25.2.2 公式法教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

教案：25.2.2 公式法

一、核心素养目标

1. 数学运算

能用配方法从一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)推导出求根公式，理解公式中每个符号的含义；能正确运用公式法解一元二次方程，提高代数运算的准确性和规范性。

2. 逻辑推理

通过求根公式的推导过程，体会分类讨论思想——根据b²-4ac的符号讨论方程根的情况；通过判别式与根的情况的关系的探究，发展逻辑推理能力。

3. 数学抽象

从具体的配方法解方程中抽象出一般公式，理解求根公式是将解法"程序化"的体现；体会从特殊到一般、再从一般到特殊的数学思想方法。

二、教学重难点

教学重点

1. 求根公式的推导过程，理解推导中配方法和分类讨论的结合。

2. 掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤：化、求、判、代。

教学难点

1. 求根公式推导中的符号运算，特别是配方过程中对系数a,b,c的处理。

2. 理解根的判别式Δ=b²-4ac与方程根的情况之间的本质联系，避免机械记忆。

三、教学过程

环节一：情境导入（3分钟）

【教师活动】同学们，上节课我们学习了用配方法解一元二次方程。请同学们回忆一下，用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？

【学生活动】配方法的一般步骤是：一移——将常数项移到方程的右边；二化——二次项系数化为1；三配——方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方；四开——利用平方根的意义直接开平方；五解——解两个一元一次方程。

【教师活动】非常好！那么配方法有什么优点和不足呢？

【学生活动】配方法可以解任何一元二次方程，但是当系数较大或者分数时，计算会比较繁琐。

【教师活动】说得很好。今天我们就来探究一种更"通用"的方法——从配方法出发，推导出一个可以直接代入系数求解的公式，这就是公式法。

【过渡语】从配方法的复习入手，引出公式法的探究需求，激发学生的学习兴趣。

【设计意图】通过复习配方法的步骤，为公式法的推导做好知识铺垫，同时让学生感受到配方法虽然万能但计算繁琐，从而自然引出公式法的必要性。

环节二：复习回顾（5分钟）

【教师活动】首先，我们用配方法来解一个具体的方程：

用配方法解方程：

【教师活动】请同学们动手完成这个方程的配方法求解过程。

【学生活动】移项得3x²+8x=3，两边除以3得x²+()x=1，配方得x²+()x+()²=1+()²，即(x+)²=，开平方得x+=±，所以x₁= ，x₂=-3。

【教师活动】非常正确！现在老师有一个问题：既然配方法可以解任何一元二次方程，那我们能不能用配方法来解一般形式的一元二次方程——ax²+bx+c=0(a≠0)呢？如果能解出来，那么我们以后解任何一元二次方程，只需要把a,b,c代入求出的结果就可以了！

【过渡语】从一个具体方程的配方法求解，过渡到一般形式方程的推导，体现从特殊到一般的思想。

【设计意图】通过一个具体方程的配方法求解，检验学生对配方法的掌握程度，同时自然地引出核心问题：能否用配方法推导出一般形式一元二次方程的求根公式？

环节三：新知探究（15分钟）

一、求根公式的推导

【教师活动】下面我们一起来用配方法推导一般形式一元二次方程的求根公式。

用配方法解一般形式的一元二次方程：

【教师活动】第一步，移项。把常数项c移到等号右边。

解：移项，得

【教师活动】第二步，二次项系数化为1。因为a≠0，两边同除以a。

二次项系数化为1，得

【教师活动】第三步，配方。两边同时加上一次项系数一半的平方。一次项系数是b/a，它的一半是b/(2a)，平方是(b/(2a))²=b²/(4a²)。

配方，得

即

【教师活动】现在，我们得到了类似(x+n)²=p的形式。接下来需要讨论右边的表达式。因为a≠0，所以4a²>0。那么右边是一个正数、零还是负数，取决于分子b²-4ac的符号。

【教师活动】我们来分类讨论。

第一种情况：b²-4ac > 0

当时，

，直接开平方，得