专题01一元二次方程的概念及解法知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题01一元二次方程的概念及解法知题通关讲义 知识点01:一元二次方程的相关概念 1. 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程。 三个必备条件，缺一不可： ①整式方程；②只含 1 个未知数；③未知数最高次数为 2，且二次项系数≠0。 2. 一般形式 ax2+bx+c=0 (a≠0) ax2：二次项，a为二次项系数； bx：一次项，b为一次项系数； c：常数项。 注意：整理一般形式时，必须把所有项移到等号左侧，右侧为 0；各项系数包含前面的符号。 3. 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫根。 应用： ①代入检验：把数值代入方程，左右相等则为根； ②已知根求参数：将根代入方程，构造关于参数的一元一次方程求解。 4.一元一次、一元二次方程对比表 知识点02:解一元二次方程四大解法（核心内容） 核心思想：降次，把二次方程转化为两个一元一次方程求解。 解法 1：直接开平方法 适用形式：(x+m)2=n n>0：x+m=，两个不相等实数根； n=0：x+m=0，两个相等实数根； n<0：无实数根。 解题步骤：左边化为完全平方式→直接开平方→移项求x。 解法 2：配方法（基础，推导求根公式的工具） 通用步骤（以ax2+bx+c=0,a≠0)为例）： 1.移项：常数项移到等号右侧 ax2+bx=-c； 2.化 1：方程两边同时除以二次项系数a，x2+x=； 3.配方：两边同时加一次项系数一半的平方 ()2； 4.写成完全平方：(x+)2= 5.开平方求解。 解法 3：公式法（通用万能解法） ✅ 适用：所有一元二次方程（前三种方法无法快速求解时用） 解题步骤： 1.把方程化为标准形式ax2+bx+c=0（a0） 2.计算判别式：Δ=b2−4ac 3.若Δ≥0，代入求根公式：；若Δ<0，方程无实数根 解法 4：因式分解法（计算最快，优先选用） 1.适用条件：方程一侧为 0，另一侧整式能分解成两个一次因式乘积； 2.原理：若A B=0，则A=0或B=0，实现降次； 3.常见分解类型：提公因式、平方差a2-b2、完全平方a22ab+b2； 4.解题步骤：移项使右边 = 0→因式分解→分别令两个因式 = 0→解两个一元一次方程。 知识点03:一元二次方程.四大方法・择优解题 知识点04:换元法（整体换元，针对高次 / 重复结构方程） 1.适用题型：方程中出现重复的代数式，形如(ax+b)2+p(ax+b)+q=0，整体重复出现，直接展开会产生四次等高次式子，计算繁琐。 2.核心思路：把重复的整体设为新未知数y，将复杂高次方程转化为标准一元二次方程，求解后再回代求原未知数。 3.完整解题步骤： ①观察方程，找出重复出现的整体，设(y=)重复代数式； ②将原方程替换为关于y的一元二次方程； ③选用因式分解 / 公式法解出y的取值； ④把y回代换元式，解关于x的一元一次方程； ⑤检验，写出原方程所有根。 4.举例：解方程(x2+x)2-4(x2+x)-12=0 解：设y=x2+x，原方程变为y2-4y-12=0，因式分解求出y，再分情况回代求x。 5.补充说明：换元法属于转化降次的拓展方法，课本例题、课后拓展题常出现，.是中考高频简便运算技巧。 知识点05:一元二次方程根的判别式｜秒判根的个数・必考考点 一、判别式定义 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0))，把 △=b²-4ac 叫做根的判别式。 2.根的判别式（△=b²-4ac） △>0：两个不相等实数根 △=0：两个相等实数根 △<0：无实数根 3.重要前提 使用判别式的先决条件：方程必须是一元二次方程，即 a0，含参数题目必须分类讨论。 1. 判断一元二次方程忽略二次项系数不为0 提醒：化为一般形式ax2+bx+c=0后，必须满足a≠0；当a=0时，方程不再是一元二次方程。 2. 未整理为一般形式，直接判定方程类型 提醒：应先去括号、移项、合并同类项，再判断未知数最高次数，不可依据原式表面结构直接判定。 3. 由定义求参数，未回代检验二次项系数 提醒：解出参数的值后，必须验证二次项系数，舍去使a=0的解。 4. 移项时未改变移动项的符号 提醒：移项必须变号；在等式同一侧交换项的位置，不需要变号。 5. 使用直接开平方法遗漏负的平方根 提醒：若(x+m)2=k (k0)，则x+m=，不可只取算术平方根得到单根。 6. 配方时仅在等式一侧加上配方项 提醒：依据等式性质，需在方程两边同时加上()2，不可只对左边进行配方。 7. 配方前未将二次项系数化为1 提醒：二次项系数不等于1时，应先化二次项系数为1，再配方，防止常数项计算出错。 8. 求根公式书写有误，漏写负号或分母2a 提醒：求根公式，注意-b，不可遗漏分母2a。 9. 代入求根公式时，b、c不带自身符号 提醒：化为一般形式后，a、b、c需要连同其前面的符号整体代入求根公式。 10. 忽视判别式<0时方程无实数根 提醒：可先计算=b2-4ac；<0时，一元二次方程不存在实数根，不能强行写出根。 11. 因式分解法解方程，直接约去含未知数的因式 提醒：禁止在等式两边同时除以含有未知数的整式，会丢失根；应移项后再因式分解求解。 12. 求得方程的根后，对根进行不当约分变形 提醒：方程的解是确定数值，不可再将两个根同时除以同一个数，导致解发生改变。 题型 考察方向 难度 题型一 一元二次方程的定义 ★ 题型二 化成一元二次方程的一般式 ★ 题型三 判断是否是一元二次方程的解 ★ 题型四 由一元二次方程的定义求参数 ★★ 题型五 由一元二次方程的解求参数 ★★ 题型六 直接开平方法 ★★ 题型七 配方法 ★★ 题型八 配方法的应用 ★★★ 题型九 根据判别式判断一元二次方程根的情况 ★★ 题型十 根据一元二次方程根的情况求参数 ★★★ 题型十一 公式法解一元二次方程 ★★ 题型十二 因式分解法解一元二次方程 ★★ 题型十三 换元法解一元二次方程 ★★★ 题型十四 解分式方程 ★★★ 题型十五 一元二次方程的根与系数的关系 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一：一元二次方程的定义 1．已知一元二次方程的一个根是1，请写出一个一元二次方程____． 2．下列是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 题型二：化成一元二次方程的一般式 4．方程化为一元二次方程的一般形式是（     ） A． B． C． D． 5．一元二次方程化为一般形式为________________，其中二次项系数 ________，一次项系数 ________，常数项 ________． 6．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 题型三：判断是否是一元二次方程的解 7．已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 8．列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） 0 1 2 3 ... ... A． B． C．或 D．或 9．若m是方程的一个根，则的值为（   ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 题型四：由一元二次方程的定义求参数 10．若关于x的方程是一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 11．已知 是关于x的一元二次方程，则a的值为(　　) A． B． C． D． 12．（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 题型五：由一元二次方程的解求参数 13．如果是一元二次方程的一个根，那么常数k的值是（     ） A．2 B． C．3 D． 14．已知是方程的一个根，则代数式的值是___________． 15．已知a是方程的一个根，则的值是（    ） A． B． C． D．1 题型六：直接开平方法 16．下列各数中，是一元二次方程的一个根的是（     ） A． B． C． D． 17．在实数范围内定义一种运算“®”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的解为________． 18．将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式． 若，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 题型七：配方法 19．用配方法解方程配方后可得（     ） A． B． C．D． 20．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 21．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A．2 B． C． D． 题型八：配方法的应用 22．通过配方，可以求得代数式的最小值是（   ） A．0 B．1 C．9 D．10 23．若，则的值是______． 24．已知为实数，且，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型九：根据判别式判断一元二次方程根的情况 25．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 26．已知p、q是实数，有且只有三个不同的x值满足方程|x2+px+q|＝2，则q的最小值 ___． 27．“河图洛书”是中华文明的源头之一，蕴含了古人的数学智慧，我们定义一种新的运算“洛书积”：对于两个实数a和b，其“洛书积”记为，运算规则为．例如：．则关于x的方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 题型十：根据一元二次方程根的情况求参数 28．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 29．在实数范围内，存在两个不相等的x的值，使得代数式与的值相等，则k的取值范围是__________． 30．关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 题型十一：公式法解一元二次方程 31．若一元二次方程的根为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 32．定义新运算“※”，规定：，如，则_________；已知的两根为，则_________． 33．若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 题型十二：因式分解法解一元二次方程 34．方程的解是（     ） A． B． C． D． 35．对于实数a，b，定义运算""：，例如：．如果，那么x的值为________． 36．用因式分解法解方程，下列方法正确的是（    ） A．，或 B．，或 C．，或 D．， 题型十三：换元法解一元二次方程 37．已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 38．已知关于的方程（、、为常数，）的解是，，那么方程的解为_______． 39．若的两个实数根为1和，那么关于的一元二次方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 题型十四：解分式方程 40．解方程时，设，则原方程可化为关于的整式方程是（　　） A． B． C． D． 41．解方程时，可以设，那么原方程可转化为整式方程：___________． 42．下列方程中，有实数根的方程是（   ） A． B． C． D． 题型十五：一元二次方程的根与系数的关系 43．已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，则的值为（     ） A．5 B． C．8 D． 44．已知方程的两个根分别是，，则的值为____________． 45．设是方程的两根，且，则常数的值为（     ） A． B． C． D． 46．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 解答题 1．选择适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．在数学课上，老师展示两道习题的解答过程： 习题1：计算：． 解：原式    第一步         第二步         第三步 习题2：解方程： 解：        第一步         第二步             第三步                 第四步 (1)解答过程中，习题1从第______步开始出现错误，习题2从第______步开始出现错误； (2)任选其中一个习题写出正确的解答过程（若两个题都作答，则只按习题1给分）． 3．解下列方程： ． 4．已知关于的方程． (1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)若2是该方程的一个根，求代数式的值． 5．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出c的值； (3)m是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 6．有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01一元二次方程的概念及解法知题通关讲义 知识点01:一元二次方程的相关概念 1. 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程。 三个必备条件，缺一不可： ①整式方程；②只含 1 个未知数；③未知数最高次数为 2，且二次项系数≠0。 2. 一般形式 ax2+bx+c=0 (a≠0) ax2：二次项，a为二次项系数； bx：一次项，b为一次项系数； c：常数项。 注意：整理一般形式时，必须把所有项移到等号左侧，右侧为 0；各项系数包含前面的符号。 3. 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫根。 应用： ①代入检验：把数值代入方程，左右相等则为根； ②已知根求参数：将根代入方程，构造关于参数的一元一次方程求解。 4.一元一次、一元二次方程对比表 知识点02:解一元二次方程四大解法（核心内容） 核心思想：降次，把二次方程转化为两个一元一次方程求解。 解法 1：直接开平方法 适用形式：(x+m)2=n n>0：x+m=，两个不相等实数根； n=0：x+m=0，两个相等实数根； n<0：无实数根。 解题步骤：左边化为完全平方式→直接开平方→移项求x。 解法 2：配方法（基础，推导求根公式的工具） 通用步骤（以ax2+bx+c=0,a≠0)为例）： 1.移项：常数项移到等号右侧 ax2+bx=-c； 2.化 1：方程两边同时除以二次项系数a，x2+x=； 3.配方：两边同时加一次项系数一半的平方 ()2； 4.写成完全平方：(x+)2= 5.开平方求解。 解法 3：公式法（通用万能解法） ✅ 适用：所有一元二次方程（前三种方法无法快速求解时用） 解题步骤： 1.把方程化为标准形式ax2+bx+c=0（a0） 2.计算判别式：Δ=b2−4ac 3.若Δ≥0，代入求根公式：；若Δ<0，方程无实数根 解法 4：因式分解法（计算最快，优先选用） 1.适用条件：方程一侧为 0，另一侧整式能分解成两个一次因式乘积； 2.原理：若A B=0，则A=0或B=0，实现降次； 3.常见分解类型：提公因式、平方差a2-b2、完全平方a22ab+b2； 4.解题步骤：移项使右边 = 0→因式分解→分别令两个因式 = 0→解两个一元一次方程。 知识点03:一元二次方程.四大方法・择优解题 知识点04:换元法（整体换元，针对高次 / 重复结构方程） 1.适用题型：方程中出现重复的代数式，形如(ax+b)2+p(ax+b)+q=0，整体重复出现，直接展开会产生四次等高次式子，计算繁琐。 2.核心思路：把重复的整体设为新未知数y，将复杂高次方程转化为标准一元二次方程，求解后再回代求原未知数。 3.完整解题步骤： ①观察方程，找出重复出现的整体，设(y=)重复代数式； ②将原方程替换为关于y的一元二次方程； ③选用因式分解 / 公式法解出y的取值； ④把y回代换元式，解关于x的一元一次方程； ⑤检验，写出原方程所有根。 4.举例：解方程(x2+x)2-4(x2+x)-12=0 解：设y=x2+x，原方程变为y2-4y-12=0，因式分解求出y，再分情况回代求x。 5.补充说明：换元法属于转化降次的拓展方法，课本例题、课后拓展题常出现，.是中考高频简便运算技巧。 知识点05:一元二次方程根的判别式｜秒判根的个数・必考考点 一、判别式定义 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0))，把 △=b²-4ac 叫做根的判别式。 2.根的判别式（△=b²-4ac） △>0：两个不相等实数根 △=0：两个相等实数根 △<0：无实数根 3.重要前提 使用判别式的先决条件：方程必须是一元二次方程，即 a0，含参数题目必须分类讨论。 1. 判断一元二次方程忽略二次项系数不为0 提醒：化为一般形式ax2+bx+c=0后，必须满足a≠0；当a=0时，方程不再是一元二次方程。 2. 未整理为一般形式，直接判定方程类型 提醒：应先去括号、移项、合并同类项，再判断未知数最高次数，不可依据原式表面结构直接判定。 3. 由定义求参数，未回代检验二次项系数 提醒：解出参数的值后，必须验证二次项系数，舍去使a=0的解。 4. 移项时未改变移动项的符号 提醒：移项必须变号；在等式同一侧交换项的位置，不需要变号。 5. 使用直接开平方法遗漏负的平方根 提醒：若(x+m)2=k (k0)，则x+m=，不可只取算术平方根得到单根。 6. 配方时仅在等式一侧加上配方项 提醒：依据等式性质，需在方程两边同时加上()2，不可只对左边进行配方。 7. 配方前未将二次项系数化为1 提醒：二次项系数不等于1时，应先化二次项系数为1，再配方，防止常数项计算出错。 8. 求根公式书写有误，漏写负号或分母2a 提醒：求根公式，注意-b，不可遗漏分母2a。 9. 代入求根公式时，b、c不带自身符号 提醒：化为一般形式后，a、b、c需要连同其前面的符号整体代入求根公式。 10. 忽视判别式<0时方程无实数根 提醒：可先计算=b2-4ac；<0时，一元二次方程不存在实数根，不能强行写出根。 11. 因式分解法解方程，直接约去含未知数的因式 提醒：禁止在等式两边同时除以含有未知数的整式，会丢失根；应移项后再因式分解求解。 12. 求得方程的根后，对根进行不当约分变形 提醒：方程的解是确定数值，不可再将两个根同时除以同一个数，导致解发生改变。 题型 考察方向 难度 题型一 一元二次方程的定义 ★ 题型二 化成一元二次方程的一般式 ★ 题型三 判断是否是一元二次方程的解 ★ 题型四 由一元二次方程的定义求参数 ★★ 题型五 由一元二次方程的解求参数 ★★ 题型六 直接开平方法 ★★ 题型七 配方法 ★★ 题型八 配方法的应用 ★★★ 题型九 根据判别式判断一元二次方程根的情况 ★★ 题型十 根据一元二次方程根的情况求参数 ★★★ 题型十一 公式法解一元二次方程 ★★ 题型十二 因式分解法解一元二次方程 ★★ 题型十三 换元法解一元二次方程 ★★★ 题型十四 解分式方程 ★★★ 题型十五 一元二次方程的根与系数的关系 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一：一元二次方程的定义 1．已知一元二次方程的一个根是1，请写出一个一元二次方程____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】一元二次方程要求二次项系数不为0，将根代入方程满足等式，即可得到符合要求的方程． 【详解】解：设一元二次方程的一般形式为， ∵是方程的根， ∴将代入方程得：， 任意取满足条件的，例如取，，， 得到一元二次方程， 验证可知是该方程的根，符合要求． 2．下列是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程要满足以下条件：只含1个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，据此可得到答案． 【详解】解：选项A，含,两个未知数，不符合题意． 选项B，只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，符合题意． 选项C，未说明，当时不是二次方程，不符合题意． 选项D，不是等式，不属于方程，不符合题意． 3．下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于A选项，∵当时，方程二次项系数为0， ∴不是一元二次方程． 对于B选项，∵方程的未知数为， ∴不是关于的方程． 对于C选项，整理得， ∵仅含未知数，的最高次数为2，二次项系数不为0， ∴是关于的一元二次方程． 对于D选项，整理得， ∵当时，二次项系数为0，方程为一元一次方程， ∴不一定是一元二次方程． 题型二：化成一元二次方程的一般式 4．方程化为一元二次方程的一般形式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 5．一元二次方程化为一般形式为________________，其中二次项系数 ________，一次项系数 ________，常数项 ________． 【答案】 2 1 【分析】将原方程化为一般形式，对应即可确定各项系数． 【详解】移项，得， 所以, , ． 6．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据题意给出的一次项系数列方程求解即可． 【详解】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 题型三：判断是否是一元二次方程的解 7．已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程为 ， 把代入方程左边，得， 又∵已知， ∴当时，方程左右两边相等， ∴是该一元二次方程的一个根． 8．列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） 0 1 2 3 ... ... A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查列表法求一元二次方程的解，将方程变形为 ，从表格中找出使该式值为6的x值，即为方程的解． 【详解】解：∵ 可化为 ， 由表可知，当 或 时，， ∴ 方程的解为 或 ． 故选：D． 9．若m是方程的一个根，则的值为（   ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握方程的根能使方程左右两边相等是解题的关键．利用方程的根的定义，将根代入方程得到关于的等式，再对所求式子进行变形，代入计算． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即． ∴ 故选：C． 题型四：由一元二次方程的定义求参数 10．若关于x的方程是一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得． 11．已知 是关于x的一元二次方程，则a的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2次的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知，， 解得： 12．（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 【答案】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到，求解即可； （2）根据一元一次方程的定义得到，求解即可． 【详解】解：（1）∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． （2）∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴． 题型五：由一元二次方程的解求参数 13．如果是一元二次方程的一个根，那么常数k的值是（     ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】将代入原方程，求解关于的一元一次方程. 【详解】解：把代入，得， 整理得，解得. 14．已知是方程的一个根，则代数式的值是___________． 【答案】4 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个根， ，即． 代数式． 代入，得． 15．已知a是方程的一个根，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据a是方程的一个根，得出，从而得出，再将变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 题型六：直接开平方法 16．下列各数中，是一元二次方程的一个根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过直接开平方求出一元二次方程的根，再根据一元二次方程的根匹配选项即可. 【详解】解：， 移项得：， 两边直接开平方得：， 一元二次方程的一个根的是． 17．在实数范围内定义一种运算“®”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的解为________． 【答案】或 【分析】本题考查定义新运算，解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．根据新运算规则，将方程转化为关于的一元二次方程，然后利用直接开方法求解． 【详解】解：由运算规则 ，得： ， 即 或 解得或． 故答案为：或． 18．将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式． 若，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程，根据新定义，列出一元二次方程进行求解后，再进行乘法计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴； 故选C． 题型七：配方法 19．用配方法解方程配方后可得（     ） A． B． C．D． 【答案】C 【详解】解：方程， 移项得， 配方得，即． 20．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 【答案】4 【分析】通过配方法将原方程化为的形式，得到和的值，再代入计算即可. 【详解】解：移项，得， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， ∴，， ∴. 21．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出答案． 【详解】解： 故选：D． 题型八：配方法的应用 22．通过配方，可以求得代数式的最小值是（   ） A．0 B．1 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用，将原式配方得出，结合即可得出答案． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴， ∴ 代数式的最小值是1． 故选：B． 23．若，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，先把等式左边的代数式配方，再根据非负数的性质求出的值，最后代入代数式计算即可求解，掌握配方法的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 24．已知为实数，且，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知等式求出，再利用完全平方公式判断出的符号，由此即可得出答案． 【详解】， ， ， ， ， ， 又， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 题型九：根据判别式判断一元二次方程根的情况 25．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】利用根的判别式判断一元二次方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 26．已知p、q是实数，有且只有三个不同的x值满足方程|x2+px+q|＝2，则q的最小值 ___． 【答案】-2 【分析】根据题意由方程|x2+px+q|=2得到x2+px+q-2=0，x2+px+q+2=0，根据判别式得到Δ1=p2-4q+8，Δ2=p2-4q-8，依此可Δ2=0，Δ1=16，可得p2-4q-8=0，依此可求q的最小值． 【详解】解：∵|x2+px+q|=2， ∴x2+px+q-2=0①， x2+px+q+2=0②， ∴Δ1=p2-4q+8， Δ2=p2-4q-8， ∴Δ1＞Δ2， ∵有且只有三个不同的x值满足方程|x2+px+q|=2， ∴Δ2=0，Δ1=16， ∴p2-4q-8=0， ∴q=p2-2， 当p=0时，q的最小值-2． 故答案为：-2． 【点睛】本题考查一元二次方程的解以及根的判别式，根据题意由根的判别式得到p2-4q-8=0是解题的关键． 27．“河图洛书”是中华文明的源头之一，蕴含了古人的数学智慧，我们定义一种新的运算“洛书积”：对于两个实数a和b，其“洛书积”记为，运算规则为．例如：．则关于x的方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】先根据给定的“洛书积”运算规则列出关于的方程，整理为一元二次方程的一般形式，再通过根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵ 运算规则为，方程为， ∴ 将，代入运算规则得 ， 展开并整理得， ∴ ∵ ∴该方程有两个不相等的实数根． 题型十：根据一元二次方程根的情况求参数 28．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元二次方程根的情况与判别式的关系列方程求解即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即，解得． 29．在实数范围内，存在两个不相等的x的值，使得代数式与的值相等，则k的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的情况求参数取值范围，根据题意得到关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式大于求解即可． 【详解】解：由题意得方程，整理得， 根据题意可得方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 30．关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得出、方程根的判别式，再得出，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，且有两个相等的实数根， ∴，其根的判别式， ∵， ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∴，即，则选项B正确； 假设成立，则，解得，与矛盾，则假设不成立，选项A错误； 假设成立，则，解得，与矛盾，则假设不成立，选项C错误； 假设成立，则，解得，与矛盾，则假设不成立，选项D错误． 题型十一：公式法解一元二次方程 31．若一元二次方程的根为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，根据一元二次方程的得出的值，进而即可求解，熟记一元二次方程的求根公式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的根为， ∴，，， ∴该一元二次方程为， 故选：． 32．定义新运算“※”，规定：，如，则_________；已知的两根为，则_________． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义运算和解一元二次方程，根据新定义运算法则可得出新定义运算的结果是最小的数值，据此可解答． 【详解】解：∵定义新运算“※”，规定：， 而， ∴； 解方程得， ，， ∵， ∴， 故答案为：；． 33．若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，通过比较给出的求根公式与标准求根公式，确定系数a、b、c的值，从而得到原方程，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴原方程为， 故选：B． 题型十二：因式分解法解一元二次方程 34．方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把先移项，再因式分解后，解出即可得答案． 【详解】解： 移项得：， 因式分解得：， ∴或， ∴，． 35．对于实数a，b，定义运算""：，例如：．如果，那么x的值为________． 【答案】 或 【分析】根据定义新运算的法则，解方程即可． 【详解】解：依题意得， ， ， 或， 解得或． 36．用因式分解法解方程，下列方法正确的是（    ） A．，或 B．，或 C．，或 D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查利用因式分解法解方程，解题需抓住两个关键点：方程右边是否为0，是否遗漏为0的因式． 【详解】解：A选项中，∵，∴或，方法正确； B、C选项中，方程右边不为0，不能直接令因式分别等于右侧的数，方法均错误； D选项中，∵，∴或，选项遗漏的情况，方法错误； 故选：A． 题型十三：换元法解一元二次方程 37．已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，；则或，据此求解即可． 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是， ∴方程的解是，， ∴或， 解得，，， ∴方程的解是，，． 故选：B． 38．已知关于的方程（、、为常数，）的解是，，那么方程的解为_______． 【答案】， 【分析】将所求方程变形后，利用整体换元思想，结合已知原方程的解得到关于x的一次方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的解是，， ∴或， 解得，． 39．若的两个实数根为1和，那么关于的一元二次方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】令可将方程化成可得或，由此即可得． 【详解】解：令， 则方程可化成为方程， ∵方程的两个实数根为1和， 方程的两个实数根为1和， 或， 解得或， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键． 题型十四：解分式方程 40．解方程时，设，则原方程可化为关于的整式方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程，设，将原方程中的分式项用表示，通过代数变形消去分母，转化为整式方程． 【详解】设，则， 因此． 原方程可化为： 两边同乘，消去分母： 移项整理得：． 故选：B． 41．解方程时，可以设，那么原方程可转化为整式方程：___________． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．将代入方程可得，再方程两边同乘以即可得． 【详解】解：解方程时，可以设， 则， 方程两边同乘以，得， 则， 故答案为：． 42．下列方程中，有实数根的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解无理方程，解分式方程，二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质可得，据此可判断A；根据二次根式有意义的条件可得，则，据此可判断B；解分式方程可判断C、D． 【详解】解：A、∵， ∴， 又∵， ∴原方程无实数根，不符合题意； B、∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴原方程无实数根，不符合题意； C、∵， ∴去分母得， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无实数根，不符合题意； D、∵， ∴去分母得：， ∴， 解得， 经检验，当是原方程的解， ∴原方程有实数根，符合题意， 故选：D． 题型十五：一元二次方程的根与系数的关系 43．已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，则的值为（     ） A．5 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】无需解方程，利用根与系数的关系直接计算两根之和. 【详解】解：一元二次方程中，，， 由根与系数的关系得，． 44．已知方程的两个根分别是，，则的值为____________． 【答案】 【详解】解：关于的一元二次方程的两根分别为，， ，， ，， ． 45．设是方程的两根，且，则常数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合的条件列方程求解． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 46．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【分析】先根据题目分别找出，，，再计算并判断正负并求出的取值范围，进而计算并求出最大值． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，t最大，． 解答题 1．选择适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）用直接开平方法解一元二次方程； （2）用因式分解法解一元二次方程； （3）用公式法解一元二次方程； （4）用因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， 方程两边同时除以得：， 方程两边同时开平方得：， 当时， 可得：， 当时， 可得：， 方程的解为，； （2）解：， 分解因式得：， 可得：或， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 方程的解为，； （3）解：， 整理得：， 其中，，， ， ， 方程的解为，； （4）解：， 移项得：， 提公因式得：， 可得：或， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 方程的解为，． 2．在数学课上，老师展示两道习题的解答过程： 习题1：计算：． 解：原式    第一步         第二步         第三步 习题2：解方程： 解：        第一步         第二步             第三步                 第四步 (1)解答过程中，习题1从第______步开始出现错误，习题2从第______步开始出现错误； (2)任选其中一个习题写出正确的解答过程（若两个题都作答，则只按习题1给分）． 【答案】(1)二，三； (2)见解析. 【分析】（1）根据分式的通分和平方根解题即可； （2）根据分式的通分可解答习题，根据配方法可解答习题． 【详解】（1）解：习题中第二步在合并分子时，对分子去括号时出错，应为； 习题中第三步应为； （2）解：习题1：原式 ； 习题2：∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴，． 3．解下列方程： ． 【答案】，， 【分析】设 ，换元后将原方程转化为关于的一元二次方程，求出的值后，进一步解关于x的方程，检验后得出结果． 【详解】解：设 ，则， 原方程转化为：， 化简，得 ， 因式分解，得 ， 解得，，， 当时，， 化简，得， 因式分解，得， 解得，，； 当时， ， 化简，得， 解得，； 经检验，，，都是原方程的解， ∴方程的解为，，． 4．已知关于的方程． (1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)若2是该方程的一个根，求代数式的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根． (2)30 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，据此可计算判别式进行求证； （2）将代入原方程，整理得到关于m的等式，计算化简后，整体代入求代数式的值． 【详解】（1）略 （2）解：将代入方程中， 得，即； ∴． 5．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出c的值； (3)m是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】（1）观察定义可知，一组“倒方程”之间，二次项系数与常数项互换，一次项系数相同，根据此规则求解即可． （2）先列出原方程的“倒方程”，再将代入原方程的“倒方程”后即解出常数项． （3）同样先列出原方程的“倒方程”，将代入，再将方程变形后整体代入即可求解． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：． （2）解：由题可知，方程的倒方程为， 将代入此方程， 得， 解得． （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， 是此方程的一个实数根， ， ， ． 6．有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】(1)；1 (2) (3)3 【分析】（1）根据根与系数关系，，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，m、n是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值； （3）将a、b看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到c的最大值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根，， ∴，． （2）解：∵，且实数m、n满足，， ∴m、n可看作方程的两根， ∴，， ∴原式； ∴原式的值为． （3）解：∵，， ∴将a、b看作是方程的两实数根， ∵，且，即， 不等式两边同乘得：， ∴，即， ∴c的最大值为3． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $