⊙O于A ∴OB⊥PB，OA⊥PA 又∠P=50° ∴∠AOB=130° ∵DB切⊙O于B，DE切⊙O于C ∴DB=DC且OC⊥DC ∴OD平分∠BOC，即∠DOC=∠BOC 同理得∠EOC=∠AOC ∴∠DOE=∠DOC+∠EOC =∠BOC+∠AOC =(∠BOC+∠AOC) =∠AOB=×130° =65°． 故选：D． 【点睛】此题考查切线的性质、切线长定理，发现∠DOE=∠AOB是关键． 题型十三 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 解题思路 ①三角形内心是三条角平分线交点，内切圆半径就是内心到三边的垂直距离；②可以利用面积法建立等式；③已知周长、面积求内切圆半径，或者已知半径反推三角形边长，直角三角形优先用面积推导公式计算。 40．张老师计划在一个直角三角形花坛内建造一个圆形喷泉，要求喷泉与花坛的三条边都相切，如图所示，设切点分别为，已知米，米，则圆形喷泉的半径是（    ） A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形内切圆半径的计算，可通过勾股定理先求出斜边长度，再利用面积法求解． 【详解】解：∵在中，，米，米， ∴（米）． 如图，连接，，，，，，设内切圆半径为，则， ∵的面积可以表示为，也可以表示为， ∴， 解得． 故选：C． 41．如图，在中，，，，则的内切圆半径___________． 【答案】2 【分析】由勾股定理可得，如图：连接，再根据三角形面积列方程求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 如图：连接， ∵， ∴， 即， 解得：． 42．如图，的内切圆与边分别相切于点．已知，则的长为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、三角形的内切圆、正方形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：连接，则，由勾股定理逆定理可得，易证四边形是正方形，即；再根据三角形内切圆的性质可得，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：如图：连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵的内切圆与边分别相切于点． ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴． 故选A． 题型十四 过圆外一点作圆的切线 解题思路 ①连接圆外已知点和圆心；②以这条线段为直径画圆，这个圆和原来的圆产生两个交点，这两个点就是切点；③分别把圆外点和两个切点相连，画出两条切线；④牢记圆外一点，能够画出圆的两条切线。 43．已知及外一点P，求作直线，，使，与相切于点D，E【操作步骤】小威与小组同学们经过思考与探索，想出了如下作法（图2）： ①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点A，C； ②作直线，交于点B； ③以点B为圆心，长为半径画弧，  交于点D，E； ④作直线，，则直线， 即为所求．请给出，为切线的理论依据：________请写出定理的内容） 【答案】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【分析】首先根据作图过程已知垂直平分，，进而得到两个等腰三角形和，利用等边对等角，以及三角形内角和定理，得到，即可证明与相切，从而可得理论依据. 【详解】证明：如图，连接，， 根据题意，得垂直平分，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴与相切； 同理：与相切； ∴，为切线的理论依据为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 44．如图，点A在外，连接，作线段的中点B，以B为圆心，为半径作，与交于两点C，D，连接，则，均为直角，直线，是的两条切线．得到，均为直角的依据是（    ） A．同弧或等弧所对的圆周角相等 B．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C．直径所对的圆周角是直角 D．圆的切线垂直于过切点的半径 【答案】C 【分析】本题考查了作圆的切线，直径所对的圆周角是直角．根据“直径所对的圆周角是直角”解答即可． 【详解】解：由作图知，是的直径， ∴，， ∴得到，均为直角的依据是直径所对的圆周角是直角， 故选：C． 45．对于题目“已知及外一点，如何过点作的切线？”甲、乙两位同学的作法如下： 甲的作法：连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，作直线，，直线，即为所求．    乙的作法：连接并延长，交于两点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，连接，，作直线，，直线，即为所求．    下列说法正确的是（    ）． A．乙的作法正确，甲的作法错误． B．甲和乙的作法都错误． C．甲的作法正确，乙的作法错误． D．甲和乙的作法都正确． 【答案】D 【分析】要判断甲、乙作法是否正确，证明所作直线是否满足切线判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．即需证明． 【详解】解：分析甲的作法： 连接、， 由作法知：是的中点，， ，， ， ，即 ， 是半径， 是的切线， 同理可证， 直线，即为切线，因此甲的作法正确； 分析乙的作法 由作法知：，，是的直径， ， ， 又 ，在上， 根据等腰三角形性质可得，即， 是半径， 是的切线， 同理可证 是的切线，因此乙的作法正确． 综上，甲和乙的作法正确． 题型十五 切线的应用 解题思路 ①读懂实际问题，把现实情景转化为圆、切线几何模型；②看到切线，连接切点圆心得到直角；③把问题转化为直角三角形，用勾股定理进行计算求解。 46．图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，已知，，点A在中轴线上运动，点B在以O为圆心，长为半径的圆上运动，且，如图3，当点B按逆时针方向运动到时，与相切，则______． 【答案】 【分析】由题意得到A′A=OA-OA′=AB+OB-OA′，即可求解． 【详解】解：由题意可得： A′A=OA-OA′=AB+OB-OA′=12+4-==， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是切线的性质，勾股定理，解题的关键是确定转动后图形重要点的位置关系． 47．如图，为等边三角形的高，点O 在的延长线上，且，的半径为1，若将绕点 C 按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A．3 次 B．4 次 C．5 次 D．6 次 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．延长交于点，根据线段的和差关系求出，根据等边三角形的性质，得到，再根据直线和圆的位置关系进行判断即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ； ； 是等边三角形，为等边三角形的高， ， 又∵的 半径为1， ∴在旋转过程中，与边只有一个公共点的情况有 2次，与边有2次，与边有1次，即交点为点，共5次．如图： 故选 C． 48．如图，正五边形的两条边，与相切，切点为点，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角定理、切线的定义、三角形外角的性质，首先根据多边形的内角定理求出正五边形每个内角的度数为，根据切线的定义可知，从而可得，再根据三角形外角的性质求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接并延长到点， 五边形是正五边形， ， 又、是的切线， ， ， ，， ． 故选：D． 题型十六 圆内知识综合 解题思路 ①综合调用垂径定理、圆心角圆周角、切线等圆内知识点；②把复杂大图拆成一个个简单小基础图形；③分开求解角度、线段，再整合条件推导出最终结果。 49．如图,内接于⊙O,,则⊙O的直径等于__________．    【答案】12 【分析】过B作直径BD，连CD，则可得到包含直径的直角三角形，解直角三角形即可得到直径长度． 【详解】解：如图，过B作直径BD，连CD，∴∠BCD=90°    ∵∠BAC=30°，∴∠D=∠BAC=30°，而BC=6，∴BD=2BC=12． ∴⊙O的直径为12； 故答案为12． 【点睛】本题考查圆的综合问题，灵活运用圆周角和直角三角形的有关性质求解是解题关键 ． 50．已知一个等腰直角三角形， ，，分别以A，B为圆心，以a的长为半径作圆，两圆的交点为点D，若的长度为2，则的长为________． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理和圆的有关知识，学会分类讨论是解题的关键； 根据勾股定理求出，设与其垂直平分线的交点为E，分和两种情况讨论，根据直角三角形的勾股定理分别求解即可． 【详解】以A，B为圆心，以a的长为半径作圆，两圆的交点 D 在AB 的垂直平分线上． ∵ ，， ， 如图，    设与其垂直平分线的交点为E， 则 ， 当的长为2时，如图， 即 ， ①在中， ， ②在中， ， 综上， 的长为或． 故答案为：或 51．如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中不一定正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的内心与外心．利用三角形内心的性质得到，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明得到，则可对④进行判断． 【详解】解：∵E是的内心， ∴平分， ∴，故①正确； 如图，连接， ∵E是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴G一定在上， ∴，故③正确； 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 若，则，显然不可能，故④错误． 故选：D． 题型十七 圆与三角形的综合 解题思路 ①分清内心是内切圆圆心，为角平分线交点，到三边距离相等，外心是外接圆圆心，为垂直平分线交点，到三顶点距离相等；②结合切线带来的直角、勾股定理、三角形全等；③完成线段计算和几何证明。 52．如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（　） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理及相似三角形的性质，解题思路是先求斜边和中位线的长度，再求点到的距离，最后利用勾股定理和垂径定理求；考查的知识点有勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理，用到的思想是转化思想，方法是几何图形中的长度计算方法，技巧是利用垂径定理将的长度转化为，解题关键是求出点到的距离，易错点是忽略垂径定理的应用导致无法将与建立联系． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴的直径为5，半径， 过点作于，连接， ∵， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 故选D． 53．如图，在的内接四边形中，，C为上一动点，且，的半径为2，有如下说法：①平分；②三角形是等边三角形；③；④；⑤四边形最大面积是．其中正确说法的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质和圆周角定理可证；根据圆内接四边形对角互补可知，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，可知是等边三角形；连接、，过点作，根据等边三角形的性质可知，利用勾股定理即可求出，可得的长；在上截取，连接，可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，从而可证；根据等边三角形的性质可以求出的面积为，根据点在上运动，可知当点在的中点时的面积最大，可知的最大面积是，所以可得四边形的最大面积是． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即平分，故①正确； ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴三角形是等边三角形，故②正确； 如图，连接、，过点作， 则， ∵的半径为2， ， ∴， ∴，故正确； 如图，在上截取，连接， ， 是等边三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ，故正确； 如图，连接，并延长交于点M， 是等边三角形， ，， ， ， 在中，， ， 当的面积最大时，四边形的面积最大， 当点在的中点时，的面积最大， 的半径为， 点到线段的最大距离是， 的最大面积是， 四边形的最大面积是，故⑤正确； 综上所述，正确的是①②③④⑤，共5个． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据圆内接四边形找角之间的关系，根据等边三角形的性质和全等三角形的性质找边之间的关系． 54．如图，是的直径，，，，是的弦，且，若点是直径上的一动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】作出点关于的对称点，连接，根据轴对称确定最短路线问题，与的交点即为所求的点，连接，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出，然后求出，再求出，再求出，然后求出，从而判断出为圆的直径． 【详解】如图，作出点关于的对称点，连接， 则与的交点即为所求的点，连接，， ∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为圆的直径， ∵是的直径，， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，圆周角定理，垂径定理，以及弧、圆心角、弦之间的关系，熟记各性质并求出是圆的直径是解题的关键． 题型十八 圆与四边形的综合 解题思路 ①结合切线长定理、切线垂直半径得到直角；②图形多出现直角梯形、正方形；③利用四边形内角、边长进行转化，借助勾股定理完成计算与证明。 55．如图，四边形ABCD是的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则的度数是______． 【答案】60° 【分析】根据菱形的性质得到∠AOC＝∠ABC，根据圆周角定理得到∠ADC＝∠AOC，根据圆内接四边形的性质得到∠ADC＋∠ABC＝180°，计算即可． 【详解】解：∵四边形OABC为菱形， ∴∠AOC＝∠ABC， 由圆周角定理得：∠ADC＝∠AOC， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠ADC＋∠ABC＝180°， ∴∠ADC＋2∠ADC＝180°，解得：∠ADC＝60°， 故答案为：60°． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 56．如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为___． 【答案】 【分析】连接、、，由圆内接正方形的性质可得到，，，进而证得是等边三角形，得到，根据勾股定理求出，即可得到． 【详解】解：如图，连接、、， ∵正方形内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，证得是等边三角形是解决问题的关键． 57．如图，表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接，则就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路与球门线垂直，D为垂足，点C在上，当最大时就是带球线路上的最佳射门角．若，则球员甲在此次带球中获得最佳射门角时，的长度为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角度的最值问题，矩形的判定，圆的基本性质，通过角度构造圆是解决问题的关键． 构造的外接圆，当为圆的切线时，的角度最大，易证为矩形，通过勾股定理求得的长度，从而得到结果． 【详解】解：如图所示，为的外接圆， 延长交于点，连接，则， ，当的半径最小时，最大， ∵点C在上， ∴当为的切线时，最大． 连接，过点O作于点F，则， ， ， ∴四边形为矩形， ， ， ． 故选择：C． 题型十九 圆与函数的综合 解题思路 ①在坐标系中先确定圆心坐标以及半径；②计算圆心到直线的距离，判断直线与圆位置；③联立函数解析式和圆，求交点坐标；④结合勾股、距离公式求线段长，解决存在性、求值类问题。 58．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P（m， m＋2），过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知点P在直线上，再结合题意，画出图形．设该直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，并作于点H．根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得B、C两点的坐标，即得出OB、OC、BC的长．再根据面积法即可求出OH的长．根据切线的性质可知，即由勾股定理可推出．由OA为圆O半径，是定值，故可知当OP最小时，PA最小，此时OP最小值即为OH的长，由此即可求出PA的最小值． 【详解】解：根据题意可知点P在直线上，设该直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，并作于点H，如图．    令，则， 解得：； 令，则． 故B点坐标为(0，)，C点坐标为(-2，0)． ∴，，． ∵， ∴，即． ∵为圆O的切线， ∴， ∴在中，． ∵OA为圆O半径，是定值， ∴当OP最小时，PA最小． ∵OP最小时即为OH的长， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，切线的性质，勾股定理．根据题意作出图形，并理解当OP最小时，PA最小，且OP最小值为OH的长是解答本题的关键． 59．如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的横坐标为______． 【答案】2或或0 【分析】当⊙P与x轴相切时，圆心P的纵坐标为1或-1，根据圆心P在抛物线上，所以当y为±1时，可以求出点P的横坐标． 【详解】解：当y=1时，有1=-x2+1，x=0． 当y=-1时，有-1=-x2+1，x=． 故答案是：2或或0． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，利用圆与x轴相切得到点P的纵坐标，然后代入抛物线求出点P的横坐标． 60．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ________．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数与轨迹圆综合，中位线定理以及勾股定理，熟练掌握二次函数与轨迹圆最值问题是解题的关键．连接、，利用勾股定理可得，可知是的中位线，则，当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，则此时最大，求解即可． 【详解】解：如图，连接、， 令，则， 故点， ∵， ∴， 设圆的半径为，则，    ∵点Q、O分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， 当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大， 则此时最大， 此时， 故答案为：． 解答题 1．如图，在中，．以点C为圆心，分别以下面给出的r为半径作圆，试问所作的圆与斜边所在的直线分别有怎样的位置关系？请说明理由． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)解：当时，直线与圆相离；理由如下： ∵， ∴， 作，则，即， ∴，即点到直线的距离为； ∵，即， ∴直线与圆相离； (2)解：当时，直线与圆相切；理由如下： 由（1）可知，点到直线的距离为； ∴， ∴直线与圆相切； (3)解：当时，直线与圆相交；理由如下： 由（1）可知，点到直线的距离为， ∵，即， ∴直线与圆相交. 【分析】勾股定理求出的长，等积法求出的长，根据与的大小关系，判断位置即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 2．已知点A在上，用尺规按下列要求画图： (1)在图①中画出点P，使是的直径； (2)在图②中画出点Q，使是的切线．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 【答案】(1) 解：点P即为所求． (2) 解：点Q即为所求． 【分析】本题考查了尺规作图，切线的性质等知识点，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据直径经过圆心，作直线，交于点P即可； （2）根据切线的定义，连接，过点A作于点A，交点就是点Q解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 3．如图，为的直径，射线交于点F，点C为劣弧的中点，过点C作，垂足为E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接，， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵点C为劣弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． (2) 【分析】（1）连接，证明，连接，证明即可得到结论； （2）连接，求出扇形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）略 （2）解：连接，， ∵，， ∴， ∴， ∵点C为劣弧的中点， ∴ ， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键． 4．如图，是以为直径的的内接三角形，与相切于点B，与的延长线交于点D，E是的中点，延长，交的延长线于点F． (1)与有怎样的位置关系并说明理由； (2)若，，求的长和的半径． 【答案】(1)解：与相切．理由如下： 如图，连接， ∵与相切于点B，， ∴，即， ∵为的直径， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； (2)，的半径为 【分析】（1）连接，证明，可得证； （2）根据题意，求得，，设，则，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 由（1）得， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径为． 5．如图，为的直径，是的切线，切点为点B，点D为上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵为的直径，与相切于点B， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵是的半径，且， ∴是的切线； (2)6 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、切线的判定与性质． （1）连接，由切线的性质得，则，因为，，所以，则，即可证明是的切线； （2）由，得，而，，则，求得，所以的半径长为． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴的半径长为． 6．已知：如图，是的切线，B，C是切点，过上的任意一点P作的切线与分别交于点D，E． (1)连接和，若，则_______； (2)已知，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知切线的性质和切线长定理是解题的关键． （1）由切线的性质得到，则由四边形内角和定理可求出的度数，证明，可推出； （2）由切线长定理得到，再根据三角形周长计算公式和线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵都是的切线， ∴， ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵都是的切线， ∴， ∴的周长 ． 7．在中，，，的内切圆半径r． （1）设直角边，则r的值为______． （2）r的最大值为_______． 【答案】 1 【分析】（1）先由勾股定理求出另一条直角边，再结合直角三角形内切圆半径公式计算； （2）设、，由勾股定理得，利用面积法推导出与的关系，再利用完全平方公式的非负性求的最大值即可． 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得： ， 设内切圆半径为，由面积关系可得： ， 即 解得； （2）解：设、， 由勾股定理得：， ， 由完全平方公式的非负性得：， 即，可得， ， ， ，当且仅当时，等号成立， ， 即的最大值为． 8．现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径，P是半圆弧上的一点（点P与点A、B不重合）， (1)如图1，连接、，则是_____三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)如图2，在半圆弧上取点P、Q（P在Q的右侧）和直径上的点O、B，顺次连接这四个点构成的四边形是菱形．请用直尺和圆规在图中作出符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)如图3，点Q为上一点，，以为直径在下方作半圆 (4) (5) ①试判断点O与半圆的位置关系，请说明理由； ②如图4，半圆与相切时，求出扇形的面积； ③当点到的距离为时，直接写出点P到的距离． 【答案】(1)直角 (2) (3)①解：点O在半圆上．理由如下： 如图，连接，，． ∵是的一条弦，是以为直径的圆的圆心， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得：， ∵的直径， ∴的半径， ∴， 解得：， 即， ∴点O在半圆上． ② ③点P到的距离为或 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角即可得到答案； （2）以点B为圆心，的长为半径画弧交于点P，以点P为圆心，的长为半径画弧交于点Q，连接，，，则四边形即为所求； （3）①连接，，．由垂径定理得到，，由勾股定理得，解出，即有，则点O在半圆上； ②根据题意可得半圆与相切时，切点为点O，则可求出，再运用扇形面积公式进行计算即可； ③分点在点O的右侧以及点在点O的左侧，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵是直径， ∴， ∴是直角三角形． （2）略 （3）①略 ②解：∵点O在半圆上， ∴半圆与相切时，切点为点O， ∴， ∵由①可知，， ∴， ∴， ∴． ③解：点P到的距离为或．理由如下： 如图，当点在点O的右侧时，过点作于点N，过点P作于点M． ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴， ∴点P到的距离为； 如图，当点在点O的左侧时，过点作于点S，过点P作于点R． 同理可证， ∴同理可得， ∴， 同理可得点P到的距离为； 综上所述，点P到的距离为或． 9．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线 (2)3 【分析】（1）连接，因为，所以对应的圆周角相等，可推出与的平行关系；又因为，所以，结合是半径，根据切线判定定理即可证明； （2）设半径为，则，因为，所以是直角三角形，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）略． （2）解：设的半径为r，， ∵在中，， ∴， 解得， 即的半径为3． 10．已知，经过矩形的四个顶点，过点B作，垂足为K，过点D作分别与，及的延长线相交于点E，F，G，H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，求证：四边形为矩形； (3)若F是的中点，求出的值． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； (2) 证明：∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； (3) 【分析】本题属于圆的综合题，考查了矩形的性质与判定、圆的内接四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．能准确找到全等三角形是解题的关键． （1）证明，即可求证； （2）根据圆内接四边形的性质可得，即可求证； （3）证明，可得，从而得到，再由平行线分线段成比例，可得，进而得到，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 11．在平面直角坐标系中，对于点P和图形W，若存在以点P为直角顶点的直角，使得图形W都在该直角内部，就称点P是图形W的“直角关联点”． (1)若图形W是线段，其中点，点，则以下三点：，，中是线段的“直角关联点”的为________； (2)若的半径为，直线，求直线l上的“直角关联点”P的横坐标m的取值范围； (3)已知点，的半径为，若直线，与x轴，y轴围成的封闭图形中，既存在的“直角关联点”，且该封闭图形中并非所有点都是的“直角关联点”，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)D (2) 或 (3) 或 【分析】（1）根据新定义，点P是线段的直角关联点当且仅当P对的张角，利用勾股定理逆定理判断三个点即可； （2）半径是，圆心在原点，点P是圆的直角关联点需包含，等价于：从P向作两条切线，切线夹角，即用三角函数和一元二次方程解答即可； （3）先确定封闭图形的存在范围，根据题意要求封闭图形内既有直角关联点也有非直角关联点，等价于封闭图形与圆心为T半径为4的圆相交，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：， ， 根据勾股定理逆定理，等价于， 点，，满足条件，故D是直角关联点； 点，，不满足条件，故E不是直角关联点； 点，，不满足条件，故F不是直角关联点； 线段的“直角关联点”的为D； （2）由题意可知：从P向作两条切线，切线夹角， 当时，， 设， ， ， 解这个方程得：， 时， 横坐标m的取值范围或； （3）的半径， 因此P是的直角关联点等价于，非关联点等价于， 由题意可知：封闭图形中既存在关联点也存在非关联点，即封闭图形内既有的点，也有的点， 因此点到封闭图形的最短距离小于或等于4，且最远点距离大于4， 设， 当时，， ， 解得(舍）， ∴， 点到直线的距离， 解得：， 同法可求两直线间的距离为， 点到直线的距离，， 此时，解得：， 封闭图形最远点为，其到T的距离平方满足， 解得：或， 的取值范围或． 12．在平面直角坐标系中，给定图形和两点，．若图形上存在两个不重合的点，，使得将点沿方向平移线段的长度后得到的点与将点沿方向平移线段的长度后得到的点重合，则称点与点关于图形双向合． 已知点，，． (1)在点，，中，与原点关于线段双向合的点是________； (2)若点是的边上一点，且点与点关于线段双向合，求点的坐标； (3)点是直线上一动点，以为圆心作半径为的．当点运动时，对于上任意一点，都能在的边上找到一点，使得，两点关于双向合，直接写出点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）由，，设，，，且，得，设，根据双向合的定义可得，，，即可判断； （2）由，，设，，，且，得，设，根据双向合的定义可得，，，再由点是的边上一点，分点在上，点在上，点在上进行讨论即可求解； （3）由题意设圆心的坐标为，，是上任意两个不重合的点，点是的边上一点，设，，，，且或，根据双向合的定义可得，，由，是上任意两个不重合的点， 的半径为，可得，则上最远点到的边的最小距离，即圆心到的边的最小距离，再分圆心与上的点的最小距离，圆心与上的点的最小的距离，圆心与上的点的最小的距离进行分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴设，，，且， ∴， 设， ∵， 根据双向合的定义可得，或， ∴或， ∴，， ∴点与原点关于线段双向合，点，不与原点关于线段双向合． （2）解：∵，， ∴设，，，且， ∴， 设， ∵， 根据双向合的定义可得，或， ∴或， ∴，， ∵点是的边上一点， 当点在上时， ∵，， ∴，符合， ∴点的坐标为； 当点在上时，设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，符合， ∴； 当点在上时， ∵，， 则，不满足，不符合题意； 综上所述，点的坐标为或． （3）解：由题意设圆心的坐标为，，是上任意两个不重合的点，点是的边上一点， 设，，，，且或， 根据双向合的定义可得，或， ∴或， 即， ∵，， ∴， ∵，是上任意两个不重合的点， 的半径为， ∴， ∴， ∵对于上任意一点，都能在的边上找到一点，使得，两点关于双向合， ∴上最远点到对应的边的最小距离， ∵的半径为， ∴圆心到的边的最小距离， 如图，当圆心与上的点的最小距离时，过点作于点，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当圆心与上的点的最小的距离时，设与直线相交于点，连接，则 ， 由（2）可知，直线的解析式为， 联立， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴无论取何值，都成立， 当，即， 令 ， 当时， ， 解得，， ∴的解集为； 如图，当圆心与上的点的最小的距离时，连接，即 ， ∵，， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴无论取何值， 都成立， 当 ，即 ， 令 ， 当时，， 解得，， ∴ 的解集为； 综上所述，或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13直线与圆精讲学案 课堂核心立意 依托圆心到直线距离与半径的大小关系区分三种位置关系，主攻切线判定与性质两大核心考点，熟练切线证明两种常规方法，运用切线长定理、三角形内切圆完成几何计算与证明，分清内心、外心差异，夯实圆切线题型解题基础。 1.直线与圆三种位置关系判定（两种判定方法） ①距离判定：设圆心到直线垂线段长度为d，圆半径R d＞R：直线与圆相离，无交点； d＝R：直线与圆相切，有唯一公共点（切点），直线为圆的切线； d＜R：直线与圆相交，两个交点，直线为圆的割线。 ②交点个数判定：0个交点相离，1个交点相切，2个交点相交。 2.切线核心性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径。 推论：过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；过切点垂直于切线的直线必经过圆心。 3.切线的判定定理 经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 两种证明切线常用思路：有公共点，连圆心与切点，证垂直；无明确公共点，作圆心向直线作垂线，证垂线段长度等于半径。 4.切线长定理 从圆外一点向圆引出两条切线，两条切线长度相等；圆心与该点的连线平分两条切线的夹角，同时垂直平分两切点连成的切点弦。 5.三角形的内切圆与内心 ①定义：与三角形三边都相切的圆是三角形内切圆，内切圆圆心叫三角形内心； ②内心性质：内心是三角形三条角平分线交点，内心到三角形三条边距离相等（距离等于内切圆半径）； ③直角三角形内切圆半径简易计算：r=(两条直角边和−斜边)÷2。 6.弦切角基础性质 弦切角等于它所夹弧所对的圆周角，多用于角度等量代换证明。 1.证明切线容易遗漏关键条件：判定定理必须同时满足“过半径外端点”+“垂直半径”，只证垂直或者只说明过端点，证明不成立。 2.使用切线性质做题，忘记连接圆心和切点构造垂直直角，错失直角三角形计算条件。 3.混淆三角形外心与内心：外心是垂直平分线交点（外接圆圆心，到顶点距离相等），内心是角平分线交点（内切圆圆心，到三边距离相等），经常混用性质。 4.切线长定理只记得线段相等，忽略角平分线、切点弦垂直平分的衍生结论，角度证明缺少条件。 5.直线与圆位置判断，错把线段长度当作圆心到直线的垂距d，必须是垂线段长度作为判定依据。 题型 考察方向 难度 题型一 判断直线和圆的位置关系 ★★ 题型二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 ★★ 题型三 直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 ★★ 题型四 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 ★★★ 题型五 求直线平移到与圆相切时运动的距离 ★★★ 题型六 有关切线的概念辨析 ★★ 题型七 判断或补全使直线为切线的条件 ★★★ 题型八 证明某直线是圆的切线 ★★★ 题型九 切线的性质定理 ★★★ 题型十 切线的性质和判定的综合应用 ★★★★ 题型十一 应用切线长定理求解 ★★★★ 题型十二 应用切线长定理求证 ★★★★ 题型十三 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 ★★★★ 题型十四 过圆外一点作圆的切线 ★★★ 题型十五 切线的应用 ★★★★★ 题型十六 圆内知识综合 ★★★★★ 题型十七 圆与三角形的综合 ★★★★★ 题型十八 圆与四边形的综合 ★★★★★ 题型十九 圆与函数的综合 ★★★★★ 拔高题 12题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 说明： d：圆心到直线的垂线段距离，R：圆的半径 题型一 判断直线和圆的位置关系 解题思路 ①算出圆心到直线的垂直距离d，必须取垂线段，不能随意选取普通线段；②拿d和圆半径R做大小对比；③根据大小关系判定：d＞R为相离，d=R为相切，d＜R为相交，得出最终结论。 1．已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 2．如图，已知，为边上一点，以为圆心、为半径作．点在射线上运动，当时，与直线的位置关系是______． 3．已知的半径是二次函数的最小值，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 题型二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 解题思路 ①固定圆心位置，算出圆心到已知直线的距离d；②根据题目给出的位置关系，梳理半径R和d的大小不等关系；③解不等式，写出半径R的取值范围，留意能否取等号，相切可以取等，相交、相离结合题意判断。 4．直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知中，，，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段只有一个交点，则r的取值范围为_________． 6．如图，，与轴，轴均相切，将一次函数的图象平移，当图象与有公共点时，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 解题思路 ①依托题目给出的位置关系，确定d与半径R的大小关系；②结合题目的限制条件；③求出距离d的具体数值或是距离的取值范围。 7．若直线l与半径为5的相离，则圆心O与直线l的距离d为（     ） A． B． C． D． 8．已知的半径为7，直线l与相交，点O到直线l的距离为4，则上到直线l的距离为3的点的个数为___________个． 9．在平面直角坐标系中，直线是边长为1的正三角形，其中为坐标原点，则点P，Q到直线的距离之和的最小值是____． 10．如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 题型四 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 解题思路 ①算出原来的圆心到直线的垂直距离；②明确两种相切情况，圆没有越过直线时相切，圆穿过直线之后再次相切；③分别找到两种相切位置对应的圆心；④计算原圆心到新圆心的长度，该长度就是圆心移动的距离。 11．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 12．如图，直线、相交于点，，的半径为，且，如果以的速度沿由向的方向移动，则___________秒时与直线相切． 13．如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在______秒时相切． 题型五 求直线平移到与圆相切时运动的距离 解题思路 ①保持圆心位置不变，算出圆心到原来直线的垂距；②明确直线平移的两个相切位置，分布在圆的两侧；③结合圆半径，确定两条相切直线的具体位置；④算出原直线到两条相切直线的长度，即为直线平移距离。 14．已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B．或 C．或 D．或 15．如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若，则PC长的最小值为_________． 16．如图，的半径，直线，垂足为，且交于，两点，，若沿所在直线平移后与相切，则平移的距离是________． 题型六 有关切线的概念辨析 解题思路 ①牢记切线定义，直线和圆只有1个公共点才是切线；②切线判定需要同时满足两个条件，过半径的外端点，并且和这条半径互相垂直；③逐条分析选项，只要缺少任意一个条件，这个说法就是错误的。 17．下列说法正确的是（    ） A．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．等弦所对的弧相等 18．如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 19．如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为_______． 题型七 判断或补全使直线为切线的条件 解题思路 ①如果直线已经和圆存在一个公共点，就补充条件：直线垂直于过该公共点的半径；②如果题目没有给出直线与圆的公共点，就补充条件：圆心到这条直线的距离等于圆的半径。 20．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是(　　) A．(5，2) B．(2，4) C．(1，4) D．(6，2) 21．如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 22．如图，点C在以为直径的半圆上，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F，当长度为 __________________时，与半圆相切． 题型八 证明某直线是圆的切线 解题思路 ①有交点，连半径，证垂直：题目已知直线与圆有公共点，连接圆心和这个公共点，证明这条连线和待证直线互相垂直；②无交点，作垂直，证半径：没有给出公共点时，过圆心向直线作垂线段，证明垂线段长度等于圆的半径。 23．如图，点A，B，D在上，，的延长线交直线于点，且，连接，则直线与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 24．如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． 25．已知P是上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点P．以下是甲、乙二人的作法．下列判断正确的是（    ） 甲：如图1，①连接，以点P为圆心，长为半径画弧交于点A，连接并延长；②在上截取，直线即为所求． 乙：如图2，①作射线；②在直线外任取一点A，以点A为圆心，长为半径作，与射线交于另一点B；③连接并延长与交于点C，直线即为所求． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．甲正确，乙不正确 D．甲不正确，乙正确 题型九 切线的性质定理 解题思路 ①题目出现切线，第一时间连接切点与圆心，直接得到直角；②利用直角互余、直角三角形边角关系，求解角度或者线段长度。 26．如图，为的直径，与相切于点C，交的延长线于D，且，则（    ） A． B． C． D． 27．如图，在中，，，圆心在上的半圆与斜边相切于点，则的度数是_____度． 28．如图，、是的两条切线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型十 切线的性质和判定的综合应用 解题思路 ①需要证明切线时，使用切线的判定定理；②题目已知是切线，立刻利用性质得到90°直角；③结合勾股定理、全等三角形得到角、边相等，完成证明与长度计算。 29．圆O的圆心到直线L的距离是5厘米，直线L与圆O有唯一公共点，问圆O的半径是（     ）厘米？ A． B． C． D． 30．如图，P为外一点，与相切于点A，交于点B，交于点C，，，则的半径为__________． 31．如图，为外一点，与相切于点，若，则 ______ 32．如图，为外一点，连接，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆，交于点，，连接，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 题型十一 应用切线长定理求解 解题思路 ①圆外一点引圆两条切线，明确切线长相等，该点和圆心连线平分两条切线的夹角；②利用相等线段做等量替换；③结合勾股定理、图形周长条件计算线段长。 33．如图，，，是的切线，P，C，D为切点，如果，，则的长为（   ） A．3 B．2 C．2.5 D．1.5 34．如图，，分别与相切于，两点，连接，若，，则的周长为（    ） A．18 B．12 C． D． 35．如图，是的内切圆，与，，的切点分别为，，，若，则的度数是________． 36．如图，的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 题型十二 应用切线长定理求证 解题思路 ①先用切线长定理，得到对应的相等线段、相等角；②把这些等角、等线段当做已知条件；③进一步去证明线段相等、角相等或者三角形全等。 37．如图，切于，切于，交于，连接，下列结论中，错误的是（　　）．    A． B． C． D．以上都不对 38．如图，是的直径，点是外一点，过点的两条直线分别与圆相切于点、，点是圆周上任意一点，连接、，若，则（　　）    A． B． C． D． 39．如图PA、PB是圆O的切线，切点分别为A、B，点C在AB上，过C作圆O的切线分别交PA、PB于点D、E，连接OD、OE，若∠P=50°，则∠DOE的度数为（　　　） A．130° B．50° C．60° D．65° 题型十三 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 解题思路 ①三角形内心是三条角平分线交点，内切圆半径就是内心到三边的垂直距离；②可以利用面积法建立等式；③已知周长、面积求内切圆半径，或者已知半径反推三角形边长，直角三角形优先用面积推导公式计算。 40．张老师计划在一个直角三角形花坛内建造一个圆形喷泉，要求喷泉与花坛的三条边都相切，如图所示，设切点分别为，已知米，米，则圆形喷泉的半径是（    ） A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米 41．如图，在中，，，，则的内切圆半径___________． 42．如图，的内切圆与边分别相切于点．已知，则的长为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 题型十四 过圆外一点作圆的切线 解题思路 ①连接圆外已知点和圆心；②以这条线段为直径画圆，这个圆和原来的圆产生两个交点，这两个点就是切点；③分别把圆外点和两个切点相连，画出两条切线；④牢记圆外一点，能够画出圆的两条切线。 43．已知及外一点P，求作直线，，使，与相切于点D，E【操作步骤】小威与小组同学们经过思考与探索，想出了如下作法（图2）： ①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点A，C； ②作直线，交于点B； ③以点B为圆心，长为半径画弧，  交于点D，E； ④作直线，，则直线， 即为所求．请给出，为切线的理论依据：________请写出定理的内容） 44．如图，点A在外，连接，作线段的中点B，以B为圆心，为半径作，与交于两点C，D，连接，则，均为直角，直线，是的两条切线．得到，均为直角的依据是（    ） A．同弧或等弧所对的圆周角相等 B．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C．直径所对的圆周角是直角 D．圆的切线垂直于过切点的半径 45．对于题目“已知及外一点，如何过点作的切线？”甲、乙两位同学的作法如下： 甲的作法：连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，作直线，，直线，即为所求．    乙的作法：连接并延长，交于两点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，连接，，作直线，，直线，即为所求．    下列说法正确的是（    ）． A．乙的作法正确，甲的作法错误． B．甲和乙的作法都错误． C．甲的作法正确，乙的作法错误． D．甲和乙的作法都正确． 题型十五 切线的应用 解题思路 ①读懂实际问题，把现实情景转化为圆、切线几何模型；②看到切线，连接切点圆心得到直角；③把问题转化为直角三角形，用勾股定理进行计算求解。 46．图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，已知，，点A在中轴线上运动，点B在以O为圆心，长为半径的圆上运动，且，如图3，当点B按逆时针方向运动到时，与相切，则______． 47．如图，为等边三角形的高，点O 在的延长线上，且，的半径为1，若将绕点 C 按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A．3 次 B．4 次 C．5 次 D．6 次 48．如图，正五边形的两条边，与相切，切点为点，，则为（   ） A． B． C． D． 题型十六 圆内知识综合 解题思路 ①综合调用垂径定理、圆心角圆周角、切线等圆内知识点；②把复杂大图拆成一个个简单小基础图形；③分开求解角度、线段，再整合条件推导出最终结果。 49．如图,内接于⊙O,,则⊙O的直径等于__________．    50．已知一个等腰直角三角形， ，，分别以A，B为圆心，以a的长为半径作圆，两圆的交点为点D，若的长度为2，则的长为________． 51．如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中不一定正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 题型十七 圆与三角形的综合 解题思路 ①分清内心是内切圆圆心，为角平分线交点，到三边距离相等，外心是外接圆圆心，为垂直平分线交点，到三顶点距离相等；②结合切线带来的直角、勾股定理、三角形全等；③完成线段计算和几何证明。 52．如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（　） A． B．1 C． D． 53．如图，在的内接四边形中，，C为上一动点，且，的半径为2，有如下说法：①平分；②三角形是等边三角形；③；④；⑤四边形最大面积是．其中正确说法的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 54．如图，是的直径，，，，是的弦，且，若点是直径上的一动点，则的最小值为________． 题型十八 圆与四边形的综合 解题思路 ①结合切线长定理、切线垂直半径得到直角；②图形多出现直角梯形、正方形；③利用四边形内角、边长进行转化，借助勾股定理完成计算与证明。 55．如图，四边形ABCD是的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则的度数是______． 56．如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为___． 57．如图，表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接，则就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路与球门线垂直，D为垂足，点C在上，当最大时就是带球线路上的最佳射门角．若，则球员甲在此次带球中获得最佳射门角时，的长度为（   ） A．4 B．6 C． D． 题型十九 圆与函数的综合 解题思路 ①在坐标系中先确定圆心坐标以及半径；②计算圆心到直线的距离，判断直线与圆位置；③联立函数解析式和圆，求交点坐标；④结合勾股、距离公式求线段长，解决存在性、求值类问题。 58．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P（m， m＋2），过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 59．如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的横坐标为______． 60．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ________．    解答题 1．如图，在中，．以点C为圆心，分别以下面给出的r为半径作圆，试问所作的圆与斜边所在的直线分别有怎样的位置关系？请说明理由． (1)； (2)； (3)． 2．已知点A在上，用尺规按下列要求画图： (1)在图①中画出点P，使是的直径； (2)在图②中画出点Q，使是的切线．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 3．如图，为的直径，射线交于点F，点C为劣弧的中点，过点C作，垂足为E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 4．如图，是以为直径的的内接三角形，与相切于点B，与的延长线交于点D，E是的中点，延长，交的延长线于点F． (1)与有怎样的位置关系并说明理由； (2)若，，求的长和的半径． 5．如图，为的直径，是的切线，切点为点B，点D为上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 6．已知：如图，是的切线，B，C是切点，过上的任意一点P作的切线与分别交于点D，E． (1)连接和，若，则_______； (2)已知，求的周长． 7．在中，，，的内切圆半径r． （1）设直角边，则r的值为______． （2）r的最大值为_______． 8．现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径，P是半圆弧上的一点（点P与点A、B不重合）， (1)如图1，连接、，则是_____三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)如图2，在半圆弧上取点P、Q（P在Q的右侧）和直径上的点O、B，顺次连接这四个点构成的四边形是菱形．请用直尺和圆规在图中作出符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)如图3，点Q为上一点，，以为直径在下方作半圆 (4) (5) ①试判断点O与半圆的位置关系，请说明理由； ②如图4，半圆与相切时，求出扇形的面积； ③当点到的距离为时，直接写出点P到的距离． 9．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，求的半径． 10．已知，经过矩形的四个顶点，过点B作，垂足为K，过点D作分别与，及的延长线相交于点E，F，G，H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，求证：四边形为矩形； (3)若F是的中点，求出的值． 11．在平面直角坐标系中，对于点P和图形W，若存在以点P为直角顶点的直角，使得图形W都在该直角内部，就称点P是图形W的“直角关联点”． (1)若图形W是线段，其中点，点，则以下三点：，，中是线段的“直角关联点”的为________； (2)若的半径为，直线，求直线l上的“直角关联点”P的横坐标m的取值范围； (3)已知点，的半径为，若直线，与x轴，y轴围成的封闭图形中，既存在的“直角关联点”，且该封闭图形中并非所有点都是的“直角关联点”，直接写出t的取值范围． 12．在平面直角坐标系中，给定图形和两点，．若图形上存在两个不重合的点，，使得将点沿方向平移线段的长度后得到的点与将点沿方向平移线段的长度后得到的点重合，则称点与点关于图形双向合． 已知点，，． (1)在点，，中，与原点关于线段双向合的点是________； (2)若点是的边上一点，且点与点关于线段双向合，求点的坐标； (3)点是直线上一动点，以为圆心作半径为的．当点运动时，对于上任意一点，都能在的边上找到一点，使得，两点关于双向合，直接写出点的纵坐标的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $